第21頁（共21頁）2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之實際問題與反比例函數一．選擇題（共5小題）1．（2025?登封市一模）近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）之間有如圖所示的反比例函數關系，若配制一副度數小于200度的近視眼鏡，則焦距x的取值范圍是（）A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.52．（2025?深圳模擬）驗光師檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了（）A．150 B．200 C．250 D．3003．（2024秋?桓臺縣期末）某品牌自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水 B．水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=C．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min D．水溫不低于30℃的時間為774．（2024秋?銅仁市期末）如圖，休閑廣場上有兩個小朋友在玩蹺蹺板．已知妙妙小朋友的體重為20kg，坐在距離蹺蹺板支點的1.5m處，明明小朋友的體重為xkg，距離蹺蹺板支點的距離為ym．根據杠桿平衡原理（動力×動力臂＝阻力×阻力臂），若要使蹺蹺板保持水平，則y與x應滿足的關系式為（）A．y＝30x B．y=x30 C．y=30x 5．（2024秋?樂陵市期末）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．若已知某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000N和0.4m，則這一杠桿的動力F（N）和動力臂l（m）之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寧德期末）我市于2024年11月14日舉辦第二屆中小學師生萬人硬筆書法大賽．如圖，用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四所學校學生硬筆字的優秀率（該校成績優秀人數與該校參加比賽人數的比值）y與該校參加比賽人數x的情況，其中描述乙、丁兩所學校情況的點恰好布同一個反比例函數的圖象上，則硬筆字成績優秀人數最多的學校是．7．（2024秋?鶴山市期末）某運輸公司計劃運輸一批貨物，已知貨物總量是定值，每天運輸的噸數與運輸的天數之間成反比例關系，根據如表，求出a＝．每天運輸的噸數25010050運輸的天數2a108．（2024秋?澧縣期末）驗光師通過檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了度．9．（2024秋?威縣期末）如圖，小華設計了一個探索杠桿平衡條件的實驗，在一根勻質的木桿中點O處用一根細繩掛在支架上，在點O的左側固定位置B處懸掛重物A，在點O的右側用一個彈簧測力計向下拉木桿，使木桿達到平衡（杠桿平衡時，動力×動力臂＝阻力×阻力臂）．改變彈簧測力計與點O的距離x（單位：cm），觀察彈簧測力計的示數y（單位：N）的變化情況，實驗數據記錄如下：x（cm）…10152028…y（N）…30201510…其中有一組數據中的x記錄錯了，x應為．10．（2024秋?寧遠縣期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為2A時，電阻為Ω．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?碑林區校級期末）某空調生產廠的裝配車間計劃在一段時期內組裝5000臺空調．計劃在x天內完成全部組裝，設平均每天組裝的空調數量為y（臺/天）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；（2）原計劃用50天完成這一任務，但由于氣溫提前升高，廠家決定提前10天完成這批空調的組裝，那么裝配車間平均每天要組裝多少臺空調？12．（2024秋?肥鄉區期末）如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰的高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是關于物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數，當x＝4時，y＝3，請你解答下列問題．（1）求y關于x的函數解析式．（2）若火焰的像高為2cm，求小孔到蠟燭的距離．13．（2024秋?靜安區校級期末）某水果生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段OB、BC表示恒溫系統開啟后階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤5）的函數關系式；（2）求恒溫系統設定的恒定溫度；（3）若大棚內的溫度低于10℃不利于新品種水果的生長，問這天內，相對有利于水果生長的時間共多少小時？14．（2024秋?銅仁市期末）張雪同學是個愛動手動腦的學生，她學習了小孔成像的科學原理后，在實驗室做小孔成像實驗，當像距（小孔到像的距離）和物體高度不變時，得到像高y（單位：cm）與物距（小孔到物體的距離）x（單位：cm）的幾組數據．像高（單位：cm）2345物距（單位：cm）6432.4（1）求像高y關于物距x的函數關系式；（2）因為實驗器材限制，小孔到物體的距離（物距）不能超過8cm，則像高的范圍是多少？