北京市育才校2023-2024學年中考數學最后一模試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

2.如圖，M是AABC的邊BC的中點，AN平分NBAC,BN_LAN于點N,且AB=10,BC=15,MN=3,則AC的長

是（）

A.12B.14C.16D.18

3.學習全等三角形時，數學興趣小組設計并組織了“生活中的全等”的比賽，全班同學的比賽結果統計如下表:

得分（分）60708090100

人數（人）7121083

則得分的眾數和中位數分別為（）

A.70分，70分B.80分，80分C.70分，80分D.80分，70分

4.剪紙是水族的非物質文化遺產之一，下列剪紙作品是中心對稱圖形的是（）

c.D.

5.如圖，ABLCD,且AB=C￡>.E、/是A加上兩點，CE1AD,3尸_LAO.若CE=。，BF=b,EF=c,

則4。的長為（）

A.a+cB.b+cC.ci—b+cD.a+b-c

6.如圖，剪兩張對邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉動其中一張，重合部分構成一個四邊形，則下列

結論中不一定成立的是（）

A.ZABC=Z.ADCtNBAD=NBCDB.AB=BC

C.AB=CDtAD=BCD.ZDAB+ZBCD=\^°

7.如圖，半徑為3的。A經過原點O和點C(0,2),B是y軸左側。A優弧上一點，則tanNOBC為()

A.-B.2aC.—D.

3、43

8.一個盒子內裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出

一個球，則兩次都摸到白球的概率是（）

1111

A.-B.-C.—D.—

24612

9.下列說法正確的是（）

A.“買一張電影票，座位號為偶數”是必然事件

B.若甲、乙兩組數據的方差分別為S甲2=o.3,S乙2=0」，則甲組數據比乙組數據穩定

C.一組數據2,4,5,5,3,6的眾數是5

D.一組數據2,4,5,5,3,6的平均數是5

10.已知函數y=a/+方x+c的圖象如圖所示，則關于x的方程or2+》x+c?4=0的根的情況是

A.有兩個相等的實數根B.有兩個異號的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

[2x+y=4

11.已知方程組（U，則x+y的值為______.

[x+2y=5

12.一組數據10,10,9,8,x的平均數是9,則這列數據的極差是___.

13.如甌正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是。。的內接多邊形，則NBOM=.

14.如圖，ABC的頂點落在兩條平行線上，點D、E、F分別是.ABC三邊中點，平行線間的距離是8,BC=6,

移動點A,當CD=BD時，EF的長度是______.

15.如果等腰三角形的兩內角度數相差45。，那么它的頂角度數為.

16.若-2a“'b4與5a沖向是同類項，則m+n=.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）小哈家客廳裝有一種三位單極開關，分別控制著4樓梯）、8（客廳）、C（走廊）三盞電燈，在正常情況下，小

哈按下任意一個開關均可打開對應的一盞電燈，既可三盞、兩盞齊開，也可分別單盞開.因剛搬進新房不久，不熟悉

情況.若小哈任意按下一個開關，正好嘍梯燈亮的概率是多少？若任意按下一個開關后，再按下另兩個開關中的一個,

則正好客廳燈和走廊燈同時亮的概率是多少？請用樹狀圖或列表法加以說明.

18.（8分）某地一路段修建，甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做5天，再由甲、乙兩隊合作9天，共

完成這項工程的三分之一.

（1）求甲、乙兩隊合作完成這項工程需要多少天？

（2）若甲隊的工作效率提高20%,乙隊工作效率提高50%,甲隊施工1天需付工程款4萬元，乙隊施工一天需付工

程款2.5萬元，現由甲乙兩隊合作若干天后，再由乙隊完成剩余部分，在完成此項工程的工程款不超過190萬元的條

件下要求盡早完成此項工程，則甲、乙兩隊至多要合作多少天？

19.（8分）雅安地震，某地駐軍對道路進行清理.該地駐軍在清理道路的工程中出色完成了任務.這是記者與駐軍工

程指揮部的一段對話：記者：你們是用9天完成4800米長的道路清理任務的？

指揮部：我們清理600米后，采用新的清理方式，這樣每天清理長度是原來的2倍.

