（北師大版）七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章相交線與平行線》

專題與相交線有關(guān)的計(jì)算問題

B題型歸納

與相交線有關(guān)

題型三通過計(jì)算說明兩角的數(shù)量關(guān)系

的計(jì)算問題

題型一直接利用相交線的性質(zhì)求角度

（2024秋?高新區(qū)校級(jí)期末）

1.如圖所示，直線42、CD相交于點(diǎn)。，/EOF=90°,ZAOD=80°,且

ZFOC=1ZEOC,求/E08的度數(shù).

（2024秋?慶陽期末）

2.如圖，已知直線和相交于點(diǎn)。，/COE=89。，。尸平分//OE,ZCOF=31°,

求N8OD的度數(shù).

試卷第1頁，共14頁

E

c

()B

I)

（2024秋?天河區(qū)校級(jí)期末）

3.如圖，直線與8相交于點(diǎn)。，OE是N30C的平分線，如果

ZBOC:ZDOF:ZAOC=1:2:4.求ZBOE和ZDOF的度數(shù).

（2024春?廣州期中）

4.如圖，直線48,。相交于點(diǎn)O,ZAOE=90°,OF平分/BOC,Zl=2Z2,求NCOF

的度數(shù).

5.如圖，直線/及CD相交于點(diǎn)O,OE把280D分成兩部分.

（l）^AOC的對(duì)頂角為,ABOE的鄰補(bǔ)角為；

⑵若44OC=70。，S.ZBOE:ZEOD=2:3,求NDOE的度數(shù).

（2024秋?定邊縣期末）

試卷第2頁，共14頁

6.如圖，直線/B,CD相交于點(diǎn)O,OE平分/BOC,ZCOF=9Q°,

(1)若/5。。:/3?！?1:2,求/BO。的度數(shù)；

⑵若NBOE=70°,求ZAOF的度數(shù).

(2024秋?海安市期末)

7.如圖，直線N3與CD相交于點(diǎn)O,射線OE在//OD的內(nèi)部，ZAOC=10°-^ZAOE.

圖2

⑴如圖1,當(dāng)N/OE=40。時(shí)，請(qǐng)寫出與480。互余的角，并說明理由；

(2)如圖2,若OF平分NBOE,求ND。尸的度數(shù).

(2024秋?城廂區(qū)校級(jí)期末)

8.如圖，直線MXCN相交于點(diǎn)O,CM是ZJWOC內(nèi)的一條射線，02是XVOD內(nèi)的一條

射線，乙MON=IQ0.

(1)若ABOD=g乙COD,求乙SON的度數(shù)；

Q)若"K)D=2乙BOD,ABOC=3^AOC,求乙BON的度數(shù).

題型二利用垂線的性質(zhì)求角度

(2024春?惠州期末)

試卷第3頁，共14頁

9.如圖所示，直線48,。相交于點(diǎn)。，射線OE、。/在N/0〃內(nèi)，且。。平分/30E,

OFVCD,已知//OC://OD=1:5,求NEO尸的度數(shù).

（2024秋?福州期末）

⑵若ABOD-.ZCOE=2：1,求ZCOD的度數(shù).

（2024春?大冶市期末）

11.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，EO1AB,垂足為。.

⑴若NCOE=35。，則々。。的度數(shù)為。（直接寫出結(jié)果）;

（2）若乙4。。+/。?！?170。，求NCOE的度數(shù).

（2024秋?海口期末）

12.如圖，直線/3、C3相交于點(diǎn)0,OE平分//OC,EOJ.尸。于點(diǎn)O.

A

（1）若N/OE=36。，求NNOD和NCOb的度數(shù)；

試卷第4頁，共14頁

（2）若//0￡=a（0°<a<90。），直接寫出乙DO尸的度數(shù)（用含1的代數(shù)式表示）.

（2024秋?蒼南縣期末）

13.如圖，直線與直線CD交于點(diǎn)。，射線OE在440。內(nèi)部，。尸是/E08的平分線,

且NFOD=20°.

（1）若EOJ_OD,求//OC的度數(shù).

⑵若Z.EOD=-1ABOD,求ZAOD的度數(shù).

（2024春?船營區(qū)校級(jí)月考）

14.如圖所示，已知直線48與C￡（交于點(diǎn)。，EO1AB,垂足為。，5.ZCOE=2ZAOC.

⑴求的度數(shù)；

⑵過點(diǎn)。在上方作射線。尸，若NDOF=4ZAOF,求/CO尸的度數(shù).

（2024春?道外區(qū)期末）

15.如圖，直線/8、CD相交于點(diǎn)。，OE平分//OC.

試卷第5頁，共14頁

⑵過點(diǎn)。作。尸OE,請(qǐng)直接寫出和ABOF互補(bǔ)的角.

(2024春?蚌埠期末)

16.已知，OU平分/NOC,ON平分/BOC.

(1)如圖1,^OALOB,ZBOC=60°,求/MCW的度數(shù)；

(2)如圖2,若N/O8=80。，NMON:NAOC=2:7,求N/ON的度數(shù).

題型三通過計(jì)算說明兩角的數(shù)量關(guān)系

(2024春?渭城區(qū)期中)

17.將下面的解答過程補(bǔ)充完整：已知：如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)。，OE平分乙IOF,

證明：因?yàn)槠椒忠?。凡所以乙4OE=N￡OF.(_)

因?yàn)镹COE=90。，

所以乙4OC+乙4?！?90。

因?yàn)橹本€CD相交于點(diǎn)。

所以乙EOD=180°-zCO￡'=90o

所以.NEO尸"8=90。.

