2024-2025學年浙江省溫州市高二第一學期期末檢測數學試題（B卷）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.直線x—島+1=°的傾斜角為

A萬n2萬s7r

,7B,Tc-TD-T

【答案】A

【解析】

【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關系即可求解.

【詳解】由直線x-回+1=0,

ijiii百A/3

則^=——x+——，

33

設直線的傾斜角為a,

所以tana--，

3

所以。=工77

6?

故選：A

【點睛】本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題.

2.在空間直角坐標系Qxyz中，點。（2,3,4）在坐標平面但內的射影的坐標為（）

A.（0,0,4）B.（0,3,4）

C.（2,0,4）D.（2,3,0）

【答案】D

【解析】

【分析】根據坐標平面內投影點坐標的特點可得結果.

【詳解】在空間直角坐標系Oxyz中，點尸（2,3,4）在坐標平面。砂內的射影的坐標為（2,3,0）.

故選：D.

3.若正項數列｛%｝是等比數列，則“名〉四”是“數列｛。,｝為遞增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由等比數列性質，結合充分必要條件的判斷，即可求解.

【詳解】因為正項數列｛%｝是等比數列，所以4>0,q>0,

當時，%/〉％，解得4>1，

所以數列｛%｝為遞增數列，滿足充分性；

當數列｛4｝為遞增數列時，a9>a7,滿足必要性，

所以“名〉叫”是“數列｛4｝為遞增數列”的充要條件.

故選：C

4.已知圓q：x2+v2=1,圓。2：(x+3『+(y—2『=25,則圓G與圓C2的位置關系為()

A.內含B.相交C.外切D.外離

【答案】A

【解析】

【分析】根據給定條件，求出兩圓的圓心距，再判斷位置關系即可.

【詳解】圓G：/+「=i的圓心弓9刀)，半徑外=1,

圓。2：(x+3『+(y—2『=25的圓心。2(-3,2),半徑弓=5,

又|CG|=7(-3-o)2+(2-o)2=713,所以|GQ|<5-1=4一八，

所以圓G與圓。2的位置關系為內含.

故選：A.

5.已知數列｛4｝的通項公式為%=〃，去掉數列中所有的.(左eN*),得到新數列｛4｝,則d=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，由數列的通項公式可得數列｛%｝的前9項，又由｛4｝是將｛4｝中所有能被3整除的項

去掉后剩余的項，分析計算可得答案.

【詳解】根據題意，數列｛2｝的通項公式為=n,

貝ll=1,%=2,。3=3,。4=4,%=5,。6=6,%=7,。8=8,。9=9,

又由｛4｝是將｛4｝中所有能被3整除的項去掉后剩余的項，

則瓦=8.

故選：C.

6.若｛￡》』｝構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

A.b+c,b,b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量共面定理逐項進行判斷即可.

【詳解】因為而》A｝構成空間的一個基底，所以￡1,"不共面，

對于A,因為區=+3+g伍一斗所以力+漏]二共面，故A錯誤；

對于B,因為。=萬（。+6）+萬（。一6）,所以a,a+aa共面，故B錯誤；

對于C,設a+B=X（a-1）+〃c,則＜1=一2,方程組無解，所以—瓦）不共面，故C正確；

0=〃

對于D,因為c=（a+B+c）—（a+可，所以￡++B+共面，故D錯誤；

故選：C.

7.已知直線/：丁=左（》+3）+1與曲線=有兩個公共點，則左的取值范圍是（）

A.（,0）B.[,0）C.（,-）D.（,]

555355

【答案】B

【解析】

【分析】當直線/與橢圓上半部分有兩個交點時，直線/的斜率左介于直線/與橢圓上半部分相切時的斜率

和直線/過橢圓上半部分右頂點時的斜率之間.

*

【詳解】直線/：y=A（x+3）+l過定點（―3,1）,曲線。是橢圓工+j?=i的上半部分，

當直線/與橢圓上半部分有兩個交點時，直線I的斜率左介于直線I與橢圓上半部分相切時的斜率

和直線/過橢圓上半部分右頂點時的斜率之間，直線/與橢圓上半部分相切時的斜率為A=0,

1-01

直線/過橢圓上半部分右頂點時的斜率為左=-----=——,

-3-25

所以人的取值范圍為

＞

8.已知數列｛%｝的前〃項和為%,滿足q=2,%用=2（"+1）4，對于必7-河,S“＜（/〃+B）x2"+2

n,

恒成立，則Z+3的最小值為（）

A.-1B.0C.1D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由累乘法求得再結合錯位相減求和，即可求解.

