醫用高等數學題庫第一章函數與極限1．

設

，求，并作出函數的圖形。2．

設，，求，并作出這兩個函數的圖形。3．

設，求。4．

試證下列函數在指定區間內的單調性：（1）

（2）5．下列函數中哪些是是周期函數？對于周期函數，指出其周期：（1）

（2）6．設。試求下列復合函數，并指出x的取值范圍。7．已知對一切實數x均有，且f(x)為單調增函數，試證：

8．計算下列極限：（1）

（2）（3）9．（1）設，求常數a，b。（2）已知，求a，b。10．計算下列極限：（1）

（2）（x為不等于零的常數）（3）

（4）

（5）（k為正整數）11．計算下列極限：（1）

（2）（3）（4）（k為常數）（5）（6）（7）（8）（a>0，b>0，c>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）12．當時，無窮小1-x和（1）（2）與否同階？與否等價？13．證明：當時，有（1）（2）14．運用等價無窮小的性質求下列極限：（1）（n，m為正整數）（2）15．試確定常數a，使下列各函數的極限存在：（1）（2）16．討論下列函數的持續性：（1）的持續性（2）在x=0處的持續性17．設函數在[0，2a]上持續，,試證方程在[0，a]內至少存在一種實根。18．設函數在開區間（a，b）內持續，，試證：在開區間(a，b)內至少有一點c，使得（其中）。第二章導數與微分1．討論下列函數在x=0處的持續性與可導性：（1）（2）2．設存在，求3．設，問a，b為何值時，在x=0處可導？4．已知，求及，并問：與否存在？5．證明：雙曲線上任一點處的切線與兩坐標軸構成的三角形的面積都等于。6．問當系數a為何值時，拋物線與曲線相切？7．求下列各函數的導數：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（a>0）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）8．求曲線在點處的切線方程和法線方程。9．用對數求導法求下列函數的導數：（1）（2）（3）（4）（5）10．求下列隱函數的導數：（1）（2），求（3）（4）（5）11．求下列函數的n階導數：（1）（2）（3）12．已知函數，求。13．若存在，求下列函數y的二階導數：（1）（2）14．求由下列方程所確定的隱函數y的二階導數：（1）（2）15．求下列函數的微分：（1）（2）（3）16．計算下列各式的近似值：（1）（2）17．求極限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）18．確定下列函數的單調區間：（1）（2）（3）（a>0）（4）19．求下列函數的極值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）20．求下列函數圖形的拐點及凹凸區間：（1）（2）（3）21．描繪下列函數的圖形：（1）（2）（3）（4）22．要造一圓柱形油罐，體積為V，問底半徑r和高h等于多少時，才能使表面積最小？這時直徑與高的比是多少？23．一火車的鍋爐每小時的耗煤費用與速度的立方成正比。已知當速度為每小時20公裏時，每小時花費的煤價為40元。至于其他費用每小時需200元。問當火車行駛的速度為多少時才能使火車從甲地到乙地的總費用最省？第三章不定積分1．求下列不定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．設有一曲線，在其上任一點處的切線斜率為，并知此曲線通過點（3，2），求曲線的方程。3．設有一通過原點的曲線，在其上任一點處切線斜率為，其中a為常數，且知其拐點的橫坐標為，求曲線的方程。4．求下列不定積分：（1）（2）

（為常數）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）5．求下列各不定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）6．證明下列各式：（1）（2）（3）（4）7．求下列各不定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）與8．求下列各有理函數的積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．設是持續函數，求。10．假如的一種原函數是，證明：。11．求12．試確定常數A，B，使下式成立：第四章定積分及其應用1．比較下列各對積分的大小：（1）（2）（3）（4）（5）2．證明不等式：3．設（x>0），求4．（1）設，求（2）設，其中持續，求5．設，求6．設，求7．計算下列極限：（1）（2）（3）8．運用牛頓——萊布尼茨公式計算下列各積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9．計算下列各積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）10．計算下列定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）11．運用分部積分法計算下列定積分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）12．運用函數的奇偶性計算下列積分：（1）（2）（3）13．下列各廣義積分假如收斂，求其值：（1）（2）（3）（4）

