一元一次不等式和一元一次不等式組壓軸專練

（十一大題型）

目錄：

題型1:新定義（一元一次不等式組）

題型2：新定義（二元一次方程組與一元一次不等式組）

題型3：新定義（含絕對值的一元一次不等式組）

題型4：數軸的最值問題

題型5：程序框圖

題型6：新定義（一元一次不等式（組）在平面直角坐標系中的應用）

題型7：在平面直角坐標系中的幾何問題

題型8：絕對值不等式與分段函數

題型9：一元一次不等式（組）的實際應用（含與一次函數結合）

題型10：分類討論一幾何圖形中的行程問題

題型11：三角形證明中的取值范圍問題

題型1：新定義（一元一次不等式組）

1.新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“相

依方程”，例如：方程尤-1=3的解為x=4,而不等式組”一；的解集為2<x<5,不難發現x=4在2<x<5

x—2<3

X-1>1

的范圍內，所以方程x-l=3是不等式組X-2<3的“相依方程”.

2x-1>x+1

⑴在方程①6（X+2）-（X+4）=23：②9%-3=0；③2x-3=0中，不等式組322)X4的“相依方程”

是（填序號）

3x+l公

—>x@

（2）若關于x的方程3x-4=6是不等式組IC,的“相依方程”，求左的取值范圍;

口2T②

123

1/25

x-4m[2x+3>

⑶若關于x的方程=絲=-2是關于x的不等式組,)的“相依方程”，且此時不等式組有5個

2[x-m<2m+l@)

整數解，試求冽的取值范圍.

2.我們約定：不等式組冽<x<〃，m<x<n,m<x<n,機WxV〃的“長度”士勻為d=〃一掰，[m<n),不

等式組的整數解稱為不等式組的“整點”.例如：-2<x<2的“長度”2二2-(-2)=4,“整點，，為尸—1,o,1,

2.根據該約定，解答下列問題：

f5x+3>3x

⑴不等式組C?八的“長度'"=；"整點”為；

[2x-l<0

'l<x<3

⑵若不等式組”1c的“長度”d=2,求。的取值范圍；

ax-3<—x+2

I2

'l<x<31

3ry+l>m

⑶若不等式組,/I)的“長度”d=[,此時是否存在實數加使得關于〉的不等式組…恰有

a<x<—a+22[ay-l<2m

4個“整點”，若存在，求出加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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題型2：新定義（二元一次方程組與一元一次不等式組）

3.定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢想

解”.

例：已知方程2x-3=l與不等式x+3>0,方程的解為x=2,使得不等式也成立,則稱“x=2”為方程2x-3=l

和不等式x+3>0的“夢想解”.

（l）x=-l是方程2x+3=l和下歹!]不等式的“夢想解”：（填序號）

13?Y-1

①x—>—,②2（%+3）<4,③---<3；

222

13%—2歹=3加+2（x>y-5

⑵若關于工，歹的二元一次方程組。R和不等式組?有“夢想解”，且加為整數，求冽的

[2x-y=m-j[x-y<1

值.

[2x-3>2n-l

（3）若關于x的方程x-4=-3〃和關于工的不等式組[,有“夢想解”，且所有整數“夢想解”的和為

10,試求〃的取值范圍.

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4.定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“完美

解”.

例：已知方程2x—3=1與不等式x+3>。，當x=2時，2x—3=2x2—3=1,x+3=2+3=5>0同時成立，

則稱“x=2”是方程2x-3=l與不等式x+3>0的“完美解”.

⑴已知①2x+l>3,②3x+7<4,③2-x>2x+l,則方程2x+3=1的解是不等式_（填序號）的“完美

解”；

[x=xfx>2

（2）若。n是方程X-3J，=5與不等式組?的“完美解”，求％+3乂的取值范圍；

U=U;<1

⑶若\x="xn;"為是整數）是方程組\]小x+5；v…=a3與不等式2組x-6l；y<<114的一組“完美解”,求整數“

的值.

5.閱讀理解：

定義：若一個方程（組）的解也是一個不等式（組）的解，我們稱這個方程（組）的解是這個不等式（組）

的“友好解”.例如，方程2x7=1的解是x=l,同時x=l也是不等式x+l>0的解，則稱方程2x7=1的解

x=1是不等式x+1>0的“友好解”.

