54第12章壓軸題之猜想證明類

一、單選題

1.如圖，ZACB=90°,AC=BC,CD平分NACB,點。，E關于對稱，連接并延長，與的延長

線交于點R連接OE,CE.對于以下結論：

①。E垂直平分CB；②AD=BE；③/尸不一定是直角；④E尸+。尸=23）2.

其中正確的是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

2.如圖，過nABCD的對角線上一點K作"W/ABCPQ//A瓦肱V分別交ABCD于點Af.N,PQ

分別交AD,BC于點P,Q,那么圖中四邊形QCNK的面積航與四邊形AMKP的面積邑的大小關系是

c.S1<S2D.不能確定

3.已知AABC的三條邊長分別為6,8,12,過AABC任一頂點畫一條直線，將AABC分割成兩個三角

形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

4.如圖，在AABC中，AB^AC,NE4c=90°,直角ZEPF的頂點尸是3c中點，PE、P尸分別交

AB^AC于點E、F.給出以下四個結論：①AE=CF；②AEPF是等腰直角三角形；③

SmAEPF=^S^BC；?EF=AP.上述結論正確的有（）

C.3個D.4個

5.如圖，在AA3C中，ZACB=90%AB=5,BC=3,尸是46邊上的動點（不與點3重合），將ABCP

沿CP所在直線翻折，得到AB'C。，連接3'A,則下面結論錯誤的是（）

A.當AP=5P時，AB'HCP

B.當AP=BP時,NB'PC=2NB'AC

17

C.當CPLAB時，AP=—

D.3'A長度的最小值是1

6.如圖，AA3C中，NA=90°,。是AC上一點，且NADB=2NC,P是3C上任一點，PELBD于

點E，P尸，4c于點下列結論：①AD3C是等腰三角形；②NC=30°；③PE+PF=AB；④

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

7.橫、縱坐標均為整數的點稱為整點.如圖，一列有規律的整點，其坐標依次為（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,

（1,2）,（2,2）,…，根據這個規律，第2019個整點的坐標為（)

A.（45,6）B.（45,13）C.（45,22）D.（45,0）

8.如圖，已知：在等腰RtZXABC中，ZBAC=9Q°,BE平分NABC,交AC于E且CELBE于點E,

BC邊上的中線A。交BE于G,連接。E,則下列結論正確的是（）

①AG=AF；②DE〃AB；③BF=2CE；?AB+AF>BC；⑤BG=6CE

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

9.如圖，在AABC中，ZBAC=90%A。是高，盛是中線，是角平分線，Cb交A。于點G,交

①AABE的面積=ABCE的面積；

②ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2ZACF；

@BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，過點O作線段EF,使點E點F分別在邊

AD,BC±（不與四邊形ABCD頂點重合），連結EB,EC設ED=kAE,下列結論：①若k=l,則BE=

CE；②若k=2,則AEFC與△OBE面積相等：③若△ABEg/^FEC,貝|EFLBD.其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.②③

二、填空題

11.如圖，在Rt/VlBC中，ZBAC=90°,/ABC的平分線交AC于D過點A作AE_L8C于E,交BD于

G,過點。作于R過點G作G//〃BC,交AC于點H,則下列結論：①NBAE=NC；②S3G：

SAEBG=AB：BE；③NADF=2/CDF；④四邊形AGF。是菱形；⑤CH=DF.其中正確的結論是

12.已知：如圖，ZABC=ZADC=90°,M、N分別是AC、的中點，AC=10,BD=S,則MN=

13.如圖，在AABC中，AD平分44C,AB^AD,N1=N2,3E與AD的延長線交于E,連接EC.過

AGEF

A作AFLEC于R,交BC于G.下列結論：?ZAEB=ZACB；②BE=CD；③S-GC=--一；

④/2=2/3中，其中正確的有（填序號）.

14.如圖，矩形A3CD中，48=5,8。=3,點￡在邊的）上（不與4。重合），將矩形沿CE折疊，使點A,B

分別落在點尸,G處有下列結論：

①NFED與NGCD互余;

②若C。平分4ECG,則tanZBCE=-

3

AF4

③若直線FG經過點D,則——=—

ED5

④若直線FG交邊AD,CD分別于N,當&DMN為等腰三角形時,五邊形ABCNM的周長為11應.其

中正確結論的序號是.

