專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

【模型變換】

特點(diǎn)

在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點(diǎn)，連接EF,將四邊形CDFE沿著

EF翻折得到CDTE,o

(1)ACED^ACTD';

結(jié)論(2)四邊形EDFD為菱形;

(3)C、E、D'三點(diǎn)共線，且C'D〃FD'。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=6,將AABC沿AC折疊，使點(diǎn)2落在點(diǎn)E處，CE交4。于點(diǎn)孔

則。尸的長(zhǎng)等于（）

士__.D

2.如圖，將矩形紙片ABCD折疊使AB落在AD上，AE為折痕，然后將矩形紙片展開(kāi)鋪在

一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將BE邊折起，使點(diǎn)8落在AE■上的點(diǎn)G處，連接DE,若DE=EF,CE=1,則AD

的長(zhǎng)為（）

A.1+72B.2+A/2c.2V2

3.如圖，矩形。48c中，OA=4,AB=3,點(diǎn)。在邊BC上，且CD=3O8,點(diǎn)E是邊。4上一點(diǎn)，連接。E,

將四邊形A3DE沿。E折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A恰好落在邊0C上，則。￡的長(zhǎng)為（）

4.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=5,BC=3,將△BCD沿8。折疊到二BED位置，DE交AB于點(diǎn)尸,

則cosNAD尸的值為（）

5.如圖，ABC。是一張矩形紙片，AB=20,BC=4,將紙片沿MN折疊，點(diǎn)"，C'分別是B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn),

與。C交于K,若AMNK的面積為10,則DV的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片A8C。中，AB=6,BC=9,M是BC上的點(diǎn)，且CM=3,將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)

M的直線折疊，使點(diǎn)。落在上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，折痕為MN,則線段AN的長(zhǎng)是—.

7.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E是邊。的中點(diǎn)，沿AE所在的直線折疊△AOE,落在矩形內(nèi)部得到△AFE,

延長(zhǎng)AF交BC邊于點(diǎn)G,若等=￡，則當(dāng)?shù)闹禐?

CB/AB

AD

8.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)。處，折痕

為EF,則的長(zhǎng)為.

9.如圖，矩形ABC。中，AB=3&,3c=12,E為AD中點(diǎn).尸為A3上一點(diǎn)，將二AEF沿所折疊后,

點(diǎn)A恰好落到C/上的點(diǎn)G處，貝|EG=,EF=.

10.如圖，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE交CD

于點(diǎn)F,連接。E

(1)求證：AADE2ACED；

(2)求證：△。斯是等腰三角形.

11.如圖，將矩形A8C。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,AE與交于點(diǎn)?

E

(1)求證：4DAF公AECF；

(2)若NPCE=40。，求NC4B的度數(shù).

12.將矩形428對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EE,展開(kāi)后再一次折疊，使點(diǎn)A落在EP上的點(diǎn)A處,

并使得折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,得到折痕8G,連接A4',如圖1,問(wèn)題解決：

(1)試判斷圖1中△W是什么特殊的三角形？并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，AA與BG相交于點(diǎn)N,點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交陰，于點(diǎn)。求

鬻的世

13.如圖，在矩形A8CD中，M,N是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，將矩形折疊分別使點(diǎn)8與點(diǎn)M重合，點(diǎn)。與

點(diǎn)N重合，折痕分別為AE,CF.連接EF,交AC于點(diǎn)O.

(1)求證：△ABEdCDF.

(2)求證：四邊形EC"是平行四邊形.

14.實(shí)踐與探究

如圖①，在矩形ABC。中，AB=12,AD=\6.將矩形ABC。沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)。落在矩形ABCD

的內(nèi)部，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)DC,折痕為AE,再將矩形ABC。沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊AD'上,

折痕為AF,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)？.延長(zhǎng)F?交AE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作直線交4。于點(diǎn)M,交BC

于點(diǎn)N.

⑴求證：△4WG絲ZvW'G.

(2)求證：四邊形ABNM是正方形.

(3)若OE=4,求線段2尸的長(zhǎng).

(4)如圖②，將矩形沿即'所在直線繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'.我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的位置不同，點(diǎn)C'的

位置也不同.當(dāng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)8'重合時(shí)，線段。￡的長(zhǎng)為.

15.在矩形ABC。中，點(diǎn)E,P分別是邊A。，8c上的動(dòng)點(diǎn)，MDE=BF,連接將矩形ABC。沿EF折

疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，點(diǎn)8落在點(diǎn)H處.

