整式與因式分解【十二大題型】

題型7整式的混合運(yùn)算題型1用代數(shù)式表示

/題型2求代數(shù)式的值

題型8提公因式法分解因式

題型9公式法分解因式題型3顆的加減

專題。2整式與因式分解

題型10因式分解的應(yīng)用_題型4幕的運(yùn)算

題型11數(shù)式規(guī)律探究_X/題型5乘法公式的運(yùn)算

/題型6乘法公式的應(yīng)用

題型12數(shù)式中新定義問題探究

亦實(shí)雙砒,室或完卷知鈉體系

1整式的相關(guān)概念

1.1代數(shù)式

用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式，如a,3,2x-l,abc.

單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.

1.2單項(xiàng)式

表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式.

【例】—3a/c4是單項(xiàng)式，次數(shù)為4,系數(shù)為—3.

1.3多項(xiàng)式

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.

【例】2萬3y一盯+3是多項(xiàng)式，有3項(xiàng)：2%3y,一孫3,項(xiàng)數(shù)是3,次數(shù)為4.

1.4整式

單項(xiàng)式和單項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

2整式的運(yùn)算

2.1合并同類項(xiàng)

(1)同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).

(2)合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

2.2整式的加減

一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

去括號(hào)的法則

(1)括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)不變；

⑵括號(hào)前面是“―”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“―”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要改變.

2.3整式的乘除

(1)塞的運(yùn)算

同底數(shù)幕相乘產(chǎn)塞的乘方(優(yōu)'尸二口皿

積的乘方(尤尸=陵那；同底數(shù)暴相除a機(jī)+a"=a小一"。

(2)整式的乘法

(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

(2)一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相

加.

(3)一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，

再把所得的積相加.

(3)整式的除法

一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)塞分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

3乘法公式

(1)平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-扶.兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

(2)完全平方公式

(a+b)2—a2+2ab+b2,(a—b)2—a2—2ab+b2

兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.

拓展(a+b)2—(a—b)2=4ab,(a+6)2+(a—b~)2=2(a2+b2).

4因式分解

4.1概念

把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式的變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解(或分解因

式)。

4.2因式分解的方法

(1)提公因式法：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有的一個(gè)公共因式；

(2)公式法

平方差公式：a2—h2=(a+b)(a—b).

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b~)2.

(3)分組分解法

把多項(xiàng)式先分成多組，每組內(nèi)部因式分解，再把多組作為一個(gè)整體進(jìn)行因式分解.

(4)十字相乘法

對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的一種方法，

x2+px+q=x2+(a+Z?)x+ab=(x+a)(x+6)

ax+bx—(a+b~)x

基本方法橫境化學(xué)i),也送解我俄力

【題型1】用代數(shù)式表示

【典題1】(22-23九年級(jí)上?河北張家口?期末)某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品,

如果以單價(jià)30元銷售，那么半月內(nèi)可以售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致

銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件，若設(shè)每件商品漲x元，銷售

利潤(rùn)為y元，可列函數(shù)為：y=(30+%-20)(400-20x).對(duì)所列函數(shù)中出現(xiàn)的代數(shù)式，下

列說法錯(cuò)誤的是()

A.(30+%—20)表示漲價(jià)后商品的單價(jià)B.20x表示漲價(jià)后少售出商品的數(shù)量

C.(400—20乂)表示漲價(jià)后商品的數(shù)量D.(30+x)表示漲價(jià)后商品的單價(jià)

【鞏固練習(xí)】

1.（2022?貴州貴陽?一模）貴陽市“一圈兩場(chǎng)三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同

學(xué)從家出發(fā)步行15min到達(dá)附近學(xué)校的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)鍛煉，較之前步行去城市運(yùn)動(dòng)中心少走了

25min.已知小高同學(xué)步行的速度為每分鐘am,則“一圈兩場(chǎng)三改”后，小高同學(xué)少走的路程

是（）

A.amB.10?mC.15?mD.25am

2.用8m長(zhǎng)的鋁合金做成一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方形窗框，設(shè)長(zhǎng)方形窗框的橫條長(zhǎng)度為xm,則長(zhǎng)