Q

15.已知點A(a,》)是反比例函數y=—(x>0)圖象上的動點，軸，軸，分別交反比例函

k

數y=；(x>0)的圖象于點5、C,交坐標軸于。、E，且AC=3CD,連接BC.現有以下四個結論:①左=2；

②在點A運動過程中，A4BC的面積始終不變；③連接OE,則④不存在點A,使得

AABCSAOED.其中正確的結論的序號是.

三、解答題

16.已知AABC在平面直角坐標系內的位置如圖，ZACB=90°,AC=BC=5,OA、OC的長滿足

關系式(OA—4『+|OC-3|=0.

(1)求OA、OC的長；

(2)求點B的坐標；

(3)在x軸上是否存在點P,使AACP是以AC為腰的等腰三角形.若存在，請直接寫出點P的坐標，若

不存在，請說明理由.

17.如圖，在AABC中，AB^AC,/胡。=150°，點。在邊3C上，將沿AD折疊，點3的

對應點為點R,點G在邊3C上，將AACG沿AG折疊，點C的對應點也為點

(1)NORG的度數為.

(2)設N54D=e,當a為何值時，ADFG為等腰三角形？

(3)△DFG能否為直角三角形？若能，請求出相應的a值：若不能，請說明理由.

18.問題提出：

(1)同一平面內的兩條線段A6和3C,已知AB=3,BC=2,則線段AC最大值是；最小值是

問題探究：

(2)如圖，四邊形A3CD中，A5=4,AD=2,CB=CD,且/BCD=60°,問AC是否存在最大

值?若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：(自行作圖并解決)

(3)在ZvW石中，AE=5BE",以AB為一邊作正方形A3CD，連接CE,問CE是否存在最

大值或者最小值?若存在，求出相應最值；若不存在，請說明理由.

19.(1)閱讀理解：如圖1,在△ABC中，若AB=10,AC=6.求3C邊上的中線A。的取值范圍.解

決此問題可以用如下方法：延長A。到點E，使DE=AD，再連接盛(或將八48繞著點。逆時針旋

轉180。得到AEBD),把AB,AC,2AZ)集中在AAB石中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD

的取值范圍是；

cFD

A

A

B

圖1圖2圖3

（2）問題解決：如圖2,在AABC中，。是3c邊上的中點，DE上DF于點D,DE交AB于點、E，DF

交AC于點連接"，求證：BE+CF>EF

（3）問題拓展：如圖3,在四邊形A3CD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為頂

點作一個70。角，角的兩邊分別交AB，A。于E，/兩點，連接防，探索線段BE，DF,之間的

數量關系，并加以證明.

（1）特殊情況入手探索：

當點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與03的大小關系.請你直接寫出結論：AE切（填

“>"，"<"或’="）

圖1

（2）一般情況進行論證:

對原題中的一般情形，二人討論后得出（1）中的結論仍然成立，并且可以通過構造一個三角形與AEBD全

等來證明.以下是他們的部分證明過程：

證明：如圖2,過點E作石尸/ABC,交AC于點（請完成余下的證明過程）

圖2

（3）應用結論解決問題：

在邊長為3的等邊三角形A5C中，點E在直線上，且AE=1，點。在直線3C上，ED=EC.貝I

CD=（直接寫出結果）

21.（1）性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，如圖1：OP平分NMON,PCLOM于C,PBXON

于B,則PBPC（填“>”“〈”或“=”）；

SAB

（2）探索：如圖2,小明發現，在AABC中，AD是/BAC的平分線，則資晅=丁，請幫小明說明原

,△ADCAC

因.

（3）應用：如圖3,在小區三條交叉的道路AB,BC,CA上各建一個菜鳥驛站D,P,E,工作人員每天

來回的路徑為P-DTE-P,

①問點P應選在BC的何處時，才能使PD+DE+PE最小？

②若NBAC=30。，SAABC=10,BC=5,貝！IPD+DE+PE的最小值是多少？

22.如圖，鈍角AABC中，AB^AC,。為上AC一點，/4DB=60。，E為BD上一點，ZBCE=30°.

(1)作8c于P,3GLCE交CE的延長線于G.

①判斷3尸與5G的大小關系，并說明理由.

②求證△BE443GET；

⑵若BE=7,DE=1,求CE的長.

23.在AABC中，AC=BC,CD是AB邊上的高.