⑴如圖①，當(dāng)線段EG與線段3c交于點(diǎn)尸時(shí)，求證：PE=PF；

(2)如圖②，當(dāng)線段EG的延長(zhǎng)線與線段8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸時(shí).GH交線段交于點(diǎn)

①求證：4PCM與APGM；

②E,尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M是否在線段所的垂直平分線上？如果在，請(qǐng)證明；如果不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.如圖，四邊形是矩形，把矩形AC沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE與DC的交點(diǎn)為。，連接。E.

(2)求證：DE//AC.

17.如圖，在矩形ABCD中，E是的中點(diǎn)，將△/毗沿BE折疊后得到二G3E,且G點(diǎn)在矩形ABCD的

內(nèi)部，延長(zhǎng)8G交。C于點(diǎn)尸，連接EF.

⑴求證：LDEF冬AGEF；

AD2

(2)若DC:DF=3:2,求的值.

AB2

18.折疊矩形ABCD,使點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)尸處，折痕為AE.

(1)求證△ABFs^FCE；

(2)若CP=4,EC=3,求矩形ABC。的面積.

19.如圖，在矩形A2C。中，AD<2AB,點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，連接BE,將△ABE沿BE折疊后得到△G8E,

延長(zhǎng)BG交。C于點(diǎn)E連接跖.

(1)求證：AEGF2AEDF；

(2)若點(diǎn)尸是C。的中點(diǎn)，BC=8,求CD的長(zhǎng).

20.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E為BC中點(diǎn)，連接AE,將"BE沿AE折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

G,連接EG并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)R連接AF,CG.

(1)判斷CG與AE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵求DR的長(zhǎng).

21.如圖，長(zhǎng)方形ABC。中，AB>AD,把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE交

CD于點(diǎn)尸,連接。E.

E

(1)圖中有個(gè)等腰三角形；(請(qǐng)直接填空，不需要證明)

(2)求證：AADEdCED；

(3)請(qǐng)證明點(diǎn)尸在線段AC的垂直平分線上.

22.如圖，在一ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為邊上一點(diǎn)，以8。為鄰邊作YABDE,連接A。、EC.

(1)求證：△ADCZ^ECD；

(2)若30=CD,求證：四邊形AOCE是矩形.

23.如圖1,為了探究某種類型矩形A8CD的性質(zhì)，數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組在BC邊上取一點(diǎn)E,連接。E.經(jīng)

探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)OE平分/AOC時(shí)，將△A8E沿AE折疊至AAEE,點(diǎn)尸恰好落在OE上.據(jù)此解決下列問(wèn)題：

圖1圖2

(1)求證：AAFDqADCE；

(2)如圖2,延長(zhǎng)b交AE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)、H.

①求證：AHAF^AGCF；

②求GH:的值.

24.在矩形ABCD中，AB^12,P是邊AB上一點(diǎn)，把PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)

點(diǎn)B作3ELCG,垂足為E且在上，BE交PC于點(diǎn)、F.

(D如圖1,若點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，求證：AAEB^ADEC；

CF

(2)如圖2,當(dāng)AD=25,且AEcDE時(shí)，求正的值;

(3)如圖3,當(dāng)鹿?￡F=84時(shí)，求BP的值.

專題05全等三角形與矩形翻折模型

【模型展示】

【模型變換】

特點(diǎn)

在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點(diǎn)，連接EF,將四邊

形CDFE沿著EF翻折得到CDFE,0

(1)△CED^AC,ED,—

結(jié)論(2)四邊形EDFD為菱形；

(3)C、E、D'三點(diǎn)共線，且C'D〃FD'。

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=6,將AABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,

CE交于點(diǎn)E則。尸的長(zhǎng)等于()

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，ZE=ZB=90°,易證AAEB咨ACDR即可得到結(jié)論

EF=DF；易得FC=fA,設(shè)陽(yáng)=尤，貝l|"=x,FD=6-x,在放△C￡)/中利用勾股定理得到關(guān)于

x的方程/=4?+(6-x)2,解方程求出x.

【詳解】解：??,矩形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使△ABC落在△ACE的位置，

：.AE=AB,ZE=ZB=/D=90°,

又???四邊形ABC。為矩形，

：.AB=CD,

：.AE=DC,

而/AFE=/DFC,

:在△4石E與小C。尸中，

ZAFE=ZCFD

<NE=ND

AE=CD

：./\AEF^/\CDF(AAS),

：.EF=DF；

:四邊形A2CD為矩形，

：.AD=BC=6,CD=AB=4,

'：AAEF^ACDF,

:.FC=FA,

設(shè)欣=x,貝！JbC=x,FD=6-x,

在RtZCDF中，CF2=CD2+DF2,

13

即X2=4?+(6-x)2,解得尤=：,

貝I]FD=6-X=g.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.也考

查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理.