方形窗框的面積為（）

X

A.x（4—x）m2B.x（8—3x）m2C.—|xjm2D.x（8—|久）m2

3.（2024?湖南邵陽?二模）為響應(yīng)“清廉文化進(jìn)校園”的政策，某校實(shí)施“清明行風(fēng)、清凈校風(fēng)、

清正教風(fēng)、清新學(xué)風(fēng)”等四個(gè)建設(shè)工程.現(xiàn)需購(gòu)買甲，乙兩種清廉讀本共300本供教職工閱

讀，其中甲種讀本的單價(jià)為15元/本，乙種讀本的單價(jià)為20元/本，設(shè)購(gòu)買甲種讀本x本，

則購(gòu)買乙種讀本的費(fèi)用為（）

A.15萬元B.20（300—比）元C.15（300—乂）元D.（300-15%）元

4.（2023?河北承德?一模）某文具用品商店將原價(jià)a元的筆記本進(jìn)行促銷，下列促銷方式描述

正確的是（）

A.按0.9a—6的價(jià)格出售，促銷方式是先打九折，再優(yōu)惠6元

B.按0.9a—6的價(jià)格出售，促銷方式是先優(yōu)惠6元，再打九折

C.按0.9（a—6）的價(jià)格出售，促銷方式是先打九折，再優(yōu)惠6元

D.按0.9（a+6）的價(jià)格出售，促銷方式是先漲6元，再打一折

【題型2］求代數(shù)式的值

【典題1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算，若輸入式的值是1時(shí)，則輸

出的值是5.若輸入x的值是2,則輸出值為

降--y輸出M

——>y=-2x+b—?

x<2________

【典題2］（2024?山東臨沂?模擬預(yù)測(cè)）已知/+x-l=0,那么％3+2/+2024的值為（

A.2022B.2023C.2024D.2025

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?海南海口?二模）若2x—y=3,貝|6—2x+y的值是（）

A.0B.3C.-9D.9

2.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,+

今若2※（—2）=1,則（一3/3的值是（）

3232

A.--B.--C.-D.-

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè)）直線丫=一3乂+2經(jīng)過點(diǎn)「（見b）,貝|6a+26+2024的值

為.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）已知y=l是方程py—1=—3—p的解，則代數(shù)式p3—2一

：的值為.

【題型3】整式的加減

【典題1】（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知:整式4=1+2%,整式B=l—2久.

⑴化簡(jiǎn)：2A-3B；

（2）若4-8+M是關(guān)于x的一個(gè)完全平方式，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的整式M.

【鞏固練習(xí)】

2

1.(2023?河北石家莊?一模)已知4=/+6x+n2,B=2x2+4x+n,下列結(jié)論正確的是

()

A.B—4的最大值是0B.B—a的最小值是一1

C.當(dāng)B=24時(shí)，尤為正數(shù)D.當(dāng)8=24時(shí)，尤為負(fù)數(shù)

2.(2024七年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：3a2y—2y2)—2(；c2y—3y2),其中

%=—3,y=2.

3.(2024?河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè))在計(jì)算題：“已知，M=□,可=2%2-4%+3求2”—%”時(shí),

嘉琪把“2M-N”看成“M-2N”，得到的計(jì)算結(jié)果是—x2+4x-4.

(1)求整式M；

(2)若請(qǐng)比較2M與N的大小，并說明理由.

【題型4】塞的運(yùn)算

【典題1】下列運(yùn)算正確的是()

A.(3a2)3=9a5B.(ab)2=a-b1C.a2+a2=a4D.a('^ai=cr

【典題2】（2021?廣東?中考真題）已知9mM3,27n=4,則32m+3nH（）

A.1B.6C.7D.12

【鞏固練習(xí)】

1.（2021?廣東深圳?中考真題）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.2a2-a—2a3B.（a2）3=a5C.a2+a3=a5D.a6a2—a3