問題發現：

(1)如圖1,若NACB=90。，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A,B重合)，連接CE,將線段CE

繞點C逆時針旋轉90。,得到線段CF,連接BF,我們會發現CD,BE,BF之間的數量關系是CD=；(BE+BF),

請你證明這個結論；

提出猜想：

(2)如圖2,若NACB=60。，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A,B重合)，連接CE,將線段CE

繞點C逆時針旋轉60。，得到線段CF,連接BF,猜想線段CD,BE,BF之間的數量關系是；

拓廣探索：

(3)若NACB=a,CD=k-AB(k為常數)，點E是線段AB上一個動點(點E不與點A,B重合)，連接CE,

將線段CE繞點C逆時針旋轉a,得到線段CF,連接BF,請你利用上述條件，根據前面的解答過程得出類

似的猜想，并在圖3中畫出圖形，標明字母，不必解答.

C

24.如圖，在AABC中，/BAC=90。，AB=AC=6,AD_LBC于點D.點G是射線AD上一點.

(1)若GELGF,點E,F分別在AB,AC上，當點G與點D重合時,如圖①所示,容易證明AE+AF=夜AD.當

點G在線段AD外時，如圖②所示，點E與點B重合，猜想并證明AE,AF與AG存在的數量關系.

(2)當點G在線段AD上時，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，

請說明理由.

左)D

G

①②(5)

25.已知AC=A8,AD=AE,ZCAB=ZDAE=a(0°<a<90°).

cE

D

圖1圖2備用圖

(1)觀察猜想

如圖1,當a=90。時，請直接寫出線段與BE的數量關系：,位置關系：

（2）類比探究

如圖2,已知a=60。，F,G,H,M分別是CE,CB,BD,。石的中點，寫出GM與切的數量關系和位置

關系，并說明理由；

（3）解決問題

如圖，已知：A3=2,AO=3,F,G,H,M分別是CE,CB,BD,OE的中點，將△ABC繞點A旋轉，直

接寫出四邊形FGHM的面積S的范圍（用含a的三角函數式子表示）.

54第12章壓軸題之猜想證明類

一、單選題

1.如圖，ZACB=90°,AC=BC,CD平分點。，E關于CB對稱，連接并延長，與的延長

線交于點尸，連接。E,CE.對于以下結論：

①。E垂直平分CB；②AD=BE；③/尸不一定是直角；④EF+D產=2CD2.

其中正確的是()

A.①④B.②③C.①③D.②④

【答案】D

【分析】根據點D,E關于CB對稱，可得CB垂直平分DE,即可判斷①錯誤；根據CB垂直平分DE,連

接BD,可得BD=BE,證明4ACD學ABCD,可得AD=BD,即可判斷②；結合①②證明4ACD0ABCD

^△BCE,可得/CAD=NCEB=L(18(T-45O)=67.5。，ZFED=67.5°-45°=22.5°,進而證明角F的度數，即可

2

判斷③；在Rt^FDE中，根據勾股定理，得EF2+DF2=DE2,根據NDCE=90。，CD=CE,即可判斷④.

【解答】①：點D、E關于CB對稱，

ACB垂直平分DE,

所以①錯誤；

②連接BD,如圖，

VCB垂直平分DE,

；.BD=BE,

VZACB=90°,CD平分/ACB,

AZACD=ZBCD=45°,

在AACD和ABCD中，

AC=BC

<ZACD=/BCD=45°,

CD=CD

：.AACD^ABCD(SAS),

???AD=BD,

???AD=BE,

所以②正確；

③???CB垂直平分DE,

ABD=BE,CD=CE,

在4BCD和4BCE中，

BD=BE

CD=CE,

BC=BC

/.△BCD^ABCE(SSS),

:.AACD^ABCD^ABCE,

:.ZACD=ZDCB=ZECB=45°,

???CA=CD=CB=CE,

1

:.ZCAD=ZCEB=-(180°-45°>67.5°,

1

,/ZCED=ZCDE=-(180°-ZDCB-ZECB)=45。,

JZFED=67.5°-45°=22.5°,

,/ZCDE=ZACD=45°,

ADE//AC,

???NFDE=NA=67.5。，

ZF=180°-ZFDE-ZFED=90°,

所以③錯誤；

④在RtZ\FDE中，根據勾股定理，得：

EF2+DF2=DE2,

VZDCE=ZDCB+ZECB=90°,CD=CE,

.*.DE2=CD2+CE2=2CD2,

.\EF2+DF2=2CD2,

所以④正確.

綜上所述：正確的是②④.

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱的性質、等腰直角三角形、線段垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是綜合運

用以上知識.

