第十二章選修4系列第一節(jié)選修4－2《矩陣與變換》本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.矩陣的運(yùn)算與變換；2.矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量.突破點(diǎn)(一)矩陣的運(yùn)算與變換基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1.矩陣的運(yùn)算(1)[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)).(3)對(duì)于矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11b12,b21b22))，則MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11b12,b21b22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11b11＋a12b21a11b12＋a12b22,a21b11＋a22b21a21b12＋a22b22)).2．矩陣的變換(1)矩陣變換的概念：一般地，對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)(向量)(x，y)，按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)平面點(diǎn)(向量)(x′，y′)，則稱(chēng)T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為T(mén)：(x，y)→(x′，y′)，或T：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′)).(2)幾種常見(jiàn)的平面變換：恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換．考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”矩陣的運(yùn)算[例1](1)已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，C＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0－1))，計(jì)算AB，AC.(2)已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,01))，計(jì)算AB.(3)已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(11),－1－1))，計(jì)算A2，B2.[解](1)AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,00))，AC＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,00)).(2)AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1×0＋0×01×0＋0×1,0×0＋0×00×0＋0×1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)).(3)A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2))).B2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(11),－1－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(11),－1－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)).[方法技巧]矩陣運(yùn)算的規(guī)律(1)一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律．(2)矩陣的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，即(AB)C＝A(BC)．(3)矩陣的乘法不滿(mǎn)足消去律．矩陣的變換[例2](2017·南京、鹽城二模)設(shè)a，b∈R，若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3,0,－1,b)))對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值．[解]設(shè)矩陣A對(duì)應(yīng)的變換把直線l上的任意點(diǎn)P(x，y)變成直線l′上的點(diǎn)P1(x1，y1)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3,0,－1,b)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝x1，,－x＋by＝y(tǒng)1.))因?yàn)?x1＋y1－91＝0，所以27x＋(－x＋by)－91＝0，即26x＋by－91＝0.因?yàn)橹本€l的方程也為ax＋y－7＝0，所以eq\f(26,a)＝eq\f(b,1)＝eq\f(－91,－7)，解得a＝2，b＝13.[方法技巧]1．變換的復(fù)合在數(shù)學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的平面幾何變換常可以看做是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換；對(duì)應(yīng)的矩陣叫做初等變換矩陣．2．矩陣乘法MN的幾何意義對(duì)向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))連續(xù)實(shí)施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復(fù)合變換．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，求M(2α＋4β)．解：2α＋4β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,4))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))，則M(2α＋4β)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－26)).2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))的作用下變換為曲線C2，求C2的方程．解：設(shè)P(x，y)為曲線C2上任意一點(diǎn)，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2y′，,y＝y(tǒng)′))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x－2y，,y′＝y(tǒng).))因?yàn)镻′是曲線C1上的點(diǎn)，則有(x－2y2)＋y2＝1，所以C2的方程為(x－2y)2＋2y2＝1，即x2－4xy＋6y2＝1.3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2018·徐州市高三期中)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))，若直線y＝kx＋1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的直線過(guò)點(diǎn)P(2,6)，求實(shí)數(shù)k的值．解：矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,12))，得A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,－\f(1,2)\f(1,2)))，所以A－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,－\f(1,2)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,6))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))，將點(diǎn)(2,2)代入直線y＝kx＋1得k＝eq\f(1,2).4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一、二])已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32)).(1)求滿(mǎn)足條件AM＝B的矩陣M；(2)矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將曲線C：x2＋y2＝1變換為曲線C′，求曲線C′的方程．解：(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,11))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,a＋cb＋d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,32))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,a＋c＝3，,b＝2，,b＋d＝2，))∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30)).(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′，y′)，則Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,30))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2y,3x))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＝x′，,3x＝y(tǒng)′，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x′,2)，,x＝\f(y′,3)，))代入曲線C：x2＋y2＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x′,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y′,3)))2＝1.∴曲線C′的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1.突破點(diǎn)(二)矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．逆矩陣對(duì)于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱(chēng)A是可逆的，B稱(chēng)為A的逆矩陣．2．二階行列式我們把eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))稱(chēng)為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值(或多項(xiàng)式)，記為det(A)＝ad－bc.3．特征值與特征向量(1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ稱(chēng)為A的一個(gè)特征值，而α稱(chēng)為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．