31v-3

⑴試判斷方程-2=寸+1的解是不是不等式三>0的“友好解”？不必說明理由；

⑵若關于％、>的方程組，’〈的解是不等式六-2y>7的“友好解”，求左的取值范圍；

（3）當左<3時，方程3（x-l）=后的解是不等式4xT<x+27〃的“友好解”，求加的最小整數值.

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題型3：新定義(含絕對值的一元一次不等式組)

6.在數學學習過程中，自學是一種非常重要的學習方式，通過自學不僅可以獲得新知，而且可以培養和鍛

煉我們的思維品質.請你通過自學解答下面的問題：解決含有絕對值符號的問題，通常根據絕對值符號里

所含式子的正負性，去掉絕對值符號，轉化為不含絕對值符號的問題再解答.例如：解不等式|x-3]>2.解:

①當x-320,即x23時，原式化為：x-3>2,解得x>5,此時，不等式上一3|>2的解集為x>5；②當

x-3<0,即x<3時，原式化為：3-x>2,解得x<l,此時，不等式|尤-3|>2的解集為久<1；綜上可知，

原不等式的解集為x>5或“<1.

⑴請用以上方法解不等式關于x的不等式：|5》-20|>10

|2x+3y=5m-10..

(2)已知關于x、N的二元一次方程組曰》+2y=15加+5的解滿足卜+7區9,其中加是正整數，求加值;

n\x-3\+y=5n

（）己知關于％、的方程組

3yh..滿足方程組的未知數x的值為整數，系數〃也為整數且

—\x-3\+y=-3n

5

〃WO.求滿足條件的〃和工的值.

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7.若任意一個代數式，在給定的范圍內求得的最大值和最小值恰好也在該范圍內，則稱這個代數式是這個

范圍的“湘一代數式”.例如：關于x的代數式X?,當-IWxWl時，代數式/在*=±1時有最大值，最大值為

1;在x=0時有最小值，最小值為0,此時最值1,0均在-IWxWl這個范圍內，則稱代數式Y是-1WXW1的“湘

一代數式

(1)若關于x的代數式同，當時，取得的最大值為一，最小值為一，所以代數式|乂_(填“是”或“不

是“)1VXV3的“湘一代數式”.

a,

(2)若關于x的代數式印1是-2WxW2的“湘一代數式”，求a的最大值與最小值.

(3)若關于x的代數式,-2|是的“湘一代數式”，求m的取值范圍.

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題型4：數軸的最值問題

8.對于數軸上兩條線段尸。，兒加，給出如下定義：若線段尸。的中點〃與線段上點的最小距離不超過

1,則稱線段是線段的“限中距線段”.

已知：如圖，在數軸上點P,M,N表示的數分別為-6,1,2.

尸............MN................”

-54-3-2-161~~3456，X

⑴設點Q表示的數為m,若線段尸。是線段"V的“限中距線段”，

①加的值可以是;

A.1B.6C.14

@m的最大值是；

⑵點尸從-6出發，以每秒1個單位的速度向右運動，運動時間為/秒.

當f<6時，若線段近的“限中距線段”PQ的長度恰好與尸"+PN的值相等，求出尸。的中點〃所表示的數;

(3)點尸從-6出發，以每秒1個單位的速度向右運動，同時線段"N以每秒2個單位的速度向左運動，設運

動時間為/秒.若對于線段九W上任意一點。，都有線段尸。是線段"N的“限中距線段”，則/的最小值為

,最大值為.

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9.【問題提出】+++…+k-2023|的最小值是多少？

【閱讀理解】

為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手.|。|的幾何意義是a這個數在數軸上對應的點到原點的距

離,那么可以看作。這個數在數軸上對應的點到1的距離；就可以看作。這個數在數軸上

對應的點到1和2兩個點的距離之和.下面我們結合數軸研究+的最小值.

我們先看。表示的點可能的3種情況，如圖所示：

如圖①，。在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1.

如圖②，。在1和2之間(包括在1,2上)，可以看出a到1和2的距離之和等于1.

如圖③，。在2的右邊，從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和大于1.

所以。至I]1和2的距離之和最小值是1.

