重難點01圓的綜合題型（圓性質(zhì)的應(yīng)用、圓與四邊行結(jié)

合的動態(tài)探究、情景與應(yīng)用題型、隱圓問題）

題型解篌I模型構(gòu)建.I真題強化制綜I模擬通關(guān)試練

圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高，多

考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相

似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識點以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.

祈商而百...模.型.0.1.圓.性質(zhì).的.應(yīng)用............

圓性質(zhì)的應(yīng)用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不大，在各類

考試中都以中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓和其它幾何

的相關(guān)知識點進行解題。

答|題|技|巧

1.靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；

2.碰到直徑想直角，直徑所對的圓周角為90°；

3.看到切線——連半徑——90°,證明切線時注意證明90°；

4.圓內(nèi)接四邊形一一對角互補，外交等于內(nèi)對角；

［器型行停T

1.（2024?江蘇）如圖，在。。中，4B是直徑，CD是弦，且力B1CD,垂足為E,AB=20,CD=12,

在B4的延長線上取一點尸，連接CF,使NFCD=24B.

⑴求證：CF是。。的切線;

⑵求EF的長.

'支式

1.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。ZBOD=108°f則/5C。的度數(shù)是（）

C

A.127°B.108°C.126°D.125°

2.如圖，一個燒瓶底部呈球形，該球的半徑為5皿，瓶內(nèi)截面圓中弦的長為8cm,則液體的最大深度CQ

為（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

3.如圖，AB為的直徑，點C為圓上一點，且NC鉆=50。.現(xiàn)有以下操作：①以點B為圓心，適當(dāng)長

為半徑作弧，交A3,BC于點、D,E；②分別以點。，E為圓心，大于;DE的長為半徑作弧，兩弧交于

點、F；③作射線B尸交。。于點G.則NGAC的大小為（）

C

G,

FE

C.20°D.15°

4.如圖，在VA3C中，ZACB=30°，AC=4,。為2C上的一個動點，以8D為直徑的圓。與AB相切于

點、B,交AD于點E,則CE的最小值為

5.如圖，A8是圓。的直徑.C,。為圓。上兩點，且8。平分NCA4,連接CD,AC,若NACD=29。,

則/CE券的度數(shù)為.

6.如圖，0。是直角三角形ABC的外接圓，直徑AC=4,過C點作0。的切線，與AB延長線交于點D,

M為CD的中點，連接BM,OM,且BC與。W相交于點N.

⑴求證：8河與。。相切；

(2)當(dāng)NA=60。時，在。。的圓上取點尸，使NABb=15。，補全圖形，并求點尸到直線A3的距離.

7.如圖，A8是。。的直徑，C,。是A8同側(cè)圓上的兩點，半徑OD〃3c交AC于點E,ABAC=30°.

z>c

AB

⑴求證：CD=BC；

(2)若AC=26,求。。的半徑.

8.如圖，在VA3C中，/C=90。，/54C的平分線交于點。，點。在A3上，以點。為圓心，為半

徑的圓恰好經(jīng)過點。，分別交AC、A3于點E、F.

⑴試判斷直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若8。=3百，BF=3,求。。的半徑.

模型02圓與四邊形結(jié)合的動態(tài)探究

浮畫?..................................................

特殊四邊形與圓結(jié)合的動態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強，有一定難度，主要考

查對圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識的應(yīng)用。實際題型中對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多

問題的討論中需要我們對四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識。

答|題|技|巧

1.圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進行求解；

2.注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；

3.四邊形的存在性問題注意假設(shè)、反推；

4.數(shù)形結(jié)合進行分析、解答

［題型行停T

⑴求證：點。為8c的中點；

（2）若砥=4,AC=6,求OE.