2.如圖，過oA5co的對角線6。上一點K作必N/ABC,尸Q//A瓦分別交

分別交AD,BC于點P,Q,那么圖中四邊形QCNK的面積百與四邊形AMKP的面積S?的大小關系是

()

A.S]>SB.S,=S2C.S,<S2D.不能確定

【答案】B

【分析】先證四邊形BMKQ、四邊形PKND是平行四邊形得SAABD=SABCD,SABMK=SABQK,SAPKD=SANKD,

據此可得.

【解答】???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,AD〃BC,

又MN〃BC,PQ//AB,

四邊形BMKQ、四邊形PKND是平行四邊形，

."?SAABD=SABCD,SABMK=SABQK,SAPKD=SANKD,

SI=S2,

故選：B.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定與性質及對角線將平行四

邊形面積平分的性質.

3.已知AABC的三條邊長分別為6,8,12,過AABC任一頂點畫一條直線，將AABC分割成兩個三角

形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

【答案】B

【分析】不妨設AB=6,AC=8,BC=12,分別作三邊的垂直平分線，則可得三條，再分以AB、AC為腰和

底進行討論，可得出結論.

【解答】解:不妨設AB=6,AC=8,BC=12,分別作三邊的垂直平分線，

如圖1,則BD=AD,EA=EC,FB=FC,可知AE、BF、AD滿足條件；

當AB為腰時，以點A為圓心，AB為半徑畫圓，分別交BC、AC于點G、H,

以B為圓心，AB為半徑，交BC于點J,如圖2,貝IJAB=AG,AB=AH,BA=BJ,滿足條件;

當AC為腰時，如圖3,以點C為圓心，CA為半徑畫圓，交BC于點M,貝|CA=CM,滿足條件;

當A為圓心AC為半徑畫圓時，與AB、BC都沒有交點，

因為BC為最長的邊，所以不可能存在以BC為腰的等腰三角形，

綜上可知滿足條件的直線共有7條.

故選B.

【點評】本題主要考查等腰三角形的判定，利用垂直平分線的性質及圓的基本性質找到滿足條件的直線是

解題的關鍵.

4.如圖，在A43C中，AB^AC,NH4c=90°,直角ZEP尸的頂點尸是3C中點，PE、P尸分別交

AB、AC于點E、F.給出以下四個結論：①AE=CF；②AEPF是等腰直角三角形；③

A.I個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據等腰三角形的性質可得/PAE=L/BAC=45。，ZB=ZC=45°,PA±BC,可得NC=NPAE,

2

根據直角三角形斜邊中線的性質可得PA=PC,根據角的和差關系可得NFPC=NEPA,利用ASA可證明△

EPA^AFPC,根據全等三角形的性質可得AE=CF,PE=PF,由NEPF=90。，可得4EPF是等腰直角三角形,

可判定①②正確；根據全等三角形的性質可知SaEPA=S/JTC,可得S四邊形AEPF二SaAPC,由SaAPC=萬S^ABC可判

定③正確；只有當EF為aABC的中位線時，EF=PC=PA,可判定④錯誤；綜上即可得答案.

【解答】VAB=AC,ZBAC=90°,

???NB=NC=45。，

,?,點P為BC中點，AB=AC,ZBAC=90°,

AZPAE=ZPAC=45°,PA=PC,AP±BC,

AZC=ZPAC,

ZEPF=ZEPA+ZAPF=90°,ZFPC+ZAPF=90°,

???ZEPA=ZFPC,

ZEAP=ZC

在△EPA和AFPC中，|AP=PC,

ZEPA=ZFPC

???AEPA^AFPC,

???AE=CF,PE=PF,故①正確，

???ZEPF=90°,

:?△EPF是等腰直角三角形，故②正確，

AEPA^AFPC,

/.SAEPA=SAFPC,

S四邊形AEPF=S4EPA+SAPAF=SZ\FPC+S^PAF=S^APC，

1

VPC=—BC,

2

?。_1

??SAAPC=—SAABC,

2

?*'Sjga?AEPF=—SAABC,故③正確，

2

只有當EF為AABC的中位線時，EF=PC=PA,故④錯誤;

綜上所述：正確的結論有①②③，共3個，

故選：C.

【點評】本題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質，綜合利用了全等三角形的判定，熟練掌握全等

三角形的判定定理是解題關鍵.

