第九章整式（12個知識歸納+15類題型突破）1.掌握代數式的概念和分類；掌握單項式、多項式的概念與區別；2.掌握合并同類項的方法和技巧；3.掌握同底數冪的乘法和整式的乘法運算；4、掌握乘法公式并熟練運用乘法公式進行計算；5、掌握因式分解的方法；6、掌握整數的除法，尤其是同底數冪的除法計算；知識點1．代數式代數式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2這樣的式子都是代數式。注意：1、代數式不能有等號和不等號，有就不是代數式，而是等式或者不等式。2、單獨一個數字或者字母也是代數式。3、代數式可以包含絕對值。4、注意π并不是字母，而是一個數字。知識點2．整式一、單項式1.單項式的概念：如，，-1，它們都是數與字母的積，像這樣的式子叫單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式。詮釋：（1）單項式包括三種類型：①數字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子；②單獨的一個數；③單獨的一個字母。（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算．如：可以寫成。但若分母中含有字母，如就不是單項式，因為它無法寫成數字與字母的乘積。2.單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。詮釋：（1）確定單項式的系數時，最好先將單項式寫成數與字母的乘積的形式，再確定其系數；（2）圓周率π是常數．單項式中出現π時，應看作系數；（3）當一個單項式的系數是1或-1時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數，如：寫成。3.單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。詮釋：單項式的次數是計算單項式中所有字母的指數和得到的，計算時要注意以下兩點：（1）沒有寫指數的字母，實際上其指數是1，計算時不能將其遺漏；（2）不能將數字的指數一同計算。二、多項式1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式。詮釋：“幾個”是指兩個或兩個以上。2.多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。詮釋：（1）多項式的每一項包括它前面的符號。（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：是一個三項式。3.多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。詮釋：（1）多項式的次數不是所有項的次數之和，而是多項式中次數最高的單項式的次數。（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出。三、整式1.整式的概念：單項式與多項式統稱為整式。詮釋：單項式、多項式、整式這三者之間的關系如圖所示。即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立。（2）分母中含有字母的式子一定不是整式。知識點3．代數式的值代數式的值：將具體數字代替代數式中對應的字母,計算所得的結果就是這個代數式的值知識點4．合并同類項同類項的概念：一個多項式中，字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項。注意所有的常數項都是同類項。 比如：多項式a2b-a2c-4+3a2b+ab2-a2c+5-ab2中，a2b和3a2b是同類項，-a2c和-a2c是同類項，-4和5是同類項，ab2和-ab2是同類項，而a2b和-a2c不是同類項，因為它們字母不同，a2b和ab2不是同類項，因為它們雖然字母相同，但是相同字母的指數不同。合并同類項的概念：按照乘法分配律把同類項合并成一項叫做合并同類項。合并同類項法則同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和指數不變。詮釋：(1)注意項的系數為負數時的情況，也就是在多項式中遇到減號時，注意此時是加了一個系數為負數的項。(2)字母和指數不變，也就是說，合并同類項之后，僅僅是系數發生了變化，而字母和字母的指數不會發生任何變化，否則就是錯誤。(3)合并同類項之前，應該先移動項，將同類項移動到一起，在移動項的時候，要注意將減號當做負號一起移動。知識點5．去括號一、去括號法則如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。詮釋：去括號法則實際上是根據乘法分配律得到的結論：當括號前為“+”號時，可以看作+1與括號內的各項相乘；當括號前為“-”號時，可以看作-1與括號內的各項相乘。去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是“-”號，然后再根據法則去掉括號及前面的符號。(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以先去中括號．再去小括號．但是一定要注意括號前的符號。（4）去括號只是改變式子形式，不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形。二、添括號法則（1）添括號后，括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；（2）添括號后，括號前面是“-”號，括到括號里的各項都要改變符號。詮釋：(1)添括號是添上括號和括號前面的符號，也就是說，添括號時，括號前面的“+”號或“-”號也是新添的，不是原多項式某一項的符號“移”出來得到的。(2)去括號和添括號的關系如下：如：，知識點6．整式的加減一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。詮釋：（1）整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項。（2）兩個整式相減時，減數一定先要用括號括起來。(3)整式加減的最后結果的要求：①不能含有同類項，即要合并到不能再合并為止；②一般按照某一字母的降冪或升冪排列；③不能出現帶分數，帶分數要化成假分數。知識點7．同底數冪的乘法法則：(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.特別說明：（1）同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.知識點8．冪的乘方與積的乘方一、冪的乘方法則(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(，均為正整數)（2）逆用公式：，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.二、積的乘方法則(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.特別說明：（1）公式的推廣：(為正整數).（2）逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：三、注意事項（1）底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.（2）同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養成先化簡符號的習慣.知識點9．整式的乘法單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.知識點10．乘法公式一、平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如二、完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.四、補充公式；；；.知識點11．因式分解一、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.特別說明：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.二、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．特別說明：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變為正數，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變為：“＋1”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.