＞支式

1.如圖，四邊形ABCD是圓。的內(nèi)接四邊形，ZB4D=50°,則/BCD的度數(shù)是（）

A.120°B.80°C.130°D.50°

2.圓內(nèi)接四邊形A38中，AB=AD,8￡）是對角線，ZABD^4O°,則NC的度數(shù)是（）

3.在國。中，點A瓦在圓上，OB//DCQD//BC,則-4為（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

4.如圖，四邊形ABC。是圓。的內(nèi)接四邊形，ZC=110°,則-4的度數(shù)為（）

C

5.閱讀下列材料，然后解答問題.

經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正

四邊形叫做這個圓的內(nèi)接正四邊形.

如圖，正方形內(nèi)接于。。，。。的面積為區(qū),正方形ABCD的面積為邑.以圓心。為頂點作/MQV,

使/MON=90。.將/MQV繞點。旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與。。交于點E、F,分別與正方形ABCD的邊交

于點G、H.設(shè)由OE、OF、砂及正方形ABC。的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S.

圖①圖②圖③

⑴當(dāng)經(jīng)過點A（如圖①）且。。的半徑為1時，求S的值（結(jié)果保留萬）;

（2）當(dāng)加，至于G時（如圖②），求S、耳、$2之間的關(guān)系為：_（用含岳、$2的代數(shù)式表示）;

⑶當(dāng)/MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖③），則（2）中的結(jié)論仍然成立嗎：請說明理由.

6.定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的"閃亮四邊形

acD,c

1〕

BB

圖1圖2

⑴若口ABC。是圓的“閃亮四邊形"，則DABCD是一(填序號)；

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,已知。。的半徑為ROEL3c于點E,四邊形ABCD是。。的"閃亮四邊形

①求證：OE=；A。

②求證：AB2+CD2=4R2

(3)如圖2,四邊形ABC。為。。的“閃亮四邊形"，AC、相交于點P,AC=BD=^,BC=4,求。。的

半徑為R

7.定義：若圓內(nèi)接三角形是等腰三角形，我們就稱這樣的三角形為“圓等三角形

⑴如圖1,A3是。。的一條弦(非直徑)，若在0。上找一點C,使得VABC是"圓等三角形”，則這樣的點

C能找到個.

⑵如圖2,四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，連結(jié)對角線△ABD和△BCD均為“圓等三角形”，且

AB=AD.

①當(dāng)NA=130。時，求/BDC度數(shù).

②如圖3,當(dāng)/A=120。，AB=2時，求陰影部分的面積.

模型03情景與應(yīng)用題型

考I向I預(yù)I測

圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。

該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的

事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強的閱讀和理解題意的能力，同時還要有一定的知識儲備。

在解題時要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識應(yīng)用。

答I題I技I巧

1.理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識點；

2.圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；

3.利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題;

|轂型三例

1.利用素材解決：《橋梁的設(shè)計》

某地欲修建一座拱橋，橋的底部兩端1用的水面寬4￡=e稱跨度，橋面最高點到的距離CD=/z稱

問

拱高，拱橋的輪廓可以設(shè)計成是圓弧1型或拋物線型，若修建拱橋的跨度Z=32米，拱高〃=8米.

題

驅(qū)人

動7;

方案一：圓弧型方案二：拋物線型

c

圖C

形

A0(0

（1）如圖，我們通過尺規(guī)作圖作A8所在圓的圓心

（3）以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線

任0,得出結(jié)論：不在同一條直線上的_____個點確

為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求此橋拱的函數(shù)表

務(wù)定一個圓.

達(dá)式.

（2）求A5所在圓的半徑.

＞支式

1.在學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識后，小帥同學(xué)進行了關(guān)于弦切角的相關(guān)探索（弦切角定義：頂點在圓上，一邊與圓

相交，另一邊與圓相切的角；如圖，直線〃與。。相切于點/,印是0。的一條弦，則就是弦切角），

發(fā)現(xiàn)弦切角的大小與它所夾弧所對的圓周角度數(shù)相關(guān).請根據(jù)這個思路完成以下作圖和填空.

