7.4.1二項分布整體感知[學習目標]

1．理解n重伯努利試驗的概念．(數學抽象)2．掌握二項分布的概率表達式．(數學抽象)3．能利用n重伯努利試驗的模型及二項分布解決一些簡單的實際問題．(數學運算、數據分析)新課導入新知探究問題1下列一次隨機試驗的共同點是什么？試驗出現的結果共同點1、擲一枚硬幣2、檢驗一件產品3、飛碟射擊4、醫學檢驗正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脫靶陰性；陽性只包含兩個結果我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.概念生成伯努利試驗我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗(Bernoullitrials).

在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果.例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陽性或陰性等.（還記得我們之前的0-1分布嗎？）（2）飛碟射擊時中靶或脫靶；（3）檢驗一件產品結果為合格或不合格；（4）醫學檢驗結果為陽性或陰性.……伯努利試驗：把只包含兩個可能結果的試驗。定義1

定義2(1)拋擲一枚質地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續射擊3次.(3)一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件.上述試驗都只包含兩個可能結果.(1)將同一個伯努利試驗重復做n次；(2)各次試驗的結果相互獨立.（1）拋擲一枚硬幣結果正面或反面朝上；上述試驗都是將一個伯努利試驗的重復n次只關注事件A是否發生只關注事件A在n次試驗中發生的次數X及其概率分布列新知探究

n重伯努利試驗

我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.n重伯努利試驗具有如下共同特征:(1)每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生；(2)每次試驗是在同樣條件下進行的；(3)各次試驗中的事件是相互獨立的；(4)每次試驗，某事件發生的概率是相同的。“重復”意味著各次試驗的概率相同概念生成[新知生成]1．n重伯努利試驗：將一個伯努利試驗____________進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．2．n重伯努利試驗的共同特征：(1)同一個伯努利試驗______做n次；(2)各次試驗的結果__________．獨立地重復重復相互獨立【微提醒】

(1)每次試驗結果只有兩種，即事件要么發生，要么不發生．(2)每次試驗在相同的條件下進行且各次試驗中的事件互不影響．[典例講評]

1．(1)(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是(

)A．運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標√√√互斥事件互斥事件相互獨立事件n重伯努利試驗[學以致用]

1．(1)下列試驗：①依次投擲四枚質地不同的硬幣，3次正面向上；②某人射擊，擊中目標的概率是穩定的，他連續射擊了10次，其中6次擊中；③口袋中裝有5個白球、3個紅球、2個黑球，依次從中抽取5個球，恰好抽出4個白球．其中是n重伯努利試驗的為________．(填序號)②試驗的結果有三種不同的顏色，且每種顏色出現的可能性不相等試驗的條件不同(質地不同)新知探究問題2

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，用下圖的樹狀圖表示試驗的可能結果：試驗結果X的值3次獨立重復試驗的結果兩兩互斥，每個結果都是由3個相互獨立事件的積.則X的概率分布列為:P(X=0)你能求出剩下的概率嗎？新知探究問題3

某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，則X的概率分布列為:P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次數X的分布列可簡寫為:

問題4

如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X等于2的結果有哪些?寫出中靶次數X的分布列.新知探究（1）連續射擊4次，中靶次數X＝2的結果有共6個.(2)中靶次數X的分布列為

中靶次數X的分布列可簡寫為：二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為

二項分布如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).概念生成概念辨析問題5

對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯系嗎?如果把p看成b

，1-p看成a

，則就是二項式定理[(1-p)+p]n的展開式的第k＋1項，由此才稱為二項分布.服從二項分布的事件A恰好發生k次的概率正好是二項式定理展開式的第k＋1項，故有追問

二項分布和兩點分布有什么聯系？兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；二項分布可以看做兩點分布的一般形式.概念辨析二項分布的分布列如下表當n=1時，可以得到兩點分布的分布列如右表：反思領悟

n重伯努利試驗概率求法的三個步驟(1)判斷：依據n重伯努利試驗的特征，判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗．(2)分拆：判斷所求事件是否需要分拆．(3)計算：就每個事件依據n重伯努利試驗的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計算．[新知生成]1．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝___________________，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)．2．二項分布的均值與方差若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝____________．

npnp(1－p)【微提醒】

(1)由二項式定理可知，二項分布的所有概率和為1.(2)兩點分布與二項分布的關系：兩點分布是只進行一次的二項分布．

√

[典例講評]

