第一章數與式

第01講實數及其運算

口題型09與絕對值有關的化簡問題

模擬基礎練口題型10非負性的應用

口題型11實數的簡單運算

□題型01正負數的意義

口題型12實數的混合運算

口題型02實數的分類

口題型13與實數有關的新定義問題

□題型03科學記數法

口題型04無理數的估算重難創新練

口題型05實數的大小比較

口題型06實數與數軸

□題型07實數的性質真題實戰練

□題型08平方根、立方根

模擬基礎練?

□題型01正負數的意義

1.（2023?貴州黔東南?模擬預測）如果收入300元記作+300元，那么支出180元記作（）

A.+180兀B.—180兀C.+80兀D.-80兀

【答案】B

【分析】首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義，結合題意解答即可；

此題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量.

【詳解】收入為“十”，則支出為“一”，

那么支出180元記作-180元.

故選：B.

2.（2023?遼寧?模擬預測）某校儀仗隊隊員的平均身高為175cm,如果高于平均身高2cm記作+2cm,那么低

于平均身高2cm應該記作（）

A.2cmB.—2cmC.175cmD.—175cm

【答案】B

【分析】根據正負數的意義解答即可.

【詳解】解:高于平均身高2cm記作+2cm,那么低于平均身高2cm應該記作-2cm.

故選B.

【點睛】本題考查正負數的實際應用，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

3.（2023?江蘇?模擬預測）手機移動支付給生活帶來便捷.如圖是小穎某天微信賬單的收支明細（正數表示

收入，負數表示支出，單位：元），小穎當天微信收支的最終結果是（）

轉賬一來自天青色+18.00

微信紅包一發給高原紅-12.00

A.收入18元B.收入6元C.支出6元D.支出12元

【答案】B

【分析】根據有理數的加法法則計算即可.

【詳解】解：+18+（-12）=6（元），

即小穎當天微信收支的最終結果是收入6元.

故選：B.

【點睛】本題考查正負數的意義，掌握有理數的加法運算法則是解題關鍵.

□題型02實數的分類

1.（2023?山西運城?三模）下列各數：10,-6.67,-j,0,-（-3）,-|-2|,-（-42）,其中屬于非負

數的共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據非負整數的定義直接求解即可得到答案.

【詳解】解：???一（一3）=3,2|=-2,-（—42）=42,

二在10,—6.67,--,0,—（~3）,-|—2|,—（—42）中，非負數有10,0,—（—3）,—（—42）共4個，

故選：D.

【點睛】本題考查非負整數的定義，掌握多重符號的化簡是解決問題的關鍵.

2.（2022?山東日照?中考真題）在實數VLx0（#0）,cos30。，遮中，有理數的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據零指數幕，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答.

【詳解】解：在實數迎，x°（_#0）=1,cos300=y,遮=2中，有理數是需=2,尤°=1,

所以，有理數的個數是2,

故選:B.

【點睛】本題考查了零指數幕，特殊角的三角函數值，實數，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵.

3.（2023?湖南長沙?模擬預測）實數-2023.2023,V7,0,鬧，-it,0.甘中，有理數的個數為0,無

11

理數的個數為6,則a-6的值是（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】根據實數的分類可得a=5,b=2,即可求解.

【詳解】解：764=4,

有理數有-2023.2023,0,V64,（，0.15,有5個，

無理數有近，-71,有2個，

即a=5,b=2,

??CLb=3*

故選：B

【點睛】本題主要考查了實數的分類，熟練掌握實數的分類方法是解題的關鍵.

4.（2023?江蘇無錫?三模）若強+a的值為有理數，請你寫出一個符合條件的實數a的值________.

【答案】-任

【分析】根據合并同類項和有理數的定義，即可得到答案.

【詳解】解：a的值為有理數，

VV5+（-75）=0,

.\a=-V5,（答案不唯一）；

故答案為：7（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了實數的加減運算，解題的關鍵是掌握兩個無理數的和等于有理數的特征進行解題.

口題型03科學記數法

1.（2023?山西太原?一模）吉瓦是功率單位，符號為GW,—吉瓦等于十億瓦.2023年2月13日，國家能源

局發布消息：2022年全國風力、光伏發電新增裝機再創歷史新高，達到125吉瓦，則數據125吉瓦用科學

記數法可表示為（）

A.1.25x101°瓦B.12.5x1011瓦

C.0.125x10］。瓦D.1.25x1011瓦

【答案】D

【分析】本題主要考查了科學記數法的表示方法，解題關鍵是要正確確定a和n的值.科學記數法的表示形

式為ax10”的形式，其中lW|a|<10,n為整數.確定律的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少

位，九的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負

數.據此即可獲得答案.