所以&OC=..(_)

因?yàn)橹本€CD相交于O,

所以(_)

所以乙FOB=￡FOD+乙BOD=2乙AOC

試卷第6頁，共14頁

(2024秋?蓮都區(qū)期末)

18.如圖，直線4E與CD相交于點(diǎn)2,BFLAE.

(1)若405后=60。，求乙FBD的度數(shù)；

(2)猜想NC2E與乙DAF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

19.如圖，直線AB與CD相交于O.OF是NBOD的平分線，OE_LOF.

(1)若NBOE比NDOF大38°,求NDOF和NAOC的度數(shù)；

(2)試問NCOE與NBOE之間有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)NBOE的余角是,NBOE的補(bǔ)角是.

20.直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分NBOD,OF1CD,垂足為O.

(1)若NEOF=54。，求NAOC的度數(shù)；

(2)①在NAOD的內(nèi)部作射線OG1OE；

②試探索NAOG與NEOF之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由.

21.如圖，直線EF,CD相交于點(diǎn)。，0/108,且OC平分40尸,

試卷第7頁，共14頁

(1)若口?！?40。，求N8O。的度數(shù)；

(2)若40E=a,求40。的度數(shù)？(用含a的代數(shù)式表示)

(3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出和々。。的關(guān)系為

(2024春?香坊區(qū)期末)

22.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O,ZBOM=ZDON=90°.

(1)如圖1,若/COM=35。，求乙SON的度數(shù)；

(2)如圖1,請(qǐng)直接寫出圖中所有互余的角；

(3)如圖2,若射線OE在ZMOB的內(nèi)部，且;ZM0N-ZBOE=45。，請(qǐng)比較ZMOE與ZDOE

的大小并說明理由.

(2024秋?南崗區(qū)期中)

23.如圖，直線/3、。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OELCD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：ABOE-AAOC=9Q°■

(2)如圖2,將射線沿著直線CD翻折得到射線OF,BPZBOD=ZFOD,求證：OE平分

試卷第8頁，共14頁

AAOF■

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)。作。G,48,當(dāng)/尸0G:40E=2:3時(shí)，求/COG的

度數(shù).

題型四通過計(jì)算說明兩直線垂直

(2022春?南昌期中)

24.如圖，直線48、CD相交于點(diǎn)。，乙DOE—BOD,0尸平分440E.

(1)判斷。尸與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若乙IOC：^AOD=1：4,求NE。尸的度數(shù).

(2024秋?拱墅區(qū)期末)

25.如圖，直線48、CD相交于點(diǎn)O,OMLAB.

(1)若N1=N2,證明：ONLCD；

(2)若N1=*8OC,求A8OO的度數(shù).

(2024秋?玄武區(qū)校級(jí)期末)

26.如圖，直線4B和直線C￡)交于點(diǎn)E,EF、EG分別平分N/EC和/BEC.

I)

試卷第9頁，共14頁

⑴求證：EFlEG；

⑵若4訪=66。，求NBEG的度數(shù).

(2024春?墨玉縣期末)

27.如圖，直線N3.CD相交于點(diǎn)。.ZAOC=28°.OE平分NAOD,OF平分/BOD.

⑴求480尸的度數(shù)：

(2)判斷射線?！昱c。尸之間的位置關(guān)系.并說明理由.

(2024春?邯鄲期中)

28.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，MO1AB,垂足為。.

⑴若N1=N2,求乙4。。的度數(shù)；

(2)己知N是直線下方的一點(diǎn)，且NOLC。，在圖中畫出NO.若/BOC=2/2,求4BON

的度數(shù).

(2024春?阿瓦提縣期末)

29.如圖①，直線/瓦。相交于點(diǎn)。.

(1)若N/OC+NBOL>=120。，求乙40。的度數(shù).

(2)分別作"O。、N8O。的平分線?！?。尸，如圖②，請(qǐng)判斷OE與。尸之間的位置關(guān)系,

并說明理由.

試卷第10頁，共14頁

（2024春?沂水縣期中）

30.直線CD相交于點(diǎn)。.OE,OF,0G分別是//OC,NBOD,乙40。的平分線.

⑴畫出這個(gè)圖形.

（2）射線OE,。下在同一條直線上嗎？為什么？

（3）。￡與。G有什么位置關(guān)系？說明理由.

題型五與相交線有關(guān)的角度計(jì)算綜合題

（2024秋?江漢區(qū)校級(jí)期末）

31.如圖，AB、CD交于點(diǎn)。.

C-------O廠D

IB

（1）可得到結(jié)論：/AOC=/BOD,依據(jù)是：（直接填序號(hào)：①同角的補(bǔ)角相等，②

同角的余角相等）；

（2）若=//OE的余角是NOOE的2倍，求/8OC；

（3）在（2）的條件下，從點(diǎn)。引出一條射線。尸，當(dāng)/。。尸=//0￡+/。。尸時(shí)，ZBOP=

.（直接寫出結(jié)果）

32.如圖，直線48與CD相交于點(diǎn)E,射線EG在乙4EC內(nèi)（如圖1）.

