第一章數與式

第04講二次根式

口題型09二次根式的混合運算

模擬基礎練口題型10二次根式估值

□題型11與二次根式有關的新定義問題

口題型01二次根式有意義的條件

口題型12與二次根式有關的規律探究

口題型02與二次根式有關的開放性試題

口題型13二次根式的應用

□題型03二次根式的非負性

口題型04二次根式的性質化簡重難創新練

口題型05二次根式與數軸

口題型06應用乘法公式求二次根式的值

□題型07最簡二次公式的判斷真題實戰練

口題型08分母有理化

模擬基礎練?

□題型01二次根式有意義的條件

1.（2024?全國?模擬預測）在函數y=-力-后G中，自變量》的取值范圍是—

【答案】x>一1且久豐2

【分析】根據分式的分母不為零、二次根式的被開方數為非負數求解可得答案.

【解答】解：根據題意，得：％-2力0且％+1》0,

解得x>-1且x豐2,

故答案為：*》—1且％中2.

2.（2024?黑龍江綏化?模擬預測）要使代數式GI+VI=^有意義，則x的取值范圍是（）

A.%>2B.x<2C.x=2D.全體實數

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開方數為非負數，列式計算，即可作答.

【詳解】解：要使代數式k^+&"有意義

?,?%—2>0,2—x>0

?,?%=2

故選：C

3.（2023?浙江寧波?模擬預測）［a］表示不超過。的最大整數.若實數。滿足方程a=則［a］=

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的性質及不等式的解法，熟練掌握二次根式的性質及不等式的解法是解題

的關鍵；由題意易得a20,l-l>0,a-->0,進而問題可求解.

aa

【詳解】解：由。=I1--+可知:a>0,1-i>0,a-->0,

7a7aaa

解得：a>lf

-［a］=1；

故選A.

4.（2024?江蘇南京?模擬預測）整數a滿足小一6<。v〃+［成立，貝必為（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

【答案】B

【分析】本題考查了實數的運算，根據題中的二次根式的運算，有理數的乘方逐項判斷即可，熟練掌握運

算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、當a=0時，a2—=0,a2+1=1,

a2-Va<a<a2+1不成立，不符合題意；

B、當a=l時，a2—=0,a2+1=2,

a2—<a<a24-1成立，符合題意；

C>當a=-1時，歷無意義，不符合題意；

D、當a=l時，a2—y/a=0,a2+1=2,M—正<。/十］成立，當。=—1時，G無意義，不符合題

思；

故選：B.

□題型02與二次根式有關的開放性試題

1.（2024松江區三模）下列機取值中，能滿足后在實數范圍內有意義的是（）

A.m=-2B.m=2024C.m=-0.2D.m=-1

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數大于等于零是二次根式有意義的條

件是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件：被開方數不小于零，直接解答即可.

【詳解】:而在實數范圍內有意義，

???m>0,

則在四個選項中，只有巾=2024時，標在實數范圍內有意義；

故選：B.

2.（2024.河北邢臺?模擬預測）若凡是正整數，則。不可能的值為（）

11

A.zB,-C.2D.8

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質，根據被開方數能開平方的知識點進行解題即可.

【詳解】解：A、J32xj=V8=2V2,故不是正整數，符合題意；

B、,32xi=V16=4,故是正整數，不符合題意；

C、V32V2=V64=8,故是正整數，不符合題意；

D、V32x8=V256=16,故是正整數，不符合題意；

故選：A.

3.（2024?浙江.模擬預測）若式子焉在實數范圍內有意義，則x的值可以是.（寫出一個即可）

Vl-x

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件和分式

有意義的條件是解題的關鍵.

根據二次根式有意義的條件的條件是被開方數大于等于0,分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可.

【詳解】解：???式子春在實數范圍內有意義，

Vl-x

???1—%>0,

解得％<1.

.?.X的值可以是0,

故答案為：0（答案不唯一）.

4.（2024?山西大同?模擬預測）請寫出一個無理數，使它與何的積是有理數，這個無理數可以是.（寫

出一個即可）

【答案】V3（答案不唯一）

【分析】本題考查了無理數的定義，二次根式的性質，二次根的乘法，熟練掌握二次根式的性質和乘法法

則是解本題的關鍵.

先化簡歷，再根據二次根式的乘法法則進行計算后確定這個符合條件的無理數.