【詳解】解：125吉瓦=125000000000瓦=1.25x1011.

故選：D.

2.（2023?寧夏銀川?模擬預測）我國共有43個項目列入聯合國教科文組織非物質文化遺產名錄、名冊，總

數居世界第一，據中國茶業流通協會提供的數據，我國茶葉市場每年有3xl01i的國內生產總值，數據3x

IO1】可以表示為（）

A.30億B.300億C.3000億D.30000億

【答案】C

【分析】本題考查根據科學記數法表示較大的數寫出原數.將一個數表示為ax的形式，其中1<|a|<10,

“為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案.

【詳解】解：3X1011=300000000000=3000億，

故選：C

3.（2023?河南駐馬店?一模）據報道，英國約克大學科學家測出了質子半徑的精確數值，精確到0.833飛米.已

知1飛米=KTm米，數據0.833飛米可用科學記數法表示為（）

14

A.0.833xICT*米B.8.33x10-15米c8.33xIO』米D833x10-^

【答案】C

【分析】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為ax的形式，其中1<|a|<10,n

為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當

原數絕對值210時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

【詳解】解：已知1飛米=IO-m米，

...0.833飛米=0.833XKT”米，

.,.0.833XIO-*=83*米,

故選：c.

4.（2023?河南信陽?二模）2023年2月17日，我國“羲和號”衛星，完成了全部在軌試驗項目，實現了雙超平

臺試驗和科學載荷試驗的工程目標，獲取的數據有力支撐了太陽Ha光譜科學研究，每天產生約1.1TB原始

數據.這些數據已通過國家航天局指定網站，按照數據管理政策對外發布，被美國、法國、德國、日本、

比利時、捷克、俄羅斯等國家科學家下載使用，顯著提升了我國在空間科學領域的國際影響力，我們知道

1TB=21°GB,1GB=210MB,1MB=21°KB,1KB=2'。B,那么數據1.1TB等于（）

A.1.1x240BB.2.240gc.1.1x1640BD.1.76x1040B

【答案】A

【分析】由題意運用乘方知識進行求解.

【詳解】解：L1X210x210x210x210

=1.1X2的出），

故選：A.

【點睛】此題考查了運用乘方運算解決實際問題的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識.

口題型04無理數的估算

1.（2024.安徽淮北?模擬預測）若估算VI石-同的值在整數“和（n/1）之間，則?=.

【答案】4

【分析】本題考查估算無理數的大小.先化簡，然后用平方法估算2遙的大小即可.

【詳解】解：???VI海-聞=5西一3西=2花，

2

又???（2V5）=20,16<20<25

BP42<20<52,

???4<2V5<5,

又；J而的值在整數〃和（/?+1）之間，

???n=4.

故答案為：4.

2.（2023?四川成者B?模擬預測）設署的整數部分a,小數部分為6,則。=,b=.

【答案】2學

【分析】本題考查了無理數的整數部分和小數部分，以及估算無理數大小，先把式子分母有理化，再估算

出班所在范圍，再根據化簡后的式子進行變形，即可解題.

【詳解】解：需(V5+1)2_3+V5

(V5-1)(A/5+1)-2

???22V5V32,

*'<2<V5<3,

5<3+V5<6,

二<三3,

22

???留的整數部分a,小數部分為b,

V5—1

,3+V5V5-1

???a=Q2,b=--------2n=------

22

故答案為：2,號.

3.（2023?重慶九龍坡?一模）估計aX（2或+V7）的值應在（）

A.6和7之間B.7和8之間

C.8和9之間D.9和10之間

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，估算無理數大小.先利用二次根式的乘法法則進行計算，然后

再估算出舊的值的范圍，從而估算出4+舊的值的范圍，即可解答.

【詳解】解：V2x（2V2+V7）

=V2x2a+V2xV7

=4+V14,

9<14<16,

.-.3<V14<4,

7<4+V14<8,

估計應X（2V2+V7）的值應在7和8之間，

故選：B.

4.（2023?江蘇揚州?模擬預測）若直角三角形兩直角邊長分別為6和7,則其斜邊長度的整數部分為（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【分析】此題考查了勾股定理和無理數的估算，先由勾股定理求出斜邊長，然后估算即可求解，熟練掌握

知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：???直角三角形兩直角邊長分別為6和7,

斜邊=V62+72=<36+49=V85,

V9<V85<10

.??斜邊長度的整數部分為9,

故選：B.

