期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】（考試范圍：第16~18章）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1二次根式】 2【考點2根據二次根式的性質化簡】 2【考點3二次根式的乘除】 2【考點4二次根式的加減】 3【考點5勾股定理與網格】 3【考點6利用勾股定理求值】 5【考點7趙爽弦圖】 6【考點8勾股定理逆定理的應用】 8【考點9勾股定理的應用】 9【考點10與平行四邊形有關的證明與計算】 10【考點11與矩形有關的證明與計算】 11【考點12與菱形有關的證明與計算】 12【考點13與正方形有關的證明與計算】 14【考點14與直角三角形斜邊的中線有關的證明與計算】 15【考點15與三角形中位線有關的證明與計算】 16【壓軸篇】 18【考點16化簡含字母的二次根式】 18【考點17求立體圖形的最短路徑問題】 18【考點18幾何動點問題】 19【考點19幾何最值問題】 21【考點20幾何探究問題】 23【考點21多結論類問題】 25【考點22新定義類問題】 26【考點23規律類問題】 28【考點24閱讀理解類問題】 30【易錯篇】【考點1二次根式】【例1】（24-25八年級·福建莆田·期中）已知n是正整數，28n是整數，則n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【變式1-1】（24-25八年級·廣東河源·期中）若二次根式x?2024x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【變式1-2】（24-25八年級·浙江舟山·期中）當x＝－1時，二次根式6?3x的值為.【變式1-3】（24-25八年級·河南洛陽·階段練習）已知y=2x?1+1?2x+2，那么xy=．【考點2根據二次根式的性質化簡】【例2】（24-25八年級·北京順義·期中）如果x?2x2?4=2?x【變式2-1】（24-25八年級·甘肅蘭州·期中）適合2a?32=6?2a的正整數aA．13 B．14 C．15 D．16【變式2-2】（24-25八年級·四川成都·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【變式2-3】（24-25八年級·上海·期中）將x?6x【考點3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年級·山東煙臺·期末）幻方是一種中國傳統游戲，它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等．類比幻方，我們給出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等，則數值A+B+C+D=．AB5510C210D【變式3-1】（24-25八年級·山東煙臺·期中）計算3+22024【變式3-2】（24-25八年級·河北唐山·期中）二次根式12，12【變式3-3】（24-25八年級·江西吉安·期末）學習了a2=a小亮：解：原式=a+1?a=1；小芳：解：原式=a+1?a∵a>1，∴原式=a+a?1=2a?1，(1)________的解法是不正確的；(2)化簡：ab?ba?ab【考點4二次根式的加減】【例4】（24-25八年級·江西萍鄉·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【變式4-1】（24-25八年級·河北唐山·期末）下列二次根式中，可與12進行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【變式4-2】（24-25八年級·江蘇南京·期末）已知x=23?1，則代數式x【變式4-3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）已知xy=2,x+y=4，則xy+y【考點5勾股定理與網格】【例5】（24-25八年級·江蘇淮安·期末）某班學生在勞動實踐基地用一塊正方形試驗田種植蘋果樹，同學們將試驗田分成7×7的正方形網格田，每個小正方形網格田的邊長為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋果樹的健康成長，同學們要把蘋果樹種植在格點處（每個小正方形的頂點叫格點），且每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米，則這塊試驗田最多可種植棵蘋果樹．【變式5-1】（24-25八年級·山西臨汾·期末）如圖，在6×6的網格圖中，每個小方格的邊長為1，請在給定的網格中按下列要求畫出圖形．(1)畫一個三邊長分別為4，5，13的三角形；(2)畫一個腰長為10的等腰直角三角形．【變式5-2】（24-25八年級·河南駐馬店·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，若△ABC和△BCD的頂點都在小正方形網格的格點上，則∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【變式5-3】（24-25八年級·安徽安慶·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【考點6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年級·浙江紹興·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C交于E，則CEA．134 B．72 C．258【變式6-1】（24-25八年級·江蘇蘇州·期末）勾股定理是數學史上的一顆玻璃珠．被譽為清代“歷算第一名家”的名數學家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅瑴成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定理的證法．其中一種是在圖②的基礎上，運用“出入相補”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ABDE，ACFG，BCHI均為正方形，HI與AE相交于點J，可以證明點D在直線HI上．若△AHJ，△DEJ的面積分別為2和6，則直角邊AC的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．2【變式6-2】（24-25八年級·陜西西安·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【變式6-3】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足為E，AE=CE，連接AC，若DE=5(1)AC的長；(2)四邊形ABCD的面積．【考點7趙爽弦圖】【例7】（24-25八年級·江蘇宿遷·期末）綜合實踐我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數恒等式，嚴密又直觀，為中國古代“形數統一”、代數和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范．在一節八上數學復習課上，老師為了弘揚中國的數學文化，和同學們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．因為大正方形的面積可以看成4個直角三角形與1個邊長為b?a的小正方形組成，即面積表示為：4×12ab+善于思考的小亮同學把一個直立的火柴盒放倒（如圖2），聰明的他發現用不同的方法計算梯形ABCD的面積，也可證明勾股定理，請你和他一起證明．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖．(3)構造“弦圖”，應用計算如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點D是BC中點，過點C作CE⊥AD，垂足為點F，交AB于點E，若BE=3，求AB的長．【變式7-1】（24-25八年級·江蘇南京·期末）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則AN的長度為（

）A．a+b B．a2+b2 C．【變式7-2】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖1，將四個全等的直角三角形拼成了一個四邊形ABEC，然后將前面四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形如圖2，該正方形的面積為5；再將其四個全等的直角三角形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長為4+45，則圖1中的點C到AB的距離為【變式7-3】（24-25八年級·浙江金華·期末）圖1是由5個全等的直角三角形與一個小正方形組成，延長DK交AB、AC分別于點M、N，延長EH交BD于點P（如圖2）．（1）若Rt△ABF的面積為5，小正方形FGHK的面積為9，則AB＝（2）如圖2，若S四邊形AEHNS四邊形BMHP=k，則【考點8勾股定理逆定理的應用】【例8】（24-25八年級·黑龍江雙鴨山·期末）兩艘輪船從同一港口同時出發，甲船時速40海里，乙船時速30海里，兩個小時后，兩船相距100海里，已知甲船的航向為北偏東46°，則乙船的航向為（