【詳解】??,仞=3百，3V3XV3=9,

這個無理數可以是百，（答案不唯一）

故答案為：V3（答案不唯一）.

口題型03二次根式的非負性

1.（2024儀征市一模）若|2023-？n|+-2024=m,則m-2023?=.

【答案】2024

【分析】本題考查二次根式有意義，先根據Sn—2024得到m22024,再化簡絕對值計算即可.

【詳解】解：Vm-2024,

??m>2024,

,?,|2023—m|+Vm-2024=m,

■'-m-2023+7m-2024=m,

-,-y/m-2024=2023,

???m-2024=20232,

■■.m-20232=2024,

故答案為：2024.

2.（2024?四川廣元?三模）先化簡，再求值1一年粵工+號，其中a、6滿足（a-&『+lb+l=0.

az-aba-bv，72

【答案】烏

【分析】本題考查的是分式的化簡求值，分母有理化，先計算分式的除法運算，再計算分式的減法運算,

再利用非負數的性質求解a=&,匕=-|，再代入計算即可.

a2+4ab+4b2a+2b

【詳解】解：一

1a2-aba-b

(a+2b￥a—b

—]----------------

a(a-b)a+2b

aa+2b

aa

_2b_

-9

a

??,(a-V2)2+Jb+1=0,

??.a—V2=0,b+-=0,

2

解得：a=V2,b=—I，

原式=一竺2=七=字

v2V22

□題型04二次根式的性質化簡

1.(2024.貴州畢節.模擬預測)若7<t<9,則化簡|5-t|+J(t-10)2的結果是()

A.5B.-5C.2t-15D.15-2t

【答案】A

【分析】本題主要考查可化解絕對值，求一個數的算術平方根，根據7<t<9化簡絕對值，求出，(t—10)2

的算術平方根，然后計算求解即可.

【詳解】解:"<t<9,

=t—5+10—t

=5,

故選：A.

2.(2024?甘肅武威二模)已知一次函數:y=-mx+n的圖象經過第二、三、四象限,則化簡'(仁一中產+標

的結果是()

A.nB.—mC.2m—nD.m—2n

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡以及一次函數的圖象與系數的關系，根據題意可得-爪<0,n<0,

再進行化簡即可.熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

【詳解】?.?一次函數y=—加式+n的圖象經過第二、三、四象限，

m<0,n<0,即m>0,n<0,

—n)2+

=|m—n|+\n\

=m-n—n

=m—2n,

故選：D.

3.（2024?四川樂山?模擬預測）已知△ABC的三邊分別為2,%5,化簡-6%+9+氏-7|=

【答案】4

【分析】本題考查了三角形的三邊關系以及二次根式的化簡，正確理解二次根式的性質是關鍵.

首先根據三角形的三邊的關系求得％的范圍，然后根據二次根式的性質進行化簡.

【詳解】解：???2、X、5是三角形的三邊,

?，.3<%<7,

%—3>0,x—7<0,

???原式=—31+—7尸=|x-3|+|x—7|=x—3+(7—%)=4.

故答案為：4.

r

4.(2024?湖南?模擬預測)設/=〃+.+*++.+*+/1++,*,+/1+777777n742則不

7廿247243/y3Z4Z-M2023/2024z

超過a的最大整數為()

A.2027B.2026C.2025D.2024

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，根據1++++=(管-^)2把原式的對應項化簡，然后計

算求解即可.

【詳解】解：對于正整數n,有

11

14--71-21T--(-九--+--1-)-2

/1\221

=(1H—)----F7---7V7

\nJn(n+1)2

=*2二+(八

\nJn\n+1/

總〔

,1,1n+11.,11

w1+運+?^=丁一言=1+5_;^'

,必=J1+]+\+J1+]+++J1+]+喪+,■,+J1+募+高

1+1_1+(1+*+(1+T+…+(1+募一

12.

=2四一感

不超過4的最大整數為2024.

故選：D.

口題型05二次根式與數軸

1.（2024?寧夏銀川?模擬預測）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則由不+l+|a-1|的化簡結果是

（）

A.2B.2a-1C.0D.1-2a

【答案】A

【分析】本題考查二次根式的性質與化簡、實數與數軸.先根據數軸分析出a的取值范圍，再根據二次根式

的性質進行化簡即可.