三、公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.四、公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.五、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項式，若存在，則特別說明：（1）在對分解因式時，要先從常數項的正、負入手，若，則同號(若，則異號)，然后依據一次項系數的正負再確定的符號（2）若中的為整數時，要先將分解成兩個整數的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個整數之和能否等于，直到湊對為止.六、首項系數不為1的十字相乘法在二次三項式(≠0)中，如果二次項系數可以分解成兩個因數之積，即，常數項可以分解成兩個因數之積，即，把排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式的一次項系數，即，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項系數一般都化為正數，如果是負數，則提出負號，分解括號里面的二次三項式，最后結果不要忘記把提出的負號添上.七、分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式八：添、拆項法把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.九：因式分解的解題步驟因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.特別說明：落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.知識點12．整式的除法一、同底數冪的除法法則同底數冪相除，底數不變，指數相減，即（≠0，都是正整數，并且）特別說明：（1）同底數冪乘法與同底數冪的除法是互逆運算.（2）被除式、除式的底數相同，被除式的指數大于除式指數，0不能作除式.（3）當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質.（4）底數可以是一個數，也可以是單項式或多項式.二、零指數冪任何不等于0的數的0次冪都等于1.即（≠0）特別說明：底數不能為0，無意義.任何一個常數都可以看作與字母0次方的積.因此常數項也叫0次單項式.題型一代數式1．（2023秋·七年級課時練習）下列式子符合書寫要求的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據代數式的書寫要求對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、應該寫成，錯誤；B、應該寫成，錯誤；C、應該寫成，錯誤；D、，書寫正確；故選：D．【點睛】本題考查了代數式的書寫要求：（1）在代數式中出現的乘號，通常簡寫成“”或者省略不寫；（2）數字與字母相乘時，數字要寫在字母的前面；（3）在代數式中出現的除法運算，一般按照分數的寫法來寫．帶分數要寫成假分數的形式．2．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期中）如圖，下列整式中不能正確表示圖中陰影部分面積的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】分別用不同方法表示出陰影部分的面積即可判斷．【詳解】解：圖中陰影部分的面積可以表示為：或或，故B，C，D不合題意，A不能表示陰影部分面積，故符合題意；故選A．【點睛】本題考查了列代數式，熟練掌握陰影部分面積的求法是解題的關鍵．鞏固訓練：1．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校校考階段練習）如圖，某長方形廣場四角均設計一塊半徑為的四分之一圓形的花壇，正中是一個半徑為的圓形噴水池，廣場長為，寬為，則廣場空地面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出廣場的面積，草地面積，噴水池面積，用廣場面積減去草地和噴水池的面積即可得出答案．【詳解】解：廣場的面積為，草地的面積為：，噴水池的面積為：，則廣場空地面積為：，故選：．【點睛】本題考查了列代數式，掌握四個花壇的面積正好是一個圓的面積是解答本題的關鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是．【答案】【分析】根據“十位數字乘以10加上個位數字等于這個兩位數”，列代數式即可.【詳解】一個兩位數的十位上的數字是a，個位上的數字是十位上數字的2倍，則這個兩位數是故答案為：12a【點睛】本題主要考查了列代數式，熟練掌握兩位數的表示方法是解題的關鍵.3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）已知的相反數比的2倍多4．(1)用含的式子表示；(2)若，且，求的所有負整數值．【答案】(1)(2)，，，【分析】（1）根據題意列出式子，即可得到答案；（2）先表示出，再根據求出的取值范圍即可．【詳解】（1）解：的相反數比的2倍多4，，用含的式子表示：；（2）解：根據題意得：，，，解得：，的所有負整數值為：，，，．【點睛】本題主要考查了相反數的定義、列代數式、求一元一次不等式的整數解，理解題意，正確進行計算是解題的關鍵．題型二代數式的值3．（2023春·浙江杭州·七年級杭州市十三中教育集團（總校）校聯考期中）若，則的值是（）A．2 B．1 C． D．3【答案】C【分析】原式變形后，將的值代入計算即可求出值．【詳解】解：∵，∴原式，故選：C．【點睛】此題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·七年級校考期中）已知，當時，y的值為2；當時，y的值為．則當時，y的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】D【分析】由題意得到，，求出，，把，，代入即可得到答案．【詳解】解：∵當時，y的值為2；當時，y的值為．①－②得，，解得，把代入①得，，∴當時，，故選：D【點睛】此題考查了解二元一次方程組和求代數式的值，根據題意得到方程組，求出，是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，那么多項式的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】把所求的多項式進行整理，再代入相應的值運算即可．【詳解】解：∵，故選：B．【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．2．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校校考開學考試）若實數，滿足，則．【答案】7【分析】根據非負數的性質可得，解得，的值并代入求值即可．【詳解】解：∵，又∵，，∴可有，解得，∴．【點睛】本題主要考查了非負數的性質、解二元一次方程組以及代數式求值，根據非負數的性質列出二元一次方程組是解題關鍵．3．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學考試）已知代數式，當和時，它的值都為5，當時，它的值為1．(1)求a，b，c的值；(2)當時，求代數式的值．【答案】(1)，，(2)2【分析】（1）由題意知，，計算求解即可；（2）由（1）可知，，把，代入求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，得，，即，得，，即，將，，代入③式得，，解得，∴，，∴，，；（2）解：由（1）可知，，把，代入，∴的值為2．【點睛】本題考查了解三元一次方程組，代數式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與正確運算．題型三合并同類項5．（2023春·湖南郴州·七年級校考階段練習）若與的和是單項式，則，的值為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意知，與是同類項，根據同類項的定義中相同字母的指數也相同，得到、的方程，可分別求得和的值．【詳解】解：由題意知，解得，．故選：A．【點睛】本題考查了同類項，同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數相同，是易混點，因此成了中考的常考點．6．（2023秋·全國·七年級專題練習）下列說法正確的是（

