浙江省寧波市“十校”2025屆高三下學期3月聯考數學試卷一、單選題1．已知隨機變量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．92．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，動點滿足方程，則動點軌跡的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．已知函數為偶函數，則（

）A． B． C． D．5．已知，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．6．對空間中的非零向量，記向量，與的夾角為，對，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．在四邊形中，已知，若，則的長度為（

）A．4 B． C．5 D．8．已知函數，對任意，都有恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在二項式的展開式中，前3項的系數成等差數列，則下列結論中正確的是（

）A．B．展開式中所有奇數項的二項式系數和為128C．常數項為D．展開式中系數最大項為第3項和第4項10．已知函數部分圖像如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．的圖像關于直線對稱B．的圖像關于點對稱C．將函數的圖像向左平移個單位得到函數的圖像D．若方程在上有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是11．在棱長為2的正方體中，為面內以為直徑的半圓上的動點，則（

）A．的最大值為B．與平面所成角的最大值的正弦值為C．的最小值為D．二面角的最小值的正切值為三、填空題12．已知復數滿足，則的最小值為．13．已知點為拋物線的焦點，過的直線（傾斜角為銳角）與交于兩點（點在第一象限），交其準線于點，過點作準線的垂線，垂足為，若，則．14．生活中經常會統計一列數據中出現不同數據的個數．設，對于有序數組，記為中所包含的不同整數的個數，比如：，．當取遍所有的個有序數組時，的總和為．四、解答題15．已知函數．(1)化簡，并求的值；(2)在銳角中，內角滿足，求的值．16．在三棱錐中，，為的中點．(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成的角．17．已知函數為自然對數的底數．(1)當時，求函數在點處的切線方程；(2)若不等式對任意恒成立，求的取值范圍．18．已知橢圓的離心率為，且過點．