【詳解】由題,

_an-lan-2a212"2(?-l)2(〃-2)

彳%2=n-2",n>2,

c1n=-------------------------------------------Uy-------------------------------------------------

an_xan_2an_3axn-1n-2n-3

又4=2符合上式，所以

貝電=1x21+2x22+3x23+…+〃x2",①,

25?=lx22+2x23+3x24+---+nx2n+1,②,

由①-②，得—S=21+22+23+---+2"-/7X2"+12(1-2_.2n+l=(l-n)-2n

=n，+1_2，

"1-2I'

所以S=(〃_l)-2"+i+2,

若對于V〃eN*,S“++2恒成立，即2（〃一1）〈/〃+5對eN*恒成立,

A-2>0

所以（4—2）〃+8+2之0對v〃eN*恒成立，所以＜,cnc八，所以N+8N0.

4—2+_5+220

故選：B

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知直線/1:x+（l+a）y=2+a與乙：2ax+4y=—16,則下列說法正確的是（）

A.若a=l時，貝必/心

B.若a=—2時，則4與6重合

2

C.若a=—§時，則4_1_4

D.若a=0時，貝1J4與4交于點（6,-4）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據兩直線垂直和平行的判定，結合選項逐項判斷即可.

【詳解】對于A,當。=1時，lx:x+2y=3,l2:2x+4j=-16,

即，2：x+2y=—8,則/他,故A正確；

對于B,當。=一2時，/i：x-y=O,12:-4x+4y=-16,

即，2：x—y=4,則4與4不重合，故B錯誤；

2144

對于C,當。=—時，=‘2：—]X+4y=-16,

因為lx[-]]+§x4=0,所以故C正確；

對于D,當。=0時，/]：x+.y=2,l2:4y=-16,即6：^二一心

x+y=2fx=6

由＜，，得＜一

J=-4[y=-4

所以4與4交于點（6,-4）,故D正確.

故選：ACD.

10.在棱長為2的正方體4BCD-4鳳G2中，M,N分別是棱4與，4。的中點，則下列說法正確的是

（）

A.M,N,B,。四點共面

B.MNLAQ

C.上平面B/C

6

D.直線BR到平面CMN的距離是一

2

【答案】AB

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，利用空間向量的共線定理，線線垂直的向量表示，線面平行的向量求法,

線面距離的向量求法，逐一判斷各選項，即可求解.

【詳解】以。為原點，以。所在直線分別為x，y，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

對于4,因為。(0,0,0),5(220),M(2,1,2),N(l,0,2),而=(1,1,0),麗=(2,2,0),

___.1—____.

所以加勿=5。8,所以兩//麗，又NM,DB不共線,所以NM//DB,

從而M,N,B,。四點共面，故A正確；

對于B,因為2(2,0,0),G(0,2,2),籬=(—2,2,2),所以由兩?公=0,得MNLAC],故B正確;

對于C,因為4(2,2,2),葩=(0,2,2),

由7VM知AGV與ZB1不垂直，而力用在平面8/C內，

所以與平面8/C不垂直，故C錯誤:

對于D,因為C(0,2,0),覺=(—1,2,—2),

設萬=(x,y,z)是平面CW的法向量,

n-NM=0x+y=0

則由〈―.，得:

n-NC=0-x+2y-2z=0

可取為=(2,-2,-3),直線用2到平面CMV的距離，即點。到平面CW的距離為d,

因為型=（1,0,0）,則d=|萬Nljcos伍方N）卜忙*=*=書］,故D錯誤.

故選：AB.

11.已知拋物線/=4x,過焦點廠的直線與拋物線交于43兩點，尸為直線x=-1上的一動點，。為坐

標原點，則下列說法正確的是（）

A.若皮尸產為等邊三角形，則/|=4

B.若NAPB=90°，則存在兩個不同的點P

C.若4,0,P共線，則AP與X軸平行

D.若n,O,P共線，則5“尸尸的最小值為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】由拋物線的性質，求得4點橫坐標，即可得|4F|,進而判斷A；設直線4B：x=my+l,聯立

直線48與拋物線方程，求以48為直徑的圓的表達式，令x=-1,即可求解P點個數，進而判斷B；若4

0,P共線，可求尸點坐標，根據根與系數關系可得8點縱坐標，從而判斷C；S^APF=~\OF\-y,+—,

利用基本不等式即可求解，進而判斷D.

