第十九章

一次函數19.1.1變量與函數行星在宇宙中的位置隨時間而變化萬物皆變

導入新知氣溫隨海拔而變化導入新知汽車行駛里程隨行駛時間而變化導入新知萬物皆變關注其中數量變化，用數量變化描述變化規律從數學角度

研究數學變化過程我們所處的世界是一個變量世界。常量世界變量世界1.玩具汽車以2m/s的速度勻速行駛，行駛時間為ts，行駛路程為sm．行駛時間t/s12345t行駛路程s/m

在這個變化的過程中，行駛的

是固定不變的，行駛的

是不斷變化的.速度（2m/s）路程和時間（s,t）

隨著

的變化而變化.

行駛的路程s時間t2468102t

會變化的量是：不會變化的量是：速度(v=2)時間、路程(t、s)一、探究導學

2.電影票售價為10元/張，第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元？設一場電影售出x張票，票房收入y元.

x/張150205310xy/元

在這個變化的過程中，

是固定不變的，

是不斷變化的。每張電影的售價(10元)電影的售票數和票房的收入（x,y）

隨著

的變化而變化。票房收入y

電影的售票數x15002050310010x3.你見過水中漣漪嗎?如圖所示,圓形水波慢慢的擴大.在這一過程中,當圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時,圓的面積S分別為多少（計算結果保留π）?

在這個變化的過程中，

是固定不變的，

是不斷變化的.

隨著

的變化而變化.圓的面積s圓的半徑r100π400π900π圓周率（π）圓的面積和圓的半徑（s,r）半徑r102030r面積S100π400π900ππr24.用10m長的繩子圍一個矩形，當矩形的一邊長x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？xyABCDx/m33.544.5xy/m

在這個變化的過程中，

是固定不變的，

是不斷變化的。周長（10m）矩形相鄰的邊（x,y）

隨著

的變化而變化。一邊長y（m）

另一邊長x（m）21.510.55-xy=5-x

請依照上面的例子，判斷在某一變化過程中固定不變的量和不斷變化的量。

會變化的量是：

5.下圖是自動測溫儀記錄的圖象，隨著時間t的變化，氣溫T也隨之變化．對于時間t每一個確定的值，溫度T都有唯一確定的對應值嗎？T和t在會變化的量中，誰隨著誰的變化而變化?是怎樣反映兩個會變的量的?圖像克服固化認知數值不斷變化的量變量數值固定不變的量常量上述運動變化過程中出現的數量，你認為可以怎樣分類？變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量為變量.

常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量為常量.在同一個變化過程中，理解變量與常量的關鍵詞：發生變化和始終不變.知識要點注意：π是一個確定的數，是常量例題講解例1

指出下列事件過程中的常量與變量.(1)某水果店橘子的單價為5元／千克，買a千克橘子的總價為m元，其中常量是

，變量是

；(2)周長C與圓的半徑r之間的關系式是C＝2πr，其中常量是

，變量是

.5a，m2，πC，

r例2

閱讀并完成下面一段敘述：（1）某人持續以a米／分的速度用t分鐘時間跑了s米，其中常量是

,變量是

.（2）s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的時間為t分，其中常量是

,變量是

.at，ssa，t（3）根據上面的探究，你有什么發現？

常量與變量是相對的，而不是絕對的，是相對于不同的變化過程而言的。

人類認知世界常常是從簡單到復雜，現在我們從“在某一變化過程中，只有兩個變量的問題”進行研究。

在初中數學中，只研究兩個變量之間的關系。知識點二：確定兩個變量之間的關系獲取新知

怎樣用含重物質量m（kg）的式子表示受力后的彈簧長度

L(cm)?例3彈簧的長度與所掛重物有關．如果彈簧原長為10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，試填下表：解：由題意可知m每增加1，L增加0.5，所以L=10+0.5m.重物的質量(kg)12345彈簧長度(cm)10.51111.51212.5鞏固練習