口題型05實數的大小比較

1.（2023?吉林松原.模擬預測）在魚，-（-2）,『，中，最大的數是（）

A.A/—8B.-1-V21C.A/2D.-（-2）

【答案】D

【分析】本題考查了立方根，絕對值，實數的大小比較.熟練掌握立方根，絕對值，實數的大小比較是解

題的關鍵.

根據一（—2）=2,V-8=—2,—|—V2|--V2,—2<—y/2<V2<2,可得最大的數.

【詳解】解：由題意知，一（一2）=2,口=-2,一|一夜|=-V2,

V-2<-V2<V2<2,

V-8<一|—V21<V2<一（—2）,

故選：D.

2.（2023?四川成都?模擬預測）在-3,3.14,兀，述這四個數中，最大的數是（）

A.-3B.3.14C.TCD.V6

【答案】C

【分析】本題主要考查了實數的大小比較.根據實數的大小比較法則，即可求解.

【詳解】解：：n<W=3,

/.-3<V6<3.14<7T,

.??這四個數中，最大的數是兀.

故選：C.

3.（2023?江蘇鹽城?模擬預測）V2+V6―V3+V5（填“>、=或<"）.

【答案】<

【分析】本題主要考查二次根式比較大小的方法，熟練掌握比較大小的方法是解題關鍵.先對根式平方，

然后比較大小即可確定.

【詳解】解：（&+傷）2=8+4百,（8+遍丁=8+2小

V4V3=2V12<2V15,

(V2+V6)2<(V3+V5)2,

V2+V6<V3+V5.

故答案為：<.

4.（2023?河北承德?模擬預測）已知實數-3,-4,m.

（1）當巾=1時，計算最大數與最小數的差；

（2）當爪=-28時，試判斷這三個數的大小關系.

【答案】（1）5

（2）-4<-2V3<-3

【分析】（1）當巾=1時，首先判斷出-3,-4,1的大小關系，然后用最大數減去最小數即可；

（2）當巾=-2次時，根據實數大小比較的方法，判斷這三個數的大小關系即可.

【詳解】（1）解：當m=1時，

V-4<-3<1,

.?.最大數是1,最小數是-4,它們的差是：1-（-4）=5；

（2）解：當m=-2百時，|一3|=3,|-4|=4,|一2百|=2百，

V3<2V3<4,

-4<—2V3<-3.

【點睛】此題主要考查了實數大小比較的方法，解答此題的關鍵是要明確：正實數大于0大于負實數，兩

個負實數絕對值大的反而小.

口題型06實數與數軸

1.（2024?山東濟南?二模）如圖，數軸上的點A和點8分別在原點的左側和右側，點4、B對應的實數分別

是a、b,下列結論一定成立的是（）

AB

A.a+b<0B.b—a<0C.3a>3bD.a+3Vb+3

【答案】D

【分析】本題考查的是實數與數軸，由數軸可知，a<0<h,\a\<\b\,由此逐一判斷各選項即可.

【詳解】解：由數軸可知，a<0<Z?,\a\<\b\,

A、??,aV0<b,|a|<聞，.??a+b>0,故選項A不符合題意；

B>a<0<b,Z?—a>0,故選項B不符合題意；

C、???a<0Vb,.??3aV3b,故選項C不符合題意；

D、?.,a<0<b,a+3Vb+3,故選項D符合題意；

故選：D.

2.（2023?廣西欽州?一模）如圖，在數軸上點A表示的實數是（）

-3-2-10123

A.-V5B.V5C.V5-1D.2

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸.熟練掌握勾股定理，實數與數軸是解題的關鍵.

由題意知，圓的半徑為=則點A表示的實數為：-1+西，然后作答即可.

【詳解】解：由題意知，圓的半徑為1#+22=時,

.?.點A表示的實數為：-1+西，即近一1,

故選：C.

3.（2023?北京東城?模擬預測）數軸上有4B,C,D四點，最接近夜的點是（）

ABCD

]_______I.I]I,I_______II_______I?I_______

-5-4-3-2-1012345

A.點AB.點BC.點CD.點。

【答案】C

【分析】本題考查了無理數的估算、實數與數軸，先根據無理數的估算可得1〈魚<2,再根據實數與數軸

的關系即可得出答案.

【詳解】解：<2<4,

.".1<V2<2,

由數軸可知，最接近魚的點是C，

故選C.

