專題02整式與因式分解過關(guān)檢測

(考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分)

一.選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分)。

1.用代數(shù)式表示，的3倍與〃的差的平方"，正確的是()

A.(3m—n)2B.3(m—n)2C.3m—n2D.(m—3n)2

【答案】A

【分析】本題考查了列代數(shù)式的知識(shí)；認(rèn)真讀題，充分理解題意是列代數(shù)式的關(guān)鍵，本題應(yīng)注意的是理

解差的平方與平方差的區(qū)別，做題時(shí)注意體會(huì).認(rèn)真讀題，表示出加的3倍為3機(jī)，與"的差為3爪-",

最后再整體平方，即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)榧拥?倍與“的差為3zn—n,

所以加的3倍與n的差的平方為(3m-7i)2.

故選：A.

2.單項(xiàng)式-12/y的系數(shù)和次數(shù)分別是()

A.-12,4B.-12,3C.12,3D.12,4

【答案】A

【分析】本題考查了單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式的系數(shù)，次數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)，次數(shù)的意義判斷即可.

【詳解】解：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)，即-12/y的系數(shù)是—12,單項(xiàng)式次數(shù)是所有字母的

指數(shù)和，即-12dy的次數(shù)是4.

故選：A.

3.下列運(yùn)算中，正確的是()

A.3ab-2a=bB.a4+a4=a8C.(a/)2)2=2a2/)4D.a8-i-a4=a4

【答案】D

【分析】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的除法，直接利用積的乘方運(yùn)算，合并

同類項(xiàng)，同底數(shù)幕的除法分別計(jì)算，進(jìn)而判斷即可.

【詳解】解：A.3ab和2a不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不合題意；

B.a4+a4=2a4,故此選項(xiàng)不合題意；

C.(防2)2=(12b4,故此選項(xiàng)不合題意；

D.a8-a4=a4,故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

4.計(jì)算：(-|xy2)=()

A.-|犯4B.-|x3y4C.D.a2y4

【答案】D

【分析】本題主要考查了積的乘方、幕的乘方等運(yùn)算法則.直接運(yùn)用積的乘方、塞的乘方的運(yùn)算法則化

簡即可解答.

【詳解】解：(-|%y2)2=1x2y4.

故選：D.

5.下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是()

A.x(a—fo)=ax—bxB.x2—l+y2=(%—1)(%+1)+y2

C.%2—1=(x—l)(x+1)D.ax+by+c—x{a+b)+c

【答案】C

【分析】本題考查因式分解的判斷，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解，據(jù)此進(jìn)

行判斷即可.

【詳解】解：A、是整式的乘法，不符合題意;

B、等式右邊不是整式的積的形式，不符合題意;

C、是因式分解，符合題意；

D、等式右邊不是整式的積的形式，不符合題意;

故選C.

6.如圖，可以驗(yàn)證下列哪個(gè)乘法公式(

A.(a+廳=a2+2ab+b2B.(a-b)2=c^-2ab+b2

C.(a+b)(a—b=a?一廬D.a2-/?2=(a+b)(a—h)

【答案】B

【分析】此題考查了完全平方公式幾何背景問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用完全平方公式和

數(shù)形結(jié)合思想.

通過兩種不同方法求大正方形陰影部分的面積進(jìn)行求解、辨別即可.

【詳解】解：由題意得，大正方形陰影部分的面積為：（a-6）2或a?-ab-ab+廬=滔一+/,

?■.（a-6）2=a2-2ah+b2,

故選：B.

7.如圖1,將邊長為根的正方形紙片剪去兩個(gè)小矩形，得到一個(gè)"2"的圖案，如圖2所示，再將剪下的兩

個(gè)小矩形拼成一個(gè)新的矩形，如圖3所示，則新矩形的周長可表示為（）

圖3

A.2m—4nB.2m—3nC.4m—8nD.4m—6n

【答案】C

【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算等知識(shí).正確表示新矩形的長和寬是解題的關(guān)鍵.

由題意知，剪下的兩個(gè)小矩形的長為（m-n），寬為與二，則新矩形的長為（a-n），寬為（爪-3n），然后

求周長即可.