2.如圖，將矩形紙片ABCD折疊使A3落在AD上，AE為折痕，然后將矩

形紙片展開(kāi)鋪在一個(gè)平面上，E點(diǎn)不動(dòng)，將延邊折起，使點(diǎn)B落在AE上的點(diǎn)G處,連接OE,

若DE=EF,CE=1,則的長(zhǎng)為（）

2+72C.272D.4

【答案】B

【分析】證明放△四我以（乩），推出8尸=。8'，再證明。B'=EC=8/=1,由直

角三角形的性質(zhì)求出AB',則可得結(jié)論.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，EB=EB',NB=NAB'E=NEB'D=90°,

在Rt&EBF和RtXEB'D中,

EB=EB'

EF=ED'

：.RtAEBF^RtAEB'D(HL),

：.BF=DB',

:四邊形ABC。是矩形,

：.ZC=ZCDB'=ZEB'D=90°,

四邊形EC。9是矩形,

：.DB'=EC=1,

：.BF=EC=\,

由翻折的性質(zhì)可知，BF=FG=1,ZMG=45°,ZAGF=ZB=ZAGF=90°,

.?.AG=BG=1,

：.AB=AB'=l+y[2，

：.AD=AB'+DB'=2+收，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判

定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明四邊形EC。夕是矩形.

3.如圖，矩形O43C中，。4=4,42=3,點(diǎn)。在邊上，且CD=3O2,點(diǎn)E是邊。4

上一點(diǎn)，連接。E,將四邊形A8DE沿。E折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)4恰好落在邊0C上，則

0E的長(zhǎng)為()

【答案】B

【分析】連接AD、A。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=04=4,0c=A3=3,ZC=ZB=ZO=90°,

即可求得CD、BD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可到AC=8￡>=1,

再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】連接A。、AD,如圖，

?.?四邊形OABC是矩形，

：.BC=OA=4,OC=AB=3,ZC=ZB=ZO=90°,

'：CD=3BD,

：.CD=3,BD=\,

：.CD=AB,

根據(jù)翻折的性質(zhì)有：AD=AD,AE=AE,

在Rt&ACD和RtADBA中，CD=AB,AD=AD,

:.RtKACDDBA(HL),

：.A!C=BD=\,

：.A0=2,

,/在RtXHOE中，A'O2+OE2=A:E2,

22+OE2=(4-OE)2,

3

/.OE=~,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=5,BC=3,將△BCD沿BD折疊到，3a位置，DE

E

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明AAFD也AEFB,得出AF=EF,

DF=BF,設(shè)Ab=￡F=x,則的-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x

的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可.

【詳解】解：?四邊形ABC。為矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,ZE=ZC=90°,

Z=NE=90。

在4AFD和4EFB中<NAFD=NEFB,

AD=BE=3

：.AAEC^AEFB(AAS),

:?AF=EF,DF=BF,

^AF=EF=x,貝IJB尸=5—x,

在RtABEF中，BF2=EF1+BE2，

即(5-x)2=X2+32,

oX]7

解得：X=-,則。尸=5/=5-g=不，

.cosZADF==—,,

??DF1717，故C正確.

y

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)

的定義，根據(jù)題意證明AAFC^AEEB,是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，A8CD是一張矩形紙片，42=20,BC=4,將紙片沿MN折疊，點(diǎn)夕，C'分別是

B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，MB'與DC交手K,若AMNK的面積為10,則DN的最大值是（）

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作于E,NFLBM于F,由折疊得/1=/2,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NE

二N/，可得四邊形BCNF是矩形，則NP=BC=4,根據(jù)△MNK的面積為1。得NK=MK=5,

根據(jù)勾股定理得KE=3,則MF=ME=MK-KE=5-3=2,設(shè)DN=x,則CN=20-x,BM

=BF+MF=20-x+2=22-尤，由折疊可得曲會(huì)KM,即22-x>5.可得正17,即可得DN<11,

則DN的最大值是17.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作加于E,于E

由折疊得N1=N2,

：.NE=NF,

???四邊形ABC。是矩形，

:?/B=/C=/BFN=90。,AB//CD,

???四邊形5CN尸是矩形，ZDNM=Z2,

???NE=NF=BC=4,4\=/DNM,

:.NK=MK,

???△MNK的面積為10,

???KM?NE=《KN?NF=10,

:.NK=MK=5,

KE=yjKN2-NE2=3,

在△MEN和△MEV中，

'Zl=Z2

</MEN=ZMFN,

ME=NF

：.AMEN^AMFN(A4S),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

設(shè)DN=x,則CN=BF=20-x,

：.BM=BF+MF=20-尤+2=22-x,

由折疊得BM>KM,即22-x>5.