4.（2023?江蘇常州?模擬預測）已知點M在數軸上，且與原點相距連個單位長度，則點M表示的實數

為.

【答案】±V6

【分析】本題考查的是數軸的特點，即在數軸上到原點距離相等的點有兩個，這兩個數互為相反數.

根據與原點相距在個單位長度求解即可.

【詳解】解：設數軸上與原點相距痛個單位長度的點所表示的數為a,

故|a|=V6,

解得a=±A/6.

???點M表示的數是±遙.

故答案為：±乃.

□題型07實數的性質

1.（2023?廣東佛山?模擬預測）Jj的相反數為（）

4222

+

-------

A.9B.33D.3

【答案】C

【分析】本題考查了相反數、求一個數的算術平方根，先求算術平方根，再根據相反數的定義即可得出答

案.

【詳解】解：［=|,

故E的相反數為-j

\93

故選：C.

2.（2023?河南信陽?三模）下列各組數中，互為相反數的是（）

A.肝口2B.一1和1C.2和/D.|一2023|和2023

【答案】B

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數逐項判斷.

【詳解】解：.**2=1,.?，和2互為倒數，故A不符合題意；

：一1+1=0,和1互為相反數，故B符合題意；

V2+V20,.\2和夜不是互為相反數，故C不符合題意；

V|-2023|=2023,故D不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查相反數的概念，倒數的概念，解題的關鍵是掌握互為相反數的概念.

3.（2023?四川成都?三模）下列實數中，-貓倒數是（）

4

A.-B.-C.-D.--

3433

【答案】D

【分析】

根據倒數的定義求解.

【詳解】解：?一卜（-￡）=1,

???-貓倒數是-3

43

故選D.

【點睛】本題考查求一個數的倒數，解題的關鍵是掌握互為倒數的兩個數乘積為1.

4.（2023?新疆烏魯木齊?模擬預測）-6的絕對值是（）

A.-B.-6C.6D.V6

6

【答案】c

【分析】本題主要考查了求一個實數的絕對值，根據負數的絕對值是它的相反數進行求解即可.

【詳解】解；-6的絕對值是I-6|=6,

故選；C.

[]題型08平方根、立方根

1.（2024.河北保定.二模）如圖，正方形M的邊長為“2,正方形N的邊長為"，若兩個正方形的面積分別為

9和5,則下列關于，"和n的說法，正確的是（）

95

MN

A.根為有理數，〃為無理數B.相為無理數，〃為有理數

C.m,”都為有理數D.〃都為無理數

【答案】A

【分析】本題考查算術平方根、實數的分類，先根據正方形面積公式求得邊長加、〃，再根據實數的分類判

斷即可.

【詳解】解：由題意，m*2=9,n2=5,

'.m=3,n=V5,

二機為有理數，〃為無理數，

故選:A.

2.（2023?廣東深圳?模擬預測）一個數的兩個平方根分別是3a-1與-a+3,則這個數是（）

A.-1B.-4C.16D.4

【答案】C

【分析】根據一個數的兩個平方根互為相反數列得3a-l-a+3=0,求出a=-1,即可得到這個數.

【詳解】解：由題意得3a-1.-a+3=0,得a=-1,

??3a—1=-4

.??這個數是(—4)2=16,

故選：C.

【點睛】此題考查了平方根的性質：正數的兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根,

熟記性質是解題的關鍵.

3.(2023?河北邯鄲?一模)如圖是一個2x2的方陣，其中每行、每列的兩數和相等，則。可以是()

A.tan60°B.-1C.0D.(-1)2022

【答案】D

【分析】此題考查了立方根，零指數塞，以及絕對值，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵.利用立方根

定義，零指數幕法則，以及絕對值的代數意義求出各自的值，判斷即可.

【詳解】解：V8=2,2°=1,|—2|=2,

根據題意得：V8+2°=a+|-2|,即2+l=a+2,

解得：a=1,

...(_1)2022=1,

a可以是1.

故選：D.

4.(2023?江蘇徐州?三模)64的平方根與立方根的和是.

【答案】12或—4

【分析】根據平方根和立方根的定義求解即可.

【詳解】解：r64的平方根是=±8,64的立方根是遍5=4,

.?.64的平方根與64的立方根的和是8+4=12或-8+4=-4,

故答案為：12或-4.

【點睛】此題考查了平方根和立方根的定義，熟練掌握這兩個定義是解題的關鍵.