【詳解】解：由題意知，剪下的兩個(gè)小矩形的長為（爪-n）,寬為巴內(nèi)，

二新矩形的長為（m—?i）,寬為（m—3幾），

二新矩形的周長可表示為2［（爪—九）+（m-3n）］=4m—8n,

故選：C.

8.（%_1）.+2）的結(jié)果是（）

A.%2+21B.X2-X-2C.%2+x-2D.%2-2

【答案】C

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：（x-l）（x+2）=X2-X+2X-2=X2+X-2.

故選：C.

9.在求1+2+3+…+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101,從而得到

1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個(gè)三角形，記作組

=1;分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖(2),有5個(gè)三角形，記作。2=5；再分別連接圖(2)中間

的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖(3),有9個(gè)三角形，記作口3=9;按此方法繼續(xù)下去，則的+。2+&3+…+

an=().(結(jié)果用含"的代數(shù)式表示)

A.2n2-nB.n2C.2n2D.n2+n

【答案】A

【分析】本題考查了圖形類變化規(guī)律、列代數(shù)式，根據(jù)所給圖形，2表示出圖形中三角形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)

規(guī)律即可得出答案.

【詳解】解：由所給圖形可得：

的=1=1x4—3,

做=5=2X4—3,

a3=9=3X4—3,

.?.an=4n-3(九為正整數(shù))，

???(!]+02++…+an

=1X4-3+2X4-3+3X4—3+…+4九-3

=(1+2+3+…+九)X4-3n

n(n+1)

=-------x4—3n

=2n2—n,

故選:A.

10.若%—2y=l,則代數(shù)式3%-6y+4的值為()

A.7B.1C.-5D.13

【答案】A

【分析】本題主要考查了求代數(shù)式的值.根據(jù)題意可得3久-6y+4=3(%-2y)+4,整體代入即可求解.

【詳解】解：3%—6y+4=3(%—2y)+4=3xl+4=7,

故選A.

二.填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)

1L請寫出單項(xiàng)式—2。26的一個(gè)同類項(xiàng)：.

【答案】a2b(答案不唯一)

【分析】本題主要考查的是同類項(xiàng)的定義，掌握同類項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.

所含字母相同，相同字母的次數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，據(jù)此寫其中一個(gè)即可，

【詳解】解：寫出單項(xiàng)式一2a2b的一個(gè)同類項(xiàng)：02b(答案不唯一)，

故答案為：a2b(答案不唯一).

12.已知|a+l|+(6—2)2=0,貝胴-6=.

【答案】-3

【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，偶次嘉的非負(fù)性，代數(shù)式求值，直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出

a,6的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：|a+l|+(6—2)2=0,

???a+1=0,b—2=0,

解得：a=-1,b=2,

故a—b=—1—2=—3.

故答案為：-3.

13.因式分解：a-9a3=.

【答案】a(l+3a)(l—3a)

【分析】本題考查了提公因式與公式法相的綜合應(yīng)用，先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即

可.

【詳解】解：a-9a3=a(i-9a2)=a(l+3a)(l-3a)>

故答案為：a(i+3a)(l—3a>

14.如圖所示，三個(gè)電阻串聯(lián)起來，串聯(lián)電路電壓=若線路A8的電流/=2.54三個(gè)

電阻阻值分別為12.9Q,23.8Q,9.3Q,則電壓為V.

z__LxJLxJ%

【答案】115

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，把三個(gè)電阻阻值分別為12.9Q,23.8Q,9.3Q,/=2.54代入"=//+/

R2+/R3中即可求值.

【詳解】??三個(gè)電阻阻值分別為12.9Q,23.8Q,9.3(1,1=2.5X

■-U=/(%+&+-3)=25X(12.9+23.8+9.3)=2.5x46=115V,

故答案為：115.

15.若a+b=3,ab=2,則a?+b2=.

【答案】5

【分析】本題考查對完全平方公式的變形應(yīng)用能力，根據(jù)。2+/=缶+與2—2必，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：:a+6=3,ab=2,

■■-a2+/=(a+b)2—2ab=9—4=5.

故答案為：5.

16.已知一組有理數(shù)a,b,我們將左邊的數(shù)減去右邊相鄰的數(shù)即a-b的值插入到a,6之間稱之為一次“差

數(shù)操作若a=2,b=-3,第一次"差數(shù)操作"得2,5,—3；第二次"差數(shù)操作"得2,-3,5,8,-3；

則第2024次"差數(shù)操作"所得數(shù)的和是.