2．拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數為點P的橫坐標，另一枚的點數為點P的縱坐標，連續拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內的次數X的分布列．

X0123P[典例講評]

2．拋擲兩枚骰子，取其中一枚的點數為點P的橫坐標，另一枚的點數為點P的縱坐標，連續拋擲這兩枚骰子三次，求點P在圓x2＋y2＝16內的次數X的分布列．因此，隨機變量X的分布列為

試驗次數成功概率

X0123P問題7

假設隨機變量X服從二項分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?對于一個離散型隨機變量，除了關心它的概率分布外，我們還關心它的均值和方差等數字特征.因此,一個服從二項分布的隨機變量，其方差和均值也是我們關心的.我們知道，拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有100×0.5＝50次正面朝上.

根據均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X,我們猜想E(X)＝np.

新知探究：二項分布的均值與方差新知探究：二項分布的均值與方差從簡單開始,先考察n較小的情況.服從二項分布的隨機變量X,我們猜想：E(X)＝np.

(1)當n＝1時,X服從兩點分布,X分布列為

則有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)當n＝2時,X分布列為

P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,由此可猜想,

若X~B(n,p),則有如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).下面對均值進行證明.證明：新知探究：二項分布的均值與方差[典例講評]

3．(1)已知X～B(10，0.5)，Y＝2X－8，則E(Y)等于(

)A．6 B．2C．4 D．3√由題意，隨機變量X～B(10，0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，因為Y＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.

ξ01234P

發現規律

解決此類問題的第一步是判斷隨機變量X服從什么分布，第二步是代入相應的公式求解．若X服從兩點分布，則E(X)＝___，D(X)＝___________；若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝____________．pp(1－p)npnp(1－p)

ξ012345P

η012345P(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率．

應用遷移√1．n重伯努利試驗應滿足的條件：①各次試驗的結果之間是相互獨立的；②每次試驗只有兩種結果；③各次試驗成功的概率是相同的；④每次試驗發生的事件是互斥的．其中正確的是(

)A．①② B．②③C．①②③ D．①②④C

由n重伯努利試驗的概念知①②③正確，④錯誤．應用遷移2．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才算通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(

)A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312√

√

4．某次考試中，第一大題由12個選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．設小王選對的個數為X，得分為Y＝5X，則X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48481．知識鏈：(1)n重伯努利試驗的概念及特征．(2)二項分布的概念及表示．(3)二項分布的均值及方差．2．方法鏈：二項分布問題的求解策略、數學建模．3．警示牌：不能正確判斷是不是二項分布而致誤．一、選擇題1．若某地居民中高血壓的患病率為p，從該地區隨機抽查n人，則下列說法正確的是(

)A．樣本患病率服從二項分布X～B(n，p)B．n人中患高血壓的人數X服從二項分布X～B(n，p)C．患病人數與樣本患病率均不服從二項分布X～B(n，p)D．患病人數與樣本患病率均服從二項分布X～B(n，p)B

[由二項分布的定義知B正確．]√課時分層作業(十七)2．設X～B(40，p)，且E(X)＝16，則p等于(

)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4D

[∵E(X)＝16，∴E(X)＝40p＝16，解得p＝0.4.故選D．]√

√

4．(多選)已知隨機變量X＋ξ＝7，若X～B(10，0.6)，則E(ξ)，D(ξ)分別為(

)A．E(ξ)＝1 B．E(ξ)＝2C．D(ξ)＝2.4D．D(ξ)＝5.6因為X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.因為X＋ξ＝7，所以ξ＝7－X，由均值和方差的性質可得，E(ξ)＝E(7－X)＝7－E(X)＝1，D(ξ)＝D(7－X)＝D(X)＝2.4√√5．(多選)一次數學測驗由25道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每道題目選擇正確得4分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率為0.6，則(

)A．該學生在這次數學測驗中選對答案的題目的個數