⑴尺規(guī)作圖：已知AB是。。的直徑，延長過點8作。。的切線在點B左側(cè),N在點B右側(cè).保

留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖C、。是圓上兩點，在（1）的條件下，為弦切角，求證：ZDBN=ZBCD.

證明：連接AD.

T43是。。的直徑，

/ADB=①.

???是過點8的切線,

即/ABN=90°,

NDBN+ZABD=90°

ZA+ZABD=90°

ZDBN=ZA

又?:—A和/C是弧so所對的圓周角

ZA=@-

4DBN=2C.

由此，我們可以得到弦切角的結(jié)論：弦切角巫_它所夾弧所對的圓周角.（橫線上填："大于"或"等于"或"小

于"）

2."求知〃學(xué)習(xí)小組在學(xué)完"圓內(nèi)接四邊形的對角互補”這個結(jié)論后進行了如下的探究活動:

⑴如圖1,點A、B、C在。。上，點。在。。外，線段皿CD與。。交于點E、F,試猜想NB+ND」80。

（請?zhí)?<"或"="）；

（2）如圖2,點AB、C在O。上、點。在。。內(nèi)，此時（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，請予以證明；

若不成立，請寫出你的結(jié)論并予以證明；

3.閱讀與思考

直線與圓的位置關(guān)系學(xué)完后，圓的切線的特殊性引起了小王的重視，下面是他的數(shù)學(xué)筆

記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個交點的直線.切

線：幾何上，切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線.平面幾何中，將和圓只

有一個公共交點的直線叫做圓的切線…

證明切線的常用方法：①定義法；②距離法（運用圓心到直線的距離等于半徑）；③利

用切線的判定定理來證明.

添加輔助線常見方法：見切點連圓心，沒有切點作垂直.

圖1是古代的"石磨"，其原理是在磨盤的邊緣連接一個固定長度的"連桿"，推動"連桿"然

后帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”.圖2

是一個"雙連桿"，兩個固定長度的"連桿"AP,3P的連接點P在。。上，MNLEF,垂

足為。，當(dāng)點尸在。。上轉(zhuǎn)動時，帶動點A,8分別在射線。0尸上滑動，當(dāng)點8恰

好落在0。上時，NPBO=g/PAO,請判斷此時AP與0。的位置關(guān)系并說明理由.

理由：連接0P.

團點B恰好落在。。上，

:.ZPBO=-ZPOE.（依據(jù)1）

2

QNPB0=；NPA0,

:.ZPOE=ZPAO.

?:MNLEF,

ZPOE+ZAOP=90°,

:.ZPAO+ZAOP=90°.

QZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,（依據(jù)2）

.-.ZAPO=90°,

ElAP與00相切.

任務(wù)：

⑴依據(jù)L.

依據(jù)2：.

（2）在圖2中，00的半徑為6,AP=8,求BP的長.

4.如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺面AB=274cm（臺面厚度忽略不計）與地面平

行，且高度為76cm（臺面A5與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸的上端E,尸與臺面42下方相連，

PF與QF的下端P,。與直徑為4cm的腳輪（側(cè)面是圓）相連（銜接之間的距離忽略不計），直線型支架CG

與斯的上端C,。與臺面A3下方相連，下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架GH分別與PE,在

ArS

點G,H相連，且PCLAB，OQLAB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=小，已知防=106cm,||=|,

Q

tan/ECG=tanZFDH=—

3

（2）當(dāng)GH所在的圓經(jīng)過點尸、。時，求:GH所在的圓的圓心到臺面AB之間的距離

模型04隱圓問題

浮而麗面......................