2.若。帆=4,陵=2,貝以3小-371的值為（）

A.8B.12C.24D.48

3.若ri為正整數(shù)，則計(jì)算（一a2）"+（—廢產(chǎn)的結(jié)果是（）

A.0B.2anC.-2a2nD.0或2a2n

4.（2023?四川樂山?中考真題）已知3nl=4,32m-4n=2.若9"=比，貝物的值為（）

A.8B.4C.2V2D.V2

【題型5］乘法公式的運(yùn)算

【典題1】(2024?廣東汕頭?一模)下列計(jì)算正確的是()

A.(x—2y)(x—2y)=x2—4y2

B.(x+y)(x2—y2)=x3—y3

C.(-2a-l)(2a-1)=1-4a2

D.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

【典題2】(2024?廣東東莞?三模)已知x+y=6,xy=6,則爐+、2的值為()

A.9B.18C.24D.36

【鞏固練習(xí)】

1.(2024?廣東肇慶?二模)下列計(jì)算正確的是()

A.x■x=2xB.(xy)2=xy2

C.(x+y)(x-y)=x2—y2D.(x+y)2=x2+y2

2.(2024?廣東深圳?三模)下列計(jì)算正確的是()

A.m+m=m2B.(m+2n)2-m2+4n2

C.(m+3)(m—3)=m2—9D.2(m—n)=2m—n

3.三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,且滿足(a+b)2=c2+2a6,則這個(gè)三角形是()

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

4.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)己知2a2—a—3=0,則(2a+3)(2a-3)+(2a-的值

是()

A.6B.—5C.—3D.4

5.(2023?廣東湛江?模擬預(yù)測(cè))已知a=8—2,6=遮+2,則(^一塊的值為.

【題型6】乘法公式的應(yīng)用

【典題1】(2024?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè))如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們

稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”.下列數(shù)中為“幸福數(shù)”的是()

A.268B.330C.512D.588

【典題2］已知實(shí)數(shù)a,b滿足(a-6)2=15,ab=4,則a4+b4的值為

【鞏固練習(xí)】

1.若a+b=l,則6[2-爐+26的值為()

A.4B.3C.2D.1

2.已知VTT—1的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,貝|(711+￡1)(6+1)的值是.

3.(2024,廣東梅州,模擬預(yù)測(cè))已知a+b=5,ab=2,則代數(shù)式a?—3ab+爐的值

為.

4.(2024?廣東深圳?二模)已知a+b=2,則多項(xiàng)式一/+仞+2020的值為.

5.(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)若一元二次方程2/-4x-1=0的兩根為m,n,貝U3m2_4m+

層的值為.

6.(2023?江蘇宿遷?中考真題)若實(shí)數(shù)%滿足⑺一2023)2+(2024-㈤2=2025,則

(m-2023)(2024-m)=.

【題型7】整式的混合運(yùn)算

【典題1】(2024?江蘇揚(yáng)州?三模)先化簡(jiǎn)，再求值：[(2x—y)2—(y+2x)(2x—y)—2xy\+2y,

其中久=y=-3.

【鞏固練習(xí)】

1.(2024?山東濟(jì)寧?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：

1

x(y—4%)+(2%+y)(2x—y),其中％=萬，y=2.

2.(2024?廣東揭陽?模擬預(yù)測(cè))先化簡(jiǎn)，再求值：(%-I)2-x(3x+2)+(2x+l)(2x-1),

其中X的值為一元二次方程%2-2%—7=0的根.

3.(2024?甘肅?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：[(2a+b)2—(2a+6)(2a—b)]+26,其中

a=2,b=—1.

【題型8】提公因式法分解因式

【典題1】(2023?湖北黃石?中考真題)因式分解：x(y-l)+4(1-y)=

【鞏固練習(xí)】

1.(2024?山東?中考真題)因式分解：x2y+2xy=.

2.(2022?福建龍巖?模擬預(yù)測(cè))己知a—6=3,ab=V5,則2a2。—2a/)2=.

3.(2014?青海西寧?中考真題)長(zhǎng)和寬分別為a,6的矩形的周長(zhǎng)為14,面積為10,則+。

房的值為.