則用含重物質量m（kg）的式子表示受力后的彈簧長度

L(cm)為

.如果彈簧原長為12cm，每1

kg重物使彈簧壓縮0.5

cm，L=12-0.5m獲取新知知識點三：函數的定義思考下面的問題（1）汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，填下面的表:對于給定的時間t，相應的路程s能確定嗎？t/時12345s/千米60120180240300能，S=60t(2)每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，日場售出205張，晚場售出310張，三場電影票的票房收入各多少元？若設一場電影售出票

x

張，票房收入為

y元，對于給定的票張數x,票房收入y能確定嗎？能，y=10x

（3）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢地擴大.在這一過程中，當圓的半徑r

分別為10cm，20cm，30cm時，圓的面積S分別為多少？

S的值隨r的值變化而變化嗎？定任一個半徑r的值，相應的圓的面積S能確定嗎？有幾個s值和它對應？能，S=πr2

每當r取定一個值時，S就有唯一值與其對應.（4）用10m長的繩子圍一個矩形.當矩形的一邊長x分別為3m，3.5m，4m，4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？對于定任一個邊長x的值，相應的鄰邊長y能確定嗎？有幾個y值和它對應？能，y=5–x每當x取定一個值時，y就有唯一值與其對應.思考：上面的三個問題中，各變量之間有什么共同特點？

①時間

t

、相應的路程

s

；

②票數x、票房收入y；

③半徑r

、面積S；

④一邊長x、鄰邊長y.共同特點：都有兩個變量，給定其中某一個變量的值，相應地就確定了另一個變量的值.一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值.知識要點例題講解例1

下列關于變量x，y的關系式：

y=2x+3；

y=x2+3；

y=2|x|；④；⑤y2-3x=10，其中表示y是x

的函數關系的是

．

判斷一個變量y是否是另一個變量x的函數，關鍵是看當另一個變量x確定時，這個變量y是否有唯一確定的值與它對應.方法一個x值有兩個y值與它對應鞏固練習1.下列說法正確的是(

)A．變量x，y滿足y2＝x，則y是x的函數B．變量x，y滿足x＋3y＝1，則y是x的函數C．變量x，y滿足|y|＝x，則y是x的函數D．在V＝

πr3中，

是常量，π，r是自變量，V是r的函數.B例2

已知函數(1)求當x=2，3，-3時，函數的值；(2)求當x取什么值時，函數的值為0.把自變量x的值帶入關系式中，即可求出函數的值.解：（1）當x=2時，y=;

當x=3時，y=;

當x=-3時，y=7.

（2）令

解得x=

即當x=

時，y=0.獲取新知知識點三：確定自變量的取值范圍

問題：請用含自變量的式子表示下列問題中的函數關系：（1）汽車以60km/h

的速度勻速行駛，行駛的時間為t（單位：h），行駛的路程為s（單位：km）；（2）多邊形的邊數為n，內角和的度數為y．思考：問題（1）中，t取-2有實際意義嗎？

問題（2）中，n

取2有意義嗎？沒有意義根據剛才問題的思考，你認為函數的自變量可以取任意值嗎？

在實際問題中，函數的自變量取值范圍往往是有限制的，在限制的范圍內，函數才有實際意義；超出這個范圍，函數沒有實際意義，我們把這種自變量可以取的數值范圍叫函數自變量的取值范圍．例題講解例3

汽車的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km.（1）寫出表示y與x的函數關系的式子；（2）指出自變量x的取值范圍；（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少油？解：(1)行駛路程x是自變量，油箱中的油量y是x的函數，它們的關系為y＝50－0.1x.(2)僅從式子y＝50－0.1x看，x可以取任意實數.但是考慮到x代表的實際意義為行駛路程，因此x不能取負數.行駛中的耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現有汽油量50,即0.1x≤50.因此，自變量x的取值范圍是0≤

x≤500.自變量取值范圍：1.使式子有意義；2.符合實際情況(3)汽車行駛200km時，油箱中的汽油量是函數y＝50－0.1x在x＝200時的函數值.將x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30.汽車行駛200km時，油箱中還有30L汽油.

像y=50－0.1x這樣，用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法.這種式子叫做函數的解析式.下列函數中自變量x的取值范圍是什么？.0.-1.-2-2x取全體實數使函數解析式有意義的自變量的全體.鞏固練習函數自變量取值范圍的求法：1.當函數關系式只含有自變量的整式時，自變量的取值范圍是全體實數；2.當函數關系式含有分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數；3.當函數關系式含有開平方時，自變量的取值范圍是使被開方數大于或者等于零的實數；