（1）若N8EC的補(bǔ)角是它的余角的3倍，貝"8￡C=_度；

（2）在（1）的條件下，若NCEG比-EG小25度，求乙4EG的大小；

（3）若射線￡/平分乙4￡。，NF￡G=100。（如圖2）,貝U乙4￡G—NCEG=_度.

（2024秋?渠縣期末）

33.若直線48和直線血相交于點(diǎn)。，0c為內(nèi)部的射線，OE平分/4OC,OF

平分/20C.

試卷第11頁，共14頁

E

F

A0\B

D

(1)若Z8OO=58°,求/4。尸和NEO尸的度數(shù)？

⑵若ZBOD是任意角?(0°<a<90°),求ZEOF的度數(shù)？

⑶請(qǐng)猜想，尸度數(shù)會(huì)改變嗎？若改變，請(qǐng)說明理由；若不改變，則NEO尸度數(shù)是多少？

(2024秋?濱湖區(qū)期末)

34.如圖，已知垂足為點(diǎn)O,直線CD經(jīng)過點(diǎn)O.

⑴若40D=35。，求/COE的度數(shù)；

2

(2)若NBOC=—COE,求ZDOE的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，過點(diǎn)。作。尸，C。，則NEO/=_.(直接寫出答案)

35.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O.已知NBOD=75。，OE把NAOC分成兩個(gè)角，且zAOE=

2

-ZEOC

3

(1)求NAOE的度數(shù)；

(2)將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。((r<aV360。)到OF.

①如圖1,當(dāng)OF平分NBOE時(shí)，求NDOF的度數(shù)；

②若NAOF=120。時(shí)，直接寫出"的度數(shù).

試卷第12頁，共14頁

I)D

A

E

liB

/c/F/C

圖1圖2)

(2024秋?上城區(qū)期末)

圖1圖2

(1)如圖1,若/8。。=27。44，，求/40E的度數(shù).

(2)如圖2,作射線0尸使/E。尸則。。是NBO9的平分線.請(qǐng)說明理由.

(3)在圖1上作。GL/8,寫出NCOG與//OE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2024秋嘟州區(qū)期末)

37.如圖，直線4B,CD相交于點(diǎn)O,OEN分NBOC.

(1)【基礎(chǔ)嘗試】如圖(1),若/4OC=40。，求/0?！甑亩葦?shù)；

⑵【畫圖探究】作射線。尸，OC,設(shè)440c=x。，請(qǐng)你利用圖(2)畫出圖形，探究//OC

與NEOF之間的關(guān)系，結(jié)果用含x的代數(shù)式表示ZEOF.

⑶【拓展運(yùn)用】在第⑵題中，/E。尸可能和NDOE互補(bǔ)嗎？請(qǐng)你作出判斷并說明理由.

38.如圖，直線8與EF相交于點(diǎn)。，ZCOE=60°,將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與。

試卷第13頁，共14頁

重合，0/平分/COE.

⑴求NB8的度數(shù)；

(2)將三角尺以每秒3°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF也以每秒9°的速度繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(0VtV40).

①當(dāng)/為何值時(shí)，直線E尸平分

②若直線平分直接寫出/的值.

試卷第14頁，共14頁

1.110°

【分析】本題考查對(duì)頂角的性質(zhì)和角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)NEO尸=90。，

ZFOC=2ZEOC,求出NEOC30。，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得/80C==80。，即可求出

/E08的度數(shù).

【詳解】解：-：Z.EOF=90°,NFOC=2ZEOC,

.?.Z￡,<9C=-x90°=30°,

3

ZAOD=80°,

ZBOC=ZAOD=80°,

NEOB=NEOC+ZBOC=30°+80°=110°.

2.27°

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度計(jì)算問題，角平分線的有關(guān)計(jì)算，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

求角度等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

由角的和差關(guān)系可得由角平分線的定義可得

ZAOE=2ZEOF=116°,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得NBOE=180。一//OE=64。，由平角的定義

可得ZBOD=180°-ZCOE-ZBOE,據(jù)此即可求出ZBOD的度數(shù).

【詳解】解：???/COE=89。，ZCOF=31°,

ZEOF=ZCOE-ZCOF=89°-31°=58°,

?.■。尸平分//0￡,

ZAOE=2ZEOF=2x58°=116°,

ZBOE=180°-//OE=180°-116°=64°,

ZBOD=180°-ZCOE-ZBOE=180°-89°-64°=27°.

3.ZDOF=72°,NBOE=18°

【分析】設(shè)/80C=x°,則尸=2x。，ZAOC=4x°,根據(jù)平角的定義求得x=36,進(jìn)而

根據(jù)角平分線定義即可求解.

【詳解】解：設(shè)NBOC=x°,貝iJ/DOF=2x°,ZAOC=4x°,由題意得：

x+4x=180°,解得：x=36,

ZBOC=36°,ZDOF=72°,ZAOC=144°f

???。￡是/5。。的平分線，

ABOE=ZCOE=-ZBOC=-x36°=18°,

22

答案第1頁，共33頁

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線有關(guān)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.75°

【分析】利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得NBOE=180，N/OE=90。，由角的和差關(guān)系可得

NBOE=N1+N2,再結(jié)合Zl=2/2,可得Z80E=3/2=90。，進(jìn)而可得N2=30。，由對(duì)頂

角相等可得//。。=/2=30。，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得/BOC=180。-440c=150。，由角平

分線的定義可得/。。尸=(N80C,據(jù)此即可求出ZCOF的度數(shù).

