2017年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答踵繳指定位置上.

1-COS

(D)若函數/(九)=｛一公—在x=0處連續，則()

b,x<0

(A)ab=q(C)4〃=0(D)出;=2

【答案】"A

1

X

2-

f(x)在x=0處連續.?.工=〃=48=」.選人.

【解析】lim-

vKA4la2

(2)設二階可導函數f(x)滿足/⑴=/(—1)=1,/(0)=-1且/(x)>0,則()

【答案】B

【解析】

“X)為偶函數時滿足題設條件，此時J：/(x)dx=J：/U)公，排除C,D.

取/(x)=2x-滿足條件，則￡/*)公=口2/-1)仆-：<0,選B.

(3)設數列｛七｝收斂，則()

(A)當limsinx=0時，Iimx=0(B)當+J\xI)=0時，lim.v,,=0

;1n—>oon/i->coYlln->oo

(C)當lim(x“+xj)=0時，limx=0(。)當lim(x+sinx)=0時，limx,,=0

〃一>oo〃一"fg

【答案】D

【解析】特值法：(A)取乙二不，有limsinx”=0,limx“=4，A錯;

取4=-1,排除B,C.所以選D.

(4)微分方程的特解可設為

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe2r+e2x(Bcos2x+Csin2x)

【答案】A

【解析】特征方程為：萬―42+8=0=4.2=2±2i

故特解為：y*=y：+)匚=A*+xe2x(Bcos2x+Csin2x\選C.

(5)設/(x,y)具有一階偏導數，且對任意的(x,y),都有嗎辿>(),嗎口2>。，貝ij

oxoy

(A)/(O,O)>/(1J)(B)/(0,0)</(1,1)(C)/(O,l)>/(1,O)(D)/(OJ)</(1,O)

【答案】C

【解析】曄更>0,嗎M<O,n/(x,y)是關于x的單調遞增函數，是關于y的單調遞減

oxdy

函數，

所以有/(0,1)</(11)</(1,0)，故答案選D.

(6)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實線表示甲的速

度曲線u=M(f)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線□=%?),三塊陰影部分面積的數

值依次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時刻記為力(單位：s),則()

(A)r0=10(B)15<r0<20(C)r0=25(D)r0>25

【答案】B

【解析】從0到這段時間內甲乙的位移分別為廣匕(1辿,［：匕⑴血則乙要追上甲，則

￡v2(t)-v1(tWr=10,當=25時滿足，故選C.

,°)

(7)設A為三階矩陣，尸=(%,%，%)為可逆矩陣，使得尸“尸=1，則

.%?,%,%)二()

(A)ax+a2(B)%+2a3(C)%+%(D)%+2%

【答案】B

【解析】

000

P-'AP=

I=>AP=P1n4(四，％,%)=(四，%，％)1=a2+2a3，

22J2

因此B正確。

(8)設矩陣A=()

(A)4與C相似,8與。相似(B)A與Cffl似,B與C不相似

(C)4與C不相似,5與C相似(D)A與C不相似,5與C不相似

【答案】B

【解析】由憶石-川=0可知A的特征值為2,2,1,

Q0()、

因為3—r(2￡—A)=l,「.A可相似對角化，即4~020

、。。2)

由日后一回=0可知B特征值為2,2,1.

因為3-"2石-區)=2,???B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，???A~C，但B不相

似于C.

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答朗納指定位置上.

(2、

(9)曲線y=x1+arcsin-的斜漸近線方程為

【答案】y=x+2

【解析】

(10)設函數產)*)由參數方程卜二'+/確定，則=______

?

l>=sinrdx~/=0

【答案】［

【解析】

dx=_______

【答案】1

【解析】

(12)設函數/(%)，)具有一階連續偏導數，且df(x,y)=W&+x(l+)，)e”，/(0,0)=0,則

f(x9y)=

【答案】孫"

［解析［f［=ye',f；=x(l+y)ey,f(x,y)=jyeydx=xyey+c(y),故

fy=xey+xyey+cr(y)=xey+xyey,

因此c'(y)=0,即c(y)=C,再由/(0,0)=0,可得/(',)，)=盯".