）A．南偏東44° B．北偏西44° C．南偏東44°或北偏西44° D．無法確定【變式8-1】（24-25八年級·黑龍江大慶·期末）筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．則原路線AC＝【變式8-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期末）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【變式8-3】（24-25八年級·吉林四平·期末）如圖①是超市的兒童玩具購物車，圖②為其側面簡化示意圖．測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離(1)連接AB，則△ABC是__________三角形，請寫出推理過程．(2)點C到AB的距離是__________cm．【考點9勾股定理的應用】【例9】（24-25八年級·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱．現為擴建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠某處A向C地、D地、B地分流（點C，D，B位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再從D地修了一條筆直的水渠DH與支渠AB在點H處連接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的長度．（結果保留根號）(2)若修水渠DH每千米的費用是0.7萬元，那么修完水渠DH需要多少萬元？【變式9-1】（24-25八年級·福建福州·期中）《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到達池邊的水面，求蘆葦的長度．（1丈＝10尺）解決下列問題：（1）示意圖中，線段AF的長為尺，線段EF的長為尺；（2）求蘆葦的長度．【變式9-2】（24-25八年級·安徽阜陽·期中）超速行駛是引發交通事故的原因之一．上周末，小聰等三位同學在某路段嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100m的點P處．這時，一輛轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距離，（3取1.73）(2)試判斷此車是否超過了80km/h【變式9-3】（24-25八年級·安徽安慶·單元測試）由于大風，山坡上的一棵樹甲被從點A處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處，已知AB=4米，BC=13米，兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）為12米，請你運用所學的知識求這棵樹原來的高度．【考點10與平行四邊形有關的證明與計算】【例10】（24-25八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．AO=OC，OB=OD B．∠ABC=∠ADC，ADC．AB=DC，AD∥BC D．AB=DC【變式10-1】（24-25八年級·河南商丘·期中）如圖1，AB∥CD，P為AC的中點，點E為射線AB上的任意一點（不與點A重合），連接EP，并使EP的延長線交射線CD于點(1)求證：△APE≌△CPF；(2)如圖2，連接EC、AF，是否有EC∥【變式10-2】（24-25八年級·西藏拉薩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=40°，過點D作CB的垂線，交AB于點E，交CB的延長線于點F，則∠BEF的度數為．【變式10-3】（24-25八年級·河南漯河·期中）如圖，△ABC中，D是AB邊上任意一點，F是AC中點，過點C作CE∥AB交DF的延長線于點E，連接AE，(1)求證：四邊形ADCE是平行四邊形；(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=6，求AB【考點11與矩形有關的證明與計算】【例11】（24-25八年級·天津西青·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．(1)求證：四邊形ADCE是矩形；(2)DF與AB之間的關系是什么？請說明理由．【變式11-1】（24-25八年級·山西運城·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E．若ED=3BE，則AE的長為（

）A．3 B．4 C．33 【變式11-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期中）已知：如圖，點P為矩形ABCD的邊AD上一點，連接BP，將矩形ABCD的一部分DPBC沿BP翻折180°得D′PBC′，且點(1)求證：C′(2)若BC=10，DC=6，求折痕BP的長．【變式11-3】（24-25八年級·海南海口·期中）如圖，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點E處，已知AB=6cm，BC=10cm，則CF=cm，DE【考點12與菱形有關的證明與計算】【例12】（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC平分∠BAD，過點D作DP∥AC，過點C作CP∥BD，(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AC=12，BD=16，求OP的長．【變式12-1】（24-25八年級·陜西西安·期中）如圖，在菱形ABCD中擺放了一副三角板，等腰直角三角板DEF的一條直角邊DE在菱形邊AD上，直角頂點E為AD的中點，含30°角的直角三角板的斜邊GB在菱形ABCD的邊AB上．連接AC，若DF=4，則AC的長為（

）A．8 B．42 C．82 【變式12-2】（24-25八年級·廣東梅州·期中）如圖，矩形ABCD和矩形AECF有公共頂點A和C，CD=CE,AE與BC相交于點G，AD與CF相交于點H．(1)求證：四邊形AGCH是菱形．(2)連接AC,GH，若AC=10,GH=4,求四邊形AGCH的面積．【變式12-3】（24-25八年級·湖北武漢·期中）菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點G為AB的中點，以BG為邊作菱形BEFG，其中點E在CB的延長線上，點P為FD的中點，則PB=（

）A．72 B．3 C．5+12【考點13與正方形有關的證明與計算】【例13】（24-25八年級·四川瀘州·期中）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．(1)如圖1，當點E在AB邊的中點位置時，若DE=EF，連接點E與AD邊的中點N，請猜想NE與BF的數量關系，并加以證明．(2)如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，猜想此時DE與EF有怎樣的數量關系并證明你的猜想．【變式13-1】（24-25八年級·河北張家口·期中）如圖，已知正方形紙片ABCD，M、N分別是AD、BC的中點，把BC邊向上翻折，使點C恰好落在MN上的P點處，BQ為折痕，則∠PBQ的度數為（

）

A．20° B．25° C．30° D．60°【變式13-2】（24-25八年級·河南鄭州·期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E,F分別是邊CD,AD的中點，連接AE,BF，點G,H分別是AE,BF的中點，連接GH，則GH的長為．【變式13-3】（24-25八年級·寧夏銀川·期中）如圖1，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE，把△DEC沿DE折疊得到△DEF，延長EF交AB于點G，連接DG．(1)求證△ADG≌△FDG；(2)如圖2，若正方形邊長為6，點E為BC的中點，連接BF，求線段AG的長；(3)在（2）的條件下求出△BEF的面積．【考點14與直角三角形斜邊的中線有關的證明與計算】【例14】（24-25八年級·廣東梅州·期中）在正方形ABCD中，AD=2，E，F分別為邊DC，CB上的點，且始終保持DE=CF，連接AE和DF交于點P，則線段A．5?1 B．5 C．52 【變式14-1】（24-25八年級·浙江紹興·期中）如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=5，AE=8，EC=7，則BC的長度是【變式14-2】（24-25八年級·山西運城·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=130°，點E為對角線AC的中點，連接DE，BE，BD，則∠DBE的度數為（

）A．50° B．40° C．30° D．25°【變式14-3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．(1)證：MN⊥DE；(2)若∠ABC=75°，∠ACB=40°，連接DM、ME，求∠DME的度數．【考點15與三角形中位線有關的證明與計算】【例15】（24-25八年級·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，那么添加下列條件一定能判定四邊形EFGH是正方形的是（