【詳解】解：；直線AB,CL1相交于點(diǎn)。，AAOE=90°,

NBOE=180°-N/OE=180°-90。=90°,

VZB(9E=Z1+Z2,Zl=2Z2,

/BOE=3/2=9。。,

Z2=30°,

ZAOC=Z2=30°,

ZBOC=180。-N40C=180。-30。=150°,

?：OF平分NBOC,

ZCOF=-ZBOC=1x150°=75°.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度計(jì)算問題，角平分線的有關(guān)計(jì)算，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

求角度，對(duì)頂角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線及鄰補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.

5.(l)NBOD,ZAOE

(2)42°

【分析】(1)根據(jù)對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的定義求解即可；

(2)根據(jù)對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得：N/OC的對(duì)頂角為/80D；ZBOE的鄰補(bǔ)角為//OE,

故答案為：ZBOD,/AOE；

⑵設(shè)乙BOE=2x,

■：NBOE:ZEOD=2:3,

ZEOD=3x,

-ZAOC=70°f

/BOD=ZEOD+BOE=ZAOC=70°,

二.2x+3x=70°,

答案第2頁，共33頁

/.x=14°,

ZDOE=3x=42°.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

6.(1)Z5OD=36°

(2)/4。尸=50。

【分析】(1)根據(jù)OE平分/5OC,可得NCOE=NBOE,再結(jié)合/5。。:/5?！?1:2可得

/BOD:NBOE:ZEOC=1:2:2,最后利用平角的定義即可求解；

(2)由/反龍=70?？汕蟮?5。。=40。，根據(jù)對(duì)頂角的定義可得44。。=40。，然后根據(jù)

/CO尸=90。，即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：YOE平分NBOC,

ZCOE=/BOE,

???ABOD:ABOE=1:2,

.?.ZBOD:ZBOE:ZEOC=1:2:2,

???ZBOD+ZBOE+ZEOC=180。，

ZBOD=180。x---=36。.

1+2+2

(2)解：?.?OE平分/8OC,ZBOE=70°,

:.ZBOC=2.ZBOE=140°,

ZBOZ)=180°-140o=40°,

ZAOC=ZBOD=40°,

■;ACOF=90°,

ZAOF=ZCOF-ZAOC=90°-40°=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平角的定義、對(duì)頂角的定義及角的和差計(jì)算，熟練掌

握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.是48。。的余角，理由見解析

⑵/。。尸=20°

【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的定義，與角平分線有關(guān)的角度問題，熟練掌握對(duì)

頂角的性質(zhì)，余角的定義，結(jié)合圖形找角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)由N/OC=70°-g//OE,ZAOE=40°,ZAOC=50°,則NB。。=N40C=50°,進(jìn)

而求出其他角的大小即可找到N80。的余角；

答案第3頁，共33頁

(2)由題意得N80F=NE0F=：N80E,貝l|N/OE+2NBOF=180°,進(jìn)而可知

NAOE+2NDOF+2NBOD=180°,由4OC=70°-gZAOE=ZBOD,

得N/OE+2ZDOF+140。-N/OE=180°,即可求解.

【詳解】(1)解：???//。。=70。一；44。￡,ZAOE=40°,

ZAOC=50°,則ZBOD=ZAOC=50°,

則/8。。=180。一/2。。=130。，ZEOD=180°-ZAOE-ZBOD=90°,

.-.ZAOE+ZBOD=90°,

.?.//OE是N3OD的余角；

(2),：OF平分NBOE,

ZBOF=ZEOF=-ZBOE,

2

則AAOE+2NBOF=180°,

...ZAOE+2(ZDOF+NBOD)=N/OE+2ZDOF+24BOD=180°,

又?;AAOC=70。-；4OE=NBOD,

...ZAOE+2ZDOF+2^70°-1OE^=180°,即：AAOE+2ADOF+1400-Z^O￡=180°

ZDOF=20°.

8.(1)75°

(2)54°

【分析】(1)先由對(duì)頂角相等求出NCO￡>=70。，再由已知條件求出N8O。的度數(shù)，根據(jù)鄰

補(bǔ)角的定義與角的和差進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)乙4OC=x。，則以。C=3x。，利用角的和差即可解得x,進(jìn)而求解.

【詳解】(1),.?ZMCW=7O。，

:.乙COD=LMON=IQ0,

:，BOD=vzcor>=-x70°=35°,

22

.?.乙8ON=180°-乙MON-乙800=180°-70°-35°=75°；

(2)設(shè)乙4OC=x°,則乙BOC=3x°,

?:乙COD=^MON=70°,

:.乙BOD=^BOC-乙COD=3x°-70°,

答案第4頁，共33頁

山。。=乙4OC+zCOZ)=x°+70°,

?"OD=2(BOD,

???x+70=2(3x-70),

解得％=42,

：.^BOD=3x°-70°=3x42°-70°=56°,

；/BON=180。-Z.MON-zDO5=180°-70°-56°=54°.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角的定義及角的和差，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9.ZEOF=60°

【分析】本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的概念，由//OC:440。=1:5結(jié)合鄰補(bǔ)角

互補(bǔ)、對(duì)頂角相等，可求出的度數(shù)，根據(jù)平分NBOE,可求出/￡。。，根據(jù)垂

直的定義求出9=90。，則N￡O廠可求，熟記概念并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，鄰補(bǔ)角、

對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)

角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形成的.