）A．與是同類項 B．與是同類項C．與是同類項 D．與是同類項【答案】D【分析】根據同類項的定義進行分析判斷．【詳解】解：A、與所含字母不同，不是同類項，不符合題意；B、與是所含相同字母x的指數不同，不是同類項，不符合題意；C、與所含相同字母x的指數不同，不是同類項，不符合題意；D、與含有相同的字母，且相同字母的指數相同，是同類項，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了同類項的知識，解答本題的關鍵是掌握同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數相同．鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·六年級校考開學考試）如果單項式與的和仍然是一個單項式，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可知單項式與是同類項，再根據同類項，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，可得和的值，從而得結論．【詳解】解：單項式與的和仍然是一個單項式，單項式與是同類項，，，解得：，，．故選：．【點睛】此題主要考查了同類項，熟記同類項的定義是解答本題的關鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）如果與是同類項，則的值為．【答案】【分析】根據同類項是定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項，求出a和b的值，再將a和b的值代入即可求解．．【詳解】解：∵與是同類項，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了同類項的定義，解題的關鍵是掌握同類項是定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項．3．（2023春·福建福州·七年級統考開學考試）已知a是最大的負整數，與是同類項，且a，b，c分別對應數軸上的點A，B，C．(1)求出a，b，c的值；(2)若點A以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左運動，同時點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，當點B恰好是的中點時，求運動時間t的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據最大的負整數是，即可得出a的值，根據同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項，即可求出b和c的值；（2）當運動時間為t時，點A表示的數是，點B表示的數是，點C表示的數是6則，，根據點B是AC的中點，得出，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：最大的負整數是，，與是同類項，，；（2）解：當運動時間為t時，點A表示的數是，點B表示的數是，