5.如圖，在AA3C中，ZACB=900-AB=5,BC=3,P是A6邊上的動點（不與點B重合），將ABCP

沿CP所在直線翻折，得到AB'CP,連接3'A,則下面結論錯誤的是（）

A.當AP=5P時，AB'HCP

B.當AP=BP時,/B'PC=2NB'AC

17

C.當CPLAB時，Ap=—

D.3'A長度的最小值是1

【答案】C

【分析】A.根據折疊性質和三角形內角和定理可證/AB'P=/CPB',從而可證AB'//CP；

B.根據折疊性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PA=PB=PC=PB〔A、B、C、B，四點共圓,

根據圓周角定理即可求出ZB'PC=2ZB'AC-.

C.根據相似三角形的判定證得△PACsZ\CAB,再根據相似三角形的對應邊成比例求得AP的值，即可判

斷=：17錯誤；

D.根據兩點之間線段最短，求得長度的最小值，即可判斷此結論正確.

【解答】在^ABC中，ZACB=90°,AP=BP,

；.AP=BP=CP,ZBPC=^(180°-ZAPB')

由折疊的性質可得

CP=BP,ZCPB=ZBPC=^(180°-ZAPB')

AP=BP,

ZABT=ZBAP=g(180。一ZAPB')

AB'P=/CPB'

，AB'〃CP

故A正確；

VAP=BP,

.?.PA=PB'=PC=PB,

.?.點A,BMC,B在以點P為圓心，PA長為半徑的圓上

由折疊的性質可得BC=BC,

BC=B，C

.?./B'PC=2NB'AC

故B正確;

當CP±AB時，ZAPC=ZACB

,/ZPAC=ZCAB

APAC^ACAB

?AP-AC

■'AC-AB

22

?.?在RtZiABC中，AC=A/AB-BC=4

AC216

；.AP=

y

故C錯誤；

由軸對稱的性質可知：

BC=CB'=3

?；CB'長度固定不變，

.?.當AB'+CB'有最小值時，AB'的長度有最小值

根據兩點之間線段最短可知：

當A、B'、C三點在一條直線上時，AB'有最小值，

/.AB=AC-BC=4-3=l

故D正確

故選：C

【點評】本題考查折疊的性質、勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓周角的定理，根據折疊性質得出

相等的線段或相等的角是解決問題的關鍵.

6.如圖，AA3C中，NA=90°,。是AC上一點，且NADB=2NC,P是3c上任一點，PELBD于

點、E，P尸，4c于點下列結論：①AD3C是等腰三角形；②NC=30°；③PE+PF=AB；④

PE2+AF2=BP2＞其中正確的結論是（）

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

【答案】B

【分析】根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得/ADB=/C+NDBC,然后求出NC

=ZDBC,再根據等角對等邊可得DC=DB,從而判斷①正確；沒有條件說明NC的度數，判斷出②錯誤;

連接PD,利用4BCD的面積列式求解即可得到PE+PF=AB,判斷出③正確；過點B作BG〃AC交FP的

延長線于G,根據兩直線平行，內錯角相等可得/C=/PBG,/G=/CFP=90。，然后求出四邊形ABGF

是矩形，根據矩形的對邊相等可得AF=BG,根據然后利用“角角邊”證明ABPE和aBPG全等，根據全等

三角形對應邊相等可得BG=BE,再利用勾股定理列式求解即可判斷④正確.

【解答】在ABCD中，/ADB=NC+NDBC,

,/ZADB=2ZC,

.,.ZC=ZDBC,

，DC=DB,

.?.△DBC是等腰三角形，故①正確；

無法說明NC=30。，故②錯誤；

連接PD,則SABCD=』BD?PE+1DC?PF=1DC>AB,

222

；.PE+PF=AB,故③正確；

過點B作BG/7AC交FP的延長線于G,

則/C=NPBG,ZG=ZCFP=90°,

.".ZPBG=ZDBC,四邊形ABGF是矩形，

；.AF=BG,

在ABPE和aBPC中，

ZPBG=ZDBC

<ZG=ZBEF,

PB=PB

：.ABPE^ABPG(AAS),

；.BG=BE,

.\AF=BE,

在RtAPBE中，PE2+BE2=BP2,

即PE2+AF2=BP2,故④正確.

綜上所述，正確的結論有①③④.

故選：B.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不

相鄰的兩個內角的和的性質，勾股定理的應用，作輔助線構造出矩形和全等三角形是解題的關鍵.

7.橫、縱坐標均為整數的點稱為整點.如圖，一列有規律的整點，其坐標依次為（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,

（1,2）,（2,2）,…，根據這個規律，第2019個整點的坐標為（）

【答案】A

【分析】根據圖像，到每一個橫坐標結束，經過整數點的個數等于最后橫坐標的平方，計算即可得到答案.