【問題解決】

(1)|。-2|+|a-4|的幾何意義是;請你結合數軸探究：-2|+,-4|的最小值是；

(2)請你結合圖④探究：|"2|+|a-3|+|a-4|的最小值是,此時°為；

(3)|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|+1?-6|的最小值為；

(4)|a—l|+|a—2|+|a—3p----一2023怕勺最小值為.

【拓展應用】

如圖⑤，已知。到-1,2的距離之和小于4,請寫出。的范圍為.

11.11111?1111.1I1?

-2-lo0I234-2-101a234

圖①圖②

"'1AA▲▲▲▲」▲

-2-10123a4-2-I0I234

圖③圖④

-5-4-3-2-I0I2345

圖⑤

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題型5：程序框圖

10.如圖是一個“函數求值機”的示意圖.其中〉是x的函數.下面表格中，是通過該“函數求值機”得到的幾

組x與了的對應值.

根據以上信息，解答下列問題：

⑴當輸入的x的值為6時，此時輸出的了的值為；

(2)當輸出的了的值滿足-2V”-1時，求輸入的X的值的取值范圍；

(3)若輸入x的值分別為陽，加+4,對應輸出了的值分別為乂，力，是否存在實數加，使得%＞為恒成立？

若存在，請求出加的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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題型6：新定義（一元一次不等式（組）在平面直角坐標系中的應用）

11.在平面直角坐標系xQy中，已知點（點M不與原點。重合），將點。（x+A/j+助）（左＞0）稱為

點尸（陽外關于點M的“左倍平移點”.

（1）已知點P的坐標是（4,3）,

①若點M（2,-2）,則點尸關于點M的“2倍平移點”0的坐標是」

②點N（T-2）,7（1,-2）,點M在線段NT上，過點尺上⑼作直線Ux軸，若直線/上存在點尸關于點M

的“2倍平移點”，求r的取值范圍.

（2）點4（-1,-1）,5（1-1）,￡（5,7）,尸（8,4）,以為邊在直線4B的上方作正方形/BCD,點M（a,6）在

正方形/BCD的邊上，且。＞0,b＞0,對于正方形N8CD的邊上任意一點P,若線段E廠上都不存在點尸

關于點M的''左倍平移點”，直接寫出發的取值范圍.

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12.已知點M和圖形少，。為圖形少上一點，若存在點P,使得點”為線段尸。的中點（P,。不重合）,

則稱點尸為圖形少關于點M的倍點.如圖，在平面直角坐標系x（方中，點5（-1-1）,C（l,-1）,

外

5-

4-

3-

2-

A-+-D

_____IIII>

-5-4-3-2-1O2345x

B-4-C

-2

-3

-4

⑴若點M的坐標為（2,0）,則在耳（3,0）,￡（4,2）,乙（5,1）中,是正方形ABCD關于點M的倍點的是

（2）點N的坐標為（2J）,若在第一，三象限的角平分線上存在正方形關于點N的倍點，求/的取值范

圍;

⑶已知點石（0,6）,F（-b,0）,若線段E尸上的所有點均可成為正方形N5CD關于其邊上某一點的倍點，直

接寫出點b的取值范圍.

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題型7：在平面直角坐標系中的幾何問題

13.如圖，在平面直角坐標系中，直線43與x軸交于點8e,0),與了軸交于點4(0,。)，且

y/a+b+2+\2a-b-8\=Q,若P(加,〃)為直線上一點

(1)直接寫出。=,b=,SAAOB=

(2)①求加與〃滿足的數量關系為.

4

②若△4尸。的面積大于△B。。面積的彳，求加的取值范圍

(3)若0(-4,4),△尸。。的面積為S.若關于％的不等式xKS有4個正整數解，直接寫出加的取值范圍

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14.如圖，直線/|：v=-x+6與x軸，y軸分別交于點43,直線4：了=；加X-加+4與X軸，y軸分別交于

點、C,D,與直線4交于點"，點P在直線4上，過點尸作尸。〃了軸，交直線乙于點。，點。為05的中點.

(1)①求直線4的解析式；

②求△ZCM的面積；

(2)①如果線段P。的長為］0,求點尸的坐標；

②我們規定：橫坐標和縱坐標都是整數的點叫整點.如果3VPQW7,則符合條件的整點P的個數為

個.