【題型9】公式法分解因式

【典題1】（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）分解因式：a/-6axy+9ay2=,

【鞏固練習(xí)】

1.（2023?湖南益陽?中考真題）下列因式分解正確的是（）

A.2a2—4a+2=2（a—I）2B.a2+ab+a=a（a+b）

C.4a2—b2=（4a+b）（4a—b'）D.a3b—ab3—ab（a—b）2

2.（2024?山東威海?中考真題）因式分解：（x+2）Q+4）+1=.

3.（2023,四川綿陽,模擬預(yù)測(cè)）若a+6=4,則a?—次+助的值為.

4.（2024?上海嘉定?三模）因式分解：x2—2xy—（4—y2）=

5.（2024?陜西漢中?二模）已知租2=幾+2,n2=m+2,且mKn.求證：m+n=-1.

【題型10】因式分解的應(yīng)用

【典題1】（2024?河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）若〃為任意整數(shù)，貝120242—4層的值總能（）

A.被3整除B.被4整除C.被4〃整除D.被2024整除

【典題2】（2024?廣東河源?二模）已知a>0,b>0,且=—^7，求證：a=b.

【鞏固練習(xí)】

1.（2023?河北保定?一模）小李在計(jì)算20232。23—20232。21時(shí)，發(fā)現(xiàn)其計(jì)算結(jié)果能被三個(gè)連

續(xù)整數(shù)整除，則這三個(gè)整數(shù)是（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

2.（2023?河北?中考真題）若左為任意整數(shù)，則（2k+3乃一4M的值總能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

3.（2023?河北邯鄲?三模）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正

整數(shù)為“神秘?cái)?shù)如4=22_（）2,12=42—22,20=62—42.因此，4、12、20這三個(gè)數(shù)

都是神秘?cái)?shù).

（1）驗(yàn)證28和44這兩個(gè)數(shù)是否為神秘?cái)?shù)；

（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中左取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是

4的倍數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由.

4.（2024?福建?中考真題）已知實(shí)數(shù)a,6,c,犯n滿足37n+n=^,mn=

⑴求證：b2-12ac為非負(fù)數(shù)；

（2）若a,b,c均為奇數(shù)，小刀是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【題型11】數(shù)式規(guī)律探究

【典題1】（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小

屋子”.按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“。”個(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3

立

口

o

OOO

OOOooo

0OOOOOOOoooo……

0OOOOOooooooooo

^OOOOOooooooooo

0OOOOoooo

oooooooooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖是用大小相等的五角星按一定規(guī)律拼成的一組圖案，請(qǐng)根據(jù)

你的觀察，寫出第2024個(gè)圖案中小五角星有顆.

★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★

第1個(gè)圖案第2個(gè)圖案第3個(gè)圖案第4個(gè)圖案

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）有一組數(shù)，按以下規(guī)律排列：一:，1,—葛，抵—吳“…則這

N1Ui/Zo

組數(shù)的第n個(gè)數(shù)為

3.（2023?黑龍江綏化?中考真題）在求1+2+3+……+100的值時(shí),發(fā)現(xiàn):

1+100=101,2+99=101……,從而得到1+2+3+-+100=101x50=5050.按

此方法可解決下面問題.圖（1）有1個(gè)三角形，記作的=1；分別連接這個(gè)三角形三邊中

點(diǎn)得到圖（2）,有5個(gè)三角形，記作a2=5；再分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)

得到圖（3）,有9個(gè)三角形，記作。3=9；按此方法繼續(xù)下去，則。1+。2+。3+……+an

=.（結(jié)果用含"的代數(shù)式表示）

圖⑴圖⑵圖⑶

【題型12］數(shù)式中新定義問題探究

【典題1】(2022?重慶?中考真題)若一個(gè)四位數(shù)M的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是M

去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)M為“勾股和數(shù)”.

例如：M=2543,：32+42=25,2543是“勾股和數(shù)”；

又如：M=4325,V52+22=29,29力43,4325不是“勾股和數(shù)”.

(1)判斷2022,5055是否是“勾股和數(shù)”,并