(1)求橢圓的標準方程；(2)已知點，過點作直線（不與軸重合）交橢圓于，連接交于點，連接，直線與軸交于點．（i）求的值；（ii）若點在線段上，求的取值范圍．19．對于數列，若存在正整數，使得從數列的第項起，恒有成立，則稱數列為第項起的周期為的周期數列．(1)已知數列滿足，且，證明：3是的一個周期．(2)已知數列（其中，不全為0），，證明：存在正整數，使得時，成立，并求出滿足條件的一個周期．(3)已知數列，求證：不是周期數列．參考答案1．D【詳解】因為，所以.故選：D.2．C【詳解】因為集合，則.故選：C.3．C【詳解】表示點到點和點的距離之差的絕對值等于，又因為，所以點是以點和點為焦點的雙曲線，其中焦距，，所以動點軌跡的離心率.故選：C.4．A【詳解】因為函數為偶函數，所以，所以，所以，所以，所以，所以且，則.故選：A.5．B【詳解】，當且僅當時取等.故選：B.6．B【詳解】不妨設對空間中的非零向量都是單位向量，它們的起點都在坐標原點，則終點在單位球面上，當時，對，滿足題設條件對，，這說明的最大值不少于6.下面證明不會超過6.假設有7個以上的向量滿足條件，則存在7個以上的向量終點.總可以找到一個大圓面，不經過任何一個終點，于是這個大圓面的某一側必然有四個以上的終點，不妨設是這樣的四個點，它們在某個大圓面的同一側，且使得所對應的任意兩個向量所成的角不小于直角.將這些向量適當集中一下，可以使得它們兩兩變成直角而不改變在這個大圓的同一側的屬性，這樣一來，這個向量所在的直線是兩兩垂直的，這是不可能的，實際上過同一點兩兩垂直的直線至多有三條，如果還有第四條的話，根據線面垂直的判定定理，必然會和原來三條中的任意兩條所確定的平面垂直，則與第三條重合，這樣就產生了矛盾.至此，我們證明了的最大值確實為6，故選：B.7．D【詳解】如圖，設分別為的中點，則，所以，兩式相加得，①同理可得，②由①②得，③因為為的中點，所以，則，④而，則，⑤由④⑤得，⑥由③⑥可得，即，又因為，所以，所以兩點重合，所以互相平方，所以四邊形為平行四邊形，則，故，即，所以，因為，所以，所以，即.故選：D.8．C【詳解】因為函數，定義域為R，函數，所以函數是奇函數；對任意，都有恒成立，則，所以，化簡得所以或，所以或令，單調遞減，單調遞增，當時，；當時，，當時，；所以，對任意，所以.故選：C.9．ABD【詳解】展開式的通項為，則前3項的系數分別為，對于A，由題意可得，即，解得或（舍去），所以，故A正確；對于B，展開式中所有奇數項的二項式系數和為，故B正確；對于C，展開式的通項為，令，則，所以展開式中常數項為，故C錯誤；對于D，設展開式中第項的系數最大項，則有，解得或，所以展開式中系數最大項為第3項和第4項，故D正確.故選：ABD.10．AB【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以.對于A：當時，，故A正確；對于B：當時，，故B正確；對于C：將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數，，故C錯誤；對于D：當時，，則當，單調遞減；當，單調遞增，因為，，，所以方程在上有兩個不相等的實數根時，的取值范圍是，故D錯誤.故選：AB.11．ACD【詳解】如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，設，對于A，，則，所以的最大值為，故A正確；對于B，因為軸垂直平面，則平面的法向量可取，所以，當且僅當，即時取等號，所以與平面所成角的最大值的正弦值為，故B錯誤；對于C，，則，所以的最小值為，故C正確；對于D，因為軸垂直平面，則平面的法向量可取，，設平面的法向量為，則有，令，則，所以，設二面角為，由圖可知為銳角，則，所以，則，當，即時，取得最小值，所以二面角的最小值的正切值為，故D正確.故選：ACD.12．【詳解】由復數的幾何意義可知，表示復數與對應點之間的距離，所以復數對應的點是以為圓心為半徑的圓，如圖，表示圓上的點到原點的距離，由圖知，的最小值為.故答案為：.13．2【詳解】設所在直線方程為，聯立，得．設，準線交x軸于點M，則，又，，即，聯立，過的直線（傾斜角為銳角），解得（舍)或，則，即，設的傾斜角為，則，由，，，可得；故答案為：2．14．10505【詳解】按的取值分類，當時，有組，當時，有組，當時，有組，當時，有組，當時，有組，所以總和為.故答案為：10505..15．(1)(2)【詳解】（1），所以，所以；（2）因為，所以，所以，又因為且，所以，則，因為，所以，所以.16．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）作于，連接，在中，，則，所以，所以，所以，在中，，所以，則，在中，，又，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）知，，，則即為二面角的平面角，故，又，則，在中，，所以，因為為的中點，所以，則，所以，又平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，又，所以線與平面所成的角為．17．(1)(2)【詳解】（1）當時，，則，則，所以函數在點處的切線方程為，即；（2）當時，恒成立，此時；當時，問題轉化為對任意的恒成立，令，則，令，則，因為，所以，則在上單調遞增，又因為，故當時，則在上單調遞減；當時，則在上單調遞增，所以，所以；當時，問題轉化為對任意的恒成立，仿上設函數，則有，因為，所以，則函數在上單調遞減，所以，故當時，，所以函數在上單調遞減，所以，所以綜上所述，的取值范圍為．18．(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）（i）設，記，則直線，聯立，消得，則，故，則，所以，另一方面直線，聯立，消得，則，所以，由于，得，，所以；（ii）由（i）的結論可知，點為線段的中點，則，不妨設都在軸上方，進一步有，由（i）聯立直線與橢圓的方程得，由韋達定理得，則，因為點在線段上，所以，所以，所以得取值范圍為.

19．(1)證明見解析；(2)證明見解析，；(3)證明見解析.【詳解】（1）由于，①，②由②①得，，即，又，則，故3是的一個周期．（2）由遞推和，，得，，，．（i）若，則，，，，．（ii）若，則，，，，．無論何種情況，都有，．由遞推關系得，會逐漸進入循環，對的自然數，恒有．故