.\x<17,即￡WS17,

的最大值是17.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定

理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=6,BC=9,M是上的點(diǎn)，且CM=3,將矩形紙

片ABC。沿過(guò)點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)。落在A8上的點(diǎn)尸處，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，折痕為

MN,則線段AN的長(zhǎng)是—.

【答案】4

【分析】連接推出BM=BC-CM=9-3=6,由折疊性質(zhì)得,CO=PC=6,NC=NPCM

=ZPBM=90°,C'M=CM=3,由RtAPBMZRtAMC'P(HL),得出「2=C'M=3,所以

PA=AB-PB=6-3=3.設(shè)AN=x,則ND=9-尤=PN,在RtAAPN中，AN2+AP2=PN2,

即/+32=(9-x)2,求出X的值即可得出答案.

【詳解】解：連接如圖：

C

?：AB=6,BC=9,CM=3,

；.BM=BC-CM=9-3=6,

由折疊性質(zhì)得，CD=PC'=6,ZC=ZPC'M=ZPBM=90°,C'M=CM=3,

在RtAPBM和RtAMC'P中,

[PM=PM

\BM=PC'，

.'.RtAMC'P(HL),

：.PA=AB-PB=6-3=3.

設(shè)AN=x,貝I]ND=9-x=PN,

在RS4PN中，AN2+AP2=PN2,

即/+32=（9-x）2,

解得x=4,

的長(zhǎng)是4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折變化的性質(zhì)及矩

形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形A8CZ）中，點(diǎn)￡是邊C。的中點(diǎn)，沿AE所在的直線折疊△ADE,落在矩

形內(nèi)部得到AAFE,延長(zhǎng)AF交8C邊于點(diǎn)G,若萼=￡,則黑的值為_(kāi)________.

CB/AB

【答案】上

4

【分析】連接GE,證明EFG@.ECG（HL）,得CG=FG,設(shè)AD=BC=7a,表示出AF,

CG,GF,BG,AG的長(zhǎng)度，再由勾股定理得的長(zhǎng)度，即可得出比值.

【詳解】如圖，連接GE,

:在矩形A2CD中，

:.AD=BC,AB=CD,ZB=ZC=ZD=90°,

,由折疊的性質(zhì)可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ZD=ZC=90°,

,點(diǎn)E是邊CO的中點(diǎn)，

/.DE=CE=-CD,

2

CE=EF,

又；EG=EG（公共邊），

:.一EFG沿AECG（HL）,

CG=FG,

..CG2

"CB~l'

.?.設(shè)AD=BC=7a,

則AP=7a,CG=FG=2a,BG=BC-CG=5a,

：.AG=AF+FG=la+2a=9a,

■:在RfABG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,

AB=\lAG2-BG-=J（9a）2-（5a）2=2A/14O,

.ADlaV14

,?AB-2至a一4,

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)

邊、對(duì)應(yīng)角分別相等是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形A8CD中，AB=6,AD=S,將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。落

在點(diǎn)。處，折痕為ER則的長(zhǎng)為.

14

【答案】y

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得AO=CD=6；連接AC,根據(jù)勾股定理求得AC=10,證得

△BAEdDAF（A4S）,根據(jù)全等的性質(zhì)得：D'F=BE,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的

方程，解方程求得BE的長(zhǎng)，即可求得=￡=5，然后通過(guò)證利用相似

AE25

三角形的性質(zhì)即可求得DO.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=6,

'：AD'=CD,

：.AD'=6；

連接AC,

D

\'AB=6fBC=AD=SfZABC=90°,

???由勾股定理得：AC=VAB2+BC2=V62+82=10^

,

???ZBAF=ZDAE=90°f

r

：.ZBAE=ZDAFf

在^血石和402尸中

/BAE=/DAF

</B=/ADF=90。,

AB=AD'

/\BAF^/\TyAF(ASA),

:.D'F=BE,/AEB=NAFD',

r

：.ZAEC=ZDFD9

由題意知：AE=EC；

設(shè)BE=x,貝ljAE=EC=8-X9

在放△ABE中，ZB=90°,由勾股定理得:

(8-x)2=6W,

7

解得：x=：，

4

7725

；?BE=—,AE=S--=—

4449

貝Ij:—,

AE25AE25

ZADrF=Z￡>rAE=90°,

JDF//AE,

???DF//EC,

JADDrF^AG4E,

.DD_DF_7

**^4C-25?

714

DD,=—xlO=—

255f

故答案為］14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等

三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題.