口題型09與絕對值有關的化簡問題

1.(2023?寧夏銀川?模擬預測)實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡a+J(a—b)2()

——1--------1-----i——>

a0b

A.-2.ct+bB.2ci—bC.-bD.b

【答案】D

【分析】此題主要考查了二次根式的性質以及實數與數軸，正確得出各項符號是解題關鍵.直接利用數軸

上。，6的位置，進而得出a<0,a-b<0,再利用絕對值以及二次根式的性質化簡得出答案.

【詳解】解：由圖可知：a<0,a-b<0,

a+J（a-b）2

=a—（a—b）

=b.

故選:D

2.（2023?浙江?模擬預測）若|2007—+Sn—2008=則巾—20072=（）

A.2007B.2008C.20082D.-20082

【答案】B

【分析】由題意得：200820,即爪22008,則先去絕對值，移項后再平方即可求解.

【詳解】解：由題意得：m-2008>0,

解得：m>2008,

則|2007—m\+7m-2008=m-2007+7Tti-2008=m,

即：Vm-2008=2007,

m-2008=20072,BP--,m-20072=2008,

故選B.

【點睛】本題考查了去絕對值及二次根式有意義的條件，熟練掌握去絕對值的方法及二次根式有意義的條

件是解題的關鍵.

3.（2023?內蒙古呼倫貝爾?三模）已知％,y兩個實數在數軸上位置如圖所示，則化簡|y-幻+J（x-（尸的

結果是（）

----------------1---------------------------------1--------------------------1-----------------------------A

xy0

A.2xB.2yC.2y—2xD.2x—2y

【答案】C

【分析】先根據x、y在數軸上的位置確定出其符號與絕對值的大小，再代入所求代數式進行計算即可.

【詳解】解：?.?由圖可知，x<y<0,

%—y<0,y—x>0,

二原式=y-x-V\x—y\

—y—x—x+y

—2y—2x.

故選：C.

【點睛】本題考查的是二次根式的性質與化簡，整式的加減，熟知整式的加減實質上就是合并同類項是解

答此題的關鍵.

4（2023.陜西西安?模擬預測）有理數a、6、c在數軸上的位置如圖所示，則㈤-31a+b\+2|c-a|+4\b+c|

可化簡為.

_______IIII.

ba0c

【答案】-b-2c/-2c-b

【分析】根據數軸上的點的位置，確定式子的符號，再進行絕對值的化簡即可.

【詳解】解：從圖中可以看出，b<a<0fc>0,\b\>\a\>\c\,

?\a+b<0,c—a>0,b-^-c<0,

\CL\-3|cz4-b\+2|c-CL\+4|b+c|

=-u,+3ct+3b+2c—2a—4b—4c

=—b—2c.

故答案為：—b—2c.

【點睛】本題考查化簡絕對值，整式的加減運算.解題的關鍵是根據數軸上的點的位置，確定式子的符號.

口題型10非負性的應用

1.（2023?四川自貢?模擬預測）若有理數x,y滿足|2x—1|+y2—4y+4=0,則xy的值等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【分析】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，利用完全平方公式化簡是解題的關鍵.

利用完全平方公式化簡后再根據絕對值和平方的非負性即可得出結果.

【詳解】解：|2x-1|+y2-4y+4=0,

化簡得，\2x—11+（y—2）2=0,

1c

???x=-,y=2,

2z

xy=-IxC2=Y1.

故選：c.

2.(2023?山東濟寧?一模)已知(3-久產-5與Jy-2+5互為相反數,則三:的值是()

A.6B.5C.-D.2

2

【答案】A

【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列方程，再根據非負數的性質列方程求出x、y,然后代入代

數式進行計算即可得解.

【詳解】解：：(3-x)2—5與百11+5互為相反數，

*,?(%-3)2-5+yjy—2+5—0,,

即(％—3)2+yjy—2=0,

所以％—3=0,y—2=0,

解得％=3,y=2,

二匚［、［%+33+3,

所以口=右=6.

故選A.

【點睛】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為。時，這幾個非負數都為0.

2

3.(2023?云南昆明?一模)在AABC中，乙4,NB是銳角，^|2sinzX-V21+(tanzB-V3)=0,則NC的

大小是?

【答案】75°/75度

【分析】本題考查了非負數的意義、三角形內角和定理及由特殊三角函數值求角度，熟練掌握特殊三角函

數值是解題的關鍵.本題根據非負數的意義求出立4NB,再由三角形內角和定理即可求解.