【答案】

【解析】

/＜八NPtanx,

(⑶十——

【答案】Incosl.

【解析】交換積分次序：

tanX1

(.lx=fdi「tan'_f'tan9_jncos?

JoJyxJoJoxJo

-41-21(1、

(14)設矩陣A=I2a的一個特征向量為1貝Ui=_____

_31-1J12,

【答案】-1

1、

【解析】設a=1,由題設知Aa=/kz,故

2

故a=—1.

三、解答題:15-23小題,共94分.請將解答寫在管熟紙指定位置上.解答應寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

fyjx-te'dt

(15)(本題滿分10分)求極限lim加~產—

【答案】-

3

【解析】lim「dt，令x-7=〃，則有

J。岳

(16)(本題滿分10分)設函數/(〃f)具有2階連續偏導數，y=f(e\cosx),求學

dxr=o

d2y

dx1

x=0

【答案】牛=￡(1,1),等=<,(1,1),

&x=odx-x=0

【解析】

結論：

(本題滿分10分)求出瑤和(1

(17)

【答案】-

4

【解析】

(18)(本題滿分10分)已知函數)，(幻由方程1+)'3-3工+3)」2=0確定，求y(x)的極值

【答案】極大值為武1)=1,極小值為M-l)=0

【解析】

兩邊求導得：

31+3)，2尸3+3)，'=0(1)

令》'=()得不=±1

對(1)式兩邊關于x求導得6x+6y(y')2+3y2y”+3y”=0(2)

將X=±1代入原題給的等式中，得「T"F=T,

y=1［y=0

酹x=l,y=l代入(2)得y"(l)=—1<()