【詳解】由題，拋物線/=4x的焦點廠為（1,0）,

不妨令/（再,必）,3（工2，%）,尸（T/），

對A選項，若△4FP為等邊三角形，

則==

根據拋物線的性質可知，此時/尸與了軸垂直，

故點N的橫坐標為3,所以|/廠|=3+1=4,故A正確；

對B選項，由題可知，直線45的斜率不為0,

令直線45：x=my+1,

聯立直線AB與拋物線y2=4x方程有y2-4my—4=0,

2

所以必+%=4加，為為=—4,/+x2-m[yl+y2)+2=4m+2,

14同=%]+%2+2=4m2+4,

所以以48為直徑的圓的方程為：[x—(2加2+i/+(y—2加J=(2加2+2丫,

令％=-1,則[一1一(2加2+川+(y-2加)2=Q加2+2)，

整理可得V=2加，故只有一個點P可使N4P5=90°，故B錯誤；

對C選項，若/,O,P共線，

4/4)

則直線/P：歹=一X,令x=—l,則尸-1,——，

必Iyj

由B選項可知，%為二—4,

-4

所以點5的縱坐標為/=——，所以與％軸平行，故C正確；

乂

對D選項，由C選項，S^APF=—?\OF\-y1-\---

彳卜+而修2〃=2,

當且僅當|乂|=1時取等號，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知1=(%-=(1,3,〃)，若共線，則加〃=.

【答案】3

【解析】

【分析】利用向量共線的條件，能求出x的值.

【詳解】?.?]=(加,—1,3),3=(1,3,〃)，向量方與B共線，

3m=—1,一〃二9,

解得加=——，〃=一9,

3

則加〃=3.

故答案為：3.

13.已知等比數列｛%｝的前〃項和為邑，邑=1,56=9,貝!1兒=

【答案】585

【解析】

【分析】根據等比數列前〃項和的性質即可求解.

【詳解】由題可知S3,$6-S3,S9-$6,S]2-S9成等比數列，

貝|]邑口，S6-S3=S,S9-S6=64,耳2—品=512,

所以邑=￡+64=73,512=$9+512=73+512=585.

故答案為：585.

22

14.已知尸是雙曲線C：.—a=1（。〉0,b〉0）上的任意一點，4，四分別為點尸到雙曲線兩條漸近線

的距離，若則雙曲線的離心率為.

【答案】V2

【解析】

【分析】設P（/，%），根據點P到雙曲線兩條漸近線的距離乘積等于;可得。與c的關系，即可求出

離心率.

22

【詳解】設尸（%%）,則箸一4=1,即從片―/需=/62,

a"b~

雙曲線兩條漸近線的方程為法土?=0,

則點P到兩條漸近線的距離乘積為：

|姐+明||姐-%|_忙X；川_a2b2j_

4a2+/「后+/-/+/-—―5。'

即c?=2ab,因為02=。2+/,所以a=b,c=y/2a'

故e=￡=V2.

a

故答案是：JI

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知數列｛4｝的前〃項和為S“,S“=/+〃.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

(2)求數列Q------1的前〃項和

【答案】(1)an=2n

(2)—^―

2〃+2

【解析】

【分析】(1)當〃=1時，可求得％=2；當“22時，an=Sn-S?_i=2n,對q=2仍成立，可得數列｛4｝

的通項公式；

111fl1}f11

(2)裂項可得——=—―-=---------,可求得數列——卜的前〃項和

na?+12〃(〃+1)2(〃n+lj〃%

【小問1詳解】

當〃=1時，％=，=2；

當〃22時，an=Sn_S〃_]=/+〃一(〃一1)2-2n,

對q=2仍成立,

.??數列｛an｝的通項公式為冊=2n：

【小問2詳解】

H+1J

11/1〃

nn+12(n+1J2〃+2

16.已知直線/:依―y+5=0,圓。：/+/一6x—4y—12=0.

(1)當左=2時，判斷直線/與圓C的位置關系；

(2)記直線/與圓C的交點為，，B,當［48|=2嶼時，求人的值.

【答案】(1)相交(2)1

【解析】

【分析】(1)利用點到直線距離，即可判斷圓心到直線的距離，與圓半徑比較，即可判斷直線與圓間的位

置關系；

(2)已知直線與圓相交的弦長，即可得到圓心到直線的距離，進而根據點到直線的距離公式求解直線斜率.