【解答】補充作圖，如下圖，

由圖可知，點（1,0）是第1個點，點（3,0）是第9個點，點（5,0）是第25個點，…,

觀察圖可知，直線X=27Z—1上共有2〃—1個點，

又因為45?=2025>2019且

2025-2019=6<45,

所以第2019個點在直線x=45上且在點（45,0）上方相距6個單位長度，

所以第2019個點為（45,6）

故選A.

【點評】本題主要考查坐標的確定，能根據已知條件發現點的規律是解題的關鍵.

8.如圖，已知：在等腰RtZXABC中，ZBAC=9Q°,BE平分NABC,交AC于E且班于點E,

BC邊上的中線AD交BE于G,連接。E,則下列結論正確的是（）

①AG=AF；?DE//AB；?BF=2CE；@AB+AF>BC；⑤BG=OCE

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

【答案】B

【分析】過點F作FPLBC于點P,延長BA,CE交于點H,通過證明NAGF=/AFG判斷①；再證明/

ABE=NBED,根據平行線的判定得到②；再通過證明證明△ABFgAACH得到BF=CH,從而證明AHEB

段ZXCEB,得至I]CE=EH,可判斷③；證明Rt/XABF絲RtZkPBF,得至I]AB+AF=BP+FP,再通過說明4FPC

是等腰直角三角形得到FP=CP,即可判斷④；最后證明△ABFs^DBG,得到BG和BF的比，利用BF和

CE的關系判斷⑤.

【解答】解：過點F作FPLBC于點P,延長BA,CE交于點H,

???3E平分NA3C,△ABC為等腰直角三角形，D為BC中點，

.,.ZABF=ZCBF=22.5°,AF=PF,

/BGD=NAGF=/AFG,

；.AG=AF,故①正確，

ZBEC=90°,D為BC中點，

；.DE=BD=CD,

NBED=/DBE=22.5°=/ABE,

；.AB〃DE,故②正確，

ZCAH=ZBAF=ZBEC=90°,

.".ZACH+ZH=90°,ZABF+ZH=90°,

，ZACH=ZABF,

在AABF和△ACH中，

ZABF=ZACH

<AB=AC,

ZBAF=ZCAH

：.AABF^AACH(ASA),

；.BF=CH,

：BE平分NABC,

/HBE=NCBE,

,/ZBEC=90°,

ZBEC=ZBEH=90°,

在AHEB和ACEB中，

ZHBE=ZCBE

<BE=BE,

ZBEH=ZBEC

：.AHEB^ACEB(ASA),

；.CE=EH,

；.CH=2CE,

.\BF=2CE,故③正確，

在RtAABF和RtAPBF中，

AF=PF

BF=BF'

Z.RtAABF^RtAPBF(HL),

；.AB=PB,

在APFC中，ZBCF=45°,ZFPC=90°,

；.FP=CP,

BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF,故④錯誤,

,/ZABG=ZCBG,ZBAF=ZGDB=90°,

AABF^ADBG,

;AB=BF=gpBF=^BG,

BDBG1-

又：BF=2CE,

，BG=0CE,故⑤正確.

故選B.

H

A

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，角平

分線的性質，綜合性較強，解題的關鍵是結合所學知識逐項判定各選項，并且利用已經證明的結論來證明

未知的結論.

9.如圖，在△ABC中，ABAC=90°,AZ）是高，班是中線，是角平分線，CF交AD于點G,交

郎于點H,下面說法正確的是（）

A

①AABE的面積MBCE的面積；

②ZAFG=ZAGF；

③NE4G=2ZACF；

④BH=CH.

A.①②③④B.①②③C.②④D.①③

【答案】B

【分析】根據等底等高的三角形的面積相等即可判斷①；根據三角形內角和定理求出NABC=NCAD,根據

三角形的外角性質即可推出②；根據三角形內角和定理求出NFAG=NACD,根據角平分線定義即可判斷③;

根據等腰三角形的判定判斷④即可.

【解答】解：???BE是中線,

AAE=CE,

:?△ABE的面積=4BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確;

VCF是角平分線，

???NACF=NBCF,

?.?AD為高,

???ZADC=90°,

ZBAC=90°,

AZABC+ZACB=90°,ZACB+ZCAD=90°,

AZABC=ZCAD,

,:ZAFG=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZCAD+ZACF,

???NAFG=NAGF,故②正確；

???AD為高,

???ZADB=90°,

ZBAC=90°,

.?.ZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

JZACB=ZBAD,

?「CF是NACB的平分線，

???ZACB=2ZACF,

ZBAD=2ZACF,

即NFAG=2NACF,故③正確；

根據已知條件不能推出NHBC=NHCB,即不能推出BH二CH,故④錯誤；

故選:B.

