人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE12.1.2兩條直線平行和垂直的判定課標要求素養要求1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能應用兩條直線平行或垂直解決有關問題.通過學習兩條直線平行與垂直的判定，提升數學抽象、數學運算及邏輯推理素養.新知探究過山車是一種富有刺激性的娛樂工具.實際上，過山車的運動包含了許多數學、物理學原理.過山車的兩條鐵軌是永遠平行的軌道，它們依靠一根根巨大且垂直于地面的鋼筋支撐著.你能感受到過山車中的平行和垂直嗎？兩條直線的平行與垂直又用什么來刻畫呢？問題當直線m與直線n平行或垂直時它們對應的斜率有怎樣的關系？〖提示〗當兩直線平行時它們對應的斜率k1＝k2.當兩直線垂直時它們對應的斜率的乘積k1k2＝－1.特別地，當兩直線的斜率都不存在時兩直線也平行.當一條直線斜率為0，另一條直線的斜率不存在時兩直線垂直.1.兩條不重合直線平行的判定要特別注意兩種特殊情況①兩直線重合時不平行②斜率是否存在類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示2.兩條直線垂直的判定要注意直線的斜率是否存在，否則要進行討論圖示對應關系l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2拓展深化〖微判斷〗1.如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為－1.(×)〖提示〗當一條直線斜率不存在，另一條直線的斜率為0時兩直線也垂直.2.若點A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，則b＝3.(×)〖提示〗由AB∥CD，得kAB＝kCD，即eq\f(3－2,1－（－1）)＝eq\f(b－1,2－0)，∴b＝2.〖微訓練〗1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，則直線AB與直線CD()A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正確〖解析〗由題意知kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，∴kAB＝kCD，又A，B，C，D不共線，∴兩直線平行.〖答案〗A2.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，則k2＝________.〖解析〗∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，又∵k1＝2，∴k2＝－eq\f(1,2).〖答案〗－eq\f(1,2)〖微思考〗1.如果兩條直線平行，則這兩條直線的斜率一定相等嗎？〖提示〗不一定，也可能兩條直線的斜率都不存在.2.若兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線都與x軸垂直嗎？〖提示〗當兩條直線的斜率都不存在時，這兩條直線都垂直于x軸.題型一兩條直線平行的判定及應用〖例1〗根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行.(1)l1經過點A(2，3)，B(－4，0)；l2經過點M(－3，1)，N(－2，2)；(2)l1的斜率為－eq\f(1,2)；l2經過點A(4，2)，B(2，3)；(3)l1平行于y軸；l2經過點P(0，－2)，Q(0，5)；(4)l1經過點E(0，1)，F(－2，－1)；l2經過點G(3，4)，H(2，3).解(1)∵kAB＝eq\f(3－0,2－（－4）)＝eq\f(1,2)，kMN＝eq\f(2－1,－2－（－3）)＝1，kAB≠kMN，∴l1與l2不平行.(2)∵k1＝－eq\f(1,2)，k2＝eq\f(3－2,2－4)＝－eq\f(1,2)，即k1＝k2，∴l1與l2平行或重合.(3)由題意知，l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，∴l1∥l2.(4)由題意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，∴l1與l2平行或重合，又kFG＝eq\f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，∴E，F，G，H四點共線，∴l1與l2重合.規律方法判斷兩條不重合直線是否平行的步驟特別提醒在證明(判斷)兩直線平行時，要區分平行與重合，必須強調不共線才能確定平行，因為兩直線重合也可以推出兩條直線的斜率相等.〖訓練1〗已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分別為AC，BC的中點，求直線EF的斜率.解∵E，F分別為AC，BC的中點，∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.故直線EF的斜率為－2.題型二兩條直線的垂直關系角度1兩條直線垂直關系的判定〖例2－1〗判斷下列各小題中l1與l2是否垂直.(1)l1經過點A(－1，－2)，B(1，2)；l2經過點M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率為－10；l2經過點A(10，2)，B(20，3)；(3)l1經過點A(3，4)，B(3，10)；l2經過點M(－10，40)，N(10，40).解(1)∵k1＝eq\f(2－（－2）,1－（－1）)＝2，k2＝eq\f(1－（－1）,2－（－2）)＝eq\f(1,2)，k1k2＝1，∴l1與l2不垂直.(2)∵k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的橫坐標相等得l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸.k2＝eq\f(40－40,10－（－10）)＝0，則l2∥x軸，∴l1⊥l2.角度2兩條直線垂直關系的應用〖例2－2〗已知直線l1經過點A(3，a)，B(a－1，2)，直線l2經過點C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.解設直線l2的斜率為k2，則k2＝eq\f(2－（a＋2）,1－（－2）)＝－eq\f(a,3).①當a＝4時，l1的斜率不存在，k2＝－eq\f(4,3)，不符合題意；②當a≠4時，l1的斜率存在，此時k1＝eq\f(2－a,a－4).由k1·k2＝－1，得－eq\f(a,3)·eq\f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴當a＝3或a＝－4時，l1⊥l2.規律方法使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第二步.(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數時，應注意對參數進行討論.