）A．AC=BD且AB=AD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AC⊥BD【變式15-1】（24-25八年級·甘肅蘭州·期末）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，BE=EC,AC=2，則菱形ABCD的周長是（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式15-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期中）如圖，菱形ABCD對角線AC、BD交于點O，點E為OD的中點，連接AE并延長至點F使EF=AE，連接FD、FC，試判斷四邊形OCFD的形狀并說明理由．【變式15-3】（24-25八年級·山東濰坊·期末）【觀察與發現】如圖1，我們在探究三角形中位線定理時，通過剪切和拼接的方法將三角形拼成了面積相等的平行四邊形．同樣，我們也可以將任意一個四邊形剪開拼成一個面積相等的平行四邊形．操作如下：如圖2，沿著過對邊中點的兩條線段EG和HF剪開，將四邊形ABCD分成四部分．通過旋轉或移動，使點B，C，D與A重合，可以得到，新四邊形OLKJ是平行四邊形．【類比與探究】（1）類比上述做法，嘗試將任意一個三角形剪開拼成一個與其面積相等的矩形．①圖3是將△ABC剪開拼成矩形BCH依據圖中呈現的操作方法，可知：DE與BC的數量關系為_______；AH與DE的位置關系為_________；②如圖4，請你再設計一種將△ABC剪開拼成與其面積相等的矩形的方法．仿照圖3用虛線在左圖中畫出剪切線，簡單說明剪切線滿足的條件，在右圖畫出拼成的簡圖．【實踐與應用】（2）請思考如何將任意一個四邊形剪開拼成一個與原四邊形面積相等的矩形？請你設計思路不同的兩種方案，在圖5中用虛線畫出分割線，用實線畫出拼成的矩形．【壓軸篇】【考點16化簡含字母的二次根式】【例16】（24-25八年級·上海靜安·期中）已知xy<0，化簡二次根式?xy2yA．x B．?x C．?x D．【變式16-1】（24-25八年級·湖北黃石·期中）已知a<0，則二次根式?a2bA．ab B．a?b C．?ab【變式16-2】（24-25八年級·上海·期中）已知a>0，那么?ab可化簡為（

A．b?ab B．?1bab C．【變式16-3】（24-25八年級·北京順義·期末）當m<0時，化簡二次根式mnnmA．nmn? B．?nmn? C．【考點17求立體圖形的最短路徑問題】【例17】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，桌上有一個圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計），高為10cm，底面周長為12cm，在盒子外壁離上沿2cm的點A處有一只螞蟻，此時，盒子內壁離底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點A．12cm B．23cm C．6【變式17-1】（24-25八年級·河南周口·期末）如圖①所示的正方體木塊的棱長為2cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②所示的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（

A．2+1cm B．2+3cm 【變式17-2】（24-25八年級·河南南陽·期末）如圖，教室墻面ADEF與地面ABCD垂直，點P在墻面上，若PA=13米，AB=2米，點P到AF的距離是3米，一只螞蟻要從點P爬到點B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【變式17-3】（24-25八年級·陜西西安·期末）如圖，一只螞蟻從長為5cm、寬為3cm、高為10cm的長方體紙箱的A點沿紙箱表面爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是cm．【考點18幾何動點問題】【例18】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，當點P從點B運動到點C，點M運動的路徑長為（

）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5【變式18-1】（24-25八年級·貴州遵義·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若動點P從A點出發，以每秒1cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發以每秒2cm的速度沿CB向B點運動，當Q點到達B點時，動點P、Q同時停止運動，設點P、Q(1)BC=cm；(2)當t=秒時，四邊形PQBA成為矩形．(3)當t為多少時，PQ∥CD？(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．【變式18-2】（24-25八年級·福建廈門·期中）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，對角線AC，BD相交于點O，P為線段OB上一點，連接CP，將線段CP繞點P順時針旋轉，交AB延長線于點Q．(1)求證：AP=PQ；(2)在P點運動過程中，∠CPQ的大小是否發生變化？請說明理由；(3)判斷線段DP與線段BQ的數量關系，并證明．【變式18-3】（24-25八年級·山東日照·期中）如圖1，已知在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、DC上運動．【嘗試探究】（1）如圖1，當點E、F分別在邊BC、DC上運動，∠EAF=45°時，探究DF、BE和EF的數量關系，并說明理由；【模型建立】（2）如圖2，當點E、F分別在射線CB、DC上運動，∠EAF=45°時，（1）中的結論是否成立？若成立請加以說明；若不成立，請寫出它們的數量關系并加以說明；【模型應用】（3）如圖3，已知△ABC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，使其角的兩邊分別交邊AB、AC于點E、F，連接EF，求△AEF的周長．【考點19幾何最值問題】【例19】（24-25八年級·吉林長春·期中）如圖1．在四邊形ABCD中，順次連結各邊中點E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的中點四邊形．利用三角形中位線的相關知識解決下列問題：(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)當AC⊥BD時，四邊形EFGH是_________；(3)如圖2．四邊形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC=6、BD=10．則AD+BC的最小值為________．【變式19-1】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖，已知菱形ABCD的邊長為5，面積為15，點E是對角線AC上的動點（不與點A重合），以AB為對角線作平行四邊形AEBF，則EF的最小值為．【變式19-2】（24-25八年級·河南洛陽·期中）綜合與實踐：在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為3的正方形ABCDD與邊長為6的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．連接DG，BE，易得DG=BE且DG⊥BE(不需要說明理由)．(1)如下圖，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，旋轉角為α(15°<α<165°)．①連接DG，BE，判斷DG與BE的數量關系和位置關系，并說明理由；②在旋轉過程中，如下圖，連接BG，GE，ED，DB，求四邊形BGED面積的最大值．(2)如下圖，分別取BG，GE，ED，DB的中點M，N，P，Q，連接MN，NP，PQ，QM，則四邊形MNPQ的形狀為______，四邊形MNPQ面積的最大值是______．【變式19-3】（24-25八年級·廣東廣州·期中）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點落在邊AD上的點E處，折痕為PQ．過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形PBFE為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形PBFE的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請寫出，若沒有，填“無”．最大值為；最小值為．【考點20幾何探究問題】【例20】（24-25八年級·陜西漢中·期末）在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的兩條直線EF，GH分別交邊AB，CD，AD，BC于點E，F，G，H．【問題發現】（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF，則S四邊形AEOG=【問題探究】（2）如圖2，若四邊形ABCD是矩形，且滿足S四邊形AEOG=14S矩形ABCD，設AB=a，AD=b，BE=m，求【問題解決】（3）如圖3，張大伯有一塊平行四邊形ABCD菜地，且AB=6米，AD=10米，點E處是一口水井，且BE=2米，EF是原先就有的一條溝渠，且經過平行四邊形ABCD菜地的對角線的交點O，張大伯準備再修建一條經過點O的溝渠GH，將該菜地分成四個面積相等的部分，并分別種上四種不同的蔬菜，試確定點G的位置．【變式20-1】（24-25八年級·廣東陽江·期末）【探究與證明】【問題情境】如圖1，點E為正方形ABCD內一點，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，將直角三角形ABE繞點A逆時針方向旋轉α度(0≤α≤180°)點B、E的對應點分別為點B′、E【問題解決】(1)如圖2，在旋轉的過程中，點B′落在了AC上，求此時C(2)若α=90°，如圖3，得到△ADE′（此時B′與D重合），延長BE交DE′①試判斷四邊形AEFE②連接CE，求CE的長．【變式20-2】（24-25八年級·甘肅慶陽·期末）【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP，AQ分別交邊BC，CD于點P，(1)【感知】如圖1，若P是邊BC的中點，則線段AP與AQ之間的數量關系是______；(2)【探究】如圖2，若P為邊BC上任意一點，則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．(3)【應用】在如圖3所示的菱形紙片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，在邊BC上取一點P，連接AP，在菱形內部作∠PAQ=60°，AQ交CD于點Q，當AP=27時，求線段CQ【變式20-3】（24-25八年級·遼寧大連·期末）【問題情景】如圖1，在菱形ABCD中，AB=25，點N為菱形ABCD外部一點，連接AN交對角線BD于點M，且滿足∠AMD+∠ANC=180°【初步探究】（1）求證：AM=MN；【解決問題】（2）如圖2，連接DN，當AM=13，CN=6①求線段BM的長；②求∠BDN的度數；【類比探究】（3）如圖3，在菱形ABCD中，當∠BCD=90°時，AN交CD于點E，連接BE，DN，并延長BE交DN于點F．若DMAD=2【考點21多結論類問題】【例21】（24-25八年級·浙江杭州·階段練習）如圖，四邊形ABCD，對角線BD⊥AB，且平分∠ADC，O為BD的中點．在AD上取一點G，使CG⊥BD，E為垂足，取AC中點F，連接BF．下列五句判斷：①AO=2BO；②EF∥AD；③AG=2BF；④連接DF，則四邊形BCDF是平行四邊形；⑤FB=2GE．其中判斷正確的是（A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④【變式21-1】（24-25八年級·內蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一個動點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF，有下列5個結論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤EF的最小值等于12BD．其中正確結論的序號是