（a>0）（5）（6）14．求面積：（1）求曲線與直線所圍成的平面圖形的面積。（2）求由拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積。（3）求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積。（4）求三次曲線與直線所圍成的平面圖形的面積。（5）求拋物線與直線之間的面積。15．已知塔高為80米，離它的頂點x米處的水平截面是邊長為米的正方形，求塔的體積。16．一立體的底面為二分之一徑為5的圓，已知垂直于底面的一條固定直徑的截面都是等邊三角形，求立體的體積。17．一立體的底面為由雙曲線與直線所圍成的平面圖形。假如垂直于x軸的立體截面分別是：（1）正方形；（2）等邊三角形；（3）高為3的等腰三角形；求多種狀況的立體體積。18．直徑為20cm，高為80cm的圓柱體內充斥壓強為10的蒸汽。設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小二分之一，問需要作多少功？第五章微分方程1．下列等式中哪些是微分方程？（1）（2）（3）（4）（5）2．說出下列微分方程的階數：（1）（2）（3）（4）3．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）4．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解：（1）（2）5．用分離變量法求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）6．求下列齊次微分方程的通解：（1）（2）（3）7．求滿足下列微分方程和初始條件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）8．求解下列微分方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）9．質量為1kg的質點受外力的作用作直線運動，該力和時間成正比，和質點運動的速度成反比。在t=10s時，速度為45，力為4N。問從運動開始通過20s後的速度為多少？10．一桶內有100的水，現以濃度為2的鹽溶液用3的速率注入桶內，同步，被攪拌均勻的混合溶液以同樣的速率流出。（1）求任一時刻t桶內鹽的含量m；（2）何時桶內存鹽100kg?11．設汽車A從原點出發，以固定速度沿y軸正向行駛，汽車B從以固定速度出發（），其速度方向永遠指向汽車A，求汽車B的運動軌跡。12．在某粘性液體中，一單位質點P受一力作用沿直線運動，該力與P點到原點O的距離成正比（比例系數為10），粘性液體的阻力與運動速度成正比（比例系數為3），求該質點的運動規律（運動開始時，質點P靜止，距原點kcm）。第六章概率論初步1．寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件中的樣本點：（1）一種口袋中有5只外形完全相似的球，編號分別為1，2，，，3，4，5，從中同步取3只球，球的最小號碼為1。（2）在1，2，3，4四個數中可反復地取兩個數，一種數是另一種數的2倍。（3）將a,b兩個球隨機地放到三個盒子中去，第一種盒子中至少有一種球。（4）10件產品中有一件廢品，從中任取兩件得一件廢品。（5）兩個口袋各裝一種白球與一種黑球，從一袋中任取一球記下其顏色放入第二袋，攪勻後再從第二袋中任取一球，兩次取出的球有相似的顏色。（6）反復擲硬幣，擲了偶次後才第一次得到正面。2．在數學系學生中任選一名學生，令事件A表達被選學生是男生，事件B表達該生是三年級學生，事件C表達該生是運動員。（1）論述事件的意義。（2）在什么條件下ABC=C成立？（3）什么時候關系式成立？（4）什么時候成立？3．將下列事件用A，B，C表達出來：（1）A發生（2）只有A發生（3）A與B都發生而C不發生（4）三個事件都發生（5）三個事件中至少有一種發生（6）三個事件中至少有兩個發生（7）三個事件中恰好發生一種（8）三個事件中恰好發生兩個（9）三個事件都不發生（10）三個事件中不多于二個事件發生（11）三個事件中不多于一種事件發生4．