通過這段對話.請你求出該地駐軍原來每天清理道路的米數.

20.（8分）北京時間2019年3月10日。時28分，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭，成功將中星6C

衛星發射升空，衛星進入預定軌道.如圖，火星從地面C處發射，當火箭達到4點時，從位于地面雷達站。處測得D4

的距離是6初2,仰角為42.4。；1秒后火箭到達3點，測得。3的仰角為45.5。.（參考數據：sin42.4%0.67,cos42.430.74,

tan42.4。汕.905,sin45.530.71,cos45.5~.70,121145.5。=1.02）求發射臺與雷達站之間的距離。。；求這枚火箭從A到"

的平均速度是多少（結果精確到0.01）?

21.（8分）如圖，已知在RSABC中，ZACB=90°,AOBC,CD是RtAABC的高，E是AC的中點，ED的延

長線與CB的延長線相交于點F.求證：DF是BF和CF的比例中項；在AB上取一點G,如果AE?AC=AG?AD,求

證：EG?CF=ED?DF.

22.（10分）已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上一點，且DE=BF.求證:

EA±AF.

23.（12分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，且BF=DE.

求證：AE/7CF.

24.畫出二次函數y=（x-1產的圖象.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、C

【解析】

主視圖就是從正面看，看列數和每一列的個數.

【詳解】

解：由圖可知，主視圖如下

故選C.

【點睛】

考核知識點：組合體的三視圖.

2、C

【解析】

A

???4N平分NR4C,：?/BAN=NEAN.

在△AAN與△AEN中，

???NBAN=NEAN,AN=AN,NANB=/ANE=90。，

???A￡=AB=10,BN=NE.

又VM是^ABC的邊〃。的中點，:.CE=2MN=2x3=6,

???AC=AE+CE=10+6=16.故選C.

3、C

【解析】

解：根據表格中的數據，可知70出現的次數最多，可知其眾數為70分；把數據按從小到大排列，可知其中間的兩個

的平均數為80分，故中位數為80分.

故選C.

【點睛】

本題考查數據分析.

4、D

【解析】

根據把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，

這個點叫做對稱中心進行分析即可.

【詳解】

解：A、不是中心對稱圖形，故此選項緒誤；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、是中心對稱圖形，故此選項正確；

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義.

5、D

【解析】

分析：

詳解：如圖,

r廠?

VAB±CD,CE±AD,

AZ1=Z2,

又???N3=N4,

.?.1800-Zl-Z4=180°-Z2-Z3,

即NA=/C.

VBF±AD,

/.ZCED=ZBFD=90°,

VAB=CD,

AAABF^ACDE,

AAF=CE=a,ED=BF=b,

又???EF=c,

AAD=a+b-c.

故選:D.

點睛：本題主要考查全等三角形的判定與性質，證明AABFgZ\CDE是關鍵.

6、D

【解析】

首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條紙條寬度相同；再由平行四邊形的等積轉換可得鄰邊相等,則四邊形ABCD

為菱形.所以根據菱形的性質進行判斷.

【詳解】

四邊形A〃C力是用兩張等寬的紙條交叉重疊地放在一起而組成的圖形,

/.AB//CD,AD//BC,

「?四邊形ABCO是平行四邊形（對邊相互平行的四邊形是平行四邊形）；

過點。分別作8C,CO邊上的高為4E,4F.則

AE=AF（兩紙條相同，紙條寬度相同）；

平行四邊形ABC。中，SNBC=SMCD，BCXAE=CDXAFF

:.BC=CD,即A3=8C?故5正確；

???平行四邊形A3CQ為菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

/.ZABC=ZADCtZBAD=ZBCD（菱形的對角相等），故A正確；

AB=CD,AD=BC（平行四邊形的對邊相等），故。正確；

如果四邊形ABCQ是矩形時，該等式成立.故。不一定正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質.注意：“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，而非“鄰邊相等的四邊形是菱形”.

7、C

【解析】

試題分析：連結CD,可得CD為直徑，在RSOCD中，CD=6,OC=2,根據勾股定理求得OD=4J,

所以tan/CDO=X二，由圓周角定理得，ZOBC=ZCDO,則tanNOBC=X;，故答案選C.