將x=T,y=0代入(2)得y”(T)=2>0

故x=l為極大值點，y⑴=1；1=一1為極小值點，y(-l)=0

(19)(本題滿分10分)設函數/(x)在區間上具有2階導數，且/(1)>0,

證明：

⑴方程/(x)=0在區間(0,1)內至少存在一個實根；

(門)方程/(幻/'*)+(/'(切2=0在區間(0,1)內至少存在兩個不同實根。

【答案】

【解析】

(I)/(x)二階導數，/(I)>0,lim<0

-v-*o'x

解：1)由于lim△△<(),根據極限的保號性得

3^>0,V.re(0,^)w<0,即ZV)<0

X

進而切￡(0?)有/(“VO

又由于/(x)二階可導，所以/(X)在［0,1］上必連續

那么/(X)在1］上連續，由/⑹<0,/(1)>0根據零點定理得：

至少存在一點4￡(氏1),使/C)=0,即得證

(II)由(1)可知八0)=0,3^e(0.1),<W)=0,令F(x)=/a)/(X)，則/(0)=/《)=0

由羅爾定理士7t(0看)，使f'8)=0,則HO)=FS)=F?=0,

對F*)在(0,7；),(；7,⑤分別使用羅爾定理：

37e(0力)，%e(小4)且％,%w(0,1)力產〃2,使得尸(小)=/(%)=。，即

F'(x)=/(x)/"(x)+(/(0)2=0在(0,1)至少有兩個不同實根。

得證。

(20)(本題滿分11分)已知平面區域O={(x,)，)|f+)，2<2)，},計算二重積分爪/+1)飛山，。

D

【答案】—

4

【解析】

2222

JJ^x+\\dxdy=JJ(x+1yIxily=2jjxIdxdy+jjdxdy=2￡4。］；rcosgjg+^-=—

DDDD4

(21)(本題滿分11分)設)，(幻是區間(0q)內的可導函數，且)")=0,點戶是曲線L：

y=)，(x)上任意一點,L在點P處的切線與y軸相交于點(0，Z，),法線與x軸相交于點(Xp,0),

若Xp=〃，求L上點的坐標(.%y)滿足的方程。

【答案】

【解析】設p(x,y(x))的切線為y-y(x)=y(x)(XT),令X=0得］=y(x)-y'a)x,法線

Y-yM=--f—(*一耳,令丫=0得*〃=1+y(x)yXx)，由X〃=〃得y-獷(x)=工+yyf(x)，

yM

即(2+1］)，'(幻=2-1。令2=〃，則y=依，按照齊次微分方程的解法不難解出

\X)XX

—ln(w2+1)+arctanw=-In|x|+C,

x

(22)(本題滿分11分)設3階矩陣A=(%%,4)有3個不同的特征值，且4=%+2%。

⑴證明：r(A)=2

(JI)若〃=%+%+%，求方程組Ar=/的通解。

'1、rr

【答案】(I)略；(II)通解為女2+1,keR

【解析】

(I)證明：由%=4+2。2可得/+2%-%=0,即囚,%,%線性相關,

因此，網=做%匈=0,即A的特征值必有0。

又囚為A有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1個0,另外兩個非0.

且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為A=4，4工4工0

I

r（A）=r（A）=2

（II）由（1）"A）=2,知3-（4）=1,即Ar=O的基礎解系只有1個解向量,

由1+2%-%=0可得(q,%,%)2=A2=0,則/tv=O的基礎解系為2

又/=1+%+%，即（%,。2。3）1=A1=p,則Ar=〃的一個特解為11

綜上，4x=夕的通解為女2+T,kwR

V>

（23）（本題滿分11分）設二次型/區,X2，玉）=2玉2-%；+渥+2M工2-8工/3+2%243在正交變

換X=QV下的標準型4及，求〃的值及一個正交矩陣。.

6限

【答案】a=2:Q=Jx=Qy-3y；+6yl

正

【解析】

'21-4、

T

/(x,,x2,x3)=XAX,其中A=1-11

[■41a)

由十/a，jx3)=xZx經止交變換后，得到的標準形為4犬+石￡,

21-4

故r(A)=2=>|A|=0=>1-11=0=>6/=2,

-4Ia

,21-4、

將。=2代入，滿足r(A)=2,因此〃=2符合題意，此時A=1-11,則

「412,

A-2-14

\AE-A\=-1A+l-1=o=>4=-3,4=o,4=6,

4—1A—2

由(-3￡-A)x=0,可得A的屬于特征值-3的特征向量為%=-1

一、

由(6E-A)x=0,可得A的屬于特征值6的特征向量為火0

J>

「1、

由(0E-A)x=0,可得A的屬于特征值0的特征向量為%=2

、

令p=（%%4），=6,由于%,巴,巴彼此正交，故只需單位化即可:

P\=專（11』）,次

—

耳

F

—-3

2

則。=（/?/四）=f0，r6

孟QAQ=

0

11

忑正

2016年考研數學二真題

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

1.當X70+時，若111a(1+2X),(1-COSX)。均是比X高階的無窮小，則。的可能取值

范圍是()

(A)(2,+oo)(B)(1,2)(C)(-,1)(D)(0,-)

2

2.下列曲線有漸近線的是

,1)1

(A)y=x+sinx(B)y=x~+sinx(C)y=x+sin—(D)y=x~4-sin—

xx

【詳解】對于y=x+sin',可知lim』=1且lim(y-x)=limsin，=0,所以有斜漸近

XXfx>Xx-KOXf8X

線y=x

應該選(C)

3.設函數/(X)具有二階導數，g(x)=/(0)(l-x)+/(l)x,則在［0,1］上()

(A)當尸(x)N0時，f(x)^g(x)(B)當r(x)N0時，f(x)<g(x)

(C)當/”(x)N0時，f(x)>g(x)(D)當/"(x)N0時，f(x)<g(x)