【詳解】解：由題意得：2sin4—/=0,tanB—V3=0,

/.sin力=―,tanB=V3，

2

：.L.A=45°,NB=60°,

:.乙C=180°-60°-45°=75°.

故答案為：75°.

4.(2023?江西贛州?一模)若|a+36-5|+協一2a+3|=Jx-5+y+y/5-x-y,則ab的值為.

【答案】2

【分析】本題考查二次根式有意義的條件，非負性，根據被開方數是非負數，得到Jx—5+y+V5-x-y=

0,再根據絕對值的非負性，得到關于a,b的二元一次方程組，求出a,b的值，即可.

【詳解】解：：x-5+y>0,5-x-y>0,

/.%—5+y=5—x—y=0,

?，?|a+3b—51+\b-2a+3|=0,

.(CL+3b—5=0，解得：,

**th-2a+3=0

/.ab=2；

故答案為：2.

□題型11實數的簡單運算

1.(2023?河北張家口?模擬預測)能與-(|-|)相加得0的是()

「?、「3\

A..2--3--B.-r2-+-3C.--2--3--D.--/-2---

32\32/32\327

【答案】A

【分析】本題考查的是有理數的加減混合運算，根據互為相反數的兩個數相加得0即可求出這個數.

【詳解】解：；—(|—|)的相反數是|—|,

?，.能與—(|一|)相加得0的是|一|,

故選：A.

2.(2023?江蘇無錫?模擬預測)下列運算的結果是負數的是()

A.|-3|-(-2)B.(-2)-1-(-3)

C.-2—(—3)D.(—3)—(—2)

【答案】D

【分析】此題考查了有理數的運算，負整數指數募等知識，根據運算法則計算即可得到答案.

【詳解】解：—3|—(―2)=3+2=5,

...選項A不符合題意；

2)T_(—3)=_[+3=*

選項B不符合題意；

V-2-C-3)=-2+3=1,

選項C不符合題意；

,?■(-3)-(-2)=-3+2=-1

選項D符合題意；

故選：D.

3.(2023?陜西西安?一模)要使代數式“3(-1)”的運算結果最大，貝『'"中應填入的運算符號是

“十、一、X、一”中選擇一個運算符號填如).

【答案】一

【分析】先根據有理數的運算法則進行運算，再比較大小即可得出答案.

【詳解】解：3+(―1)=2,3—(―1)=4,3X(―1)=—3,3+(-1)=—3,

XV-3<2<4,

二要使代數式“3(-1)”的運算結果最大，在“”中應填入的運算符號是-.

故答案為：-.

【點睛】本題考查有理數的加、減、乘、除運算和有理數的大小比較.掌握運算法則是解題的關鍵.

4.(2023?浙江杭州?模擬預測)最高氣溫與最低氣溫的差稱為溫差.某地某天的最低氣溫為-2。&最高氣溫

為2久，則該地這天的溫差為()

A.-8℃B.-4℃C.4℃D.8℃

【答案】C

【分析】本題考查了有理數的減法，熟練掌握減法法則是解本題的關鍵.

根據題意列算式計算即可得到結果.

【詳解】解：???最低氣溫為-2。&最高氣溫為2久，

：.2~(-2)=2+2=4,

該地這天的溫差為4。&

故選：C.

5.(2023?陜西西安?模擬預測)在我國遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，類似

我們現在熟悉的“進位制”，如圖所示的是一位古人記錄的當天捕魚的條數，在從右向左依次排列的不同繩子

上打結，滿五進一，根據圖示可知，這位古人當天捕魚的條數是.

【答案】42

【分析】由題可知，捕魚的條數的五進制數為132,化為十進制數即可.

【詳解】解：根據題意得：

捕魚的條數的五進制數為132,

化為十進制數為：132=1x52+3x51+2x5°=42(條)，

捕魚的條數是42條.

故答案為：42.

【點睛】本題以數學文化為載體，主要考查了進位制等基礎知識和運算能力.解題的關鍵是會將五進制轉

化成十進制.

□題型12實數的混合運算

1.（2023?湖北隨州?模擬預測）計算：圖+2cos45°+|V2-1|-（3.14-TT）°=.

【答案】2V2

【分析】直接利用特殊角的三角函數值、負整數指數基的性質、零指數幕的性質、絕對值的性質分別化簡，

合并解題即可.

【詳解】解：G）+2cos45。+|V2—1|—（3.14—兀）°

V2L

=2+2X——FV2-1-1

=2+V2+V2—1—1

=2V2

故答案為：2夜.