44

考點：圓周角定理；銳角三角函數的定義.

8、C

【解析】

畫樹狀圖求出共有12種等可能結果，符合題意得有2種，從而求解.

【詳解】

解：畫樹狀圖得：

開始

紅球白白

/K八/T\/N

球白白紅白白紅球白紅綠白

???共有12種等可能的結果，兩次都摸到白球的有2種情況，

21

???兩次都摸到白球的概率是：—

126

故答案為C.

【點睛】

本題考查畫樹狀圖求概率，掌握樹狀圖的畫法準確求出所有的等可能結果及符合題意的結果是本題的解題關鍵.

9、C

【解析】

根據確定性事件、方差、眾數以及平均數的定義進行解答即可.

【詳解】

解：A、買一張電影票，座位號為偶數”是隨機事件，此選項錯誤；

B、若甲、乙兩組數據的方差分別為S甲2=0.3,S乙2=0.1,則乙組數據比甲組數據穩定，此選項錯誤；

C、一組數據2,4,5,5,3,6的眾數是5,此選項正確；

25

D、一組數據2,4,5,5,3,6的平均數是十，此選項錯誤；

6

故選：C.

【點睛】

本題考查了必然事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件

下，可能發生也可能不發生的事件.

10、A

【解析】

22

根據拋物線的頂點坐標的縱坐標為4,判斷方程ax+bx+c-4=0的根的情況即是判斷函數y=ax+bX+c的圖象與直線

y=4交點的情況.

【詳解】

???函數的頂點的縱坐標為4,

，直線y=4與拋物線只有一個交點，

?'?方程ax2+bx+c-4=0有兩個相等的實數根，

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數與一元二次方程，熟練掌握一元二次方程與二次函數間的關系是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、1

【解析】

方程組兩方程相加即可求出x+y的值.

【詳解】

2x+y=4?

x+2y=5②’

①+?得：1(x+y)=9,

則x+y=l.

故答案為：1.

【點睛】

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

12、1

【解析】

先根據平均數求出x,再根據極差定義可得答案.

【詳解】

10+10+9+8+x

由題意知

解得：x=8>

，這列數據的極差是10-8=1,

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查平均數和極差，熟練掌握平均數的計算得出x的值是解題的關鍵.

13、48°

【解析】

連接OA,分別求出正五邊形ABCDE和正三角形AMN的中心角，結合圖形計算即可.

【詳解】

連接OA,

,360°

AZAOB=-------=72°,

5

「△AMN是正三角形，

,360°

AZAOM=------=120。，

3

:.ZBOM=ZAOM-ZAOB=48°,

故答案為48。.

點睛：本題考查的是正多邊形與圓的有關計算，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關鍵.

14、1

【解析】

過點D作DH_LBC于點H,根等腰三角形的性質求得BD的長度，繼而得到AB=2BD,結合三角形中位線定理求

得EF的長度即可.

【詳解】

解：如圖，過點D作DH_LBC于點H,

過點D作DHJLBC于點H,BC=6,

BH=CH=3.

又平行線間的距離是8,點D是AB的中點，

.?.DH=4,

???在直角?BDH中，由勾股定理知，BD=>/DH2+BH2=742+32=5-

點D是AB的中點，

/.AB=2BD=I().

又點E、F分別是AC、BC的中點,

.?.EF是ABC的中位線,

EF=-AB=5.

17

故答案是：1.

【點睛】

考查了三角形中位線定理和平行線的性質，解題的關鍵是根據平行線的性質求得DH的長度.

15、90°或300?

【解析】

分兩種情況討論求解：頂角比底角大45。；頂角比底角小45。.

【詳解】

設頂角為x度，則

當底角為-45。時，2(x°-45°)+x°=180°,

解得x=90°,

當底角為x0+45。時，2(x°+45°)+x°=180°,

解得x=30°,

，頂角度數為90。或30。.

故答案為：90。或30。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的兩個底角相等即分類討論的數學思想，解答本題的關鍵是分頂角比底角大45。或頂角比底角

小45。兩種情況進行計算.

16、-1.

【解析】

試題分析：根據同類項是字母相同且相同字母的指數也相同，可得方程組，根據解方程組，可得m、n的值，根據有

理數的加法，可得答案.