23

r=/a.7

4.曲線'上對應于，=1的點處的曲率半徑是()

y-t~+4，+1

(A)—(B)—(C)loVio(D)5V10

50100

5.設函數，(x)=arctanx,若=則()

x-Ox-

211

(A)1(B)-(C)-(D)-

323

6.設〃(x,y)在平面有界閉區域。上連續，在D的內部具有二階連續偏導數，且滿足

d~u/d~ud~upi"/、

dxdydx2dy2

(A)u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區域D的邊界上；

(B)〃(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區域。的內部；

(C)〃(x,y)的最大值點在區域。的內部，最小值點在區域。的邊界上；

(D)〃(占y)的最小值點在區域。的內部，最大值點在區域。的邊界上.

0ab0

,一一、。00b

7.行列式八八等于

0cdj0

c00d

(A)(ad-be)2(B)-(ad-be)2(C)a2d2—b2c2(D)-a2d2-^-h2c2

8.設%,。2,。3是三維向量，則對任意的常數A，/，向量。1+左。3，%+1%線性無關是

向量四,4,火線性無關的

(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

9.[--—-----dx=.

JYJT+2x+5

10.設/(x)為周期為4的可導奇函數，且r(%)=2(x-l),XG[0,2],則/(7)=.

7

11.設z=z(x,y)是由方程+x+J?+z=7確定的函數，貝!

41支J

12.曲線L的極坐標方程為r=C,則L在點處的切線方程為.

13.一根長為1的細棒位于x軸的區間[0,1]上，若其線密度)(刈=--+2-1,則該

細棒的質心坐標]=.

2

14.設二次型/(xnx2,x3)=x)-x1+2axi工3+4看“3的負慣性指數是匕貝””的取值范

圍是.

三、解答題

15.(本題滿分10分)

j(t~(c1—1)—t)dt

求極限lim蟲----------——，

XT+84I

x2ln(l+-)

x

16.(本題滿分10分)

已知函數y=y(x)滿足微分方程，+y2V=1-V,且丁(2)=0,求)(*)的極大值和極小

值.

17.(本題滿分10分)

設平面區域。={(與y)|1</+丁2<4,x^0.j>0).計算)dxdy

Dx+y

18.(本題滿分10分)

設函數/(〃)具有二階連續導數，2=/(6履08了)滿足丁丁+二=(叔+/(：087)621若

dx“oy~

y(O)=O,/*(O)=O,求/(〃)的表達式.

19.(本題滿分10分)

設函數/(x),g(x)在區間力]上連續，且/(X)單調增加，04g(x)41,證明：

(1)0Vfg(t)dt4x-a,xG[a,b]；

Ja

(2)j：*""f(x)dx4f〃x)g(x)dx.

20.(本篙滿分11分)°

設函數/(x)=A，xe[0,l],定義函數列

fl(X)=f(x)f/‘2(X)=/(/(X))，…/(X)=/(/〃-l(X))，…

設S”是曲線y=/〃(x),直線x=l,y=0所圍圖形的面積.求極限

n-xx>

21.(本題滿分11分)

已知函數/(x,y)滿足萼=2(『+1)，且/(%[)=(y+-(2-7)1"，求曲線/(x,y)=0

辦

所成的圖形繞直線y=-1旋轉所成的旋轉體的體積.

22.(本題滿分11分)

‘1-23-4、

設4=01-11,E為三階單位矩陣.

J203,

(1)求方程組AX=0的一個基礎解系;

(2)求滿足A3=E的所有矩陣.

23.(本題滿分11分)

110…01、

10…02

證明〃階矩陣與相似.

1???\)(0…0n)

2015年全國碩士研究生入學統一考試數學(二)試題

一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符

合題目要求的，請將所選項前的字母填在筍型紙指定位置上.