【小問1詳解】

圓心。(3,2),半徑A=5,又直線/:2x—y+5=0,

|3x2-2+5|_9

圓心C到直線的距離d=

所以直線/與圓C相交；

【小問2詳解】

圓心到直線的距離d=J&2—=3后,

又八二二35

J1+12

所以《2—2左+1=0,解得左=1.

17.如圖，在平行六面體A8CD—481GA中，AB=AD=AAl=l,ZA1AB=AAXAD=ABAD=60°.

（1）求/G的長；

（2）求證：直線4C，平面

【答案】（1）、同（2）證明見解析

【解析】

【分析】⑴由題意可得藺=焉+而+刀;，再平方即可得到答案；

（2）根據布?麗=o,而?函=o,可得4C1BBi＞再利用線面垂直的判定即可證明.

【小問1詳解】

ACy=AB+BC+CC]—AB+AD+AAy?

—I*ZQ*2*2?2?2------??**------**

可得NG=AB+AD+AA1+2AB-AD+2AB-AA,+2AD-AAt

=12+12+12+2xlxlxcos600+2xlxlxcos600+2xlxlxcos60°=6

所以%G|=振；

【小問2詳解】

麗=%-羽=萬+15-石，~BD=^D-^B'BBt=AAi>

所以布?麗=(方+礪—石)?(茄_萬)

=AB-AD+AD"-AA^AD-AB2-AD?AB+AA.-AB

=Ixlxcos600+12-Ixlxcos60°-I2-lxlxcos600+lxlxcos60°=0，

所以4亍，前，所以

布?函=(Z8+ZD-Z^)曲=~AB>AAX+~AD>AAX-~A\

=Ixlxcos60°+lxlxcos60°-I2=0>

所以“，函，所以又BB[CBD=B,班1,8。u平面8￡>￡>百，

所以4。，平面ADD4.

18.已知動點P(xj)到定點(1,0)的距離和到定直線x=4的距離的比是常數g,動點P的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)過7(0,-2)的直線/與曲線C交于4,2兩點，。為坐標原點.

(i)若次?05=0，求直線/的方程；

(ii)若|。4「+阿「=7,求△048的面積.

22

【答案】(1)土+匕=1;

43

(2)(i)y=±2幣x-2;(ii)—灰)或6.

,33

【解析】

【分析】(1)點P@y)到定點(1,0)的距離為—I,+/,點P(x,y)到定直線x=4的距離為卜―4|,根

據題意列等式，即可求解；

（2）（i）設直線/的方程為y=2,與拋物線聯立，即可求解左的取值范圍和根與系數關系式，由

刀?礪=（公+1）西馬-2左（西+/）+4=0,代入根與系數關系，即可求解左，進而得/方程；

（ii）\OA^+|6>5|2=7,所以x；+x；=4,將根與系數關系式代入即可求"又

代入即可求解?

【小問1詳解】

由已知得：J（xT）+二」,

…2

兩邊平分并化簡得：3x2+4y2=12,

22

即上+匕=1,即為曲線C的方程；

43

【小問2詳解】

（i）設直線/的方程為y=2,

將其代入?+『=1,得（4左2+3*—16丘+4=0,

故△=（—16%『一16（4左2+3）＞0,即左〉1■或左＜一；,

cer,16k4

n\以Xi1+24左2+3，X1i2Xy—4左2+3，

OA-OB=xrx2+yxy2=0,

二.王工2+必歹2=%次2+（丘1一2）（米2-2）

二（左2+1）國工2—2左（X]+12）+4=0,

,2?、4…\6k,16-12左2

（zk+1）—：-----2k■—：----F4=

4左2+34左2+34/2+3

解得k=±,所以/：y=±2逝*-2；

3.3

（ii）由+|O3|2=x；+E+y；+y；

（2A（2A

工2二;(町+君)+

=xf+xl+31-^-+31-=6=7,

7\4J

所以x；+x；=4,

=x216k71^=4,

所以%,+%2（%1+2）-2%1%2=

4左2+3

所以（4左2—5）（4左2—3）=0,

.."2=3或3,

44

又s-=*斗5fl=卜-引=向FF=勺峪?

93=—V6；當左2=3時，s

當上2=w時，S^AB

34aOAB

19.已知數列｛%｝為公差不為0的等差數列，數列｛"｝為等比數列，記數列

av%a2,b2,a3,b3,---an,