〖訓練2〗已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC邊上的高所在直線的斜率與傾斜角.解設BC邊上的高所在直線的斜率為k，則有k·kBC＝－1.∵kBC＝eq\f(2－1,0－（－1）)＝1，∴k＝－1.∴BC邊上的高所在直線的傾斜角為135°.題型三平行與垂直的綜合應用〖例3〗已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定四邊形ABCD的形狀.解A，B，C，D四點在坐標平面內的位置如圖：由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD與BC不平行.又kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形.規律方法利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟〖訓練3〗已知點A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求點D的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時針方向排列).解設所求點D的坐標為(x，y)，如圖所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角邊.(1)若CD是直角梯形的直角腰，則BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，從而有x＝3.又kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3，此時AB與CD不平行，故所求點D的坐標為(3，3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，則AD⊥AB，AD⊥CD，∵kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得x＝eq\f(18,5)，y＝eq\f(9,5)，∴D點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).綜上，D點坐標為(3，3)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).一、素養落地1.通過本節課的學習，重點提升數學抽象、數學運算與邏輯推理素養.2.兩直線平行或垂直的判定方法斜率直線斜率均不存在平行或重合一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合積為－1垂直3.在兩條直線平行或垂直關系的判斷中體會分類討論的思想.二、素養訓練1.已知A(2，0)，B(3，3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于()A.－3 B.3C.－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)〖解析〗因為直線l∥AB，所以k＝kAB＝eq\f(3－0,3－2)＝3.〖答案〗B2.若經過點(3，a)，(－2，0)的直線與經過點(3，－4)且斜率為eq\f(1,2)的直線垂直，則a的值為()A.eq\f(5,2) B.eq\f(2,5)C.10 D.－10〖解析〗由題意知eq\f(a－0,3－（－2）)＝－2，∴a＝－10.〖答案〗D3.若直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2，且l1⊥l2，則有()A.α1－α2＝90° B.α2－α1＝90°C.|α2－α1|＝90° D.α1＋α2＝180°〖解析〗兩直線垂直，則它們的傾斜角的絕對值相差90°.〖答案〗C4.以點A(1，3)，B(－5，1)為端點的線段的垂直平分線的斜率為________.〖解析〗∵kAB＝eq\f(1－3,－5－1)＝eq\f(1,3)，∴線段垂直平分線的斜率為－3.〖答案〗－35.已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求頂點D的坐標.解設D(m，n)，由題意，得AB∥DC，AD∥BC，則有kAB＝kDC，kAD＝kBC.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝4.))∴頂點D的坐標為(3，4).2.1.2兩條直線平行和垂直的判定課標要求素養要求1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能應用兩條直線平行或垂直解決有關問題.通過學習兩條直線平行與垂直的判定，提升數學抽象、數學運算及邏輯推理素養.新知探究過山車是一種富有刺激性的娛樂工具.實際上，過山車的運動包含了許多數學、物理學原理.過山車的兩條鐵軌是永遠平行的軌道，它們依靠一根根巨大且垂直于地面的鋼筋支撐著.你能感受到過山車中的平行和垂直嗎？兩條直線的平行與垂直又用什么來刻畫呢？問題當直線m與直線n平行或垂直時它們對應的斜率有怎樣的關系？〖提示〗當兩直線平行時它們對應的斜率k1＝k2.當兩直線垂直時它們對應的斜率的乘積k1k2＝－1.特別地，當兩直線的斜率都不存在時兩直線也平行.當一條直線斜率為0，另一條直線的斜率不存在時兩直線垂直.1.兩條不重合直線平行的判定要特別注意兩種特殊情況①兩直線重合時不平行②斜率是否存在類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線斜率都不存在圖示2.兩條直線垂直的判定要注意直線的斜率是否存在，否則要進行討論圖示對應關系l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?k1·k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2拓展深化〖微判斷〗1.如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為－1.(×)〖提示〗當一條直線斜率不存在，另一條直線的斜率為0時兩直線也垂直.2.若點A(－1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且AB∥CD，則b＝3.(×)〖提示〗由AB∥CD，得kAB＝kCD，即eq\f(3－2,1－（－1）)＝eq\f(b－1,2－0)，∴b＝2.〖微訓練〗1.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，則直線AB與直線CD()A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正確〖解析〗由題意知kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，∴kAB＝kCD，又A，B，C，D不共線，∴兩直線平行.〖答案〗A2.已知直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，則k2＝________.