2.（2023?湖南岳陽?模擬預測）計算：V4-sin60°-|1-V3|+（-1）~22023）0.

【答案】4

【分析】此題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，

要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要

按照從左到右的順序進行.首先計算零指數塞、負整數指數幕、特殊角的三角函數值、開平方和絕對值，

然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

【詳解】解:V4-sin60°-|1-V3|+（-|）2-（71-2023）0.

V3,、

=2x--（V3-l）+4-l

—y/3—\/3+1+4—1

=4.

3.（2023?上海閔行?三模）計算：|2—81+2-+高（結果保留帶分數形式）.

【答案】-5專

【分析】本題主要考查實數的混合運算，原式根據相關運算法則化簡各項后，再合并即可.

【詳解】解：|2—V2|—81+2-2+W-i

=2—V2—8-+-+V2+1

34

口題型13與實數有關的新定義問題

1.（2023?江蘇淮安?模擬預測）對于實數X,我們規定因表示不大于x的最大整數，如⑷=4,［網=1,

第1.次第2次Q第3次Q

［-2.5］=-3.現對82進行如下操作：82-［赤］=9-㈤=3-雄］=1，這樣對82只需進行3次

操作后變為1,類似地，對256只需進行幾次操作后變為1.（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】此題是一道關于無理數的題目，需要結合定義的新運算和無理數的估算進行求解.［制表示不大于

x的最大整數，依據題目中提供的操作進行計算即可.

第1次「1第2次第3次「41第4次「21

【詳解】256-朦］=16-圜=4-崗=2-［^］=1.

.?.對256只需進行4次操作后變為1.

故選：C.

2.（2023?四川巴中?二模）若。"=/?（?>0且a1,b>0）,則n叫做以a為底b的對數,記為loga。（即log*=

n）,如2'=32,則5叫做以2為底32的對數,記為1。出32（即1。&32=5）,根據以上運算規則，log381=

（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】此題考查了運用乘方解決新定義問題的能力.根據對數的定義運用乘方進行求解.

【詳解】解：:34=81,

4是以3為底81的對數，

BPlog381=4,

故選:B.

3.（2023?浙江寧波?模擬預測）定義一種新運算：對于任意的非零實數x,y,x⑤y=￡+5若（-2）區2=3,

則a-b的值為.

【答案】-6

【分析】

本題主要考查了新定義，根據新定義得到三+2=3,據此可得a-6=-6.

—22

【詳解】解：：（一2）保2=3,

??—CL+b=6,

CL—b=-6,

故答案為：-6.

4.(2023?重慶?模擬預測)若一個四位數M的個位數字與十位數字的平方和恰好是M去掉個位數字與十位數

字后得到的兩位數，則這個四位數M為“勾股和數(1)最小的“勾股和數”是；(2)一個“勾股和數”M

的千位數字為a,百位數字為6,十位數字為c,個位數字為d,記G(M)=等,。(加)=成號空口，當

G(M),P(M)均是整數時，滿足條件的M的最小值為.

【答案】10134536

【分析】本題主要考查了新定義：

(1)設“勾股和數”M的千位數字為a,百位數字為b,十位數字為c,個位數字為d,則c2+d2=10a+b,

在保證/最小的前提下首先要保證最高位最小，其次是百位，十位最小，據此逐一確定高位的值，進而確

定低位的值即可；

(2)由題意得，c2+d2=10a+b,根據G(M)=等是整數，得至l|c+d是9的倍數，貝k+d=0或c+d=9

或c+d=18,當c+d=0時，c=d=0,此時不滿足c?+d2=10a+b>0,當c+d=18時，c=d=9,

此時不滿足c2+d2=10a+bW99,由此可得c+d=9；再求出P(M)=…二…,然后討論門"的值，

再保證P(M)為整數的前提下求出M的最小值即可.