⑴下列反常積分收斂的是()

吶「人"

?X

(2)函數“力="(1+怨~)，在(70,+oo)內()

(A)連續

(B)有"可去間斷點

(C)有跳躍間斷點

(D)有無窮間斷點

xacos」,x>0

(3)設函數〃%)=?產(a〉0]>0),若f'(x)在x=0處連續則：()

0,x<0

(A)0(B)()<?-/?<1

(C)a—〃>2(D)0<a—〃W2

⑷設函數/(幻在(華,笆)內連續，其中二階導數廣(幻的圖形如圖所示，則曲線

y=/(x)的拐點的個數為0

(A)0(B)l(C)2(D)3

⑸設函數滿足/x+y,^}=x2-y2,則需與景仁：依次是()

(A)1,O(B)()1(C)-1()(D)0,-1

⑹設。是第一象限由曲線2尢)，=1,4xy=l與直線y=x,)，=百工圍成的平面區域，函

數/(x,y)在。上連續，則，/(人」)力^>=()

D

(A),40「喂/(rcos0,rsin0\dr

42sin20

x]

(B)JJdO^J呼。于(rcos0,rsinO^rdr

4&sin2?

x]

(C)jjdejsm產f(rcos0,rsinOyylr

42sin26>

(D)，內產y(rcos3,rs\n0)dr

742sm20

"11)『］

⑺設矩陣4=12a,b=d,若集合O={1,2},則線性方程組Ar=力有無窮多解

J4d2

\u7

的充分必要條件為0

(A)aCl,cleQ(B)〃e0,4GQ

(C)tzGQ,JQ(D)6/GQ,JEQ

⑻設二次型“小巧,2)在正交變換x=Py下的標準形為2M2+yj-yj,其中

P=(e1,e2,e3),若。=(e”-%，。2)則/=(西,巧，巧)在正交變換*=0下的標準形為

()

(A)2y：一狀+yf(B)2y-+￡-式

(C)2y：一式一次①)2/+貢+年

二、填空題：914小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

x=arctant

(9)則禍

(10)函數/(%)=f.2］在x=0處的〃階導數r(o)=

(11)設“X)連續，°(x)=J；x/(f)力，若0⑴=1,0⑴=5,則/(1)=

(12)設函數y=y(x)是微分方程)；+)；-2y=。的解，且在x=0處y(x)取得極值3,則

yx二.

(13)若函數Z=z(x,y)由方程小2小+盯z=1確定，則dz(0,0)'

1

(14)若3階矩陣A的特征值為2,-2,1,B=A-A+E，其中￡為3階單位陣，則行列式

14二.

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答?題?紙?指定位置上.解答應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

設函數/(x)=x+r/ln(1+x)+fexsinx,g(x)=小.若/(x)與g(x)在x-?0時是等價無窮小,

求a,b,左的值.

(16)(本題滿分10分)

TTTT

設A>0,D是由曲線段)，=AsinM0Kx4g及直線y=0,x所圍成的平面區域，匕,

匕分別表示D繞工軸與繞y軸旋轉成旋轉體的體積，若匕=匕，求A的值.

(17)(本題滿分11分)

已知函數/(x,y)滿足/；(%,y)=2(y+l)ex,￡(x,0)=(x+l)e1/(0,y)=V+2y,求

/(x,y)的極值.

(18)體題滿分10分)

計算二重積分JJx(x+y)辦"y,其中0={(2)|爐+丁2

D

(19)(本題滿分11分)

已知函數"x)=J；Vi4不力力，求“力零點的個數？

(20)(本題滿分10分)

已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻該物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介

質的溫差成正比，現將一初始溫度為120℃的物體在20℃的恒溫介質中冷卻，

30min后該物體降至30。。，若要將該物體的溫度繼續降至21。。，還需冷卻多長時

間？

(2D(本題滿分10分)

已知函數/(x)在區間+8)上具有2階導數，/(a)=o,/(%)>(),/”(力〉0,設/?>〃，

曲線y="X)在點(〃,/(〃))處的切線與x軸的交點是(為0),證明"％<b.