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15.如圖1,在平面直角坐標系中，已知4(0,。)，3(仇0),C(0,c),且c=j2a-8+j4-a-3,

(2)若點/加,")在線段9的延長線上，請探究羽，〃的數量關系式；

⑶如圖2,把點。向右平移d(d>6)個單位長度，再向下平移(d-6)個單位長度至點￡.連接成，AE,

若的面積為23,求d的值；

(4)如圖3,點尸在經過點。，且平行于x軸的直線上，設其橫坐標為連接4尸，BF,記尸的面積為

s,當9vs<n時，直接寫出/的取值范圍.

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題型8：絕對值不等式與分段函數

16.［問題提出］:如何解不等式|x-l|+|x-3］>x+2?

預備知識1：同學們學習了一元一次方程、一元一次不等式和一次函數，利用這些一次模型和函數的圖象,

可以解決一系列問題.

圖①中給出了函數y=x+i和y=2x+3的圖象，觀察圖象，我們可以得到：當無>-2時，函數y=2x+3的圖

象在y=x+l圖象上方，由此可知：不等式2x+3>x+l的解集為.

預備知識2：函數了稱為分段函數，其圖象如圖②所示，實際上對帶有絕對值的代數式的

［~x(x<0)

化簡，通常采用“零點分段”的辦法，將帶有絕對值符號的代數式在各“取值段”化簡，即可去掉絕對值符號,

比如化簡卜-1|+卜-3|時，可令=0和％-3=0,分別求得x=l,x=3(稱1,3分另U是卜一1|和歸-3|

的零點值)，這樣可以就x<l,x23三種情況進行討論：

(1)當時，|x—l|+|x—3|=——1)—(%—3)=4—2x

(2)當］<x<3時，|x—l|+|x—3|=(x—lj—(x—3)=2；

(3)當x?3時，|x—1|+|x—3|=(x—l)+(x—3)=2x—4,

4-2x(x<1)

所以卜-l|+|x-3］就可以化簡為2(l<x<3)

2x-4(x>3)

預備知識3：函數)=b(b為常數)稱為常數函數，其圖象如圖③所示.

［知識遷移］

如圖④，直線>=%+1與直線>6相交于點4(加,3),則關于x的不等式x++b的解集是

［問題解決］

結合前面的預備知識，我們來研究怎樣解不等式卜-1|+|》一3］>x+2..

(1)請在平面直角坐標系內作出函數了=|x-1|+|x-3|的圖象；

(2)通過觀察圖象，便可得到不等式卜-1|+氏-3］>x+2的解集，這個不等式的解集為.

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17.［問題提出］:如何解不等式|x-l|+|x-3］>x+2?

預備知識1：

同學們學習了一元一次方程、一元一次不等式和一次函數，利用這些一次模型和函數的圖象，可以解決一

系列問題.

圖①中給出了函數y=x+i和y=2x+3的圖象，觀察圖象，我們可以得到：

當x>-2時，函數］，=2x+3的圖象在J，=x+1圖象上方，由此可知：不等式2x+3>x+l的解集為一

預備知識2：函數W,稱為分段函數，其圖象如圖②所示，實際上對帶有絕對值的代數式的

［~x(x<0)

化簡，通常采用“零點分段”的辦法，將帶有絕對值符號的代數式在各“取值段”化簡，即可去掉絕對值符號.

比如:化簡1|+,-3|時，可令=0和％-3=0,分別求得％=1,x=3(稱1,3分別是k-1和|%-3|

的零點值)，這樣可以就x<l,x23三種情況進行討論：

(1)當x<l時，|x-l|+|x-3|=—(x-l)-(x—3)

(2)當］時，|x—l|+|x—3|=(x—lj—(x—3)=2；

4-2x(x<1)

⑶當x23時，,一1|+年一3|=(x—l)+(x-3)=2x-4,所以,一1|+卜-31就可以化簡為<2(1<x<3)

2x-4(x>3)

預備知識3：函數>3為常數)稱為常數函數，其圖象如圖③所示.

［知識遷移］

如圖④，直線>=%+1與直線>="+人相交于點4(加，3),則關于1的不等式.工+1?。工+6的解集是_.