9.如圖，矩形A3CD中，AB=3瓜,3c=12,E為AD中點(diǎn).歹為A3上一點(diǎn)，將aAEF

沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CP上的點(diǎn)G處，則EG=,EF=.

【答案】62^/15

（分析］根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求EG；連接EC,證Rt\ECG三Rt\ECD（HL）,由勾股定理

即可求EF-,

【詳解】解：連接CE,

為AO中點(diǎn)

EG=ED=AE=6

在RtAECG和RtAECD中

,:EG=ED,EC=EC

：.RtNECG=RtNECD（HL）

：.CG=CD

設(shè)AF=x,則C/2=3尸+3C?

即（3遙+x『=（3?-X『+122

解得：x=2A/6

EF=y/AF2+AE2=?2國(guó)+62=2715

故答案為：6；2715.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形得性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題

10.如圖，矩形A3C。中，AB>AD,把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E

處，AE交CZ)于點(diǎn)R連接OE

(1)求證：4ADE會(huì)ACED；

(2)求證：是等腰三角形.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知A￡>=BC、AB=CD,再由折疊的性質(zhì)，可得BC=CE,

AB^AE,進(jìn)而可推導(dǎo)AD=CE,AE=CD,然后由“SS夕證明△ADE絲即可；

(2)由(1)可知AAOE四△CE。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知/OE4=NE￡?C,即NOEF

=ZEDF,即可證明AOEF是等腰三角形.

(1)

證明：(1):四邊形ABC。是矩形，

C.AD^BC,AB=CD,

由折疊的性質(zhì)，可得BC=CE,AB=AE,

：.AD^CE,AE=CD,

在A4￡)￡和八CED中，

AD=CE

<AE=CD,

DE=ED

：.AADE^ACED(SSS)；

(2)

由(1)得△ADE四△CED,

：.ZDEA=ZEDC,即NDE尸=NED尸，

：.EF=DF,

...△OEF是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形

的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，將矩形ABC。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,AE與CZ)交于點(diǎn)?

(1)求證：ADAFm八ECF；

⑵若/FCE=40。，求NC4B的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)/68=25°

【分析】(1)由矩形與折疊的性質(zhì)可得AD=3C=EC,ND=NB=NE=90°,從而可得結(jié)

論；

(2)先證明NZM^=N￡CF=40。，再求解/石45=31^一//14^=90。—40。=50。，結(jié)合

對(duì)折的性質(zhì)可得答案.

(1)

證明：將矩形ABC。沿對(duì)角線AC折疊，

則AD=BC=EC,ND=NB=NE=90°.

在4D4尸和△ECF中,

'NDFA=ZEFC,

■ND=ZE,

DA=EC,

ADAF咨AECF.

(2)

解：*/ADAF^AECF,

：.ZDAF=ZECF=40°.

:四邊形ABC。是矩形，

/DAB=90°.

Z￡AB=ZZMB-ZZMF=90°-40°=50°,

ZFAC=ZCAB,

：.ZCAB=25°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用

軸對(duì)稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵.

12.將矩形ABC。對(duì)折，使與重合，得到折痕跖，展開(kāi)后再一次折疊，使點(diǎn)A落

在EF上的點(diǎn)A處，并使得折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,得到折痕8G,連接A4"如圖1,問(wèn)題解決：

圖2

⑴試判斷圖1中△ABA是什么特殊的三角形？并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，A4'與BG相交于點(diǎn)N,點(diǎn)P是8N的中點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交

.于點(diǎn)。，求器的值.

【答案】(1)AA5A是等邊三角形，理由見(jiàn)解析

⑵3

【分析】(1)等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出A4'=B4,利用折疊得出

即可，解法二：根據(jù)折疊得出=BA=BA,=90。然后利用銳角三角函數(shù)

BF1

定義得出cos/W3E=-,求出N/龐=60。即可；

BA2

(2)解法一：過(guò)點(diǎn)N作NH〃A'B交AP于H,先證△PHV也AP。(AAS),再證

△4加64424，，得出黑=”即可解法二：由折疊可知4N=4V，由點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn)，

QA2

AMANBOBP

得出BP=PN,利用平行線等分性質(zhì)得出07=俞=1,^-=—=1,證出

BQ=QM=AM即可.

(1)

解：△AS4'是等邊三角形.