【變式21-2】（24-25八年級·安徽·期末）如圖，矩形ABCD中，E為BC邊的中點，沿DE對折矩形，使點C落在C′處，折痕為DE，延長DC′交AB于點F，連接BC′并延長交AD于點G，連接CC′．給出以下結論：①四邊形BEDG為平行四邊形；②∠E

A．1 B．2 C．3 D．4【變式21-3】（24-25八年級·吉林長春·期末）知圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC=8，BD=6，點E、F分別在邊AB、CD上（點E不與A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分別交AC于點P、Q，連結BP、DQ．給出下面四個結論：①AC平分四邊形BEDF的周長；②四邊形BEDF是矩形；③BD平分∠PDQ；④當

【考點22新定義類問題】【例22】（24-25八年級·廣東梅州·期中）綜合與實踐折紙是一項有趣的活動，折紙活動也伴隨著我們初中數學的學習．在折紙過程中，我們可以研究圖形的運動和性質，也可以在思考問題的過程中，初步建立幾何直觀，現在就讓我們帶著數學的眼光來折紙吧．定義：將紙片折疊，若折疊后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的長方形，這樣的長方形稱為完美長方形．(1)操作發現：如圖1，將△ABC紙片按所示折疊成完美長方形EFGH，若△ABC的面積為18，BC=6，則此完美長方形的邊長FG=_____，面積為_____．(2)類比探究：如圖2，將?ABCD紙片按所示折疊成完美長方形AEFG，若?ABCD的面積為40，BC=8，求完美長方形AEFG的周長．(3)拓展延伸：如圖3，將?ABCD紙片按所示折疊成完美長方形EFGH，若EF:EH=3:4，AD=25，求此完美長方形EFGH的周長與面積．【變式22-1】（24-25八年級·江蘇·期中）定義：角內部的一點P到角兩邊的距離分別為m、n（m≤n），將m與n的比值叫做點P關于這個角的“距離比”，記作k，其中k=mn；若“距離比”k=1，則稱點(1)下列四邊形對角線的交點一定是這個四邊形內角的“平衡點”的是__________（填序號）①平行四邊形