(22兒本題滿分11分)

"a10、

設矩陣A=1〃-1且43=0.

[01a)

(1)求〃的值；

⑵若矩陣X滿足X-刈2-"+可2=0E為3階單位陣，求X.

(23)體題滿分11分)

’02-3、-20、

設矩陣A=-13-3相似于矩陣3=0〃0.

<1一2ajJ)31

(1)求〃力的值;

(2)求可逆矩陣P,使P-AP為對角陣.

2013年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題

一、選擇題1—8小題.每小題4分，共32分.

71

1.設cosx-1=xsina(x)<一，當x.0時,a{x)()

2

(A)比x高階的無窮小(B)比x低階的無窮小

(C)與x同階但不等價無窮小(D)與x等價無窮小

2,已知)，=/(x)是由方程cos3)-Iny+x=1確定，貝!Jlim〃f=()

\

(A)2(B)1(C)-1(D)-2

sinx,x￡[O,i)

3.設f(x)=<尸(x)=「7⑺力貝iJ()

2,XG[7T,27i]J0

(A)x=4為尸(x)的跳躍間斷點.(B)i=乃為F(x)的可去間斷點.

(C)尸(x)在x=不連續但不可導.(D)尸(工)在工=不可導.

1

------------3t<x<e

"-1尸

4.設函數/(?=<,且反常積分「'/(才如收斂，則()

1

--------；—e

xlna+lx

(A)a<-2(B)a>2(C)-2<a<0(D)0<a<2

xdzdz/、

5.設函數z=2/(x)，)，其中/可微，則---+—=()

xy8xdy

22

(A)2yf\xy)(B)-2yf\xy)(C)-f{xy)(D)--f(xy)

xx

6.設￡\是圓域。={(工,)，)|/2+)」<1}的第上象限的部分，記人=，(y-x)dh/y,則O

1九

(A)/,>0(B)I2>0(C)Z3>0(D)Z4>0

7.設A,B,C均為〃階矩陣，若AB=C,且B可逆，則

(A)矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價.

(B)矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價.

(C)矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價.

(D)矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價.

a1](200、

8.矩陣aba與矩陣0b0相似的充分必要條件是

dI。

Ua00；

(A)a=0,b=2(B)4=0,〃為任意常數

(C)a-2,b-0(D)a=29b為任意常數

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

ln(l+x)y

9.

10,設函數/(X)-二7%，則y=fM的反函數匯=廣'(y)在y=0處的導數作|內

11.設封閉曲線L的極坐標方程為尸=cos3U<8W為參數，則L所圍成的平面

圖形的面積為.

x=arctant

12.曲線上,~對應于:1處的法線方程為.

y=InV1+/"

13.已知％=/—-\），2=/--\必=一方,是某個二階常系數線性微分方程三個解,

則滿足），（o）=o,y（0）=1方程的解為.

14.設A=（%）是三階非零矩陣，網為其行列式，&為元素%的代數余子式，且滿足

%=0（"=1,2,3）,則W卜.

三、解答題

15.（本題滿分10分）

當x->0時，1-COSXCOS2XCOS3X與ax"是等價無窮小，求常數.

16.（本題滿分10分）

設D是由曲線），=V7,直線x=〃（〃>0）及x軸所轉成的平面圖形，匕，匕分別是D繞x

人y

軸和y軸旋轉一周所形成的立體的體積，若10匕=%,求。的值.

17.（本題滿分10分）

設平面區域D是由曲線％=3，丁=3%》+），=8所圍成，求。

D

18?（本題滿分10分）

設奇函數/（X）在［-1,1］上具有二階導數，且/⑴=1,證明：

（1）存在會（o,i）,使得r仔）=i；

（2）存在”（一1,1）,使得/〃⑺）+/'07）=1?

19.（本題滿分10分）

求曲線/一x），+y3=］（x>0,y>0）上的點到坐標原點的最長距離和最短距離.