【詳解】解：由數軸知0<a<1,

ci-1V0,

*，?J（—a）2+1+|（1—1|=a+l+l—ci=2.

故選：A.

2.（2024?江蘇鹽城?三模）a,b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡|a-m-后的結果是（）

[■1a

b0。

A.2a-bB.bC.—bD.—2a+b

【答案】c

【分析】本題主要考查了化簡絕對值，求一個數的算術平方根，實數與數軸，先根據數軸得到b<0<a,

則a-6>0,據此化簡絕對值，求算術平方根即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，b<0<a,

■■.a—b>0,

—b\—=a—b—a=—b,

故選：C.

3.（2023?山東濱州?二模）若實數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示，則化簡后一年+J（a+6尸的

結果是?

a

__I_____i.i____?_____ibii?

-3-2-10123

【答案】-2a-2b

【分析】首先由實數a、b在數軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,再根據二次根式的性質化簡，即可

求解.

【詳解】解：由實數。、6在數軸上的位置，可得a<0<b,|a|>\b\,

a+b<0,

■■■+J（a+I.

=|a|—\b\+|a+b|

=—a—b—（a+b）

——a—b—a—b

=—2a—2b

故答案為：-2a-2b.

【點睛】本題考查了根據實數在數軸數軸上的位置，化簡二次根式，去絕對值符號，整式的加減運算，熟

練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵.

4.（2024.河北.二模）計算/X連的結果為,這個數落在了數軸上的段.

【答案】2百④

【分析】本題考查了二次根式的運算與估值，掌握運算方法與估值技巧是解題關鍵.利用二次根式乘法計

算即可，注意結果為最簡二次根式，再利用找相鄰兩數的平方的方法估值即可.

【詳解】解：V2xV6=V12=2A/3,

?.?9<12<16,

???3<273<4,

??.2次落在第④段，

故答案為：2V3；④.

口題型06應用乘法公式求二次根式的值

1.（2024?河北?模擬預測）老師在復習二次根式的運算時，給出了一道題：計算百x（W-魚）+&X

（V3-V2）.甲、乙分別給出了不同的解法：

甲：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=3—V6+V6—2

=1.

乙：V3x(V3-V2)+V2x(V3-V2)

=(V3+V2)x(V3-V2)

=(V3)2-(V2)2

=1.

對于甲、乙的計算過程及結果，下列判斷正確的是()

A.甲和乙都對B.甲對乙錯

C.甲錯乙對D.甲和乙都錯

【答案】A

【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握乘法分配律的

逆用和二次根式的混合運算法則，根據二次根式的混合運算法則和乘法分配律的逆用即可進行解答.

【詳解】解：根據題意可得：甲和乙都對，

故選：A.

2.(2024.天津濱海新.模擬預測)計算(代一百『的結果等于.

【答案】8-2V15/-2V15+8

【分析】本題考查了二次根式的乘法.根據完全平方公式計算即可求解.

【詳解】解：(迷-百『

=5-2V15+3

=8-2同.

故答案為：8-2V15.

3.(2024.山西長治.模擬預測)計算(VH-同)(VH+g)的結果為.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，利用平方差公式進行計算即可解答.

【詳解】(⑶-vi9)(vn+vi9)

=21—19

=2,

故答案為：2.

4.(2024?江蘇蘇州?三模)計算：(/一Ip。?7或+1『°23的結果是.

【答案】V2-1/-1+V2

【分析】本題考查了積的乘方逆用，二次根式的乘法運算以及平方差公式，熟練掌握運算法則是解答本題

的關鍵.把原式變形為(a—e+1)2°23(魚—1),逆用積的乘方計算即可.

[詳解]解：(a_1)2°24*(a+1)2°23

223

=(V2-以°23X(V2+1)°X(V2-1)

=[(V2-1)X(V2+1)]2°23X(V2-1)

「712023

=[(V2)-l2]x(V2-1)

=I2023x(V2-1)

-1x(V2-1)

=V2—1,

故答案為：V2—1.

口題型07最簡二次公式的判斷

1.(2024.廣東江門?模擬預測)下列二次根式是最簡二次根式的是()

A.V32B.VOAC.D.V15

【答案】D

【分析】本題考查最簡二次根式，根據最簡二次根式的定義進行解題即可.