②矩形

③菱形(2)在平面直角坐標系xoy中，四邊形OABC是平行四邊形，A10,0，對角線AC、OB相交于點P，PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M、N①如圖，點C在第一象限，且坐標為4,3，求點P關于∠AOC的“距離比”k的值；②若點P為∠AOC的“平衡點”，且點B的縱坐標為7，求點C的坐標．【變式22-2】（24-25八年級·山東淄博·期末）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．根據以上定義，解決下列問題：(1)如圖①，正方形ABCD中，E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉，使BC與BA重合，此時點E的對應點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF為“直等補”四邊形，為什么？(2)如圖②，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，過點B作BE⊥AD于點E，作BF⊥DC交DC延長線于點①試判斷四邊形BFDE的形狀，證明你的結論，并求出BE的長．②若點M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．【變式22-3】（24-25八年級·廣東揭陽·期中）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求對角線BD的長；②若AC⊥BD，求證：AD=CD；(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD中點，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求四邊形DPFC的面積．【考點23規律類問題】【例23】（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，在坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，點B在y軸上，OA=1．將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續翻轉2023次，點B的落點依次為B1，B2，B3，…，則BA．1349,0 B．1350,0 C．1349.5,32 【變式23-1】（24-25八年級·河南洛陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數y=x的圖象，點A1的坐標為1,0，過點A1作x軸的垂線交直線l于點D1，以A1D1為邊作正方形A1B1C1D1；過點C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點B2，以A2B2為邊作正方形AA．92n B．32n C．【變式23-2】（24-25八年級·四川內江·期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AC1A．5×522023 B．2×52【變式23-3】（24-25八年級·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形A1B1C1D1（記為第1個正方形）的頂點A1與原點重合，點D1在x軸上，點C1的坐標為1,1，以C1為頂點作等邊三角形C1A2B2，點【考點24閱讀理解類問題】【例24】（24-25八年級·廣東惠州·期末）閱讀下列材料：在數學課上，老師要求學生探究如下問題：(1)【提出問題】如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度數．李華同學一時沒有思路，當他跟同學討論后，發現以PA、PB、PC的長為邊構成的三角形是直角三角形，他突然有了正確的思路：如圖2，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A，連接PP′，易得(2)【類比問題】如圖3，在正方形ABCD內有一點P且PA=5，BP=2，PC=1．求(3)【探索問題】如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P且PA=213，PB=4，PC=2，則∠BPC=【變式24-1】（2024·北京海淀·一模）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明發現，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構造△BEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：BC+DE的值為．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數．【變式24-2】（24-25八年級·山西大同·期中）閱讀與思考：小明同學在學習矩形性質之后，對直角三角形的性質“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明思路做了及時的梳理與總結．閱讀小明同學的筆記，并完成相應任務直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如圖1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的中線．求證：BD=1

分析：要證明BD等于AC的一半．可以用“倍長法”將BD延長一倍，如圖2，延長BD到E，使得DE=BD．連接AE，CE．可證四邊形ABCE是矩形，由矩形的對角線相等得BE=AC，這樣將直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數量關系轉化為矩形對角線的數量關系，進而得到BD=1證明：延長BD到E，使得DE=BD，連接AE、CE，如圖2所示：

∵BD是斜邊AC上的中線，∴AD=CD又∵DE=BD，∴四邊形ABCE是平行四邊形（①依據：__________）任務：(1)①依據為：______________(2)請補小明的全證明過程；(3)上述證明方法中主要體現的數學思想是______；A．轉化思想

B．類比思想

C．數形結合思想

D．從一般到特殊思想(4)將Rt△ABC和Rt△BDE按圖3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，點A、B、D在一直線上，分別取AC和DE的中點F和G，連接GF．若AB=3，BC=4，BD=BE=1，則

【變式24-3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）閱讀下列材料：問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC，探究PG與PC的位置關系．(1)請你寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系，并說明理由；(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明，(3)將菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如圖3，P為DF的中點，此時PG與PC的位置關系和數量關系分別是什么？直接寫出答案．