點C表示的數是6，，

，點B是的中點，，，

解得，所以當點B恰好是的中點，t的值是．【點睛】本題主要考查了同類項的定義，數軸上兩點之間的距離，解一元一次方程，解題的關鍵是掌握同類項的定義：所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式是同類項；線段中點的定義；以及解一元一次方程的方法和步驟．題型四整式的加減7．（2023秋·七年級課時練習）減去等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據合并同類項的法則及去括號法則直接求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選：C；【點睛】本題考查合并同類項的法則及去括號法則，解題的關鍵是去括號時括號前是負號，去掉括號所有項都要變號．8．（2023秋·七年級課時練習）如果關于的代數式的值與無關，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用關于的代數式的值與無關，即可得出同類項的系數和為0，進而得出b的值．【詳解】∵關于的代數式的值與無關，∴，解得：，故選D．【點睛】此題考查整式加減，根據題意得出m，n的方程是解題關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·全國·七年級專題練習）某同學在完成化簡：的過程中，具體步驟如下：解：原式①②③以上解題過程中，出現錯誤的步驟是（

）A．① B．② C．③ D．①，②，③【答案】C【分析】根據整式的加減計算中，去括號的法則即可求解．【詳解】錯誤的步驟是③正確的解答過程如下：原式①②③故答案為：C【點睛】本題考查了整式的加減，在去括號的時候要注意符號的變化，合并同類項時，系數相加減．2．（2023秋·七年級課時練習）若式子的值與字母的取值無關，則式子的值為．【答案】1【分析】先將原代數式化簡，再根據代數式的值與字母x的取值無關，可得式子的值與字母的取值無關，，，從而解得a，b，再將式子化簡后代入，即可求解．【詳解】解：，∵式子的值與字母的取值無關，∴，，∴，，∴．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了整式加減的混合運算，根據代數式的值與字母x的取值無關，得到，是解題的關鍵．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）小明在做一道數學題：“化簡：．”他根據此題拓展提出了下列問題：(1)如果這個整式化簡后是常數，求的值；(2)若，，求原式的值；(3)若，原式的值為4，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先對原式進行化簡，根據化簡后是常數可知關于x的項系數為0，據此求解即可；（2）將，代入化簡后的式子，計算即可；（3）將，原式的值為4代入，可得關于a的方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵整式化簡后是常數，∴，解得．（2）解：當，時，．（3）解：∵，原式的值為4，∴，解得．【點睛】本題考查整式的加減以及代數式求值，掌握整式加減的運算法則是解題的關鍵．題型五同底數冪的乘法9．（2023春·湖南永州·七年級校考期中）已知，，則的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】根據冪的運算公式：，進行逆用運算，即可求解．【詳解】解：；故選：C．【點睛】本題主要考查了同底數冪的乘法公式的逆用，掌握公式用法是解題的關鍵．10．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）若，則（