15．（2024秋?未央區期末）杠桿原理在生活中應用廣泛，我國早在春秋時期就有使用，杠桿原理為：阻力×阻力臂＝動力×動力臂（如圖①）．某數學興趣小組利用所學的函數知識對以上原理進行探究：如圖②，小明取一根長100cm質地均勻的木桿，用細繩綁在木桿的中點O處將其吊在空中，在中點的左側距中點25cm處掛一個重10N的物體（即支點為O，阻力為10N，阻力臂為25cm），在中點右側用一個彈簧測力計（重力忽略不計）豎直向下拉，使木桿處于水平狀態，改變彈簧測力計與中點O的距離x（cm），觀察彈簧測力計的示數y（N）的變化（即動力臂為xcm，動力為yN），在平面直角坐標系中描出了一系列點（x，y），并用平滑的曲線順次連接，得到如圖③所示的函數圖象．（1）求圖③中的函數解析式；（2）若點O的位置不變，在不改變點O與物體的距離及物體重力的前提下，要想使木桿平衡，彈簧測力計的示數最小可以是多少？

2024-2025學年下學期初中數學人教版九年級期中必刷常考題之實際問題與反比例函數參考答案與試題解析題號12345答案DBDCB一．選擇題（共5小題）1．（2025?登封市一模）近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）之間有如圖所示的反比例函數關系，若配制一副度數小于200度的近視眼鏡，則焦距x的取值范圍是（）A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】D【分析】根據題意，設反比例函數解析式為y=kx，待定系數法求解析式，進而將y【解答】解：設反比例函數解析式為y=將（0.4，250）代入得，k＝100，∴反比例函數解析式為：y=當y＝200時，x=100200∴配制一副度數小于200度的近視眼鏡，則焦距x的取值范圍是x＞0.5，故選：D．【點評】本題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．2．（2025?深圳模擬）驗光師檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了（）A．150 B．200 C．250 D．300【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】B【分析】由已知設y=kx，則由圖象知點（0.25，400）滿足解析式，代入求k＝100，則解析式為：y=100x，令x＝0.25，x＝【解答】解：設y=kx（k≠∵（0.2，500）在圖象上，∴k＝500×0.2＝100，∴函數解析式為：y=100當x＝0.25時，y=1000.25當x＝0.5時，y=1000.5∴度數減少了400﹣200＝200（度），故選：B．【點評】本題考查了反比例函數的應用，待定系數法求反比例函數解析式，讀懂題意，掌握課本知識是解決問題的關鍵．3．（2024秋?桓臺縣期末）某品牌自動飲水機，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y（℃）與通電時間x（min）成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱，若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．上午8點接通電源，可以保證當天9：30能喝到不超過40℃的水 B．水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=C．水溫從20℃加熱到100℃，需要7min D．水溫不低于30℃的時間為77【考點】反比例函數的應用．【專題】推理能力．【答案】D【分析】該題為反比例函數與一次函數的實際應用的典型題目——濃度、溫度問題，先利用待定系數法求函數的解析式，再利用解析式求得對應信息．【解答】解：A、根據題意可得y與x的函數關系式是y=800x，令y＝20∴x＝40，即飲水機每經過40min，要重新從開始加熱一次從8點至9：30，經過的時間為90min，90﹣40×2＝10min，而水溫加熱到100℃，需要的時間為100-2010=8min，故9：30時，飲水機第三次從開始加熱了10min，令x＝10，則y=800x=B、由題意可得點（8，100）在反比例函數的圖象上，設反比例函數的解析式為y=kx，將點（8，100）代入，可得k∴水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=800xC、∵開機加熱時水溫每分鐘上升10℃，∴水溫從20℃升高到100℃，需要的時間為100-2010=8minD、水溫從20℃加熱到100℃所需要的時間為30-2010令y＝30，則800x=30，解得∴水溫不低于30℃的時間為803-1=故選：D．【點評】本題考查了一次函數和反比例函數的應用，數形結合是解決本題的關鍵．4．（2024秋?銅仁市期末）如圖，休閑廣場上有兩個小朋友在玩蹺蹺板．已知妙妙小朋友的體重為20kg，坐在距離蹺蹺板支點的1.5m處，明明小朋友的體重為xkg，距離蹺蹺板支點的距離為ym．根據杠桿平衡原理（動力×動力臂＝阻力×阻力臂），若要使蹺蹺板保持水平，則y與x應滿足的關系式為（）A．y＝30x B．y=x30 C．y=30x 【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】C【分析】根據妙妙的體重與妙妙到蹺蹺板支點的距離之積等于明明的體重與明明到蹺蹺板支點的距離之積求解即可．【解答】解：由“動力×動力臂＝阻力×阻力臂”得：xy＝20×1.5＝30，∴y=故選：C．【點評】本題考查了反比例函數的應用，解答本題的關鍵要學會利用反比例函數解決實際問題．5．（2024秋?