期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】（考試范圍：第16~18章）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1二次根式】 2【考點2根據二次根式的性質化簡】 3【考點3二次根式的乘除】 4【考點4二次根式的加減】 7【考點5勾股定理與網格】 8【考點6利用勾股定理求值】 11【考點7趙爽弦圖】 15【考點8勾股定理逆定理的應用】 22【考點9勾股定理的應用】 25【考點10與平行四邊形有關的證明與計算】 29【考點11與矩形有關的證明與計算】 32【考點12與菱形有關的證明與計算】 37【考點13與正方形有關的證明與計算】 42【考點14與直角三角形斜邊的中線有關的證明與計算】 48【考點15與三角形中位線有關的證明與計算】 52【壓軸篇】 58【考點16化簡含字母的二次根式】 58【考點17求立體圖形的最短路徑問題】 60【考點18幾何動點問題】 64【考點19幾何最值問題】 74【考點20幾何探究問題】 82【考點21多結論類問題】 94【考點22新定義類問題】 102【考點23規律類問題】 111【考點24閱讀理解類問題】 116【易錯篇】【考點1二次根式】【例1】（24-25八年級·福建莆田·期中）已知n是正整數，28n是整數，則n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把28n進行化簡，然后根據28n是整數確定n的最小值．【詳解】解：∵28n=27n，且∴7n是個完全平方數，(完全平方數是能表示成一個整式的平方的數)∴n的最小值是7．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，做題的關鍵是推導“7n是個完全平方數”．【變式1-1】（24-25八年級·廣東河源·期中）若二次根式x?2024x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，由題意得x?2024≥0且x≠0，據此即可求解，掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：∵二次根式x?2024x∴x?2024≥0且x≠0，解得x≥2024，故選：B．【變式1-2】（24-25八年級·浙江舟山·期中）當x＝－1時，二次根式6?3x的值為.【答案】3【分析】直接將x的值代入進而化簡求出答案．【詳解】解：∵x=-1，∴6?3x=6?3×（?1）=9=3.故答案為3.【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，正確掌握二次根式的性質是解題關鍵．【變式1-3】（24-25八年級·河南洛陽·階段練習）已知y=2x?1+1?2x+2，那么xy=．【答案】1【分析】先根據二次根式的定義求出x的值，繼而可得出y的值，再代入求解即可．【詳解】解：由題意得出：2x?1≥01?2x≥0解得：x=1∴y=2∴xy故答案為：14【點睛】本題考查的知識點是二次根式的定義，比較基礎，熟記定義內容即可．【考點2根據二次根式的性質化簡】【例2】（24-25八年級·北京順義·期中）如果x?2x2?4=2?x【答案】?2≤x≤2/2≥x≥?2【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，二次根式有意義的條件，根據二次根式的被開方數是非負數求解即可．【詳解】∵x?2∴2?x≥0，x+2≥0∴?2≤x≤2．故答案為：?2≤x≤2．【變式2-1】（24-25八年級·甘肅蘭州·期中）適合2a?32=6?2a的正整數aA．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的非負性，先根據題意判斷出a的符號，求出正整數a的值，進而可得出結論．【詳解】解：∵2解得a≤3，∴正整數a的值為1，2，3，∴12故選：B．【變式2-2】（24-25八年級·四川成都·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡：a2+b【答案】2b?2a【分析】本題考查了利用數軸判斷式子的正負、二次根式的性質，由數軸可得：?1<a<0<b<1，a>b，從而得出【詳解】解：由數軸可得：?1<a<0<b<1，a>∴a?b<0，∴a2故答案為：2b?2a．【變式2-3】（24-25八年級·上海·期中）將x?6x【答案】?【分析】本題考查了二次根式的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質，從而完成求解．根據二次根式的性質，得x<0，再根據二次根式的性質計算，即可得到答案．【詳解】解：根據題意，得?6∵?6≠0，∴?6∴x<0，∴x?故答案為：??6x【考點3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年級·山東煙臺·期末）幻方是一種中國傳統游戲，它是將從一到若干個數的自然數排成縱橫各為若干個數的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數的和都相等．類比幻方，我們給出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等，則數值A+B+C+D=．AB5510C210D【答案】3【分析】本題考查了數的規律探究，涉及考查一元一次方程的應用，二次根式的乘法．根據橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等列出方程求解即可．【詳解】解：對角線方向上的實數相乘的結果為52根據方格中橫向、縱向及對角線方向上的實數相乘的結果都相等得，A×5×2=1010B×10×10=10105×10×C=10102×10×D=1010，解得∴A+B+C+D=25故答案為：35【變式3-1】（24-25八年級·山東煙臺·期中）計算3+22024【答案】3+2【分析】本題考查二次根式的乘法運算，逆用積的乘方以及平方差公式進行計算即可．【詳解】解：原式===3故答案為：3+【變式3-2】（24-25八年級·河北唐山·期中）二次根式12，12【答案】30、x+2、x【分析】根據最簡二次根式的定義判斷即可.【詳解】解：第一個根式不是最簡二次根式，因為被開方數的因式不是整數，第二個根式不是最簡二次根式，因為被開方數含有開的盡方的因數，第三個根式為最簡二次根式，第四個根式為最簡二次根式，第五個根式不是最簡二次根式，因為被開方數含有開的盡方的因數和因式，第六個根式為最簡二次根式，故答案為30【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，明確什么是最簡二次根式是解題關鍵.【變式3-3】（24-25八年級·江西吉安·期末）學習了a2=a小亮：解：原式=a+1?a=1；小芳：解：原式=a+1?a∵a>1，∴原式=a+a?1=2a?1，(1)________的解法是不正確的；(2)化簡：ab?ba?ab【答案】(1)小亮(2)ab+b【分析】本題考查乘法公式，二次根式的性質以及絕對值的化簡，根據給定條件正確運用相關性質進行化簡是解答本題的關鍵．（1）根據a>1得1?a<0，所以原式a+1?a（2）先根據乘法公式化簡得：ab?ba?ab=(ab)2?b2【詳解】（1）解：∵a>1，∴1?a<0，∴a+1?a∴小亮的解法是不正確的，故答案為：小亮；（2）解：原式=(ab)∵a<0，b<0，∴原式=ab+b．【考點4二次根式的加減】【例4】（24-25八年級·江西萍鄉·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三個數值平方后再比較大小即可．【詳解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案為：a＜b＜c.【點睛】這里注意比較數的大小可以用平方法，兩個正數，平方大的就大．此題也要求學生熟練運用完全平方公式和平方差公式．【變式4-1】（24-25八年級·河北唐山·期末）下列二次根式中，可與12進行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【答案】A【分析】本題考查了同類二次根式的定義，根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的定義判斷即可，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．【詳解】A、由12=23，則3與B、由12=23，則6與C、由12=23，18=32，則D、由12=23，24=26，則故選：A．【變式4-2】（24-25八年級·江蘇南京·期末）已知x=23?1，則代數式x【答案】5【分析】本題主要考查了完全平方公式、分母有理化、代數式求值等知識點，根據分母有理化化簡成為解題的關鍵．由分母有理化可得x=3+1，然后再對【詳解】解：∵x=2∴x=3故答案為：5．【變式4-3】（24-25八年級·湖北武漢·期末）已知xy=2,x+y=4，則xy+y【答案】2【分析】將二次根式化簡代值即可.【詳解】解：x所以原式42故答案為2【點睛】本題考查了二次根式的運算，將二次根式轉化為和已知條件相關的式子是解題的關鍵.【考點5勾股定理與網格】【例5】（24-25八年級·江蘇淮安·期末）某班學生在勞動實踐基地用一塊正方形試驗田種植蘋果樹，同學們將試驗田分成7×7的正方形網格田，每個小正方形網格田的邊長為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋果樹的健康成長，同學們要把蘋果樹種植在格點處（每個小正方形的頂點叫格點），且每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米，則這塊試驗田最多可種植棵蘋果樹．【答案】13【分析】此題考查了勾股定理和無理數的估算．此題為了最大化種植蘋果樹的數量，同時滿足每兩棵蘋果樹之間的距離都要大于2米的要求，我們采用隔點種植的方法，在橫縱方向，每行每列最多能種植3棵蘋果樹，因兩棵樹之間的距離最小為3米，而試驗田的邊長為7米，所以最多可以種植3棵蘋果樹，滿足要求，即可求出答案．【詳解】解：在7×7的正方形網格田中，采用隔點種植的方式，每行每列最多能種植3棵蘋果樹,小正方形的對角線長度為22+2如圖，因此，這塊試驗田最多可種植13棵蘋果樹，故答案為：13【變式5-1】（24-25八年級·山西臨汾·期末）如圖，在6×6的網格圖中，每個小方格的邊長為1，請在給定的網格中按下列要求畫出圖形．(1)畫一個三邊長分別為4，5，13的三角形；(2)畫一個腰長為10的等腰直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查勾股定理的應用，正確畫圖是解答本題的關鍵．（1）根據勾股定理畫出5,13的線段可得三邊長分別為4，5，（2）運用勾股定理求出邊長為10，可畫出腰長為10的等腰直角三角形【詳解】（1）解：5=12如圖，即為邊長分別為4，5，13的三角形，（2）解：10=如圖，即為腰長為10的等腰直角三角形【變式5-2】（24-25八年級·河南駐馬店·期末）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，若△ABC和△BCD的頂點都在小正方形網格的格點上，則∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【答案】D【分析】本題考查了格點與勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，取格點E，F，連接AE,CE，利用勾股定理證明△ACE是等腰直角三角形，得出∠ACE=45°，根據格點的性質推出BD∥CE，得到∠DBC=∠ECF，即【詳解】解：如圖，取格點E，F，連接AE,CE，∵AE=12∴AC∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，由格點的性質得：BD∥∴∠DBC=∠ECF，∴∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ECF=180°?∠ACE=135°，故選：D．【變式5-3】（24-25八年級·安徽安慶·期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，△ABC的頂點A，B，C均在格點上．若AD⊥BC于點D，則線段AD的長為【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面積=1∴5×2∴AD=2．故答案為：2．【考點6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年級·浙江紹興·期末）如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=4，將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C交于E，則CEA．134 B．72 C．258【答案】C【分析】先根據翻折變換的性質得出AB=AB′=3，BC=B′C=4，再由AAS得出△CDE≌△AB′E，則AE=CE【詳解】解：∵長方形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵將△ABC沿AC折疊，點B落在B′處，AD與B′C∴AB=AB′=3在△CDE與△ABCD=AB∴△CDE≌△AB∴AE=CE，DE=B設CE=x，則DE=4?x，在Rt△CDE中，DE2解得x=25∴CE=25故選：C．【點睛】本題考查的是翻折變換，全等三角形的判定與性質，勾股定理，矩形的性質，等腰三角形的判定與性質，熟知以上知識是解題的關鍵．【變式6-1】（24-25八年級·江蘇蘇州·期末）勾股定理是數學史上的一顆玻璃珠．被譽為清代“歷算第一名家”的名數學家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書輯要》（由其孫子梅瑴成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種勾股定理的證法．其中一種是在圖②的基礎上，運用“出入相補”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ABDE，ACFG，BCHI均為正方形，HI與AE相交于點J，可以證明點D在直線HI上．若△AHJ，△DEJ的面積分別為2和6，則直角邊AC的長為（