解法一：理由是：由折疊可知所垂直平分A&

：.AA'=BA',

「△ABG折疊得A4BG,

，BA^BA,

：.A4'=BA=S4；

...△?'是等邊三角形；

解法二：理由是：由折疊可知8￡=工54,BA=BA,ZA,￡B=90°,

2

BF1

/.cosZA'BE=—=-,

BA'2

NABE=60°,

...△m'是等邊三角形;

圖1

(2)

解法一：

過(guò)點(diǎn)N作NH〃尺B交AP于H,

：.ZHNP=ZQBP,NNHP=NBOP,

又：點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn)，

BP=NP,

在4尸創(chuàng)和八PQB中，

ZHNP=NQBP

<NNHP=NBQP,

PN=PB

:.ZXPHN冬APQB(AAS),

HN=BQ,

天：NH//NB,

：.ZANH=ZAA'Q,ZAHN=ZAQA',

：.AAHNs^AQA,

由折疊可知AN=AN=-AA',

2

.HNAN1

"QA7"AA7"!，

.歿」

「QA,~2,

.絲」

""3；

解法二：由折疊可知A'N=4V，

又：點(diǎn)尸是BN的中點(diǎn),

：.BP=PN,

過(guò)點(diǎn)N作MW〃AQ交AT于

.A'MA'N_1BQBP

'?QM一AN一，QM~PN~

BQ=QM=A'M,

.BQ_1

"BA!~3'

【點(diǎn)睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線

等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形

的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

13.如圖，在矩形A8CZ)中，M,N是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，將矩形折疊分別使點(diǎn)8與點(diǎn)M

重合，點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，折痕分別為AE,CF.連接ER交AC于點(diǎn)0.

(1)求證：△ABE四△CDP.

(2)求證：四邊形E8是平行四邊形.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊證明即可；

(2)由(1)中全等可得AE=CF,再證明即可.

(1)

:四邊形48CD是矩形，

：.AB=CD,ZB=ZD=90°,AB//CD,

：.NBAC=NDCA.

:將矩形折疊分別使點(diǎn)8與點(diǎn)M重合，點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，折痕分別為AE,CF,

11

/.NBAE=-ABAC,ZDCF=-ZDCA,

22

二ZBAE=ZDCF,

/\ABE^ACDF(ASA).

(2)

?/AABE經(jīng)ACDF,

：.AE=CF.

,：NBAE=ZCAE,ZDCF=ZACF,ZBAE=Z.DCF,

ACAE^AACF,

：.AE//CF,

四邊形ECM是平行四邊形

【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.實(shí)踐與探究

如圖①，在矩形A8C。中，AB^12,AD=16.將矩形ABC。沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)

。落在矩形A8CD的內(nèi)部，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)折痕為AE,再將矩形ABC。沿過(guò)點(diǎn)A

的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊AD'上，折痕為AR點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)8'.延長(zhǎng)EB'交AE于

點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作直線□交于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N.

⑴求證：二△AB'G.

(2)求證：四邊形是正方形.

(3)若Z)E=4,求線段BF的長(zhǎng).

(4)如圖②，將矩形沿ED'所在直線繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'.我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的位

置不同，點(diǎn)C’的位置也不同.當(dāng)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)皆重合時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)見(jiàn)解析;

(3)7.2；

【分析】(1)利用折疊性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可;

(2)利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的判定證明即可；

(3)利用正方形的性質(zhì)得出MN=AB=2N=AA/=12,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明

△AMGSAWE求得MG=3,設(shè)BF=B，F(xiàn)=X,可求得GN=9,FG=3+X,FN=12-X,在AGNF

中利用勾股定理求得x即可求解；

(4)設(shè)。E=y,則CE=12-y,根據(jù)折疊性質(zhì)得￡>0E=y,B'E=12-y,再由勾股定理求得y值

即可求解.

(1)

證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90°,

由折疊性質(zhì)得：ZMAG=ZB'AG,/AB'F=/AB'G=NB=90°,AB=AB',

'：MN±AD,

：.ZAMN=9Q°,則ZAMG=ZAB'G=90°

在44河6和2k4夕6中，

ZMAG=NB'AG

<ZAMG=NAB'G

AG=AG

，△AMG/△AB'G(A4S)；

(2)

證明："?NB=NBAD=ZAMN=90°,

，四邊形ABMW是矩形，

,/Z\AMG^Z\AB'G,

：.AM=AB',則AM=AB,

，四邊形ABNM是正方形；

(3)