【詳解】解：\'ZAOC:ZAOD=1:5,NAOC=NBOD,

ZBOD:ZAOD=1:5.

ZAOD+ZBOD=\SO0,

/BOD=30°,

?：OD平分4B0E,

ZBOD=ZEOD=30°,

?「OFVCD,

/DOF=90。,

/EOF=60°.

10.(1)25°

(2)120°

【分析】本題考查了角度的計(jì)算.明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)ZCOE=ZAOC-ZAOE,計(jì)算求解即可；

(2)由題意知/8。。+/。。￡=180?！?。。七=90。，由/5OD:/COE=2:1,可求

NCOS=30。，ZCOD=ZCOE+ZDOE,計(jì)算求解即可.

【詳解】(1)解：?.?Z0_L5C即/4。。=90。，NAOE=65。,

??.ZCOE=ZAOC-ZAOE=25°,

答案第5頁，共33頁

???/COE的度數(shù)為25。；

(2)解：由題意知48。。+/(70￡=180。-/。0￡=90。，

又?:ZBOD:ZCOE=2:1,

ZCOE=30°,

ZCOD=ZCOE+ZDOE=120°,

.?./COD的度數(shù)為120。.

11.(1)125

(2)40°

【分析】(I)先根據(jù)兩角互余求出乙40c的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角即可求出的度數(shù)；

(2)設(shè)/4OC=x,貝!)/4OC=/BOZ)=x,再利用周角列出方程，解出x的值之后再利用

互余即可求出NCOE的度數(shù).

【詳解】C1)解：?.ZCOE=35。，EO1AB,

ZAOE=ZCOE+AAOC=90°,

ZAOC=90°-35°=55°.

又“OD是乙40c的鄰補(bǔ)角，

ZAOD=180°-ZAOC=125°.

(2)解：設(shè)Z/10C=x,貝!|//。。=/8。。=工，

ZAOD+ZCOE+ZAOC+ZBOD+NBOE=360°,

即170°+90°+2x=360°,

解得x=50。.

.-.ZCO￡,=90°-50°=40°.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩角互余的關(guān)系和鄰補(bǔ)角以及周角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余、互補(bǔ)

的概念和對(duì)頂角相等以及周角為360。，互余是指兩角之和為90。，互補(bǔ)是指兩角之和為

180°,并且熟知兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)

角，叫做鄰補(bǔ)角.

12.(1)108°,54°

⑵900+a

【分析】(1)由角平分線的定義可得/COE=//OE=36。，進(jìn)而可得

NAOC=2NAOE=72°,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得，由此即可求出乙4。。的

度數(shù)，由垂線的性質(zhì)可得NEO尸=90。，由角的和差關(guān)系可得NCO^=NEO尸-NCOE,由

答案第6頁，共33頁

此即可求出/COb的度數(shù)；

(2)由角平分線的定義可得NCQE=/ZOE=a,由垂線的性質(zhì)可得NEO/=90。，由角的和

差關(guān)系可得/COF=ZEOF-ZCOE=90?！猘,利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得ZDOF=180°-ZCOF,

由此即可求出NDO方的度數(shù).

【詳解】(1)解：?.?。￡平分//OC,N4OE=36。,

ZCOE=ZAOE=36°f

ZAOC=2ZAOE=72°f

ZAOD=180°-ZAOC=180°-72°=108°,

EOLFC,

:.ZEOF=90°,

ZCOF=/EOF-ZCOE=90?！?6。=54°；

(2)解：???OE平分N/OC,AAOE=a,

/COE=Z.AOE=cc,

EOLFO,

/EOF=90。,

ZCOF=/EOF-/COE=90?！猘,

ZDOF=180°-ZCOF=180°-(90°-a)=90°+a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度，垂線的性質(zhì)，列代

數(shù)式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握角平分線、鄰補(bǔ)角及垂線的定義是解題的關(guān)鍵.

13.(1)50°

(2)140°

【分析】本題主要考查了垂線、角平分線的定義以及角的計(jì)算、解一元一次方程，解決本題

的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)建立等量關(guān)系式.

(1)先求/EO/，再求乙80。即可求出答案；

(2)設(shè)NBOD=x。，根據(jù)題意列出方程式，再根據(jù)補(bǔ)角的定義即可解決問題，

【詳解】(1)M：-：EOVOD,

:.ZEOD=90°,

ZFOD=20°,

ZEOF=ZEOD-ZFOD=70°,

答案第7頁，共33頁

???0方是的平分線，

/.ABOF=/EOF=70°,

/./BOD=ABOF-ZFOD=50°,

ZAOC=ZBOD=50°.

(2)解：設(shè)=則NE8=2x。，

ZFOD=20°,

/EOF=ZEOD-ZFOD=(2x-20)0,

ABOF=ZDOF+/BOD=(x+20)°,

???O尸是的平分線，

ZBOF=ZEOF,

/.2x—20=x+20,

x=40,

/BOD=40。,

ZAOD=180°-/BOD=140。.