）A．15 B．5 C．6 D．14【答案】C【分析】根據代數式右邊的結果可以看出，其左邊各項需要整理成以3為底的冪的形式，并進行合并進而求解．【詳解】解：．，．故選：C．【點睛】本題考查同底數冪的乘法等，是初中數學中最基本的運算．一定要在深刻理解的基礎上多練習，牢記運算法則．鞏固訓練1．（2023春·江蘇淮安·七年級統考期末）如果，那么我們規定．例如：因為，所以．記，，．則a、b和c的關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】根據題意分別表示出關于的等式，即可判斷它們的關系。【詳解】解：∵，，∴，，又∵∴，即故選：C【點睛】本題考查同底數冪的乘法，掌握同底數冪的乘法法則逆用是解題的關鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級統考期末）已知，，則．【答案】8【分析】根據同底數冪乘法的逆運算，即可求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了同底數冪乘法的逆運算，熟練掌握同底數冪乘法的逆運算法則是解題的關鍵．3．（2023秋·八年級課時練習）計算：(1)；(2)；(3)（為大于1的整數）；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先確定符號，再根據同底數冪乘法法則進行計算；（2）根據同底數冪乘法法則進行計算；（3）根據同底數冪乘法法則進行計算；（4）先變形為同底數冪，再根據同底數冪乘法法則進行計算．【詳解】（1）（2）（3）（4）【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，掌握運算法則是解題的關鍵．題型六冪的乘方與積的乘方11．（2023春·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用冪的乘方的法則及同底數冪的乘法的法則進行運算即可．【詳解】解：當時，．故選：B．【點睛】本題主要考查積的乘方，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．12．（2023春·陜西榆林·七年級校考期中）計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據積的乘方和冪的乘方進行計算即可．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查積的乘方和冪的乘方，積的乘方等于乘方的積，冪的乘方：底數不變，指數相乘．鞏固訓練1．（2023春·遼寧阜新·七年級校聯考期中）若，，則的值為（

）A．40 B．100 C． D．【答案】C【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則以及冪的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】∵，，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘法運算以及冪的乘方運算，正確將原式變形是解題關鍵．2．（2023春·遼寧朝陽·七年級校考期中）計算；；．【答案】【分析】根據同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪的運算法則計算即可．【詳解】解：；；．故答案為：；；．【點睛】本題考查同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪，熟練掌握同底數冪相乘、積的乘方與冪的乘方、負整指數冪的運算法則是解題的關鍵．3．（2023春·山東東營·六年級校考階段練習）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）按照同底數冪相乘法則計算即可；（2）按照同底數冪相乘法則計算即可；（3）先計算冪的乘方和積的乘方，再合并即可；（4）利用積的乘方的逆運算計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：，=，=，=．（4）解：=，=，=，=．【點睛】本題考查了冪的運算，解題關鍵是熟練掌握冪的運算法則，準確進行計算．題型七整式的乘法13．（2023春·安徽滁州·七年級校考期中）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據整式乘除運算、多項式乘多項式法則即可求出答案．【詳解】解：選項A，原式，錯誤；選項B，原式，錯誤；選項C，原式，錯誤；選項D，原式，正確．故選：D．【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式乘除運算、多項式乘多項式法則，本題屬于基礎題型．14．（2023春·廣西賀州·七年級校考期中）已知，則代數式的值為（

）A．8 B．14 C． D．2【答案】D【分析】先根據單項式乘以多項式法則可得，再代入計算即可得．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查了代數式求值、單項式乘以多項式，熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則是解題關鍵．鞏固訓練1．（2023春·四川雅安·七年級統考期末）已知，則的值為（