解：：四邊形是ABNM正方形，

MN=AM=BN=AB=12,

:NAMN=ND=90。,ZDAE=ZDAE,

：./\AMG^/\ADE,

.AMMG

??=,

ADDE

*：AM=12,DE=4,AD=16f

.12MG

??—，

164

：.MG=3,

丁Z\AMG^Z\ABfG,

：.MG=BfG=3,

設(shè)BF=B，F(xiàn)=x,則GN=12-3=9,FG=x+3,FN=12-x,

在AGNF中,ZGNF=90°,

：.由勾股定理得：GN2+FN2=FG2,

92+(12-x)2=(x+3)

解得：x=7.2,

:.BF=72；

(4)

解：由折疊性質(zhì)得：ADft=AD=16,AB=AB'=U,B'E=CE,DE=D^E,ZD=ZB'DE=90°,

：.B'￡)0=16-12=4,

設(shè)DE=y,則CE=12-y,

在AB'C'E中，ZB'D'E=90°,D'E=y,BE=3,

，由勾股定理得：B'D'2+DE2=BE2,

則42+y2=(12-y)2,解得：產(chǎn)g,

.16

??DE——.

3

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

15.在矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是邊A。，上的動(dòng)點(diǎn)，MDE=BF,連接EF.將矩

形ABC。沿E尸折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，點(diǎn)8落在點(diǎn)7/處.

(1)如圖①，當(dāng)線段EG與線段BC交于點(diǎn)尸時(shí)，求證：PE=PF；

(2)如圖②，當(dāng)線段EG的延長(zhǎng)線與線段8c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸時(shí).G8交線段CD交于點(diǎn)

①求證：△PCM沿APGM；

②E,尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)〃是否在線段EF的垂直平分線上？如果在，請(qǐng)證明；如果不在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)①見(jiàn)解析；②當(dāng)點(diǎn)E,F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M一直在線段E尸的垂直平分線上.證明見(jiàn)解

析

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可知：ZAEF=ZGEF,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/EFP,

即可得到ZGEF=ZEFP,根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；

(2)①根據(jù)HL證明RtAPCMmRtAPGM,即可得證；

②當(dāng)點(diǎn)E,f在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M一直在線段跖的垂直平分線上.

如圖：連接2。交E尸于點(diǎn)0,連接0尸，證明△OOE/ZXB。尸(ASA),由①可得尸E=P/，

。尸是線段瓦■的垂直平分線，OP也是的角平分線(三線合一).

由①△PCA/g/XPGM,得/CPM=/GPM,即：是/CPG的角平分線，可得當(dāng)點(diǎn)￡、F

在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)〃一直在線段Ef■的垂直平分線上.

(1)

由折疊的性質(zhì)可知：ZAEF=ZGEF,

;矩形ABCD中，AD//BC,

：.ZAEF=ZEFP,

：.ZGEF=ZEFP,

:.PE=PF；

(2)

①由折疊的性質(zhì)可知：AE=EG,

:矩形ABCD中,AD=BC,DE=BF,

：.AD~DE=BC~BF,即：

AE=FC,

:.EG=FC,

又：/PEF=ZAEF=/PFE,

：.PE=PF,

：.PE~EG=PF-CF,即：PG=PC；

XVDCXBC,HG±EG,

：.ZMCP=ZMGP=90°-,

又；PM=PM,

：.RtLPCM烏RtAPGM(HL)；

即：4PCM"八PGM；

②當(dāng)點(diǎn)E,尸在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M一直在線段EP的垂直平分線上.

如圖：連接2。交EF于點(diǎn)。，連接。尸，

\'AD//BC,

：.ZEDO=ZFBO,ZDEO=ZBFO,

又,：DE=BF,

：./\DOE^^BOF(ASA),

：.OE=OF；

由①可得尸E=P凡,。尸是線段EF的垂直平分線，

也是/EP尸的角平分線(三線合一).

由①△PCAfg/V>GM得：NCPM=NGPM,即：是/CPG的角平分線，

：/￡尸尸與/。尸6是同一個(gè)角，

與。尸重合，

即：當(dāng)點(diǎn)E、尸在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)/一直在線段EF的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性

質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，四邊形ABC。是矩形，把矩形AC沿折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，AE與。C的交點(diǎn)

為。，連接。E.

⑵求證：DE//AC.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=ar>,AB=AE=CZ),根據(jù)SSS可證

△ADE咨ACED(SSS)；

⑵根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得NEDC=NDEA,由于△ACE與AACB關(guān)于AC所在直線對(duì)

稱,可得N0AC=NC4B,根據(jù)等量代換可得NOAC=ND以,再根據(jù)平行線的判定即可求解.