(2)從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)變換矩陣A的作用后，與原向量保持在同一條直線上，這時(shí)特征向量或者方向不變(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)．特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，特征向量就被變換成零向量．考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”求矩陣的逆矩陣[例1]已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))，求矩陣A－1B.[解]設(shè)矩陣A的逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a－b,2c2d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2)，從而A的逆矩陣為A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))，所以A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03)).[方法技巧]1．求逆矩陣的三種常用方法：(1)待定系數(shù)法：設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則AA－1＝A－1A＝E(E為單位矩陣)．(2)公式法：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，記為detA，有A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,detA)\f(－b,detA),\f(－c,detA)\f(a,detA)))，當(dāng)且僅當(dāng)detA＝ad－bc≠0.(3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣．2．對(duì)于矩陣A和B，若都存在逆矩陣，則(1)若A是B的逆矩陣，則B也是A的逆矩陣；(2)可逆矩陣的逆矩陣唯一；(3)(A－1)－1＝A；(4)E－1＝E；(5)(AB)－1＝B－1A－1；(6)若A是可逆矩陣，B、C是任意矩陣，則由AB＝AC可得B＝C.特征值與特征向量[例2]已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(1)求矩陣A；(2)求矩陣A－1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．[解](1)因?yàn)榫仃嘇是矩陣A－1的逆矩陣，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3))).(2)矩陣A－1的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩陣A－1的特征值為λ1＝1或λ2＝3，所以α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩陣A－1的屬于特征值λ1＝1的一個(gè)特征向量，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))是矩陣A－1的屬于特征值λ2＝3的一個(gè)特征向量．[方法技巧]矩陣A的特征值與特征向量的求解策略(1)求矩陣A的特征值與特征向量先確定其特征多項(xiàng)式f(λ)，再由f(λ)＝0求出該矩陣的特征值，然后把特征值代入矩陣A所確定的二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0，))即可求出特征向量．(2)根據(jù)矩陣A的特征值與特征向量求矩陣A設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，根據(jù)Aα＝λα構(gòu)建關(guān)于a，b，c，d的方程求解．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])(2016·江蘇高考)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))\o(\s\up7(2),\s\do5(－2))))，矩陣B的逆矩陣B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2),02))，求矩陣AB.解：設(shè)B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))，則B－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2),02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))\o(\s\up7(0),\s\do5(1))))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a－\f(1),\s\do5(2))c,2c)\o(\s\up7(b－\f(1),\s\do5(2))d,2d)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))\o(\s\up7(0),\s\do5(1))))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)c＝1，,b－\f(1,2)d＝0，,2c＝0，,2d＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,4)，,c＝0，,d＝\f(1,2)，))所以B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(1,4),0\f(1,2))).因此，AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))\o(\s\up7(2),\s\do5(－2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(1,4),0\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1\f(5,4),0－1)).2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0，－3)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量．解：(1)由題意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,a＋1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(1－1),－41))，令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,4λ－1))＝(λ－1)2－4＝0.解得A的特征值為λ＝－1或3.當(dāng)λ＝－1時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,4x－2y＝0))得矩陣A的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，當(dāng)λ＝3時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,4x＋2y＝0))得矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2)).3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2018·蘇北四市期末)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(12),－14))，求矩陣A的特征值和特征向量．解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(λ－1,－2,1,λ－4)))＝λ2－5λ＋6,由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.當(dāng)λ1＝2時(shí)，特征方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x－2y＝0，))故屬于特征值λ1＝2的一個(gè)特征向量α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1))；當(dāng)λ2＝3時(shí)，特征方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2y＝0，,x－y＝0，))故屬于特征值λ2＝3的一個(gè)特征向量α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)).4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，求矩陣A.解：設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3.))由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,d＝0.))所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,30)).[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]基礎(chǔ)送分課時(shí)——高考就考那幾點(diǎn)，練通就能把分撿1.(2018·蘇北四市摸底)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－12,1x))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,2－1))，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,y))，若Aα＝Bα，求實(shí)數(shù)x，y的值．解：Aα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2y－2,2＋xy))，Bα＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋y,4－y)).由Aα＝Bα得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－2＝2＋y，,2＋xy＝4－y，))得x＝－eq\f(1,2)，y＝4.2.(2018·南京、鹽城、連云港、徐州模擬)已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b－2))所對(duì)應(yīng)的變換T把點(diǎn)(2,3)變成(3,4)．(1)求a，b的值；(2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2.解：(1)由題意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b－2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,4))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＋3a＝3，,2b－6＝4，))所以a＝－1，b＝5.(2)由(1)得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－1,5－2)).由矩陣的逆矩陣公式得B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,5－3)).所以B2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,－54)).3．