）A．1 B． C． D．4【答案】B【分析】根據多項式乘以多項式，即可解答.【詳解】解：，∵，∴，∴，故選：B.【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，解決本題的關鍵是熟記多項式乘以多項式.2．（2023春·四川達州·七年級四川省大竹中學校考期末）若的積中不含項與項．則代數式的值為．【答案】/0.5【分析】利用多項式乘多項式的法則進行計算，然后根據題意可得，，從而可得m，n的值，最后代入式子中進行計算，即可解答．【詳解】解：，的積中不含項與項，，，，，，代數式的值為，故答案為：．【點睛】此題考查的是多項式乘多項式，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．3．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）觀察下列各式．(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①____________②____________③(2)應用規律計算：【答案】(1)①；②；③(2)【分析】（1）根據給出的等式可知，三項式的特點為：因式中二項式首平方，尾平方，首尾相乘的相反數在中央；計算結果為兩個因式首項的積加上尾項的積；（2）將第一個因式分解因式，然后利用得出的規律計算即可得到結果．【詳解】（1）解：∵；；；∴得到三項式的特點為：因式中二項式首平方，尾平方，首尾相乘的相反數在中央；計算結果為兩個因式首項的積加上尾項的積；∴①；②；③；故答案為：①；②；③；（2）解：原式．【點睛】本題考查了規律探索，多項式的乘法，因式分解，解題的關鍵是根據所給等式探究規律，得出規律，運用得到的規律解答．題型八平方差公式15．（2023春·陜西寶雞·七年級校考階段練習）下列算式能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平方差公式的特點逐項判斷即可．【詳解】解：A、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；B、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；C、，不能用平方差公式計算，故本選項不符合題意；D、，能用平方差公式計算，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平方差公式，屬于基本題型，熟知平方差公式的結構特點是解題的關鍵．16．（2023春·山東菏澤·七年級統考期中）化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】添一個，從而和湊成平方差，然后再連續運用平方差公式進行計算即可．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題考查了平方差的應用，添項是解決此類問題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·河北石家莊·七年級校考期中）已知，則括號里應填（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平方差公式：，即可確定答案；【詳解】，故選：B【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌據平方差公式是解題的關鍵2．（2023·全國·八年級專題練習）已知，則的個位數字為．【答案】【分析】先變形為在依次利用平方差公式計算得到，然后找規律求解．【詳解】，，，，∵，，，，…，的個位數字為，∴的個位數字為，故答案為：．【點睛】此題考查了平方差公式，解題的關鍵是熟練掌握兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差，即．3．（2023秋·河南濮陽·八年級校考期末）觀察下列各式：；；．(1)請你按照以上各式的運算規律，填空．①；②；③．(2)應用規律計算：．【答案】(1)①；②；③；(2)【分析】（1）根據材料中的規律可得結論；（2）先將分解為，再分別與后兩項組合為立方和，立方差公式，最后再根據平方差公式進行計算即可．【詳解】（1）①；②；③．故答案為：①；②；③；（2）．【點睛】本題考查了平方差公式及整式的混合運算，能根據求出的算式得出規律是解此題的關鍵．題型九完全平方公式17．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如果，那么（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】將所求式子變形為，再整體代入求值即可．【詳解】解：原式，，，．故選：D．【點睛】本題考查利用完全平方公式變形求值．熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．18．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（

）A． B．．C． D．【答案】B【分析】分別計算各選項后，即可得到答案．【詳解】解：A．，故選項不符合題意；B．，故選項符合題意；C．，故選項不符合題意；D．，故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了乘法公式和多項式的乘法，熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023秋·八年級課時練習）若，則的結果是（

）A．23 B．8 C． D．【答案】A【分析】根據完全平方公式得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了了完全平方公式，解題的關鍵是掌握完全平方公式．2．（2023春·福建三明·七年級校考階段練習）我們把形如“”的式子稱為完全平方式，若是一個完全平方式，，且，則．【答案】4【分析】根據完全平方式的特點，以及負整數指數冪的法則，求出的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵是一個完全平方式，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：4．【點睛】本題考查完全平方式和負整數指數冪．熟練掌握完全平方式的特點和負整數指數冪的法則，是解題的關鍵．3．（2023春·安徽宣城·七年級校考期中）配方法是數學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的整體或某一部分通過恒等變形，化為一個完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決一些問題．我們定義：一個正整數能表示成（a、b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”，例如，5是“完美數”，理由：因為，所以5是“完美數”．【解決問題】（1）已知29是“完美數”，請將它寫成（a、b是正整數）的形式：______；（2）已知，求的值；【探究問題】（3）已知（x是正整數，y是大于1的正整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件k的值，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）13，理由見解析【分析】（1）根據“完美數”的定義，即可求解；（2）可化為，可得，，即可求解；（3）可化為，根據“完美數”的定義，可得，即可求解．【詳解】解：（1）根據題意得，故答案：；（2）由題意得，即，，，，，解得：，，則；（3）當時，S為“完美數”，理由如下：，S為“完美數”，，解得：，是正整數，y是大于1的正整數，，也是正整數，是一個“完美數”．【點睛】本題考查了新定義，配方法，理解新定義，掌握配方法是解題的關鍵．題型十乘法公式在幾何背景下的應用19．（2023春·山東棗莊·七年級校考階段練習）如圖，將邊長為的正方形沿虛線剪成兩個正方形和兩個長方形．若去掉邊長為的小正方形后，再將剩余部分拼成一個長方形，則長方形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，先將剩余部分拼成長方形，再根據圖形的邊長關系將新長方形的長和寬表示出來，就可以計算面積．【詳解】解：如下圖所示，