［問題解決］:

結合前面的預備知識，我們來研究怎樣解不等式|x-l|+|x-3|>x+2..在平面直角坐標系內作出函數

歹=卜-1|+卜-3|的圖象，如圖⑤.在同一直角坐標系內再作出直線.y=x+2的圖象，如圖⑥，可以發

現函數>=1|+卜-3|與y=x+2的圖象有兩個交點，這兩個交點坐標分別是_；

通過觀察圖象，便可得到不等式卜-1|+|工—3］>x+2的解集.這個不等式的解集為

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歹

6

_

_

_

0_

圖③

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題型9：一元一次不等式（組）的實際應用（含與一次函數結合）

18.【綜合與實踐】根據以下信息1-3,探索完成設計購買方案的任務1-3.

信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A,B,C三類.

信息2：若購買2份工獎品和3份2獎品共需220元；購買3份/獎品和2份2獎品共需230元.單獨購

買一份C獎品需要15元.

信息3：計劃獲“獎品的人數要少于獲2獎品的人數.購買時有優惠活動：每購買1份/獎品就贈送一份C

獎品.

任務1：求/獎品和3獎品的單價；

任務2：若獲/獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得4獎品的人數超過10人，求此次購買月獎品有幾

種方案；

任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲/獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買

方案.

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19.某段時間超市從產地批發/、8兩種產品，/產品的批發價為13元/kg,B產品的批發價為16元/kg.其

中A產品的銷售單價始終為18元/kg,B產品的銷售情況如下：不超過130kg不優惠，超過130kg的部分給

予一定的優惠，其中B產品銷售金額了（元）與銷量x（kg）之間的函數關系如圖.

（1）求B產品銷售金額V（元）與銷量x（kg）之間的函數關系式;

（2）若每天/、8兩種產品共購進200kg,當天都能銷售完（損耗不計），且超市購進/產品不低于50kg但又

不超過80kg,設銷售4B兩種產品的總利潤為彳（元），求印與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

⑶在（2）的條件下，當購進B產品不超過130kg時，超市決定對a%的B產品按17元/kg銷售讓利顧客,

工產品的售價不變，要保證/、8兩種產品的總利潤每天不低于1060元，求加的最大值.

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20.如圖，是某道路停車泊位收費公示牌.現從該收費公示牌中摘錄其收費標準，并注解如下.

白天時段夜間時段

時段

級連續停放6小時封頂連續停放6小時封頂

車型

支

首小時內(15-60分鐘)首小時后(60分鐘后)20:00系次日8:00

路

計小型車2元/15分鐘2.5元/15分鐘1元/小時

時

大型車2.5元/15分鐘3元/15分鐘1.5元/小時

1.白天時段，車輛進入停車泊位15分鐘以內免費，第15分鐘開始收費，以小型車為例，記小型車連

續停放時間為。分鐘，當04。<15時不收費，當。=15時收費2元，當15<。430時收費4元，當

注

30<aV45時收費6元，當45<°460時收費8元，當60<a475時收費10.5元，以此類推.

解

2.夜間時段，不足1小時按1小時收費.

3.“連續停放6小時封頂”是指當年輛連續停放的時間超過6小時時，只收6小時的停車費.

(1)夜間時段，一輛小型車在該道路停車泊位連續停放8小時，需繳費元.

(2)白天時段，一輛大型車在該道路停車泊位連續停放1小時36分鐘，需繳費元.

【綜合應用】

(3)白天時段,一輛小型車在該道路停車泊位連續停放一段時間后繳費25.5元，則該車最多停放了多長時

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間？(用一元一次不等式解決問題)

【深入探索】

(4)已知一輛小型車與一輛大型車在該道路停車泊位都連續停放5小時，小型車在白天時段停放加分鐘，大

型車在白天時段停放〃分鐘，且〃<60.當小型車的停車費高于大型車的停車費時，加隨〃的變化而變化,

請直接寫出〃的范圍及其相應的加的范圍.

21.【項目式學習】

項目主題：數學智慧拼圖

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項目背景：為了緩解同學們的學習壓力，提高思維能力，增強學習興趣，并促進同學們的全面發展.王老

師將數學學習小組分成三組，每組領取一些矩形卡片，開展“數學智慧拼圖”為主題的項目式學習.

任務一：觀察建模

如圖1,第一小組領了8