(2018·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(－1,2)在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A′，將點(diǎn)B(3,4)繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)．解：設(shè)B′(x，y)，依題意，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，得A′(1,2)．則A′B→＝(2,2)，A′B′→＝(x－1，y－2)．記旋轉(zhuǎn)矩陣N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y－2))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝4，))所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－1,4)．4．(2018·南京、鹽城模擬)設(shè)矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a0,21))的一個(gè)特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2＋y2＝1，求曲線C的方程．解：由題意，矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝(λ－a)·(λ－1)，因?yàn)榫仃嘙有一個(gè)特征值為2，所以f(2)＝0，所以a＝2.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，在矩陣M變換下得到的點(diǎn)為(x′，y′)，所以Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x,2x＋y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝2x＋y，))代入方程x′2＋y′2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲線C的方程為8x2＋4xy＋y2＝1.5．(2017·江蘇高考)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02)).(1)求AB；(2)若曲線C1：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程．解：(1)因?yàn)锳＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，所以AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10)).(2)設(shè)Q(x0，y0)為曲線C1上的任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x，y)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(02,10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y0＝x，,x0＝y(tǒng)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)，,y0＝\f(x,2).))因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在曲線C1上，則eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，從而eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,8)＝1，即x2＋y2＝8.因此曲線C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2：x2＋y2＝8.6.(2018·鹽城模擬)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(2,m,n,1)))的兩個(gè)特征向量為α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，若β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，求M2β.解：設(shè)矩陣M的特征向量α1對(duì)應(yīng)的特征值為λ1，特征向量α2對(duì)應(yīng)的特征值為λ2，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Mα1＝λ1α1，,Mα2＝λ2α2，))可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1，又β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＋2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))＝α1＋2α2,所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λeq\o\al(2,1)α1＋2λeq\o\al(2,2)α2＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＋2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,2)).7.(2018·蘇州期末)已知二階矩陣M有特征值λ＝3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1，2)變換成(9,15)，求矩陣M.解：設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(9,15))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋2b＝9，,－c＋2d＝15.))聯(lián)立以上兩方程組解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－36)).第二節(jié)選修4－4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.極坐標(biāo)系；2.參數(shù)方程；3.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題.突破點(diǎn)(一)極坐標(biāo)系基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1．極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，點(diǎn)O叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，Ox叫做極軸；同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)一般地，沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實(shí)數(shù)．(3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)，和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示．如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點(diǎn)也是唯一確定的．2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(ρ，θ)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0))3.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ＜2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(π,2)))圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)；θ＝α和θ＝π＋α過(guò)點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(π,2)＜θ＜eq\f(π,2)))過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，與極軸平行的直線ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的步驟第一步判斷極坐標(biāo)的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)是否重合，且極軸與x軸正半軸是否重合，若上述兩個(gè)都重合，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化第二步通過(guò)極坐標(biāo)方程的兩邊同乘ρ或同時(shí)平方構(gòu)造ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，一定要注意變形過(guò)程中方程要保持同解，不要出現(xiàn)增解或漏解第三步根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))及ρ2＝x2＋y2將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程2．直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程或直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程較為簡(jiǎn)單，只需將直角坐標(biāo)方程中的x，y分別用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程．(2)求直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)的一般步驟：[例1]在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．[解](1)圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))則直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).[方法技巧]1．應(yīng)用互化公式的三個(gè)前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)．(2)以x軸的正半軸為極軸．(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位．2．直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角θ的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ，θ)的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)窮多個(gè)．當(dāng)限定ρ≥0，θ∈[0,2π)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的．(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角θ應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．極坐標(biāo)方程的應(yīng)用[例2](2018·福州五校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2＝0.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.