【答案】10119

【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律，理解"差數(shù)操作"的定義和發(fā)現(xiàn)操作一次數(shù)串比前一次之和多5的規(guī)

律是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，求出操作一次數(shù)串比前一次之和多5,進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：第一次"差數(shù)操作”得2,5,-3；和為：2+5-3=4；

第二次"差數(shù)操作”得2,-3,5,8,-3；和為：2-3+5+8-3=9；

第三次"差數(shù)操作”得2,5,-3,-8,5,-3,8,11,-3；和為：

2+5-3-8+5-3+8+11-3=14；

觀察可知：操作一次數(shù)串比前一次之和多5

二第n次操作后，和為4+5(72-1)=5n-l,

???第2024次"差數(shù)操作"所得數(shù)的和是5X2024-1=10119；

故答案為：10119.

三、解答題(本題共7題，共58分)。

17.(6分)(1)計(jì)算：8+(-2)2+(百)°；

(2)化簡：(x+3)(x—3)—x(x—3).

【答案】(案3(2)3x-9

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方，零指數(shù)塞的意義解答即可；

(2)利用平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算乘法，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡.

本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，掌握a°=l(aAO),平方差公式(a+b)(a-6)=a2-廿是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(1)8+(—2)2+(旬°

=8+4+1

=2+1

=3；

(2)(%+3)(%—3)——3)

=%2—9—x2+3%

=3%—9.

18.(6分)先化簡，再求值：[(2%—y)2—(y+2%)(2%—y)—2%y]+2y,其中％=一1,y=-3.

【答案】y-3x,-

【分析】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算.先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去掉

中括號內(nèi)的小括號，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡，最后代值計(jì)算即可.

【詳解】解：[(2x—y)2—(y+2x)(2%—y)—2xy]+2y

=[4x2—4xy+y2—(4%2—y2)—2xy]+2y

=(4x2—4xy+y2-4x2+y2-2xy)+2y

=(2y2—6xy)+2y

=y—3x,

當(dāng)％=_：,y=_3時(shí)，原式=-3-3x=-3+|=一|.

19.(8分)如圖，4、B,C三個(gè)小桶中分別盛有2個(gè)、11個(gè)、3個(gè)小球，將5小桶中部分小球轉(zhuǎn)移到4,C

兩個(gè)小桶中，數(shù)量如圖所示.

2加個(gè)加個(gè)

----------------------------------J

2個(gè)11個(gè)3個(gè)

7no-—oro-

A桶B桶C桶

⑴求轉(zhuǎn)移后1,c兩個(gè)小桶的小球的數(shù)量和(用含加的代數(shù)式表示).

⑵若轉(zhuǎn)移后/，C兩個(gè)小桶的小球的數(shù)量和與8小桶中剩余小球的數(shù)量相同，求轉(zhuǎn)移后C小桶的小球

的數(shù)量.

【答案】⑴5+3m

(2)4

【分析】本題考查整式加減的應(yīng)用；

(1)先分別求出轉(zhuǎn)移后/小桶的小球的數(shù)量和轉(zhuǎn)移后C小桶的小球的數(shù)量，相加即可；

(2)求出轉(zhuǎn)移后5小桶中剩余小球的數(shù)量，令其相等即可求解.

【詳解】(1)轉(zhuǎn)移后/小桶的小球的數(shù)量：2+2m：轉(zhuǎn)移后C小桶的小球的數(shù)量：3+m

二轉(zhuǎn)移后C兩個(gè)小桶的小球的數(shù)量和：2+2m+3+m=5+3m；

(2)由(1)得：轉(zhuǎn)移后/,C兩個(gè)小桶的小球的數(shù)量和為5+3小

轉(zhuǎn)移后B小桶中剩余小球的數(shù)量：ll-2m-m=ll-3m

.■-5+3m=11—3m,解得m=1

???轉(zhuǎn)移后C小桶的小球的數(shù)量：3+6=4個(gè)

20.(8分)生活中我們使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，有時(shí)候也會(huì)用到其它進(jìn)制數(shù)，如計(jì)算機(jī)使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù),

二進(jìn)制數(shù)可以轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù).如，二進(jìn)制數(shù)1101換算成十進(jìn)制數(shù)是1x23+1x22+0x21+1x2°

=13

第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)QCME—14)在中國上海舉行，會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展

現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的"卦”是用我國古代的計(jì)數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)

制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0?7共8個(gè)基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3X83

+7X82+4X81+5X8°=2021表示ICMET4的舉辦年份.