14.(1)120°

(2)60°

【分析】本題主要考查垂線的定義，掌握垂線的定義及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂線的定義得到N/OE=ZBOE=90。，根據(jù)/COE=2//OC求出/BOD=30。,

再加上ZBOE即可；

(2)先由平角得出4400=150。，根據(jù)/DO尸=4乙40尸知4。尸=30。，繼而由

ZFOC=ZAOF+ZAOC可得答案.

【詳解】(1)解：???￡0,48,

:.ZAOE=ZBOE=90°,

ZCOE=2ZAOC,ZCOE+ZAOC=90°,

ZAOC=-ZAOE=30°=NBOD,

3

NDOE=NBOD+NBOE=120°；

(2)解：ZAOC=ZBOD=30°,ZCOD=180°,

ZAOD=NCOD-Z^OC=180°-30°=150°,

■.■ZDOF=4ZAOF,

答案第8頁，共33頁

Z.AOD=ZDOF+ZAOF=4ZAOF+AAOF=5ZAOF=150°,

:.ZAOF=30°,

ZCOF=ZAOF+ZAOC=60°.

15.(1)80°

(2)與ZBOF互補(bǔ)的角是ZAOF,ZDOF

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義先求出NEOC,然后求出求出乙4OC,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義

求出N8OC即可；

(2)因?yàn)镺RLOE,所以N尸。C+N￡OC=90°,則以+ZJOE=90°,而ZJOE=N￡OC,所

以乙8。/=NFOC,根據(jù)補(bǔ)角的定義寫出N8OF的補(bǔ)角即可.

【詳解】(1)解：如圖1,

圖1

■■■ADOE=130°,

■■■^EOC=50°,

???OE平分乙4OC,

??AOC=2NEOC=2X50°=100°,

?"OC=180°-100°=80°；

(2)解:如圖2,

答案第9頁，共33頁

C

E

D

圖2

■.■OF1,OE,

乙FOC+乙EOC=90°,NEO尸=90°,

:/BOF+乙iOE=180°-LEOF=90°,

???OE平分//OC,

；&OE=^EOC,

:?乙BOF=^FOC,

■.^DOF+乙FOC=ADOF+乙BOF=180°,

又???乙8。尸+乙40尸=180°,

:.與乙BOF互補(bǔ)的角是乙4。尸和〃)0尸.

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的定義、余角、鄰補(bǔ)角等知識(shí)，理解鄰補(bǔ)角、補(bǔ)角、余角以及角

平分線的定義是正確解答的關(guān)鍵.

16.(1)45°

(2)110°

【分析】本題考查角平分線的意義，理清圖形中各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的意義，得到NCOM=|ZAOC,乙CON=|ZBOC,再根據(jù)角度

的和或差求出答案；

(2)先求出/MCW,再根據(jù)/MON:/4OC=2:7,求出//OC,再根據(jù)角平分線的意義

得出//(W,進(jìn)而求出答案.

【詳解】(1)解：(1)???OA1OB,

ZAOB=90°,

ZAOC=ZAOB+ZBOC,ZBOC=60°,

答案第10頁，共33頁

.-.Z^oc=90°+60°=150°,

????！逼椒諲/OC,

.ACOM=-AAOC=15°,

：2

?：ON平分NBOC,

...ZCON=-ZBOC=1x60°=30°,

22

AMON=ZCOM-ZCON=75°-30°=45°；

（2）同理：ZCOM=-ZAOC,ZCON=-ZBOC,

22

AMON=1（ZAOC-NBOC）=；N4OB=40°,

???AMON:ZAOC=2:7,

ZAOC=140°,

???OM■平分N/OC,

ZAOM=-ZAOC=70°,

2

ZAON=ZAOM+AMON=70°+40°=110°.

17.角平分線的定義；ZFOD；等角的余角相等；乙BOD=KAOC；對(duì)頂角相等

【分析】根據(jù)題目提供的解析過程結(jié)合具體問題進(jìn)行解答即可.

【詳解】證明：?.?（?￡平分乙4OF

.■./-AOE=^EOF,（角平分線的定義）

?."?！?90°,

■■.^AOC+^AOE=90°,

?.?直線N8,CD相交于點(diǎn)O,

：.^EOD=1SO°-^COE=90°,

:.乙EOF+乙FOD=9Q°,

：.^AOC=^FOD（等角的余角相等）

?.?直線N8,CD相交于O,

:，BOD=UOC,（對(duì)頂角相等）

：.^FOB=^FOD+ABOD=2AAOC.

故答案為：角平分線的定義；NFOD；等角的余角相等；上BOD=UOC；對(duì)頂角相等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，熟練掌握同角或等角的余角相

答案第11頁，共33頁

等是解題的關(guān)鍵.

18.(1)30°.

⑵乙CBE=9Q0+LDBF,理由見解析

【分析】(1)由垂線的定義可得ZZW葉〃2E=90。，結(jié)合已知條件即可求解.

(2)根據(jù)8。，AABD=^4BF+^DBF,可得乙CBE=UBF+乙DBF.由3尸1/￡,

得出AABF=90°,即乙CBE=90°+LDBF.

【詳解】(1)解：???5F1/E,

.-.^DBF+^DBE=90°,

“DBE=60°,

.-.^DBF=90°~乙DBE=3Q°.

(2)ACBE=LDBF+90°.理由如下：

■：Z.CBE=ZABD,AABD=Z^4BF+ADBF,

：/CBE=UBF+乙DBF.