(1)

證明：???四邊形ABCQ是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

'-'AC是折痕，

：.BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在△ADE與ACED中，

CE=AD

<AE=CD

DE=ED

：.△ADE絲△CEO(SSS),

(2)

證明：VAADE^/\CED,

：.ZEDC=ZDEA,

又ZXACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對(duì)稱，

：.ZOAC=ZCAB,

ZOCA^ZCAB,

：.ZOAC=ZOCA,

在4DOE和^AOC中，ZDOE^ZAOC,

,：2Z0AC=l80°-ZAOC,2ZDEA=180°-ZDOE,

：.2ZOAC=2ZDEA,

：.ZOAC=ZDEA,

：.DE//AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正

確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在矩形ABC。中，E是的中點(diǎn)，將ZWE沿BE折疊后得到一G3E,且G點(diǎn)

在矩形A8C。的內(nèi)部，延長(zhǎng)8G交DC于點(diǎn)尸，連接￡足

⑴求證：ADEF/AGEF；

2

求黑An的值.

⑵若DC:DF=3:2,

【答案】(1)見(jiàn)解析

8

2)3-

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得AE=EG=DE,由“乩”可證及△。￡尸絲氏△GEF；

(2)設(shè)。C=3無(wú)，DF=2x,由線段的和差關(guān)系可求A2=3無(wú)，BF=5x,由勾股定理可求解.

(1)

?.?四邊形A8C。是矩形，

AAB=CD,AD=BC,ZA=ZD=ZC=90°,

是AD的中點(diǎn)，

AE=DE,

:將AABE沿BE折疊后得到..GBE,

/.AE=EG,AB=BG,ZA=ZBGE=90°,

：.ZD=ZEGF=90°,ED=EG,

[EG=ED

在用。班和RtGEF中，k，

[EF=EF

：.RtDEF^RtGEF[HL)；

(2)

ADEF%/\GEF,

：.DF=GF,

■:DC:DF=3:2,

設(shè)DC—3x,DF=2x,

GF=2x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

2222

在RtABCF中，BC=BF-CF=25/-/=24x,

AD2=BC2=24x2,

.AD2_24/_8

"AB2~9x2-3-

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活

運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

18.折疊矩形ABCZ),使點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)尸處，折痕為AE.

⑴求證△ABFsAFCE；

（2）若CP=4,EC=3,求矩形ABC。的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵矩形ABCD的面積為80

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明

（2）由（1）得AABFS^FCE,所以竺=空，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

ECCF

（1）

證明：由矩形A8CD可得，ZB=ZC=ZD=90°.

：.ZBAF+ZAFB=9G°.

由折疊得ZD=90°.

ZAFB+ZEFC=90°.

：.ZBAF=ZEFC.

：./\ABF^/\FCE；

（2）

解：VCF=4,EC=3,NC=90°

：.EF=DE=5,

：.AB=CD=S.

由（1）得AABEs△尸CE,

.BFAB

EC-CT7

：.BF=6.

：.BC^10.

；.S=AaCB=10x8=80.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是

得至1）△ABF^AFCE.

19.如圖，在矩形A3CD中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接8E,將AABE沿BE折

疊后得到4GBE,延長(zhǎng)BG交。C于點(diǎn)F,連接EF.

（1）求證：AEGF名AEDF；

⑵若點(diǎn)尸是C。的中點(diǎn)，BC=8,求CO的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵4&

【分析】（1）由翻折和矩形的性質(zhì)可知NEGP=ND=90。，EG=ED,可通過(guò)HL證明

RtAEGF=RtAEDF；

(2)根據(jù)點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)知：CF=；CD,BF=：CD,在RtABb中，利用勾股定理

即可列出方程.

(1)

證明：：將4ABE沿BE折疊后得到△GBE,

.\ZBGE=ZA,AE=GE,

:四邊形ABC。是矩形，

ZA=ZD=90°,

...NEGP-90。，

?點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，

：.EA=ED,

：.EG=ED,

\EF=EF

在RtAEGP與RtZkEL不中，\

[EG=ED

.".RtAEGF^RtAEDF(HL).

(2)

由(1)知RtAEGF/RtAEDF,

:.GF=DF,

?.,點(diǎn)/是CD的中點(diǎn)，

：.GF=DF=CF=-CD,

2

在矩形ABC。中，/C=90。，AB=CD,又由折疊可知A2=GB,

：.GB=CD,

3

:.BF=GB+GF=—CD,

2

在RS8CF中，由勾股定理得：

(|CD)2=82+(|CD)2,

?：CD>Q,

CZ)=4A/2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確翻

折前后對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在正方形A