證明下列各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5．證明下列各式：（1）（2）（3）（4）6．一部五卷文集任意地排列到書架上，問卷號自左向右或自右向左恰好為12345的次序的概率等于多少？7．把一種表面涂有顏色的立方體等分為一仟個小立方體，從這些小立方體中任取一種，求所取小立方體有k面（k=0,1,2,3）涂有顏色的概率。8．甲從2，4，6，8，10中任取一數，乙從1，3，5，7，9中任取一數。求甲取的數不小于乙取的數的概率。9．在中國象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求他們恰好可以互相吃掉的概率。10．一批燈泡有40只，其中3只是壞的，從中任取5只檢查。問：（1）5只都是好的概率為多少？（2）5只中有2只壞的概率為多少？11．一幢10層樓中的一架電梯在底層走上7為乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，設沒位乘客在每層離開都是等能的，求沒有2為乘客在同一層離開的概率。12．一種班級有2n個男生及2n個女生，把全班學生任意的提成人數相等的兩組，求每組中男女生人數相等的概率。13．公共汽車每隔五分鐘有一輛汽車到站，乘客到汽車站的時刻是任意的。求一種乘客候車時間不超過三分鐘的概率。14．平面上有兩組互相垂直的平行線把平面劃分為邊長為a的正方形。向平面任意地透二分之一徑為r（2r<a）的圓，求此圓不與平行線相交的概率。15．在三角形ABC中任取一點P，證明：的面積之比不小于的概率為。16．兩艘船都要停靠在同一碼頭，它們也許在一晝夜的任意時刻抵達。設兩船停靠的時間分別為1小時和2小時，求有一艘船要靠位必須等待一段時間的概率。17．把長為1的棒任意地折成三段，求：（1）三小段的長度都不超過a的概率。（2）三小段能構成一種三角形的概率。18．從裝有a個白球及b個黑球的口袋中輪番摸取一球，甲先取，取後都不放回，直至兩人中有一人取到白球為止。試給出描述這一隨機現象的概率空間，并求甲或乙取到白球的概率。19．設為兩個隨機事件，證明：（1）（2）（3）20．在某都市中共發行三種報紙：甲，乙，丙。在這都市的居民中訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同步訂甲，乙兩報的有10%，同步訂乙，丙兩報的有5%，同步訂三種報的有3%，求下列比例：（1）只訂甲報的；（2）只訂甲，乙兩報的；（3）只訂一種報紙的；（4）恰好訂兩種報紙的；（5）至少訂一種報紙的；（6）不訂任何報紙的。21．已知一種家庭有三個小孩，且其中一種是女孩，求至少有一種男孩的概率。（假設一種小孩為男或女是等也許的）22．設M件產品中有m件廢品，從中任取兩件。（1）在所取產品中有一件是廢品的條件下，求另一件也是廢品的概率；（2）在所取產品中有一件是正品的條件下，求另一件是廢品的概率。23．乒乓球盒中有15只球，其中9只是沒有用過的新球。第一次比賽時任取3只使用，用畢返回。第二次比賽時也任取3只球，求次3只球全是沒有用過的概率。24．某射手射靶五次，各次命中的概率為0.6，求下列各事件的概率：（1）前三次中靶，後兩次脫靶；（2）第一，三，五次中靶，第二，四次脫靶；（3）五次中恰有三次中靶。25．一架轟炸機襲擊1號目的，另一架轟炸機襲擊2號目的，擊中1號目的的概率為0.8，擊中2號目的的概率為0.5，求至少擊中一種目的的概率。26．一口袋中裝有m個白球，n-m個黑球，持續不返回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了個白球，求的分布列。27．每年襲擊某地的臺風次數近似服從的普哇松分布，求（1）該地一年中受臺風襲擊次數<6的概率（2）一年中該地受到臺風襲擊的次數為7~9次的概率。28．一種射手射擊了n次，每次射中的概率為p，設第n次射擊是射中的，且為第次射中，求的分布列。29．設隨機變量與的分布列為

已知，求