【詳解】解：A.V32-4V2,不是最簡二次根式；

B.屈=?，不是最簡二次根式；

c.11=；值,不是最簡二次根式；

D.同是最簡二次根式；

故選D.

2.(2024?河北.模擬預測)若“的倒數是J則正的值為一.

【答案】2V2

【分析】本題考查的是倒數的含義，二次根式的化簡，先求解a=8,再化簡聲即可.

【詳解】解：:a的倒數是；，

8

'-a=8,

?—yj8—2V2；

故答案為：2位.

3.（2024.吉林長春.二模）位與最簡二次根式2,27n+1是同類二次根式,則機的值為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了同類二次根式，最簡二次根式，根據同類二次根式定義可知26+1=7,求出解

即可.

【詳解】:近與最簡二次根式不I是同類二次根式，

--2m+1=7,

解得Hl=3.

故答案為：3.

4.（2024.江西九江.三模）在等式“（）+&=&”中，括號內應填入的最簡根式為.

【答案】2V3

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法和除法，根據題意，列出二次根式的乘法算式即可求解.

【詳解】解：括號內應填入的數為：V2xV6=V12-2V3,

故答案為：2回

1.（2024.江蘇南京.二模）計算縹漁的結果是_.

□題型08分母有理化V8

【答案】I

【分析】此題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

根據二次根式的性質化簡后，再根據二次根式的加減法運算法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=型等=金=5

故答案為：|.

2.（2024.廣東.模擬預測）先化簡，再求值：丁十7+事+2，其中尤=迎一1

xz-4x+42-xx-2

【答案】V2+1

X

【分析】本題考查了分式的化簡求值，根據分式的乘法可以化簡題目中的式子，然后將X的值代入化簡后的

式子即可解答本題.

【詳解】解：原式=金?一+」：

（x-2）2xx-2

2x

=----------1--------

x（x—2）%（%—2）

%—2

%(%—2)

1

一%,

當％=魚一1時，原式=蠢=語恭討=迎+1.

3.（2024?湖南岳陽?模擬預測）化簡求值：7+（%-生產）+1,請你自選x,y的值，其中x為負整數,

y為無理數.

【答案】當％=—Ly=時，原式=2V2—2.

【分析】此題考查了分式的混合運算一化簡求值及分母有理化，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

根據分式的混合運算法則計算，然后選取適當的值代入，利用二次根式的運算法則計算求解即可;

【詳解】解：—出土）+1

X\X/

2222

--x--—--y---：__x__—___2_x_y_+__y___

XX

(%+y)(x—y)(x—y)2

xx

_O+y)(%-y)x

x(x—y)2

_(x+y)

一(%-y)

%+yx-y

x—yx—y

%+y4-x—y

x—y

2x

x—y

當汽=—1,y=魚時，

-2_2_2(涯_1)等=2迎-2

原式=-1-V2-V2+1-(V2-1)(V2+1)

4.（2024.黑龍江哈爾濱.二模）先化簡，再求代數式三+（a+l—六）的值，其中a=2sin60。一2tan45。.

【答案】吃，當

a+23

【分析】本題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數值，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

先通分括號內的式子，再算括號外的除法，然后將a的值的代入化簡后的式子計算即可.

【詳解】解：三I（。+1一言）

a—2a2—4

CL—1CL—1

CL—2CL—1

a—1(a—2)(a+2)

1

a+2

a=2sin60°-2tan45°=2Xy-2x1=V3-2,

i_1_V3

當a=V3—2時，原式=

V3-2+2-V3-3

□題型09二次根式的混合運算

1.（2024.甘肅隴南.模擬預測）計算：V2xV3-J|xV12+V2

【答案】V2

【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法運算，再合并即可；

【詳解】解：V2xV3-J|xV12+V2

V6-V6+V2

=&

2.（2024?湖南?模擬預測）計算：（IT一百）°+2cos30。-V12-|V3-2|-2-1

【答案】-1

【分析】本題考查實數計算，特殊角三角函數值，二次根式化簡，絕對值化簡，負指數累等.根據題意先

將每項整理計算，再從左到右依次計算即可.