〖解析〗∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，又∵k1＝2，∴k2＝－eq\f(1,2).〖答案〗－eq\f(1,2)〖微思考〗1.如果兩條直線平行，則這兩條直線的斜率一定相等嗎？〖提示〗不一定，也可能兩條直線的斜率都不存在.2.若兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線都與x軸垂直嗎？〖提示〗當兩條直線的斜率都不存在時，這兩條直線都垂直于x軸.題型一兩條直線平行的判定及應用〖例1〗根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行.(1)l1經過點A(2，3)，B(－4，0)；l2經過點M(－3，1)，N(－2，2)；(2)l1的斜率為－eq\f(1,2)；l2經過點A(4，2)，B(2，3)；(3)l1平行于y軸；l2經過點P(0，－2)，Q(0，5)；(4)l1經過點E(0，1)，F(－2，－1)；l2經過點G(3，4)，H(2，3).解(1)∵kAB＝eq\f(3－0,2－（－4）)＝eq\f(1,2)，kMN＝eq\f(2－1,－2－（－3）)＝1，kAB≠kMN，∴l1與l2不平行.(2)∵k1＝－eq\f(1,2)，k2＝eq\f(3－2,2－4)＝－eq\f(1,2)，即k1＝k2，∴l1與l2平行或重合.(3)由題意知，l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，∴l1∥l2.(4)由題意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，∴l1與l2平行或重合，又kFG＝eq\f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，∴E，F，G，H四點共線，∴l1與l2重合.規律方法判斷兩條不重合直線是否平行的步驟特別提醒在證明(判斷)兩直線平行時，要區分平行與重合，必須強調不共線才能確定平行，因為兩直線重合也可以推出兩條直線的斜率相等.〖訓練1〗已知△ABC中，A(0，3)，B(2，－1)，E，F分別為AC，BC的中點，求直線EF的斜率.解∵E，F分別為AC，BC的中點，∴EF∥AB，∴kEF＝kAB＝eq\f(－1－3,2－0)＝－2.故直線EF的斜率為－2.題型二兩條直線的垂直關系角度1兩條直線垂直關系的判定〖例2－1〗判斷下列各小題中l1與l2是否垂直.(1)l1經過點A(－1，－2)，B(1，2)；l2經過點M(－2，－1)，N(2，1)；(2)l1的斜率為－10；l2經過點A(10，2)，B(20，3)；(3)l1經過點A(3，4)，B(3，10)；l2經過點M(－10，40)，N(10，40).解(1)∵k1＝eq\f(2－（－2）,1－（－1）)＝2，k2＝eq\f(1－（－1）,2－（－2）)＝eq\f(1,2)，k1k2＝1，∴l1與l2不垂直.(2)∵k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(3)由A，B的橫坐標相等得l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸.k2＝eq\f(40－40,10－（－10）)＝0，則l2∥x軸，∴l1⊥l2.角度2兩條直線垂直關系的應用〖例2－2〗已知直線l1經過點A(3，a)，B(a－1，2)，直線l2經過點C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值.解設直線l2的斜率為k2，則k2＝eq\f(2－（a＋2）,1－（－2）)＝－eq\f(a,3).①當a＝4時，l1的斜率不存在，k2＝－eq\f(4,3)，不符合題意；②當a≠4時，l1的斜率存在，此時k1＝eq\f(2－a,a－4).由k1·k2＝－1，得－eq\f(a,3)·eq\f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴當a＝3或a＝－4時，l1⊥l2.規律方法使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟：(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第二步.(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式.(3)求值：計算斜率的值，進行判斷.尤其是點的坐標中含有參數時，應注意對參數進行討論.〖訓練2〗已知△ABC的頂點坐標分別為A(1，2)，B(－1，1)，C(0，2)，求BC邊上的高所在直線的斜率與傾斜角.解設BC邊上的高所在直線的斜率為k，則有k·kBC＝－1.∵kBC＝eq\f(2－1,0－（－1）)＝1，∴k＝－1.∴BC邊上的高所在直線的傾斜角為135°.題型三平行與垂直的綜合應用〖例3〗已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定四邊形ABCD的形狀.解A，B，C，D四點在坐標平面內的位置如圖：由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－（－4）)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2)，∴kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD與BC不平行.又kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四邊形ABCD為直角梯形.規律方法利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟〖訓練3〗已知點A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求點D的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時針方向排列).解設所求點D的坐標為(x，y)，如圖所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角邊.(1)若CD是直角梯形的直角腰，則BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，從而有x＝3.又kAD＝kBC，∴eq\f(y－3,x)＝0，即y＝3，此時AB與CD不平行，故所求點D的坐標為(3，3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，則AD⊥AB，AD⊥CD，∵kAD＝eq\f(y－3,x)，kCD＝eq\f(y,x－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，))解得x＝eq\f(18,5)，y＝eq\f(9,5)，∴D點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5))).綜上，D點坐標為(3，3)或eq