(1)若直線l過(guò)原點(diǎn)，且被曲線C截得的弦長(zhǎng)最小，求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y)，求x＋y的最大值．[解](1)ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2＝0，即ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0，將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圓心C(1，－1)，若直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)最小，則直線l與OC垂直，即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x.(2)因?yàn)镸是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，因而利用圓的參數(shù)方程可設(shè)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosφ，,y＝－1＋2sinφ))(φ為參數(shù))，則x＋y＝2sinφ＋2cosφ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))，當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,4)))＝1時(shí)，x＋y取得最大值2eq\r(2).[易錯(cuò)提醒]用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一、二])已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求點(diǎn)A到直線l的距離．解：由2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，得2ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ＋\f(\r(2),2)cosθ))＝eq\r(2)，由坐標(biāo)變換公式得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＋x＝1，即x＋y－1＝0.由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，－2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq\f(|2－2－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一、二])(2018·洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐標(biāo)變換公式，得x2＋y2＝4.因?yàn)棣?－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2，所以ρ2－2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθcos\f(π,4)＋sinθsin\f(π,4)))＝2.由坐標(biāo)變換公式，得x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρ·sinθ－eq\f(π,4)－4＝0，求圓C的半徑．解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為eq\r(6).4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一、二])(2017·全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿(mǎn)足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)，由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當(dāng)α＝－eq\f(π,12)時(shí)，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).突破點(diǎn)(二)參數(shù)方程基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識(shí)的“源”與“流”1.參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)x，y都可以表示為某個(gè)變量t的函數(shù)：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))反過(guò)來(lái)，對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由函數(shù)式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))所確定的點(diǎn)P(x，y)都在這曲線C上，那么方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))叫做曲線C的參數(shù)方程，變數(shù)t是參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)．2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù))．(3)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù)).考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”參數(shù)方程與普通方程的互化1.參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：①代入消元法；②加減消元法；③恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；④平方后再加減消元法等．其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等．2．普通方程化為參數(shù)方程(1)選擇參數(shù)的一般原則曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單；當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí)，可以唯一確定x，y的值；(2)具體步驟第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t；第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個(gè)關(guān)系式x＝f(t)(或y＝φ(t));第三步，把確定的參數(shù)與一個(gè)變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，問(wèn)題得解．[例1]將下列參數(shù)方程化為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ為參數(shù))．[解](1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝eq\f(1,t)，∴x≠0.當(dāng)t≥1時(shí)，0＜x≤1，當(dāng)t≤－1時(shí)，－1≤x＜0，∴所求普通方程為x2＋y2＝1，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤1，,0≤y＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＜0，,－1＜y≤0.))(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．[易錯(cuò)提醒](1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)務(wù)必要注意x，y的取值范圍，保證消參前后的方程的一致性．(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)普通方程中x，y的取值范圍的影響．直線與圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用1.解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，其一般思路如下：第一步，把直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程；第二步，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問(wèn)題．2．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，且直線的傾斜角為α，求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)、弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，可以把直線的參數(shù)方程設(shè)成eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))，交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，計(jì)算時(shí)把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1·t2).[例2](2018·無(wú)錫聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t為參數(shù))與曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若α＝eq\f(π,3)，求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq\r(3))，求直線l的斜率．[解](1)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0.直線l的方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，代入曲線C的普通方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，設(shè)直線l上的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2.則t0＝eq\f(t1＋t2,2)＝－eq\f(28,13)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(\r(3),13))).(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝\r(3)＋tsinα))代入曲線C的普通方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8eq\r(3)sinα＋4cosα)t＋12＝0，因?yàn)閨PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\f(12,cos2α＋4sin2α)，|OP|2＝7，所以eq\f(12,cos2α＋4sin2α)＝7，得tan2α＝eq\f(5,16).由于Δ＝32cosα(2eq\r(3)sinα－cosα)＞0，故tanα＝eq\f(\r(5),4).所以直線l的斜率為eq\f(\r(5),4).[方法技巧]1．解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題．2．