20.（本題滿分11）

設函數/（x）=Inx+—

x

⑴求/（x）的最小值；

⑵設數列卜〃｝滿足1nx〃+—匚<1,證明極限limx“存在，并求此極限.

21.(本題滿分11)

設曲線L的方程為y=-^x2--Inx(l<x<e).

(1)求L的弧長.

(2)設D是由曲線L,直線/=l,x=e及x軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標.

22.本題滿分11分)

設A=[問當為何值時，存在矩陣C,使得4C—C4=5,并求出

U0)ub)

所有矩陣C.

23(本題滿分11分)

4A

設二次型/*(/,丫2，丫3)=2(〃]芭+〃2丫2+〃3*3)2+S1X+〃2X2+〃3丫3)2.記"=%，尸=4?

(1)證明二次型/對應的矩陣為2Q7+加『；

(2)若名/正交且為單位向量，證明/在正交變換下的標準形為2)，；+)，；.

2012年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題

一、選擇題:1-8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項

符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答?題?紙?指定位置上.

(1)曲線),=山的漸近線條數()

X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

⑵設函數/(%)=(爐-1)(/*-2)…,其中〃為正整數,則尸(0)=0

(A)(-1嚴(〃-D!⑻(-1)”(〃-1)!(C)(一1嚴〃！(D)

(3)設q>0(/?=1,2,3-),S“=q+生+4++可，則數列｛Sj有界是數列｛%｝收斂的

0

(A)充分必要條件(B)充分非必要條件

(0必要非充分條件(D)非充分也非必要

(4)設lk=sinxdx,僅=1,2,3),則有

)

(A)/,</2<I.(B)I3<I2<Z,(072<Z3<7,(D)Z2<Z,<Z3

(5)設函數/"?)為可微函數，且對任意的都有空0〉0,華2<0,則使不等式

dxdy

/(N,X)〉/(%2,%)成立的一個充分條件是

)

(A)%<y2(B)%，x>y2(C)X}<一<y2(D)玉<x2,y]>y2

(6)設區域。由曲線y=sinx,x=±2,y=1圍成，則JJ(xsy-IXLvdy=

2n

(

)

(A)7i(B)2(C)~2(D)-7i

Or-r

⑺設四=0a4=1,其中qg,Q.Q為任意常數,則下列向量組

a

線性相關的為()

(A)(B)ana2,a4(C)a),a3,a4(D)a2,a3,a4

00、

(8)設A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且KAP二010.若，

<0。2)

。=(%+012，。2，。3)貝Q-AQ=()

(\00]<10°)f200]<200]

(A)020(B)010(0010(D)020

1001)(002JI。02J100

二、填空題：9-14小題,每小題4分，共24分,請將答案寫在答?題?紙?指定位置上.

(9)設y=武幻是由方程Y—)，+i=e「所確定的隱函數，則gk°=.

(111\

(10)lim〃-~7?十不---+?-+-----

<1+/?-2~+匯7n~+n~7)

zn1&2az

(11lV)設z=/[lnx+]J,其中函數可微，貝產率+>—=.

(12)微分方程)dr+(x-3y2)dy=0滿足條件y\x=i=1的解為y=.

(13)曲線y=f+Mx<0)上曲率為坐的點的坐標是.

(14)設A為3階矩陣，|A|=3,4為A伴隨矩陣，若交換A的第1行與第2行得矩陣8,

則忸A*卜.

三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在答?題?紙?指定位置上.解答應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

已知函數/("=手-！，記〃=吧/(力，

sinxx

(I)求。的值；

(H)若x-0時，/(x)-。與/是同階無窮小，求常數％的值.

(16)(本題滿分10分)

.l+y2

求函數/(x,y)=xe2的極值.

(17)(本題滿分12分)

過(0,1)點作曲線L：y=lnr的切線,切點為A,乂1與工軸交于3點，區域Q由L與直線

A8圍成,求區域。的面積及。繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.