【詳解】解：（TT一次）°+2cos3（?-V12-|V3-2|-2-1,

=1+2x——25/3-2+V3—,

22

=1+V3-2A/3-2+V3-3，

3

2,

3.（2024廣東中山?模擬預測）計算：-------（2020+sin30°）0-V12+（-

tan60°-l\3/

【答案】9-V3

【分析】首先計算負整數指數塞，特殊角的三角函數值，零指數塞，二次根式分母有理化，然后計算加減.

此題考查了負整數指數塞，特殊角的三角函數值，零指數基，二次根式分母有理化，解題的關鍵是掌握以

上運算法則.

【詳解】解：—京-（2。20+sin30。）?！猤+（―曠

2

-1-2V3+9

V3-1

=V3+1-1-2V3+9

=9-V3.

4.（2024.浙江杭州?一模）以下是小濱計算值-J[的解答過程:

解：原式=2A/34-^-2A/3

=5/6—2V3.

小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

【答案】有錯誤；2V6—當

【分析】本題考查了二次根式的混合運算.先把g和電化簡，再?化為專，接著把除法運算轉化為乘法

運算，然后根據二次根式的乘法法則運算.

【詳解】解：小濱的解答過程有錯誤；

正確的解答過程：

口題型10二次根式估值

1.（2024.云南昆明.二模）估算g—述x]|的結果在（）

A.0和1之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的乘法和減法及無理數的估算，先根據運算法則計算出結果，再估計即可.

【詳解】解：V12-V6XJ|=V12-^6x|=V12-2=2V3-2,

???V9<V12<V16,即3<V12<4,

???3<2V3<4

1<2V3—2<2,

2百一2在1和2之間,

故選：B.

2.（2024.重慶.模擬預測）估計（2a+4）+專的值為（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算、估算無理數的大小，熟練掌握二次根式的混合運算法則、

算術平方根的性質是解決本題的關鍵.

根據二次根式的混合運算法則，計算出（2/+4）+專，再根據無理數的估算方法，即可解決此題.

【詳解】解：（2夜+4）+專

rL、魚

=（2V2+4）X—

=2+2V2,

V4<8<9,

???2<2A/2=V8<3,

，4<2+2,\/2<5,

（2V2+4）+5的值在4和5之間，

故選：B.

3.（2024?江蘇南京?一模）如圖，實數機在數軸上對應的點M到原點的距離為5.下列各數中，與加最接近的

是（）

M

----??------------>

m------0

A.-4V2B.-3V2C.-2V2D.-V2

【答案】A

【分析】根據題意，得到爪=一5=-V25,-V32<-V25<-V18<-V8<一企,繼而得到|一反+5|-

|-5+V18|<0,解答即可.

本題考查了絕對值，實數大小比較，熟練掌握兩點間距離越小，兩個數越靠近是解題的關鍵.

【詳解】根據題意，得到爪=-5=-V25，

因為一4夜=一翅，-3V2=-V18,-2V2=-V8

所以一V32<—。25<—V18<-V8<—V2

所以一5在一4&,—3夜之間，

所以+5|—|—5+V18|

-V32-5-5+V18

=7V2-10

=V98-V100<0

所以數軸上表示數m與-4位的距離小于表示數m與-3企的距離，

即數機與-4&最接近，

故選A.

4.（2024.云南昆明.模擬預測）如圖，估計遍x（專-1）的值所對應的點可能落在（）

ABCD

-5-4-3-2-1012345

A.點4處B.點B處C.點C處D.點D處

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次根式的乘法運算、無理數的估算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關

鍵.

先利用乘法分配律化簡，然后再估算無理數的大小即可.

【詳解】解：V3x（^-1）

=V3x--V3

=1-V3

???VT<V3<V4,

??-1<V3<2,

-1<1-V3<0,

???由圖象點的位置可得：2點符合.

故選：B.

□題型11與二次根式有關的新定義問題

1.（2023?山東荷澤.三模）對于實數P,我們規定:用｛旃｝表示不小于血的最小整數.例如:｛〃｝=2,｛遮｝=2,

第一次第二次第三次

現在對72進行如下操作：72-｛V72｝=9;｛V9）=3｛皆｝=2,即對72只需進行3次操作后

變為2.類比上述操作：對36只需進行次操作后變為2

【答案】3

【分析】理解題中新定義運算的規則，對36進行運算即可.

第一次第二次第三次

【詳解】解：由題意可得：36—{V36}=6—{V6)=3-{V3]=2

故答案為：3

【點睛】此題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是理解新定義運算以及掌握二次根式的性質.