）A．2 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，先證明Rt△ABC≌Rt△DBIHL得S△ABC=S△DBI，設AC=a，BC=b，【詳解】解：∵四邊形ABDE，BCHI為正方形，∴AB=BD，BC=BI，∠ACB=∠DIB=90°，∴Rt△ABC≌∴S△ABC設AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得，a2即S正方形S正方形∴S正方形∴S正方形ACFG=∴a=2，即AC=2，故選：D．【變式6-2】（24-25八年級·陜西西安·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC,BD交于點O．若AD=1,BC=4，則AB2

【答案】17【分析】根據垂直的定義和勾股定理解答即可；【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案為：17．【點睛】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．【變式6-3】（24-25八年級·四川達州·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足為E，AE=CE，連接AC，若DE=5(1)AC的長；(2)四邊形ABCD的面積．【答案】(1)6(2)4【分析】本題主要考查了勾股定理的綜合運用、三角形面積的計算等知識點；由勾股定理求出AE、（1）由垂直的定義得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，再求出CE，然后根據勾股定理求解即可；（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，再根據S四邊形ABCD=【詳解】（1）解：∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEC=90°，∵AD=61∴AE=A∴CE=AE=6，∴AC=A（2）解：∵∠B=90°，∴AB=A∵CD=CE+DE=6+5=11，∴S四邊形ABCD【考點7趙爽弦圖】【例7】（24-25八年級·江蘇宿遷·期末）綜合實踐我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創造了“趙爽弦圖”．他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數恒等式，嚴密又直觀，為中國古代“形數統一”、代數和幾何緊密結合的獨特風格樹立了一個典范．在一節八上數學復習課上，老師為了弘揚中國的數學文化，和同學們開啟對“趙爽弦圖”的深度研究．(1)類比“弦圖”，證明定理小明同學利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1），證明勾股定理．因為大正方形的面積可以看成4個直角三角形與1個邊長為b?a的小正方形組成，即面積表示為：4×12ab+善于思考的小亮同學把一個直立的火柴盒放倒（如圖2），聰明的他發現用不同的方法計算梯形ABCD的面積，也可證明勾股定理，請你和他一起證明．(2)利用“弦圖”，割拼圖形如圖3，老師給出由5個小正方形組成的十字形紙板，讓同學們嘗試剪開，使得剪成的若干塊能夠拼成一個無縫的大正方形，可以怎么剪？請你畫出示意圖．(3)構造“弦圖”，應用計算如圖4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點D是BC中點，過點C作CE⊥AD，垂足為點F，交AB于點E，若BE=3，求AB的長．【答案】(1)證明見解析(2)作圖見解析，(3)9【分析】（1）依據題意，四邊形ABCD的面積從大的一方面來說屬于直角梯形，可利用直角梯形的面積公式進行表示；從組成來看，由三個直角三角形組成．應利用三角形的面積公式來進行表示；（2）由5個小正方形組成的十字形紙板得，拼成的大正方形邊長應為5，由此可得出要沿寬為1，長為2的長方形對角線剪開，才能形成邊長為22+12=（3）依據題意，過B作BG⊥BC交CE的延長線于點G，先證明△ACD≌△CBG，從而CD=BG，再由D是CB的中點，可得CD=12BC=12AC，故BG=12AC，又∠CBG+∠ACB=180°，可得AC∥BG，取AE的中點為H，CE的中點為P，連PH，構造中位線，證出HP∥AC，HP=【詳解】（1）證明：由題意，圖中的四邊形ABCD為直角梯形，△EDA為等腰直角三角形，Rt△ABE和Rt設梯形ABCD的面積為S，則S=1又∵S=S∴1∴a（2）由題意，把由5個小正方形組成的十字形紙板（如圖）剪開，可拼成一個大正方形．，（3）由題意，過B作BG⊥BC交CE的延長線于點G，取AE的中點為H，CE的中點為P，連PH，∵CF⊥AD，∴∠DAC+∠ACF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠GCB=90°．∴∠DAC=∠GCB．又∵AC=CB，∠ACD=∠CBG=90°，∴△ACD≌△CBGASA∴CD=BG．又∵D是CB的中點，∴CD=1∴BG=1∵∠CBG+∠ACB=90°+90°=180°，∴AC∥BG，∵AE的中點為H，CE的中點為P，∴HP∥AC，HP=1∴HP∥AC∥BG，HP=1∴∠PHE=∠EBG，∠HPE=∠G，∴△PHE≌△GBEASA∴BE=EH=HA=1又∵BE=3，∴AE=6，∴AB=AE+BE=6+3=9．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明、完全平方式、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形，解題時要熟練掌握并能讀懂題意，找出關鍵圖形是關鍵．【變式7-1】（24-25八年級·江蘇南京·期末）如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD．連接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面積為2a，陰影部分的面積為2b．則AN的長度為（