(18)(本題滿分10分)

計算二重積分其中區域D為曲線廠=1+(^。(0?。<4)與極軸圍成.

D

(19)(本題滿分10分)

已知函數/(x)滿足方程f\x)+f\x)~2/(x)=0及/"*)+/(x)=2,,

(I)求/(x)的表達式；

(11)求曲線y=f(V)5/(_/辿的拐點.

(20)(本題滿分10分)

證明xln匕^+cosxZ1+土，(-1<x<1).

1—x2

(21)(本題滿分10分)

(I)證明方程￡+%田+-+x=l(〃〉l的整數)，在區間內有且僅有一個實根;

(II)記(I)中的實根為與，證明limx〃存在，并求此極限.

〃T8

(22)(本題滿分11分)

T々o0、

014Z0

設4=

001。

^001；

⑴計算行列式同；

(H)當實數。為何值時，方程組=有無窮多解,并求其通解.

(23)(本題滿分11分)

T01'

已知4=Il1I，二次型“芯,七，七)=『("A)x的秩為2,

10a-1;

(I)求實數。的值;

(H)求正交變換x=Qy將f化為標準形.

2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題

選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。

???

(1)已知當X—>0時，函數/(x)=3sinx-sin3%與ex"是等價無窮小，則()

(A)k=l,c=4(B)A=l,c=-4

(C)攵=3,。=4(D)k=3,c=-4

(2)設函數/(x)在x=0處可導，且"0)=0,則lim立"羋"=。

XT0X

(A)-2/(0)(B)-/(0)(C)/(0)(D)0

(3)函數/(x)=l川(x—l)(x-2)(x—3)|的駐點個數為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(4)微分方程)，〃-無"於+"心。＞0)的特解形式為()

(A)(B)公(3+"力

(C)一右)(D)x\ae^-vbe~^)

(5)設函數/3),g(x)均有二階連續導數,滿足〃0)>0,g(0)<0,r(O)=g'(O)=O

則函數z=/(x)g(y)在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是()

(A)/70)<0,g〃(0)〉0(B)/"(0)<0,g"(0)<0

(C)/70)>0,g〃(0)〉0(D)/"(O)>0,g"(0)<0

(6)設/二pinsinxdx,.J=PIncotxz/x,K=pincosxz/x,則/,,K的大小關系

JoJoJo

為O

(A)I<J<K(B)I<K<J

(C)J<I<K(D)K<J<I

(7)設A為3階矩陣，將4的第2列加到第1列得矩陣8,再交換8的第2行與第3

00、00、

行得單位矩陣。記6=110,P,=001,則A二()

0J10

91°,

(A)PR(B)P”?(C)P2P](D)P2P?

(8)設4=(%是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣。若(1,0,1,0尸是方程組Ax=0

的一個基礎解系，貝iJ4x=O的基礎解系可為()

(A)%,%(B)%,火(C)%,巴，。3(D)

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分。請將答案寫在答?題?紙?指定位置上。

v

fl+2V

(9)lim=0

川2J

(10)微分方程y+y=excosx滿足條件y(0)=0的解為y=。

(11)曲線y=「tan/力(0W馬的弧長s=。

Jo4

(12)設函數"r)=〃'(4>0,則「，(/)公=。

0,440,Jr

(13)設平面區域。由直線y=x，圓/+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分=。

(二次型2；+2xx2xx,則/的正慣性指數為。

14)/(xl,x2,x3)=xl+3x+X3t2+2X1/+23

三、解答題：?小題，共分。請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應字說明、

152394???

證明過程或演算步驟。

(15)(本題滿分10分)

「lnQ+/)力

已知函數F(x)=^---------------，設lim尸(x)=Hm尸(%)=0,試求a的取值范圍。

Xxfxx->0+

(16)(本題滿分11分)

x=-t3+/+-,

設函數y=y(x)由參數方程，3確定，求y=),(不)的極值和曲線y=)，(1)的凹