【點評】本題考查了三角形內角和定理，三角形的外角性質，三角形的角平分線、中線、高，等腰三角形

的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，題目比較好，屬于中考題型.

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，過點O作線段EF,使點E點F分別在邊

AD,BC±（不與四邊形ABCD頂點重合），連結EB,EC設ED=kAE,下列結論：①若k=l,則BE=

CE；②若k=2,則AEFC與面積相等：③若△ABEgAFEC,則EFLBD.其中正確的是（）

C.③D.②③

【答案】B

【分析】根據題意，不能證明aBAE絲Z\CDE,則①錯誤；根據平行四邊形的性質和全等三角形的判定和

性質，得到BF=2CF,結合面積的計算方法，即可判斷②；連接DF,不能證明四邊形DEBF是菱形，則③

錯誤；然后得到答案.

【解答】解：當k=l時，DE=AE,

不能證明Z\BAE之4CDE，

.,.BE#CE；故①錯誤;

當k=2時，DE=2AE,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AD〃BC,AD=BC,

ZEDO=ZFBO,

?.,點O是BO的中點,

/.OB=OD,

VZEOD=ZFOB,

AEOD^AFOB,

；.DE=BF,

.\AD-DE=BC-BF,

；.AE=CF,

；.BF=2CF,

,,SREFC=-S岫EC=§?5S四邊形MC。=dS四邊形ABC。，

?S2OE=^\DOE=5S2DE，

,,SMOE=kS四邊形ABC。，

S壟FC=SABOE,故②正確;

連接DF,如圖：

.\AE=FC,

；.DE=BF,

：DE〃BF,

.??四邊形DEBF是平行四邊形，

不能證明DEBF是菱形，

；.EF與BD無法證明互相垂直，故③錯誤；

,正確的選項只有②；

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是

熟練掌握所學的知識，從而分別進行判斷.

二、填空題

11.如圖，在RtZXABC中，ZBAC=90°,/ABC的平分線交AC于。.過點A作AELLBC于E,交BD于

G,過點。作。FLBC于E過點G作G5〃BC,交AC于點則下列結論：①NBAE=NC；②SAABG：

SWG=AB：BE；③NA。/=2/CZ)R④四邊形AGFZ)是菱形；⑤CH=DF.其中正確的結論是

BEC

【答案】①②④⑤

【分析】①根據余角的性質可判斷即可；②根據角平分線的性質判斷即可；④根據菱形的判定方法判斷即

可；⑤證明△ABGgAFBG(AAS),得出/BAE=/BFG,證出/BFG=/C,再證出四邊形GFCH是平行

四邊形，得出GF=CH,因此CH=DF,可判斷⑤；③當NC=30。時，ZADF=2ZCDF；③不正確；即可得出

答案.

［解答］解:?VZBAC=90°,

ZBAE+ZCAE=90°,

VAEXBC,

.,.ZC+ZCAE=90°,

AZBAE=ZC,①正確；

②作GM_LAB交AB于M,如圖所示：

：BD平分/ABC,AE±BC,

；.GM=GE,

.,.SAABG：SAEBG=-ABGM：—BEGE=AB：BE；②正確；

22

@VZAGD=ZABD+ZBAE,ZADG=ZCBD+ZC,ZBAE=ZC,ZCBD=ZABD,

/AGD=/ADG,

；.AG=AD,

VZBAC=90°,BD平分NABC.DF_LBC,

；.AD=DF,

；.AG=DF,

VAEXBC,

；.AG〃DF,

四邊形AGFD是平行四邊形，

又：AG=AD,

，四邊形AGFD是菱形；④正確；

⑤：四邊形AGFD是菱形；

，NAGD=/FGD,GF=DF,NADB=/FDB,

，NAGB=NFGB,

在AABG和AFBG中，

ZABG=NFBG

<ZAGB=NFGB,

BG=BG

.".△ABG^AFBG(AAS),

，NBAE=/BFG,

VZBAE=ZC,

ZBFG=ZC,

，GF〃CH,

VGH//BC,

四邊形GFCH是平行四邊形，

；.GF=CH,

...CH=DF,⑤正確；

③,??四邊形AGFD是菱形

/.ZADF=2ZADB,

當/C=30。，ZCDF=60°,

貝l]/ADF=120。，

...當/C=30。，ZADF=2ZCDF；③不一定正確；

故答案為：①②④⑤.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角

形的判定、角平分線的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度.