⑴八進(jìn)制數(shù)3747換算成十進(jìn)制數(shù)是」

⑵小穎設(shè)計(jì)了一個(gè)m進(jìn)制數(shù)156,換算成十進(jìn)制數(shù)是90,求m的值.

【答案】⑴2023

(2)7

【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，因式分解，解題的關(guān)鍵是弄清各個(gè)進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)

的計(jì)算方法.

（1）根據(jù)已知，從個(gè)位數(shù)字起，將八進(jìn)制的每一位數(shù)分別乘以8°,8】，82,83,再把所得結(jié)果相加即

可得解；

（2）根據(jù)小進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算方法得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解.

【詳解】（1）解：3747=3X83+7X82+4X81+7X8°

=1536+448+32+7

=2023.

故答案為：2023；

（2）解：依題意有：

1xm2+5xm1+6xm°=90,

m2+5m+84=（m+12）（m-7）=0

解得mi=7,Hi2=-12（舍去），

故m的值是7.

21.（8分）有一電腦Al程序如圖，能處理整式的相關(guān)計(jì)算，已知輸入整式4=1,整式C=2/+k-3后,

屏幕上自動(dòng)將整式2補(bǔ)齊，但由于屏幕大小有限，只顯示了整式8的一部分：B=2k+-\.

A-B=C

⑴求程序自動(dòng)補(bǔ)全的整式3

⑵在（1）的條件下，嘉淇發(fā)現(xiàn)：若左為任意整數(shù)，整式解-2。的值總能被某個(gè)大于1的正整數(shù)整除,

求這個(gè)正整數(shù)的值.

【答案】⑴2k+3

（2）5

【分析】本題考查了整式的乘法，加減法，因式分解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)以及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)廣代表的代數(shù)式為優(yōu)，即B=2k+m,利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行展開，再合并同類項(xiàng),

即可求解；

（2）利用完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，再因式分解即可.

【詳解】（1）

解：設(shè)4%代表的代數(shù)式為如

即B=2k+m,則4-B=(/c-l)(2fc+m)=2k2+mk-2k-m=2fc2+,

...X-B=C=2k2+/c-3,

■,-2fc2+(m—2)k—a=2k之+/c—3,

.,.m—2=1,解得m=3,

即程序自動(dòng)補(bǔ)全的整式B=2k+3；

(2)?：?■-s2-2C=(2fc+3)2-2(2fc2+/c-3)

2

=4k2+I2k+9-(4fc+2k-6)=10k+15=5(2k+3)，

若左為任意整數(shù)，貝|2k+3為整數(shù)，

二整式屏-2C的值總能被5整除.

22.(10分)【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、等式的性質(zhì)、

不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)〃八"，它們的乘積q(q=rmi)與較大數(shù)

的和一定為較大數(shù)的平方.

(1)舉例驗(yàn)證：當(dāng)m=4,n=5,則q+n=4x5+5=25=52

(2)推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：

設(shè)m、"是連續(xù)的正整數(shù)，

■■-n=m+1；-■-q=mn,.--q+n=mn+n=n(jn+1)=n2.

■■q+幾一定是正數(shù)n的平方數(shù).

【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方.

請你舉例驗(yàn)證及推理證明；

【深入思考】若P=[q+2n+[q_2m(加,〃為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜根＜71國=爪71),求證：0一定

是偶數(shù).

【答案】見解析

【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式化簡；

類比猜想：參考發(fā)現(xiàn)問題的舉例和推理過程計(jì)算即可；

深入思考：由〃為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0＜小＜兀，可得n=m+2,q=mn=ni2+2m,然后代入計(jì)

算即可.

【詳解】解：類比猜想：(1)舉例驗(yàn)證：當(dāng)zn=4,7i=5,則q-m=4X5-4=16=42

(2)推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：

設(shè)mVri,m、〃是連續(xù)的正整