樂陵市期末）阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”，這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂＝動力×動力臂”．若已知某杠桿的阻力和阻力臂分別為1000N和0.4m，則這一杠桿的動力F（N）和動力臂l（m）之間的函數圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】B【分析】直接利用阻力×阻力臂＝動力×動力臂，進而得出動力F關于動力臂l的函數關系式，從而確定其圖象即可．【解答】解：由題意可得：動力F和動力臂l之間的函數解析式為1000×0.4＝Fl，則F=又∵動力臂l＞0．故選：B．【點評】本題考查了反比例函數的應用，正確進行計算是解題關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寧德期末）我市于2024年11月14日舉辦第二屆中小學師生萬人硬筆書法大賽．如圖，用四個點分別描述甲、乙、丙、丁四所學校學生硬筆字的優秀率（該校成績優秀人數與該校參加比賽人數的比值）y與該校參加比賽人數x的情況，其中描述乙、丁兩所學校情況的點恰好布同一個反比例函數的圖象上，則硬筆字成績優秀人數最多的學校是丙．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】丙．【分析】根據反比例函數圖象與性質求解即可得到結論．【解答】解：設反比例函數表達式為y=kx(x＞0)，則令甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3過甲點作y軸平行線交反比例函數于（x1，y′1），過丙點作y軸平行線交反比例函數于（x3，y′3），如圖所示：由圖可知y′1＞y1，y′3＜y3，∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函數圖象上，根據題意可知xy＝優秀人數，則：①x2y2＝k＝x4y4，②x1y1＜x1y′1＝k，③x3y3＞x3y′3＝k，綜上：甲學校優秀人數＜乙學校優秀人數＝丁學校優秀人數＜丙學校優秀人數，∴在這次黨史知識競賽中成績優秀人數最多的是丙學校，故答案為：丙．【點評】本題考查反比例函數圖象與性質的實際應用題，熟練掌握該知識點是關鍵．7．（2024秋?鶴山市期末）某運輸公司計劃運輸一批貨物，已知貨物總量是定值，每天運輸的噸數與運輸的天數之間成反比例關系，根據如表，求出a＝5．每天運輸的噸數25010050運輸的天數2a10【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】5．【分析】根據題意列出方程即可得到結論．【解答】解：∵每天運輸的噸數與運輸的天數之間成反比例關系，∴250×2＝100a，∴a＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了反比例函數的應用，正確地理解題意是解題的關鍵．8．（2024秋?澧縣期末）驗光師通過檢測發現近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，y關于x的函數圖象如圖所示．經過一段時間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由0.25米調整到0.5米，則近視眼鏡的度數減少了200度．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】見試題解答內容【分析】由已知設y=kx，則有圖象知點（0.2，500）滿足解析式，代入求k＝100，則解析式為：y=100x，令x＝0.25，x＝【解答】解：設y=kx（k≠把（0.2，500）代入y=kx（k≠∴k＝500×0.2＝100，∴函數解析式為y=100當x＝0.25時，y=1000.25當x＝0.5時，y=1000.5∴度數減少了400﹣200＝200（度），故答案為：200．【點評】本題考查待定系數法求反比例函數解析式，以及反比例函數的實際應用，讀懂題意，掌握課本知識是解決問題的關鍵．9．（2024秋?威縣期末）如圖，小華設計了一個探索杠桿平衡條件的實驗，在一根勻質的木桿中點O處用一根細繩掛在支架上，在點O的左側固定位置B處懸掛重物A，在點O的右側用一個彈簧測力計向下拉木桿，使木桿達到平衡（杠桿平衡時，動力×動力臂＝阻力×阻力臂）．改變彈簧測力計與點O的距離x（單位：cm），觀察彈簧測力計的示數y（單位：N）的變化情況，實驗數據記錄如下：x（cm）…10152028…y（N）…30201510…其中有一組數據中的x記錄錯了，x應為30．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】30．【分析】先由表格數據求出y與x的函數關系，再找出其中錯誤的一組即可．【解答】解：y與x成反比例函數關系，設y=由條件可知k＝300，∴y=當y＝10時，x＝30，故其中有一組數據記錄錯了，這組數據對應的x是30．故答案為：30．【點評】本題考查反比例函數的實際應用．理解題意，列出反比例函數解析式是關鍵．10．（2024秋?寧遠縣期末）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為2A時，電阻為18Ω．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】18．【分析】利用待定系數法求出反比例函數解析式，再把I＝2代入所得解析式計算即可求解．【解答】解：設該反比函數解析式為I=kR，把（4，∴k＝36，∴I=36把I＝2代入得，∴R＝18，故答案為：18．【點評】本題考查了反比例函數的應用，利用待定系數法求出反比例函數解析式是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?