2024~2025學年下學期高二年級3月月考數學試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區域無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內容：選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章~第七章．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若函數，則（）A.3 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】求導可得，即可得結果.【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.2.某校舉辦運動會，某班級打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，則不同的選派方法數為（）A.20 B.35 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法原理結合條件即得.【詳解】根據分步乘法原理由題可得不同的選派方法數為(種).故選：D.3.設隨機變量，則值為（）A.1.2 B.1.8 C.2.4 D.3.6【答案】C【解析】【分析】由二項分布的方差公式計算．【詳解】．故選：C．4.已知函數，則的極小值點為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】的定義域為R，求導得，分析的符號，的單調性，極值點，即可得出答案．【詳解】解：的定義域為R，，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，在上，單調遞增，所以是的極小值點，故選：B．5.甲，乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結果相互獨立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進行了3局的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設相應事件，根據獨立事件概率求法求，，進而求條件概率.【詳解】設甲獲勝事件A，比賽進行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6.設，則（）A.120 B.84 C.56 D.36【答案】A【解析】【分析】根據給定的展開式特征，列出的表達式，再利用組合數性質計算作答.【詳解】由題意可知：，故選：A7.為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（）種.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用分類與分步計數原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學校和甲、丙不在同一所學校兩類，每類分別討論，最后相加得到結果.【詳解】先將丙安排在一所學校，有種分法；若甲、丙在同一所學校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學校（記為X校），分別對應有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學校或不在同一所學校），共種排法；若甲、丙不在同一所學校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.8.已知定義在R上的函數的導函數為，且滿足，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數滿足，構造函數，得出的單調性，解不等式即可.【詳解】令，則，所以在R上單調遞增，由，得，即，又在R上單調遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有8項B.展開式中的常數項是70C.展開式中各項系數之和為0D.展開式中的二項式系數之和為64【答案】BC【解析】【分析】利用二項式定理和二項式系數的性質判斷各選項.【詳解】的展開式共有9項，故A錯誤；展開式中的常數項為，故B正確；令，則展開式中各項系數之和，故C正確；展開式中的二項式系數之和為，故D錯誤.故選：BC10.若隨機變量服從兩點分布，其中，、分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】寫出隨機變量的分布列，利用兩點分布的期望和方差以及期望的性質可判斷各選項.【詳解】由題意可知，隨機變量的分布列如下表所示：所以，，，，.故選：ABD.11.已知函數，則（）A.當時，函數的減區間為B.當時，函數的圖象是中心對稱圖形C.若是函數的極大值點，則實數a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數a的取值范圍為【答案】AB【解析】【分析】對函數求導根據可判斷A正確，由中心對稱圖形定義可判斷B正確，利用極值點定義與導函數零點之間的關系即可判斷C錯誤，將切線條數轉化成方程根的個數，再構造函數求得函數圖象交點個數可判斷D錯誤.【詳解】由，對于A選項，當時，，可得函數的減區間為，增區間為，故A選項正確；對于B選項，當時，，又由，可得函數的圖象關于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當時，是函數的極小值點；當時，令，可得或，若是函數的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數的減區間為，增區間為，又由時，；時，；及，可知當時，關于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．【點睛】關鍵點點睛：在求解D選項切線條數時，關鍵是將切線條數轉化成方程根的個數，再構造函數求得函數圖象交點個數即可得出結果.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量，若，則實數的值為______．【答案】1【解析】【分析】根據正態分布性質得到方程，解出即可.【詳解】由正態分布的性質可知，解得．故答案為：1.13.已知函數，，則的最小值為________________.【答案】【解析】【分析】求導后結合正弦函數的取值分析即可.【詳解】因為，令，可得，而，，所以，，函數單調遞減；，，函數單調遞增，所以時函數最小為值，所以函數在的最小值分別為.故答案為：.14.