試題解析：由?2amb4與5a2b"7是同類項，得

解得最

m+n=-l.

考點：同類項.

三、解答題(共8題，共72分)

17>(1)-i(2)

33

【解析】

試題分析：(1)、3個等只有一個控制樓梯，則概率就是H3；(2)、根據題意畫出樹狀圖，然后根據概率的計算法則得

出概率.

試題解析：(1)、小啥任意按下一個開關，正好樓梯燈亮的概率是：!

(2)、畫樹狀圖得：

開始

/A\zB\/\C

BC4CAB

結果：(A,B)、(A,CX(B,A)>(B,C)>(C,A)、(C,B)

???共有6種等可能的結果，正好客廳燈和走廊燈同時亮的有2種情況，

21

，正好客廳燈和走廊燈同時亮的概率是％=3.

考點：概率的計算.

18、(1)甲、乙兩隊合作完成這項工程需要36天；(2)甲、乙兩隊至多要合作7天

【解析】

(1)設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要x天，根據條件：甲隊先做5天，再由甲、乙合作9天，共完成總工作量的

,,列方程求解即可；

?

3

(2)設甲、乙兩隊最多合作元天，先求出甲、乙兩隊合作一天完成工程的多少，再根據完成此項工程的工程款不超過

190萬元，列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】

(1)設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要x天

根據題意得，..?

解得x=36,

經檢驗x=36是分式方程的解，

答：甲、乙兩隊合作完成這項工程需要36天,

⑵

toQ一例

設甲、乙需要合作y天，根據題意得，

(4+2J)口?25x七總------4/兆

解得y<7

答：甲、乙兩隊至多要合作7天.

【點睛】

本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關

系，列方程求解，注意檢驗.

19、1米.

【解析】

試題分析：根據題意可以列出相應的分式方程，然后解分式方程，即可得到結論.

試題解析：解：設原來每天清理道路x米，根據題意得：

6004800-600八

——+---------------=9

x2x

解得，x=l.

檢驗：當X=1時，2/0,?..x=l是原方程的解.

答：該地駐軍原來每天清理道路1米.

點睛：本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是明確分式方程的解答方法，注意分式方程要驗根.

20、(I)發射臺與雷達站之間的距離CO約為4.44初?；(II)這枚火箭從A到8的平均速度大約是0.51初?/s.

【解析】

(I)在RIAACD中，根據銳角三角函數的定義，利用NADC的余弦值解直角三角形即可;(II)在RtABCD和RSACD

中，利用NBDC的正切值求出BC的長，利用NADC的正弦值求出AC的長，進而可得AB的長，即可得答案.

【詳解】

CD

(I)在RzcACQ中，DA=6km,ADC=42.4°,cosZADC=-------0.74,

AD

:.CD=AD-cos/ADC=6xcos42A°?4.44(km).

答：發射臺與雷達站之間的距離C。約為4.44切?.

(II)在RtBCD中，CD=4.44km,NBDC=45.5。，3〃N8OC=空,

:.BC=CDtanNBDC=4.44x/w?45.5。?4.44x1.02=4.5288(km).

Ar

V在RtaACD中，sin^ADC=--,

AD

/.AC=AD-sin/ADC=6xs%42.4°?4.02(km).

???AB=BC-AC=4.5288-4.02=0.5088?0.51(km).

答：這枚火箭從A到3的平均速度大約是0.51加/s.

【點睛】

本題考直解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題關鍵.

21、證明見解析

【解析】

試題分析：(1)根據已知求得NBDF=NBCD,再根據NBFD=NDFC,證明△BFDs^DFC,從而得BF：DF=DF：

FC,進行變形即得；

EGBF

(2)由已知證明△AEGsaADC,得到NAEG=NADC=90。，從而得EG〃BC,繼而得一=—,

EDDF

由(1)可得=，從而得黑二第，問題得證.

DFCFEDCF

試題解析：(1)VZACB=90°,/.ZBCD+ZACD=90°,

〈CD是RtAABC的高，.,.ZADC=ZBDC=90°,AZA+ZACD=90°,.\ZA=ZBCD,

YE是AC的中點，

ADE=AE=CE,