2.(2024?內蒙古烏海?一模)對于任意兩個不相等的正實數a,b定義新運算“※，，規定：=華如，求

b-a

2※(、-1)中工的取值范圍是.

【答案】x>1且久H3

【分析】本題考查了定義下的實數運算，二次根式的意義,分式的意義,根據新定義，由2x-1)=至空三,

x—3

得到％-120且“-3力0即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：:a刈=華些,

V2xVx-l_V2xVx-l

???2※（久—1）

（X—1）—2X—3

.,?%—1>0且％—3H0,

???X>1且久W3,

故答案為：%之1且%W3.

3.(2024烏海二中一模)對于任意的正數a、b,定義運算“*”為計算a*b=+巧?匕)計算(5*2)x

IVa-y/b(a<b)

(8*20)的結果為.

【答案】-6

【分析】本題考查二次根式的混合運算和實數的運算，結合已知條件列得正確的算式是解題的關鍵.根據

新定義把數值代入得(遙+V2)x(V8-V20),再化簡計算即可.

【詳解】解：原式=(遙+/)x(我一例)

=(V5+V2)x(2V2-2V5)

=2(V5+V2)X(V2-V5)

=2x(2-5)

=—6,

故答案為：-6.

4.(2022?重慶?模擬預測)材料一：若a是正整數，a除以3的余數為1,則稱a是“三拖一數”.例如：13

是正整數，且13+3=4…1,則13是“三拖一數”.

材料二：對于任意四位正整數0,p的千位數字為a、百位數字為b、十位數字為c、個位數材字為d,規定:

F(P)=鬻

請根據以上材料，解決下列問題：

(1)判斷：124,1838是不是“三拖一數”？并說明理由；

(2)若四位正整數p是“三拖一數”，p的千位數字的2倍與個位數字的和等于9,百位數字與十位數字的和等

于8,J而是有理數，求所有滿足條件的p.

【答案】(1)124是“三拖一數”，1838不是“三拖一數”，理由見解析.

⑵所有滿足條件的〃的值為1717、4081、4531.

【分析】⑴根據“三拖一數”的定義即可一一判定；

(2)任意四位正整數),設p的千位數字為.、百位數字為從十位數字為c、個位數字為乙則

p=1000a+100b+1Qc+d,根據題意可知：2a+d=9,b+c=8,化簡整理可得p=4500+99b+9c-498d+6+c—d,若p

為“二拖一數”，則b+c-d必須為“二拖一數”，可設b+c-d=3k+l(k>0且4為整數)，則k=~~~=

分類討論可確定4=7、。=1或d=l、a=4,再根據是師5有理數，則F(p)是有理數的完全平方數，列出情況

分類討論即可確定滿足條件的p.

【詳解】(1)解：124是“三拖一數”，1838不是“三拖一數”

理由如下：

1244-3=41-1

二124是“三拖一數”

???1838+3=612…2

.?.1838不是“三拖一數”

(2)解：任意四位正整數p,設°的千位數字為八百位數字為6、十位數字為c、個位數字為d,則

p=1000〃+100。+1Oc+d,

根據題意可知：2a+d=9,b+c=8

9-d

a=—

2

???p=1000a+100/?+10c+d

=1000(—)+100b+lOc+d

2

=4500+100b+10c-499d

=4500+99b+9c—498d+b+c—d

,：p是'三拖一數”且4500+99力+9c-498d能被3整除，

???b+c-d是“三拖一數”，

設b+c—d=3k+1(々20且人為整數)，

.匕+

k=---c—--d-—18—d—17—d

當k=—=0時，d=7,a=—^―=1,

當時,d=4,a==|（舍）,

當k=—=2時，d=La=等=4，

因為J麗有理數，則F（p）是有理數的完全平方數,

l,、a+b

Ftp）=---

wc+d

當d=7,a=1,

b=0,c=8時，尸（p）弓（舍）；

b=l,c=7時,尸⑺噌（舍）；

b=2,c=6時，F（p）=V（舍）；

b=3,c=5時,F（p）號（舍）；

b=4,c=4時，F（P）4（舍）；

F（p）*（舍）；

b=5fc=3時，

b=6,c=2時，F（P）W（舍）；

b=7,c=1時，F（P）=g=l；

b=8,c=0時，尸（p）3（舍）；

當d=l,a=4,

b=0,c=8時，F（P）=/

b=l,c=7時，F（p）］（舍）；

o

b=2,c=6時，F（P）4（舍）；

b=3,c=5時,F（p）=”舍）；

b=4,c=4時，F（P）W（舍）；

F（p）=:；

b=5fc=3時，

b=6,c=2時，F（p）=y（舍）；

b=7,c=1時,F（p）考（舍）；

b=8,c=0時，F（p）=12（舍）；

綜上，所有滿足條件的p的值為1717、4081、4531.