可以將圖①拼到到圖②的位置，就構成了長方形：該長方形的長為：，寬為：，則長方形的面積為：，故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質，矩形周長的計算，單項式乘以單項式，題目較簡單，解題的關鍵是能夠用剩余部分圖形拼出矩形．20．（2023春·浙江杭州·七年級統考期中）如圖張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．若，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如下圖，先求出空白部分的面積，然后求出陰影部分的面積，利用，可得出a、b之間的關系．【詳解】如下圖

則空白部分的面積+化簡得：∵∴化簡得：∴，即，故選：C．【點睛】本題考查完全平方公式的計算與化簡，解題關鍵是先求出和的面積．鞏固訓練1．（2023春·甘肅蘭州·七年級統考期中）下面給出的三幅圖都是將陰影部分通過割，拼，形成新的圖形，其中不能驗證平方差公式的是（

）

A．① B．②③ C．①③ D．③【答案】D【分析】根據各個圖形中陰影部分面積的“算兩次”，進而判斷是否驗證平方差公式即可．【詳解】解：圖①中，將陰影部分沿著虛線裁剪，可以拼成右側的平行四邊形，陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，所以圖①可以驗證平方差公式，不符合題意；圖②中陰影部分面積可以看作兩個正方形的面積差，即，所拼成的長方形的長為，款為，因此面積為，所以有，因此圖②可以驗證平方差公式，不符合題意；圖③中陰影部分可以看作是邊長為的正方形，因此面積為，所拼成的圖形中陰影部分的面積可以看作四個小正方形的面積和，，因此不能驗證平方差公式，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的前提，用代數式表示圖形中陰影部分的面積是解決問題的關鍵．2．（2023春·山東聊城·七年級統考期末）現有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點H為的中點，連接．將乙紙片放到甲的內部得到圖2．已知甲、乙兩個正方形邊長之和為6，圖2的陰影部分面積為2，則圖1的陰影部分面積為．

【答案】10【分析】設甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據題意可得：，根據完全平方和公式得到，即兩個正方形的面積和，結合圖形用正方形的面積和減去和的面積，即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：設甲正方形的邊長為a，乙正方形的邊長為b，根據題意可得：，，，，是的中點，，，，．故答案為：10．