商場里有兩個餐館，已知小明每天中午都會在這兩個餐館中選擇一個就餐，如果小明當天選擇了某個餐館，他第二天會有的可能性換另一個餐館就餐，假如第1天小明選擇了餐館，則第31天選擇餐館的概率為__________．【答案】【解析】【分析】根據全概率公式可得出，可得出，由此可得出數列為等比數列，求得數列的通項公式，即可求得.【詳解】設小明在第天選擇餐館的概率為，由題意可知，所以，且，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，故．故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．15.已知函數在點處的切線斜率為，且在處取得極值．（1）求函數的解析式；（2）當時，求函數的最值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義及點在曲線上，結合函數極值的定義即可求解；（2）利用導數法求函數的最值的步驟即可求解.【小問1詳解】因為，所以，由題意可知，，，，所以，解得，，，所以函數的解析式為，經檢驗適合題意，所以；【小問2詳解】由（1）知，令，則，解得，或，當時，；當時，；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，取的極大值為，當時，取得極小值為，又，，所以，．16.某大學社團共有8名大學生，其中男生4人，女生4人，從這8名大學生中任選4人參加比賽．（1）設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件，求；（2）設所選的4人中男生和女生的人數分別為，記，求隨機變量的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）先求出，，從而利用條件概率公式求出概率；（2）求出的可能取值和對應的概率，得到分布列，求出數學期望.【小問1詳解】男生甲沒有被選中，則從剩余的7人中任選4人，故，男生甲沒有被選中，且女生乙被選中，則從剩余的6人中選擇3人，故，所以；【小問2詳解】的情況一共有，故的可能取值為4,2,0，當時，即選擇了4名男生或4名女生，則，當時，即選擇了3名男生和1名女生或3名女生和1名男生，則，當時，即選擇了2名男生和2名女生，則，故隨機變量的分布列為420數學期望為.17.用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數.（1）在組成的五位數中，所有偶數的個數有多少?（2）在組成的五位數中，若從小到大排列，30214排第幾個?（3）在組成的五位數中，數字2和3相鄰的個數有多少?【答案】（1）60（2）51（3）36【解析】【分析】（1）將所有的偶數分為首位即最高位和末尾數均為偶數的數以及首位即最高位為奇數、末尾為偶數的數兩類，先依次排首位和末尾，再排剩下中間三位數即可得解（2）1或2排在首位的數較小，所以先求1或2排在首位的數的個數，再找出3在首位的接下來的三個數即可得解.（3）先將數字2和3捆綁在一起作為一個整體，相當于現有4個數字在排列，根據最高位不為0，其余任意排即可求解.【小問1詳解】由題在組成的五位數中，所有的偶數有兩類：第一類是首位即最高位和末尾數均為偶數的數共有個，第二類是首位即最高位為奇數、末尾為偶數的數共有個，所以在組成的五位數中，所有偶數的個數有.【小問2詳解】1或2排在首位的數共有個，則接下來按從小到大排列的數是，所以在組成的五位數中，若從小到大排列，30214排第51個.【小問3詳解】將數字2和3捆綁在一起作為一個整體，根據最高位不為0可得在組成的五位數中，數字2和3相鄰的個數有個.18.甲、乙兩人為了提升籃球的競技水平，進行投籃比賽.已知甲和乙每次進球的概率分別是和，且每人每次進球與否互不影響.制定比賽規則如下：一輪比賽，甲、乙雙方需各投籃3次.一輪比賽結束后，當一方的進球數比另一方的進球數至少多2個時，則該方獲勝并得1分，另一方不得分.其他情況，雙方均不得分.（1）若，（i）假設甲、乙兩人各投籃一次，求至少有一人進球的概率；（ii）求在一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率.（2）若，問至少進行多少輪比賽后，乙累計得分的期望值達到3分？【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據條件，利用相互獨立事件和對立事件的概率公式，即可求出結果；（ii）記事件：甲進球個，乙進球個或個，事件：甲進球個，乙進球個，分別求出事件和事件的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可求出結果；（2）根據條件求出一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率，設輪比賽后，乙累計得分為，則，再根據條件，即可求出結果.【小問1詳解】（i）因為甲和乙每次進球的概率分別是和，所以甲、乙兩人各投籃一次，至少有一人進球的概率為.（ii）由題知甲進球個，乙進球個或個，或甲進球個，乙進球個，乙獲得1分，記事件：甲進球個，乙進球個或個，事件：甲進球個，乙進球個，事件表示乙獲得1分，則，，易知互斥，所以.【小問2詳解】因為一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率為，設輪比賽后，乙累計得分為，則，由題知，又，函數在上單調遞增，所以，由，得到，所以至少進行輪比賽后，乙累計得分的期望值達到3分，此時.【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于第（2）問，利用相互獨立事件的概率公式求出一輪比賽結束后，乙獲得1分的概率，從而得到輪比賽后，乙累計得分滿足，再根據條件，即可求解.19.已知函數，.（1）討論的單調區間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）1（3）【解析】【分析】（1）求得導函數，并對分和討論，即可判斷函數的單調性；（2）設切點為，結合導數的幾何意義可得，令，轉化為僅一個零點，利用導數判斷求解；（3）根據導數的幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構造函數，由切線與有且只有一個公共點轉化為僅一個零點，并求得導函數，對分類討論，即可判斷函數的單調性和最值，進而求得正數的取值范圍．【小問1詳解】由，，當時，，在單調遞增，當時，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，綜上，當時，在單調遞增，無單調減區間；當時，在區間上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】設切點