【點睛】本題考查了新定義運算，列代數式，二次根式的求值問題，應用了分類討論的思想，理解題意,

逐條件分析是解決本題的關鍵.

口題型12與二次根式有關的規律探究

1.(2023?貴州六盤水?二模)人們把牛=0.618這個數叫做黃金比，優選法中的“0.618法”與黃金分割緊密

相關,這種方法經著名數學家華羅庚的倡導在我國得到大規模推廣,取得了很大的成果.設。=學,6=等

記￡=工+352=貯嘿把，$3=絲整，…依此規律，則S6的值為()

2233

?ab乙ab°ab0

A.5V5B.25C.6V5D.125

【答案】D

【分析】利用分式的加減法則以及二次根式的混合運算法則求得ab、a+b,以及S6=噌，代入求解即

°a6b6

可.

V5—1jV5+1

【詳解】解:va=----，b=-------

V5-1V5+1,,V5-1.V5+1

-'-ab=---X---1,a+=-----1-----=V5

22

1.1a+b,

,-'S-+-=——=a+D=V5,

1abab

S_a2+2ab+b2

與=~-=(a+b)2=5,

S3喑=(V5)3=5V5,

==(V5)6=125.

a6b6'7

故選：D.

【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，解題的關鍵是找出相應的規律.

2.(2024?山東泰安?三模)細心觀察下面圖形，其中，5兀表示圖中第九個三角形的面積，認真分析各式：。掰=

222222

(VT)+1=2,S】=OAI=1+(V2)=3,s2=￥，OAI=I+(V3)=4,S3=6；...若一個

三角形的面積是V7,則說明這是第一個三角形.

【答案】28

【分析】本題主要考查了勾股定理，圖形類的規律探索，化簡二次根式,.利用勾股定理求出推出0Al=

即可得到%=\0An-AnAn+1=把校代入無=當中進行求解即可.

【詳解】解：???每一個三角形都是直角三角形,

二由勾股定理可求得：CM】=1,0A2=V2,0A3=V3,0An=y/n,

2

?'-OAn=n.

0=^n^n+l=Y

???當一個三角形的面積是舊時，則有?=夕,

??.n=28,

故答案為：28.

3.（2024?山東臨沂?模擬預測）如圖，正方形力BCD邊長為1,以4C為邊作第2個正方形4CEF,再以CF為邊

作第3個正方形FCG”，…，按照這樣的規律作下去，第2024個正方形的邊長為（）

//—、2024/L、2025

C.(V2)D.(V2)

【答案】C

【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，圖形的規律探究

等知識.由題意知，第1個正方形4BC0的邊長為1；第2個正方形4CEF的邊長4C為魚;第3個正方形FCGH

O2

的邊長CF為（魚）；第4個正方形FGMN的邊長FG為（a）；,可推導一般性規律為第九個正方形的邊

n-1

長為（a）,然后求解作答即可.

【詳解】解：由題知，第1個正方形4BCD的邊長為1；

第2個正方形4CEF的邊長4C為412+了=V2；

2

第3個正方形FCGH的邊長CF為24D=2=（V2）；

第4個正方形尸GMN的邊長FG為/CF=（夜），

_T）-1

???第71個正方形的邊長為（夜），

二當九=2024時，第2024個正方形的邊長（夜）?。?".

故選：C.

4.（2023?湖北黃岡?模擬預測）觀察下列等式：

第1個等式：%=~^==V2-1；

第2個等式：a2=r-=V3—V2；

第3個等式：a3==2-V3；

根據以上等式給出的規律，計算：%+的+。3+…+。19=一.

【答案】2V5-1/-1+2V5

【分析】直接仿照前面三個等式，即可寫出第〃個等式，根據前面已知的,右，%的值和所求出的冊的值，

進行計算即可解答.