）A．a+b B．a2+b2 C．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算．由陰影部分的面積為2b，得到S△ADM=142a?2b=12AM?DN=【詳解】解：由題意得AM=DN，∵正方形ABCD的面積為2a，∴AD=2∵陰影部分的面積為2b，∴S△ADM∴AM=a?b∵S△AMQ∴2a?bQM=2b?QM∴MQ=?a?b∴AN=AM+MN=a+b故選：C．【變式7-2】（24-25八年級·四川成都·期末）如圖1，將四個全等的直角三角形拼成了一個四邊形ABEC，然后將前面四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形如圖2，該正方形的面積為5；再將其四個全等的直角三角形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長為4+45，則圖1中的點C到AB的距離為【答案】455【分析】本題考查了勾股定理的應用．求得四個全等的直角三角形的斜邊長為5，設兩條直角邊分別為a、b，利用圖3的外輪廓周長為4+45，求得ab=2，再利用圖1中S【詳解】解：如圖，由題意得FG∴FG=5如圖，MN=5，設ON=a，OM=b，則PM=b?a由題意得4MN+PM∴b?a=1，由勾股定理得a2∵b?a2∴a2∴5?2ab=1，解得ab=2，如圖，AB=5，設點C到AB的距離為?∴S四邊形ABCD=4×∴?=4∴點C到AB的距離為45故答案為：45【變式7-3】（24-25八年級·浙江金華·期末）圖1是由5個全等的直角三角形與一個小正方形組成，延長DK交AB、AC分別于點M、N，延長EH交BD于點P（如圖2）．（1）若Rt△ABF的面積為5，小正方形FGHK的面積為9，則AB＝（2）如圖2，若S四邊形AEHNS四邊形BMHP=k，則【答案】29k【分析】本題考查了正方形的性質，直角三角形的性質，圖形面積的幾何意義與代數式的變形．掌握正方形的性質是解題的關鍵．（1）根據勾股定理求出a和b的等式，即可得到AB；（2）求出a，b，k之間的關系式，從而求得面積比．【詳解】解：（1）設AF=EG=DH=BK=BC=a，FK=GF=HG=HK=b，∵若Rt△ABF的面積為5，小正方形FGHK的面積為9∴12aa+b∴a2∵AB∴AB=a故答案為：29；（2）∵S四邊形S四邊形∴12∴b+1?k∴b=k?1∴S四邊形故答案為：k2【考點8勾股定理逆定理的應用】【例8】（24-25八年級·黑龍江雙鴨山·期末）兩艘輪船從同一港口同時出發，甲船時速40海里，乙船時速30海里，兩個小時后，兩船相距100海里，已知甲船的航向為北偏東46°，則乙船的航向為（

）A．南偏東44° B．北偏西44° C．南偏東44°或北偏西44° D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了方位角，勾股定理逆定理，根據題意畫出圖形，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠AOC=∠AOB=90°即可求解，掌握勾股定理逆定理的應用是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，OA=40×2=80海里，OB=OC=30×2=60海里，AB=AC=100，∵OA2+O∴∠AOC=∠AOB=90°，∴點B、O、C三點共線，∵∠1=46°，∴∠5=90°?46°=44°，∵∠2=∠5，∴∠2=44°，∴乙船的航向為南偏東44°或北偏西44°，故選：C．【變式8-1】（24-25八年級·黑龍江大慶·期末）筆直的河流一側有一旅游地C，河邊有兩個漂流點A，B．其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點H（A，H，B在同一直線上），并新修一條路CH，測得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．則原路線AC＝【答案】256/【分析】先根據勾股定理的逆定理說明△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，設AC=AB=x千米，則AH=AB?BH=x?3千米，最后在Rt【詳解】解：∵在△CHB中，CH∴CH∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；設AC=AB=x千米，則AH=AB?BH=x?3在Rt△ACH中，由已知得AC=x由勾股定理得：AC∴x2=x?32+故答案為256【點睛】本題主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知識點，掌握勾股定理的逆定理和定理是解決本題的關鍵．【變式8-2】（24-25八年級·遼寧鞍山·期末）如圖，學校在校園圍墻邊緣開墾一塊四邊形菜地ABCD，測得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【答案】B【分析】在△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再由勾股定理逆定理判斷△ACD的形狀，由三角形面積公式求得菜地的面積．【詳解】解：連接AC在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9m，BC=12AC=在△ACD中，CD=8m，AD=17A∴A∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90∴S∴這塊菜地的面積是114故選：B

【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理的應用，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式8-3】（24-25八年級·吉林四平·期末）如圖①是超市的兒童玩具購物車，圖②為其側面簡化示意圖．測得支架AC=24cm，CB=18cm，兩輪中心的距離(1)連接AB，則△ABC是__________三角形，請寫出推理過程．(2)點C到AB的距離是__________cm．【答案】(1)直角，見解析(2)72【分析】本題考查了三角形的面積公式，勾股定理的逆定理，點到直線的距離，解題的關鍵是正確的識別圖形．（1）過點C作CE⊥AB于點E，則CE的長即點C到AB的距離，根據勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形；（2）根據三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】（1）解：過點C作CE⊥AB于點E，則CE的長即點C到AB的距離，在△ABC中，∵AC=24cm，CB=18cm，∴AC2+C∴AC∴△ABC為直角三角形；（2）∵S∴AC?BC=CE?AB，即24×18=CE×30，∴CE=24×18【考點9勾股定理的應用】【例9】（24-25八年級·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱．現為擴建開挖某段干渠，如圖，欲從干渠某處A向C地、D地、B地分流（點C，D，B位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再從D地修了一條筆直的水渠DH與支渠AB在點H處連接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的長度．（結果保留根號）(2)若修水渠DH每千米的費用是0.7萬元，那么修完水渠DH需要多少萬元？【答案】(1)3(2)2.1萬元【分析】本題考查了勾股定理的應用以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）由勾股定理求出BC=8km，則CD=3km，再由勾股定理求出（2）由△ABD的面積求出DH的長，即可解決問題．【詳解】（1）解：由題意可知：AC⊥CB，∴∠C=90°，∵AC=6km，AB=10∴BC=A∴CD=BC?BD=8?5=3km∴AD=A答：公路AD的長度為35（2）∵AC⊥BC，∴S∴BD?AC=AB?DH，∴DH=BD?AC∴修建林蔭小道DH需要的費用為3×0.7=2.1萬元．【變式9-1】（24-25八年級·福建福州·期中）《九章算術》中“勾股”一章有記載：今有