碑林區校級期末）某空調生產廠的裝配車間計劃在一段時期內組裝5000臺空調．計劃在x天內完成全部組裝，設平均每天組裝的空調數量為y（臺/天）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；（2）原計劃用50天完成這一任務，但由于氣溫提前升高，廠家決定提前10天完成這批空調的組裝，那么裝配車間平均每天要組裝多少臺空調？【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力；應用意識．【答案】（1）y=5000（2）125．【分析】（1）根據“平均每天組裝的空調數量＝所要組裝空調總臺數÷全部組裝需要的天數”解答即可；（2）求出實際組裝的天數，將它作為x的值代入y與x之間的函數關系式，求出對應y的值即可．【解答】解：（1）y=5000∴y與x之間的函數關系式為y=5000（2）50﹣10＝40（天），當x＝40時，y=500040答：裝配車間平均每天要組裝125臺空調．【點評】本題考查反比例函數的應用，根據題意寫出y與x之間的函數關系式是解題的關鍵．12．（2024秋?肥鄉區期末）如圖，根據小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰的高度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是關于物距（小孔到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數，當x＝4時，y＝3，請你解答下列問題．（1）求y關于x的函數解析式．（2）若火焰的像高為2cm，求小孔到蠟燭的距離．【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】（1）y=（2）小孔到蠟燭的距離為6cm．【分析】（1）根據待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）把y＝2代入y=12x【解答】解：（1）根據題意，設y=把x＝4，y＝3代入，得k＝4×3＝12，∴y關于x的函數解析式為y=（2）把y＝2代入y=12x，得x∴小孔到蠟燭的距離為6cm．【點評】本題主要考查了反比例函數的應用，求反比例函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法．13．（2024秋?靜安區校級期末）某水果生產基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段OB、BC表示恒溫系統開啟后階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段．請根據圖中信息解答下列問題：（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤5）的函數關系式；（2）求恒溫系統設定的恒定溫度；（3）若大棚內的溫度低于10℃不利于新品種水果的生長，問這天內，相對有利于水果生長的時間共多少小時？【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】（1）y＝4x（0≤x≤5）；（2）20℃；（3）17.5小時．【分析】（1）根據圖象設正比例函數解析式為y＝kx，根據圖象可知函數解析式；（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定溫度；（3）根據圖象可知整個圖象由三部分組成：正比例函數、反比例函數、恒溫，根據題意設函數解析式，利用待定系數法即可求出函數解析式；根據各時間段的函數解析式算出y＝10時x的值，用24小時減去這些時間即可．【解答】解：（1）設直線OB的函數解析式為：y＝kx（k≠0），根據題意，∴可得方程8＝2k，∴k＝4，∴正比例函數解析式為y＝4x（0≤x≤5）；根據圖象可知：y＝20（5≤x≤10）；（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；當x＝5時，y＝20，∴恒定溫度為：20℃．（3）設10≤x≤24小時內函數解析式為：y=根據題意，可得方程：20=k∴k＝200，∴函數解析式為：y=∴24小時函數解析式為：y=∵當0≤x≤5時，10＝4x，∴x＝2.5，∵當10≤x≤24時，10=200∴x＝20，∴在20時～24時4小時之間是氣溫是低于10℃的，∴氣溫低于10℃的總時間為：2.5+4＝6.5（h），∴氣溫高于10℃的適宜溫度是：24﹣6.5＝17.5（h）．答：相對有利于水果生長的時間共17.5小時．【點評】本題考查了一次函數、反比例函數和常函數解析式，解答本題的關鍵是找出臨界點．14．（2024秋?銅仁市期末）張雪同學是個愛動手動腦的學生，她學習了小孔成像的科學原理后，在實驗室做小孔成像實驗，當像距（小孔到像的距離）和物體高度不變時，得到像高y（單位：cm）與物距（小孔到物體的距離）x（單位：cm）的幾組數據．像高（單位：cm）2345物距（單位：cm）6432.4（1）求像高y關于物距x的函數關系式；（2）因為實驗器材限制，小孔到物體的距離（物距）不能超過8cm，則像高的范圍是多少？【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；運算能力．【答案】（1）y=（2）y≥1.5cm．【分析】（1）根據題中數據，可以發現像高y與物距x的乘積為常數12，因此像高y與物距x之間滿足反比例函數關系即可；（2）由于物距x不能超過8cm，即x≤8，根據反比例函數性質即可得出答案．【解答】解：（1）根據題中數據，像高y與物距x之間滿足反比例函數關系，則像高y關于物距x的函數關系式為y=（2）