【點睛】本題考查完全平方公式的運用，正確對完全平方公式進行變形是解題的關鍵．3．（2023春·山東濟南·七年級統考期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于___________；面積等于___________．(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式之間的等量關系為___________．(3)運用你所得到的公式計算：若m、n為實數，且，試求的值．(4)如圖3所示，兩正方形和正方形邊長分別為α、b，且，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)(3)；(4)10【分析】（1）根據圖中給出的數據即可求得圖乙中陰影部分正方形邊長，根據正方形的面積公式求得面積；（2）用兩種不同方式求得陰影部分面積可得關于、、的等式；（3）根據（2）中結論即可解題；（4）利用，整理變形，代入，，得到結果．【詳解】（1）解：圖中陰影部分邊長為，則陰影部分的面積為；故答案為：；；（2）解：用兩種不同的方法表示陰影的面積：方法一：陰影部分為邊長的正方形，故面積；方法二：陰影部分面積；∴；即，故答案為：；（3）解：由（2）得，，∵，∴，∴；（4）解：．【點睛】本題考查了完全平方公式及應用，解題關鍵是用不同方法表示同一圖形面積．題型十一提取公因式法21．（2023秋·全國·八年級課堂例題）把分解因式時，應提取的公因式是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】找出各項的公因式即可．【詳解】解：把分解因式時，應提取的公因式是．故選：C．【點睛】此題考查了因式分解-提公因式法，找出各項的公因式是解本題的關鍵．22．（2023春·浙江溫州·七年級校聯考期中）已知，，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】將所求代數式化為，再代值求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握提公因式法分解因式的方法是解答的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·河北邯鄲·八年級統考期末）將多項式因式分解，結果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先提取公因式，再對余下的項進行合并，整理，然后觀察，如果能夠分解的一定要分解徹底，如果不能分解，就是最后的結果．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查用提公因式法進行因式分解的能力，難點在于把看作一個整體．2．（2023春·安徽合肥·七年級統考期末）已知關于的二次三項式可分解為，則的值為．【答案】9【分析】把展開，求出、的值，計算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：9．【點睛】本題考查了整式的乘法和因式分解，解題關鍵是熟練運用整式乘法法則進行計算．3．（2023秋·八年級課時練習）分解因式：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接提取公因式進行分解因式即可；（2）直接提取公因式進行分解因式即可；（3）直接提取公因式進行分解因式即可．【詳解】（1））解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解題的關鍵．題型十二公式法23．（2023秋·八年級課時練習）下列等式從左到右的變形，屬于因式分解且正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據因式分解的定義進行逐一判斷即可：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式叫做因式分解．【詳解】解：A、，原式因式分解錯誤，不符合題意；B、，等式右邊不是乘積的形式，不是因式分解，不符合題意；C、，是因式分解且分解正確，符合題意；D、，原式因式分解錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了因式分解的定義和公式法分解因式，熟知因式分解的定義和方法是解題的額關鍵．24．（2023春·四川達州·七年級校考期末）若，那么代數式應為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對式子進行因式分解，即可求解．【詳解】解：∵，∴．故選：A．【點睛】此題考查了利用平方差公式進行因式分解，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式．鞏固訓練1．（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據完全平方公式因式分解，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，不能因式分解，故該選項不正確，不符合題意；

B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.，故該選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．2．（2023春·陜西渭南·八年級統考期中）已知，則代數式的值為．【答案】18【分析】先因式分解再代入數據解題即可．【詳解】解：，當時，原式故答案為：18．【點睛】本題主要考查整式的因式分解，能夠熟練運用提公因式以及完全平方公式是解題關鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級校考期中）閱讀材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，可以得到：原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法，問題解決：(1)因式分解：(2)因式分解：(3)證明：若n為正整數，則代數式的值一定是某個整數的平方．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）用換元法設，將原式化為，再利用完全平方公式得出，再將A還原即可；（2）設，則原式后，再將B還原后，最后再利用完全平方公式即可；（3）先計算，再利用完全平方公式即可．【詳解】（1）解：令，，將“A”還原，可以得到：原式；（2）解：令，則，將“B”還原，可以得到：原式；（3）解：，∵n為正整數，∴正整數．∴，即代數式的值一定是某個整數的平方．【點睛】本題考查換元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵．題型十三十字相乘法25．（2023春·河北保定·八年級校考期末）若多項式可分解為，則的值為（

）A． B． C．3 D．11【答案】C【分析】根據十字相乘法的分解方法和特點可知：，，據此可得，，問題隨之得解．【詳解】解：多項式可分解為，，，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對常數項的不同分解是解本題的關鍵26．（2023春·廣西貴港·七年級統考期中）下列各組式子中，因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據十字相乘法，完全平方公式，提公因式法因式分解，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，故該選項正確，符合題意；

B.，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項不正確，不符合題意；

D.不能因式分解，故該選項不正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023·上海·七年級假期作業）將下列多項式分解因式，結果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【分析】首先把每個選項中的多項式進行因式分解，再根據結果即可判定．【詳解】解：A．原式＝x（x+2），故此選項不符合題意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此選項不符合題意