【詳解】解：第九個等式：a==Vn+1—Vn,

nv.——n+li+Vrn

+做+。3+…+。19

—V2—1+V3—V2+V4—V3+…+，20—V19

=-1+V20

=2V5-1

【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發現規律，根據已知等式，找出數字變換規律是解題的關鍵.

5.（22-23九年級下?黑龍江齊齊哈爾?階段練習）如圖，直線4與直線G所成的角NBi。41=30。，過點必作

4/11。交直線%于點OB】=2,以A/為邊在A。4/i外側作等邊三角形4/iG，再過點G作4殳1h，

分別交直線。和"于4,當兩點，以必為為邊在△。為々外側作等邊三角形2c2，…按此規律進行下去，

則第2023個等邊三角形4023B2023c2023的周長為.

【分析】根據含30。的直角三角形可得冬邑=1,OA.=V3,由等邊三角形的性質可得出的長度，進

而得出。&，42B2的長度，同理可求出力nBn的長度，再根據等邊三角形的周長公式即可求出第w個等邊三角

形71n的周長，代入化簡即可求解.

，

【詳解】解：?■?zB1OX1=30°,OB1=2,1h

???在Rt△CM/i中，OAr=V3,ArBr=IOBr=1,

,??△Ci是等邊三角形，

???/送2=曰=中,

.?.在RtA。4%中，。&=百+f=手，44=等=學X專=|,

???△482c2是等邊三角形，

A.V3cV333V3

?'?242^3=-AA2B2=~X—=—,

“~C4n』C43A/3.3y[39V3Ac9V319

???在Rt△0/383中，。％3=——I—~=—^―x而=—,

?Tl-l

2023-1q2023

?=22022,

o2023

故答案為：河J

【點睛】本題考查了含30。的直角三角形、等邊三角形的性質、規律探究，解題的關鍵是通過含30。的直角

三角形和等邊三角形的性質找出規律418n=

6.（2024?安徽池州?模擬預測）觀察下列等式：

①3-2魚=（魚-1產

②5-2遙=（遮-&）2；

（3）7-2V12=（V4-V3）2；

請你根據以上規律，解答下列問題：

⑴寫出第6個等式：_；第“個等式：」

(2)計算：75-2V6+77-2V12+V9-4V5+V11-2V30.

【答案】(1)13-2V42=(V7-V6)2,(2n+1)-21n(ji+1)=(VnTl-Vn)2

(2)V6-V2

【分析】本題考查規律探索，根據已知的式子總結出等式與序數的關系是解題的關鍵.由已知的等式，總

結規律求解即可.

(1)由已知的等式，即可歸納出規律；

(2)根據歸納的規律進行變形計算即可.

【詳解】(1)解：13-2V42-(V7-V6)2

(2n+1)-2y/n(n+1)=(Vn+1—Vn)2

(2)原式=yjs-2V6+77-2V12+-9-2聞+J11-2同

=J(V3-V2)2+J(V4-V3)2+J(V5-V4)2+J(V6-V5)2

=V3—V2+V4—V3+V5—V4+A/6—V5

=V6—V2.

口題型13二次根式的應用

1.(2024.湖南益陽?模擬預測)小靜、小智、小慧是同一學習小組里的成員，小靜在計算時出現了一步如下

的錯誤：V2+V3=V5

小智與小慧分別從不同的角度幫助小靜加深對這一錯誤的認識：

小智的思路：將魚+百，版兩個式子分別平方后再進行比較；

小慧的思路：以魚，V3,愿為三邊構造一個三角形，再由三角形的三邊的關系判斷e+聲與遙的大小關

系.

根據小智與小慧的思路，請解答下列問題：

⑴填空：

???(&+B>=,(V5)2=,

■,.(V2+V3)牛(V5),??.V2+V3豐V5.

(2)如圖，以V3,有為三邊構造△力BC,

B

①請判斷△力BC是什么特殊的三角形，并說明理由；

②根據圖形直接寫出注+舊與逐的大小關系.

【答案】⑴5+2跖5

(2)①直角二角形，見解析；@V2+V3>V5

【分析】本題考查二次根式的應用，三角形的三邊關系，勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是理解題

意，靈活運用所學知識解決問題.

(1