■■■BFLAE,

.-.AABF=90°,

:，CBE=90°+/-DBF.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

19.(1)ZDOF=26°,ZAOC=52°；(2)ZCOE=ZBOE；(3)NBOF和NDOF,NAOE和NDOE.

【詳解】試題分析：(1)設(shè)NBOF=a，根據(jù)角平分線的定義得出＜DOF=NBOF=a,得出方程

38°+a+a+a=90°,求出方程的解即可；

(2)求出NCOE=180O-NDOE=9()o-NDOF,根據(jù)垂直求出NBOE=90"NBOF,即可得出答案;

(3)根據(jù)余角和補(bǔ)角定義求出即可.

試題解析：(1)設(shè)NBOF=a,

?■-OF是NBOD的平分線，

.,.zDOF=zBOF=a,

?■?zBOE比NDOF大38。，

??2BOE=38°+NDOF=38°+a,

,■,OE1OF,

.-.ZEOF=90°,

???38°+a+a+a=90°,

答案第12頁，共33頁

解得：a=26°,

/.ZDOF=26°,ZAOC=ZBOD=ZDOF+ZBOF=26°+26O=52°；

(2)ZCOE=ZBOE,

理由是：vzCOE=180°-ZDOE=180°-(90°+zDOF)=90°-Z.DOF,

???OF是4BOD的平分線，

.,.zDOF=zBOF,

/.ZCOE=90°-ZBOF,

vOElOF,

.-.ZEOF=90°,

.-.zBOE=90°-ZBOF,

.vzCOE=zBOE；

(3)ZBOE的余角是ZBOF和NDOF,ZBOE的補(bǔ)角是ZAOE和NDOE,

故答案為NBOF和4DOF,ZAOEflzDOE.

20.(1)ZAOC=72°；(2)zAOG=zEOF

【詳解】試題分析：(1)利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知得出NDOE的度數(shù)，進(jìn)而得出答案；

(2)①根據(jù)要求作圖即可；

②由OG1OE得NAOG+NGOE+NBOE=180。,由OF1CD得NCOF+NFOE+NDOE=180。,又OE

是角平分線，即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)rOE平分NBOD,

.,.Z.BOE=Z.DOE,

vZEOF=54°,OD1OF,

.-.ZDOE=36°,

.-.ZBOE=36°,

.-.ZAOC=72°；

(2)①如圖所示，

答案第13頁，共33頁

②?.?OF_LCD,

.-.ZCOF=90°,ZCOF+ZEOF+ZEOD=180°,

vOGlOE

.-.zGOE=90°,zAOG+zGOE+zEOB=180°

vOE平分4BOD,

.*.zBOE=zDOE,

.-.ZAOG-ZEOF.

21.(1)20°

1

⑵*

(3)乙1OE=2乙BOD

【分析】(1)先求出UOR根據(jù)角平分線定義求出NFOC,根據(jù)對(duì)頂角相等求出

乙EOD=AFOC.再求出乙SOE,即可得出答案；

(2)同理(1)即可得出答案；

(3)由(1)(2)即可得出答案.

【詳解】(1)■■■^AOE+^AOF=ISQ°,ZJO￡=40°,

乙40b=140°；

X---OC平分乙4。尸，

；/FOC=gUOF=70。,

；.乙EOD=LFOC=7Q°.

■■ABOE=/-AOB-Z^4OE=5Q°,

:.乙BOD=￡EOD-乙BOE=20°；

(2)■■^4OE+^4OF=180°,乙4OE=a,

.-.A4OF=180°-a；

又TOC平分ZJOR

:.乙FOC=gz^<9F=90°-1ct,

；.4EOD=4FOC=9Q°-ya.

“BOE=UOB-^AOE=90°-a,

.,-Z-BOD=Z-EOD-Z.BOE=^-a；

答案第14頁，共33頁

(3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出〃1OE=24SOD

故答案為：AAOE=2^BOD.

【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，求出N8OE和的度數(shù)

是解答此題的關(guān)鍵.

22.(1)145°

(2)/C<W和N/OC互余，NCOM和28OD互余，//ON和Z8OD互余，ZAONZAOC

互余；

@NMOE=2DOE,見解析

【分析】(1)根據(jù)題意得乙4。。=55。，再求出NBO。，即可得；

(2)根據(jù)互余的定義“如果兩個(gè)角的和等于90。，就說這兩個(gè)角互為余角”，和角之間的關(guān)

系進(jìn)行計(jì)算即可得；

(3)根據(jù)ZB(W=ZDON=90。，得NMOC=NAON,設(shè)NMOC=x,貝!|N/ON=x,

ZAOC=ZBOD=90°-x,-AMON-ABOE=45°ABOE=-x,進(jìn)而得出

22

ZMOE=/DOE.