對(duì)于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))的直線的參數(shù)方程，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])將下列參數(shù)方程化為普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3k,1＋k2)，,y＝\f(6k2,1＋k2)))(k為參數(shù))；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－sin2θ，,y＝sinθ＋cosθ))(θ為參數(shù))．解：(1)兩式相除，得k＝eq\f(y,2x)，將其代入x＝eq\f(3k,1＋k2)得x＝eq\f(3·\f(y,2x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2x)))2)，化簡(jiǎn)得4x2＋y2－6y＝0，因?yàn)閥＝eq\f(6k2,1＋k2)＝6－eq\f(1,1＋k2)，所以0＜y＜6，所以所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(0＜y＜6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]．2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2eq\r(2)s)，從而點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|2s2－4\r(2)s＋8|,\r(12＋－22))＝eq\f(2s－\r(2)2＋4,\r(5)).當(dāng)s＝eq\r(2)時(shí)，dmin＝eq\f(4\r(5),5).因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí)，曲線C上點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值eq\f(4\r(5),5).3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2018·鄭州模擬)將曲線C1：x2＋y2＝1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的eq\r(2)倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與曲線C2在第一、三象限的交點(diǎn)分別為C，D.(1)寫(xiě)出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程；(2)求|AC|－|BD|.解：(1)由題意可得C2：eq\f(x2,2)＋y2＝1，對(duì)曲線C1，令y＝0，得x＝1，所以l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))．(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(3)t,2)，,y＝\f(1,2)t))代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，整理得5t2＋4eq\r(3)t－4＝0.設(shè)點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝－eq\f(4\r(3),5)，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝eq\r(3)，故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋eq\r(3)＝eq\f(\r(3),5).4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2017·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為eq\r(17)，求a.解：(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，解得a＝8；當(dāng)a＜－4時(shí)，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，解得a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.突破點(diǎn)(三)參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題將極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、普通方程交織在一起，考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用.將各類(lèi)方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類(lèi)問(wèn)題的前提.,解決問(wèn)題時(shí)要注意：,1解題時(shí)，易將直線與圓的極坐標(biāo)方程混淆.要熟練掌握特殊直線、圓的極坐標(biāo)方程的形式.,2應(yīng)用解析法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意是選取直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系要注意選擇極點(diǎn)、極軸的位置，注意“點(diǎn)和極坐標(biāo)”的“一對(duì)多”特性.(3)求曲線方程，常設(shè)曲線上任意一點(diǎn)P(ρ，θ)，利用解三角形的知識(shí)，列出等量關(guān)系式，特別是正弦、余弦定理的應(yīng)用．圓的參數(shù)方程常和三角恒等變換結(jié)合在一起，解決取值范圍或最值問(wèn)題．(4)參數(shù)方程和普通方程表示同一個(gè)曲線時(shí)，要注意其中x，y的取值范圍，即注意兩者的等價(jià)性.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題[典例](2018·長(zhǎng)沙模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2(k為實(shí)數(shù))．(1)判斷曲線C1與直線l的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若曲線C1和直線l相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(2)，求直線l的斜率．[解](1)由曲線C1的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosα，,y＝sinα))可得其普通方程為(x＋1)2＋y2＝1.由ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋ky＋2＝0.因?yàn)閳A心(－1,0)到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))≤1，所以直線與圓相交或相切，當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1，直線l與曲線C1相切；當(dāng)k≠0時(shí)，d＜1，直線l與曲線C1相交．(2)由于曲線C1和直線l相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(2)，故圓心到直線l的距離d＝eq\f(1,\r(1＋k2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝±1，所以直線l的斜率為±1.[方法技巧]處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程．(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\r(10)cosα，,y＝1＋\r(10)sinα))(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為sinθ－cosθ＝eq\f(1,ρ)，求直線被曲線C截得的弦長(zhǎng)．解：(1)∵曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\r(10)cosα，,y＝1＋\r(10)sinα))(α為參數(shù))，∴曲線C的普通方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲線C表示以(3,1)為圓心，eq\r(10)為半徑的圓．將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入①并化簡(jiǎn)，得ρ＝6cosθ＋2sinθ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cosθ＋2sinθ.(2)∵直線的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1，∴圓心C到直線的距離為d＝eq\f(3\r(2),2)，∴弦長(zhǎng)為2eq\r(10－\f(9,2))＝eq\r(22).2．在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝2acosθ(a≠0)，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3))(t為參數(shù))．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由ρ＝2acosθ，ρ2＝2aρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝a2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＝t，,\f(y－3,4)＝t，))因此eq\f(x－1,3)＝eq\f(y－3,4)，所以直線l的普通方程為4x－3y＋5＝0.(2)因?yàn)橹本€l與圓C恒有公共點(diǎn)，所以eq\f(|4a＋5|,\r(42＋－32))≤|a|，兩邊平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a＋5)(a－5)≥0，解得a≤－eq\f(5,9)或a≥5，所以a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,9)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，＋∞)).3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．解：(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2))，當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]基礎(chǔ)送分課時(shí)——高考就考那幾點(diǎn)，練通就能把分撿1.(2018·南通模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα＋\r(3)，,y＝2sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,6).若直線l與曲線C交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)．解：曲線C的普通方程為(x－eq\r(3))2＋y2＝4，表示以(eq\r(3)，0)為圓心，2為半徑的圓，直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，所以圓心到直線的距離為eq\f(\r(3),2)，所以線段AB的長(zhǎng)為2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(13).2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，