12.已知：如圖，NABC=/A￡>C=90。，M、N分別是AC、8。的中點，AC=10,80=8,則MN=

【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到根據等腰三角形的性質得

到BN=4,根據勾股定理得到答案.

【解答】解：連接8河、DM,

VZABC=ZADC=90°,M是AC的中點，

1

：.BM=DM=-AC=5,

2

是2D的中點，

：.MN±BD,

1

:.BN=-BD=4,

2

由勾股定理得：MN=^BM2-BN2=A/52-42=3，

故答案為：3.

【點評】此題主要考查矩形性質、等腰三角形的性質及勾股定理的應用，解題的關鍵是熟知直角三角形中，

斜邊上的中線等于斜邊的一半.

13.如圖，在AABC中，AZ）平分44C,AB^AD,N1=N2,BE與AZ）的延長線交于E，連接EC.過

4（7-EF

A作AFLEC于R,交BC于G.下列結論：①ZAEB=ZACB；②BE=CD；③S乩GC=---；

④/2=2/3中，其中正確的有（填序號）.

【答案】①②③④

【分析】①由N1=N2,利用角平分線的性質可得N2=N。出，可得A，B,C,E四點共圓，由圓周

角定理可得結論；②證明AABEMAADC,利用全等三角形的性質可得結論；③由AABEMAADC,易

得AC=AE,由等腰三角形的性質易得。/=歷，得AAGC的面積；④由AAEC為等腰三角形易得

ZEAF=ZCAF,可得結論.

【解答】解：①?.?AD平分44C,

:.Z1=ZEAC,

?.?N1=N2,

:.Z2=ZEAC,

:.A,B,C,E四點共圓，

:.ZAEB=ZACB,

故此選項正確；

②在AABE與AADC中，

ZACB=ZAEB

<ZCAD=ZDAB,

AD=AB

:.AABE=AADC(AAS),

BE=DC,

故此選項正確；

@-：AABE=AADC,

AE=AC,

-.■AF±EC,

:.EF=CF,

AG.EF

=-AG-CF=

2-2-

故此選項正確;

④?.?AEAC為等腰三角形，

ZEAF=Z3=-ZEAC=-Z2,

22

.-.Z2=2Z3,

故此選項正確；

,正確的有①②③④.

故答案為：①②③④.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質，等腰三角形的性質等，綜合運用各性質定理是解答此題的關鍵.

14.如圖，矩形A3CD中，48=5,80=3,點E在邊AD上（不與重合），將矩形沿CE折疊，使點A8

分別落在點尸,G處有下列結論:

①NFED與NGCD互余;

②若CD平分NECG,則tanZBCE=-

3

4

③若直線FG經過點。，則——=—

ED5

④若直線FG交邊AD,。分別于M,N,當AOMN為等腰三角形時,五邊形ABCNM的周長為n亞.其

中正確結論的序號是______________________

【答案】①③④

［分析】①根據折疊的性質知ZG=ZF=90°，轉化相關角度進行判斷；

②根據折疊的性質知NBCE=ZECG，再根據CD平分ZECG,從而得出ZBCE=60°,從而求算正切值；

③直線EG經過點，此時AEED?ADGC,BC=CG=3,CD=5,從而求算DG,。尸，再根據相似求算

EF,可得結論;

④當時等腰三角形時，可得AMGCADMN均為等腰直角三角形，從而計算相應長度，可得結論.

【解答】解：①根據折疊的知NG=NP=90°

設NFED=x。

：.ZFNE=ZDNM=90°-x°,ZDMN=ZGMC=x°,ZGCD=90°-x°

ZFED+ZGCD=90°,①正確；

②根據折疊的性質知NBCE=NECG,再根據CD平分ZECG,

：.3ZECM=900即NECM=30。

AZBCE=60°即tan/BCE=&，②錯誤；

③直線PG經過點D：

BC=CG=3,CD=5

：.DG=4,DF=1

ZF=ZG=ZADC=90°

AEFD-ADGC

EFDFEF1“口廠廠4

--------=>....——斛倚：EF=—

DGCG433

4

AE=EF=-

3

45

ED=3——=-

33

AE4_&

-----=—，③正確；

ED5

④當4DMN時等腰三角形時，可得