【詳解】解：(1)設“勾股和數”M的千位數字為a,百位數字為6,十位數字為c,個位數字為d,則c2+d2=

10a+b,

?.?要使M最小，

首先要保證a最小，

故可令a=1,

其次要保證b最小，

故可令b=0,

c2+d2=10,

再其次要保證c最小，當c=0時，d2=10,d不是整數，不符合題意；

當c=1時，d2=9,即d=3符合題意；

最小的“勾股和數”是1013,

故答案為：1。3；

(2)由題意得，c2+d2=10a4-b,

?.?G（M）=詈是整數,

???c+d是9的倍數，

VO<c<9,0<d<9,

.*.0<c+d<18,

?'?c+d=0或c+d=9或c+d=18,

當c+d=0時，c=d=0,此時不滿足+d2=10a+b>0,

當c+d=18時，c=d=9,此時不滿足c?+d?=10a+b499,

c+d=9；

|1O(Q—C)+(ZJ-d)||10Q—10c+Z?—d|

VP(M)3-3

P(M)=1+d：10f

當c=o,d=9時，P(M)=丹芻=24,符合題意，此時10a+b=81,

a=8,b=1,

：.M=8109；

當c=l,d=8時，P(M)=|1+64；10-81-y,不符合題意，

當C=2,d=7時，P(M)=|4+49~20~71=y,不符合題意；

當c=3,d=6時，P(M)=19+36^306I—3,符合題意，此時10a+6=45,

a=4,b=5f

：.M=4536；

當C=4,d=5時，P(M)=I16+25；4O-5|=$不符合題意；

當C=5,d=4時，P(M)=跑16J0-4I=不符合題意；

當c=6,d=3時，P(M)=!羋+9;60-3|=6,符合題意，此時10a+b=45,

?'a=4,b=5,

：.M=4563；

當c=7,d=2時，P(M)=|49+4~7°-21=y,不符合題意；

當c=8,d=l時，P(M)=佰4+1；80-1|=不符合題意；

當c=9,d=0時，P（時）=畛網=3,符合題意，此時10a+b=81,

/.a=8,b=1,

：.M=8190；

綜上所述，最小的M為M=4536,

故答案為:4536.

重難創新練

1.（2023?湖南婁底?中考真題）從"個不同元素中取出爪（小三n）個元素的所有組合的個數，叫做從"個不同

元素中取出相個元素的組合數，用符號C鏟表示，優=2一1）（；一2）丁一團+1）"2m,心根為正整數）；例

皿771—1）…1

如：盤=翳屐=嗡，則琮+俏=（）

A.器D.Cf0

【答案】C

【分析】根據新定義分別進行計算比較即可得解.

【詳解】解：.?,=『后『

...琮+瑞=沙絲+9X8X7X6X5=ng+126=252,

114X3X2X15x4x3x2xl

「A9X8X7X6X5X4…

A選項,La=---------=84,

16X5X4X3X2X1

10x9x8x7

B選項，210,

4X3X2X1

10X9X8X7X6

C選項，俏0--------=252,

5X4X3X2X1

10X9X8X7X6X5

D選項,/)=210,

6x5x4x3x2xl

故選C.

【點睛】本題考查了新定義運算以及求代數式的值.正確理解新定義是解題的關鍵.

2.（2023?四川資陽?中考真題）體重指數（BM/）是體重（千克）與身高（米）的平方的比值，是反映人體胖

瘦的重要指標（如表所示）.小張的身高1.70米，體重70千克，則小張的體重狀況是（）

體重指數（BM/）的范圍體重狀況

體重指數＜18.5消瘦

18.5W體重指數W23.9正常

23.9〈體重指數W26.9超重

體重指數〉26.9肥胖

A.消瘦B.正常C.超重D.肥胖

【答案】C

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，根據(8M/)的計算公式求出小張的(BM/),即可得到答

案.

【詳解】解：由題意得，小張的(8M/)=券”24.2,

小張的體重狀況是超重，

故選：C.

3.(2023?河北?中考真題)光年是天文學上的一種距離單位,一光年是指光在一年內走過的路程,約等于9.46x

1012km.下列正確的是()

A.9.46x1012-10=9.46X1011B.9.46X1012-0.46=9x1012

C.9.46xIO1?是一個12位數D.9.46xIO也是一個13位數

【答案】D

【分析】根據科學記數法、同底數哥乘法和除法逐項分析即可解答.

【詳解】解：A.9.46x101210-9.46X1011,故該選項錯誤，不符合題意；

B.9.46X1012-0.469X1012,故該選項錯誤，不符合題意；

C.9.46xIO"是一個13位數,故該選項錯誤，不符合題意；

D.9.46X10"是一個13位數,正確，符合題意.

故選D.

【點睛】本題主要考查了科學記數法、同底數幕乘法和除法等知識點，理解相關定義和運算法則是解答本

題的關鍵.

4.(2023?甘肅蘭州?中考真題)如圖，將面積為7的正方形Q4BC和面積為9的正方形。DEF分別繞原點。

順時針旋轉，使。4，。。落