隱圓問題主要出現(xiàn)在壓軸題型中，一般是填空題的最后一道或者多可能問題中出現(xiàn)，屬于動點模型問題。

想要解決此類問題需要解決此類問題，需要真正理解圓的定義及性質(zhì)，根據(jù)圓的定義與性質(zhì)判定動點移動

的軌跡。

答|題|技|巧

隱圓問題一般有以下幾種表現(xiàn)形式：

（1）根據(jù)圓的定義判定，動點在移動的過程中到某一定點的距離始終不變；

（2）等弦對等角，一般考試中出現(xiàn)直角不變型的情況居多；

（3）四點共圓型，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對角互補；

模型01定義型

點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。

模型02直徑所對的角為直角（直角模型）

一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧；

如圖，若P為動點，AB為定值，ZAPB=90°,則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。

模型03等弦對等角模型

一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧.

如圖，若尸為動點，A8為定值，/AP8為定值，則

|題型守例

1.如圖，在AABC中，ZACB=9Q°,AC=3,3C=4,點。在AC邊上，且AD=2,動點P在

8C邊上，將APDC沿直線尸。翻折，點C的對應(yīng)點為E,則AAEB面積的最小值是（）

＞麥K

1.如圖，在正方形中，AB=2,E為邊AB上一點，尸為邊BC上一點.連接。E和AF交于點G,

連接BG.若AE=3幾則8G的最小值為

cB

E

D

2.如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,3c=4.點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一

點.ZADM=ZBAP,則的最小值為（）

C.V13--D.713-2

2

3.如圖，菱形ABC。邊長為4,0A=60。，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將0AMN沿所在的

直線翻折得到EA'MN,連接4C,則AC的最小值是（

D.3

4.如圖，在RtAABC中，N4CB=90。，點E在AC上，以CE為直徑的。。經(jīng)過力B上的點。，與。B交于點尸,

且BD=BC.

B

⑴求證：力B是。。的切線；

（2）若=f，AE=1,求CT的長.

1.（2023?山西）如圖，△ABC中，/C=90°,/8AC=30°,AB=2,點尸從C點出發(fā)，沿C2運動到點

8停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為。，點。運動的路徑長為（）

A.2MB.V3C.6兀D.—

363

2.（2023?廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE,點N,點M分別為BC,DE的中點，AB=6,

AD=4,△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為.

3.（2024.云南）如圖，“筒車"盛水筒的運行軌跡是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。在水面上方，且當(dāng)圓

被水面截得的弦為6米時，圓心到水面A3的距離為4米，則該圓在水面下的最深處到水面的距離為_

米.

4.（2023?貴州）如圖，在VABC中，NACB=30°,AC=4,。為BC上的一個動點，以8。為直徑的圓。

與43相切于點B,交AD于點E,則CE的最小值為

5.（2024?青海）如圖，直線4B經(jīng)過點C,且。4=OB,CA=CB.

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）若圓的半徑為4,Z.B=30°,求陰影部分的面積.

益模核速用

1.一次折紙實踐活動中，小明同學(xué)準(zhǔn)備了一張邊長為4（單位：dm）的正方形紙片ABC。，他在邊AB和

AD上分別取點E和點使=AM=1,又在線段MD上任取一點N（點N可與端點重合），再

將AE4N沿所在直線折疊得到△E4'N,隨后連接ZM',小明同學(xué)通過多次實踐得到以下結(jié)論：

①當(dāng)點N在線段上運動時，點H在以E為圓心的圓弧上運動；

②D4'的最大值為4；

③DA的最小值為2行-2；

④當(dāng)A到的距離達(dá)到最大值時，MN=1.

你認(rèn)為小明同學(xué)得到的結(jié)論中正確結(jié)論的序號是.

2.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，圓上的點A,B,C均在格點上.

(1)線段w的長等于;

(2)請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出圓心。，并簡要說明點。的位置是如何找到的(不要

求證明).

3.已知以A5為直徑的圓。，C為A3弧的中點，P為8C弧上任意一點，連接

若AB=8,的最小值為.

4.。。中，為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿AC翻折交于點，連接CO.

(1)如圖1,若點。與圓心。重合，AC=