【詳解】(1)解：???/BOM=90。，ZCOAf=35°,

ZAOC=180°-ZBOM-ZCOM=55°,

ZBOD=180°-ZCOM-BOM=\80°-35°-90°=55°,

?:ZDON=90°,

：.ZBON=ZDON+ZBON=9Q°+55°=145°；

(2)解：vZBOM=90°,

ZAOM=ZCOM+ZAOC=ISO-ZBOM=90°,

ZCOM+ZS<9Z>=180°-ZBOM=90°,

.-.ZCOM和ZAOC互余，

ZCOM和ZBOD互余，

?：ZDON=90°,

：.ZAON+ZBOD=1SQ°-NBON=90°,

ZNOC=ZAON+ZAOC=180°-N8ON=180°-90°=90°,

.?.N/ON和Z8OD互余，

44ON和//OC互余，

答案第15頁，共33頁

綜上，NCOM和//OC互余，NCOM和N8OD互余，NNON和互余，N/ON和

ZAOC互余；

(3)NMOE=NDOE,理由如下：

解：,:NBOM=NDON=90°,

ZMOC=ZAON,

設(shè)4fOC=x,貝/ON=x,ZAOC=ZBOD=90°-x,

???-AMON-ABOE=45°,

2

.?.g(90。+》)-/BOE=45。,

解得，NBOE=；x,

.-.ZMOE=9Q0--x,

2

ZDOE=ZDOB+NBOE=900-x+-x=90°--x,

22

ZMOE=ZDOE.

【點(diǎn)睛】本題考查了角之間的運(yùn)算，互余，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

23.⑴見解析

(2)見解析

(3)112.5°

【分析】本題主要考查垂直的定義，角平分線的定義，角度的和差等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是找到

圖中角度之間的關(guān)系，列出等式.

(1)由垂直的定義及角度的和差計(jì)算可得；

(2)證明平分尸，即證明//?！?/￡。尸，通過題目中角度的和差運(yùn)算可得；

(3)設(shè)出/FOG的度數(shù)，表示出//OE的度數(shù)，找到等量關(guān)系，列出等式，求出未知數(shù)的

值，即可.

【詳解】(1)解：:/B,CL?相交于點(diǎn)。，

ZAOC=ZBOD,

---OELOD,

ZDOE=90°,

NDOE=NBOE-NBOD=90°,

ZBOE-ZAOC=90°.

答案第16頁，共33頁

(2)解：＜0E上OD,

/./DOE=90°,

ZEOF+ZFOD=90°,

2ZEOF+2ZFOD=180。，

/BOD=ZFOD,

/FOB=2ZFOD,

2ZEOF=180°-/FOB=ZAOF,

ZAOE=/EOF,

:.OE平分/AOF.

(3)解：-ZFOG:ZAOE=2:3,

??.設(shè)//OG=2a,貝lJ/Z0E=/￡0b=3a,

Z.EOG=3a-2a=a,

?;/EOG+/GOD=90。，/GOD+/BOD=90°,

ZEOG=/BOD=a,

ZFOD=/BOD=a,

■■A,O,8三點(diǎn)在一條直線上，

:.3a+a+2a+a+a=\80°,

解得：a=22.5°,

r./COG=90。+22.5°=112.5°.

24.(1)垂直，見解析

(2)54°

【分析】(1)由已知及互補(bǔ)含義即可得到。尸與的垂直關(guān)系；

(2)由已知及這兩角互補(bǔ)，可求得々OC、乙AOD的度數(shù)，從而可得A8OD與乙￡＞?！甑亩葦?shù),

則可求得乙￡。尸的度數(shù).

【詳解】(1)垂直；理由如下：

???。尸平分ZJOE

.-.ZEOF=-ZAOE

2

?:乙DOE=KBOD

.-.ZEOD=~ZBOE

2

答案第17頁，共33頁

???ZS4OE+45OE=180。

ZEOF+ZEOD=1(ZAOE+ZBOE)=1xl80°=90°

：.OFLOD

(2)-：^AOC：MOD=1：4,AAOC+AAOD=1SO°

ZAOC=—(ZAOC+ZAOD)=-xl80°=36°

1+45

-.^AOD=4^AOC=144°

:.乙DOE=LBOD=UOC=36°

：./.AOE=/-AOD-^J)OE=\^°

.■.ZEOF=-ZAOE=54°

2

【點(diǎn)睛】本題考查了互補(bǔ)關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，角的和差等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)

鍵.

25.(1)見解析；(2)45°.

【分析】(1)由。得到"+-。。=90。，根據(jù)等量代換解得42+-OC=90。，據(jù)此

解題；

(2)由N1="N8OC,整理得1=3/1-41=2/1=90。，解得N1的度數(shù)，繼而

可求乙80。的度數(shù).

【詳解】證明：(1)-OM1AB,

：.Z.AOM^乙BOM=90°,

??21+乙4OC=90。，

vzl=z2,

.?z2+^4OC=90。，

即NCON=90。，

.'.ONLCD；

(2)-.■zl=1zSOC,

：.ABOM=乙BOC-乙1=341-41=241=90°,

解得：zl=45°,

??/BOD=9Q°-45°=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查垂直的定義、余角等知識(shí)，正確把握垂直的定義是解題關(guān)鍵.

答案第18頁，共33頁

26.(1)證明見解析

(2)24°

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，垂線的定義：

(1)先由角平分線的定義得到=NCEG=；NBEC,再由平角的定義得

至lJ//￡C+Z8EC=180°,則/FEG=/CE尸+/C￡G=L//EC+工=90。，據(jù)此可

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證明結(jié)論；

(2)根據(jù)平角的定義和(1)所求進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：???EEEG分別平分//EC和N2EC,

.-.ZCEF=-NAEC,ZCEG=-ZBEC,

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?.?//EC+/3EC=180°,

Z.FEG=ZCEF+ZCEG=-ZAEC+-ZBEC=90。，

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■.EFLEG；

(2)解：vZAEF=