PAGEPAGE10第5章控制系統的頻域分析時域分析法具有直觀、準確的優點，主要用于分析線性系統的過渡過程。如果描述系統的微分方程是一階或二階的，求解后可利用時域指標直接評估系統的性能。然而實際系統往往都是高階的，要建立和求解高階系統的微分方程比較困難。而且，按照給定的時域指標設計高階系統也不容易實現。本章介紹的頻域分析法，可以彌補時域分析法的不足。頻域法是通過分析不同諧波的輸入時系統的穩態響應，故又稱為頻率響應法。利用此方法，將傳遞函數從復域引到具有明確物理概念的頻域來分析系統的特性。頻率分析的優點較多。首先，只要求出系統的開環頻率特性，就可以判斷閉環系統是否穩定。其次，由系統的頻率特性所確定的頻域指標與系統的時域指標之間存在著一定的對應關系，而系統的頻率特性又很容易和它的結構、參數聯系起來。因而可以根據頻率特性曲線的形狀去確定系統的結構和參數，使之滿足時域指標的要求，并且可以同時確定系統工作的頻率范圍。此外，頻率特性不但可由微分方程或傳遞函數求得，而且還可以用實驗方法求得。這對于某些難以用機理分析方法建立微分方程或傳遞函數的元件(或系統)來說，采用頻率特性可以較方便地解決此類問題。因此，頻率法得到了廣泛的應用，它也是經典控制理論中的重點內容。控制系統的時域分析法和頻域分析法，作為經典控制理論的兩個重要組成部分，既相互滲透，又相互補充，在控制理論中占有重要地位。頻率特性具有較強的直觀性和明確的物理意義，可用實驗的方法測量系統的頻率響應，因此，頻率特性分析的方法在控制工程中廣泛應用。頻率特性的定義是以輸入信號為諧波信號給出的。當輸入信號為周期信號時，可將其分解為疊加的頻譜離散的諧波信號；當輸入信號為非周期信號時，可將非周期信號看成周期為無窮大的周期信號，因此，非周期信號分解為疊加的頻譜連續的諧波信號。這樣一來，就可用關于系統對不同頻率的諧波信號的響應特性研究，取代關于系統對任何信號的響應特性的研究。5.1頻率特性概述5.1.11頻率響應：線性定常控制系統或元件對正弦輸入信號（或諧波信號）的穩態正弦輸出響應稱為頻率響應。為了說明頻率響應，先看一個RC電路，如圖5-1（R-C電路）所示。設電路的輸入、輸出電壓分別為和，電路的傳遞函數為式中，為電路的時間常數。若給電路輸人一個振幅為、頻率為的正弦信號即：(5-1)當初始條件為0時，輸出電壓的拉氏變換為對上式取拉氏反變換，得出輸出時域解為上式右端第一項是瞬態分量，第二項是穩態分量。當時，第一項趨于0，電路穩態輸出為（5-2）式中，為輸出電壓的振幅；為與之間的相位差。式(5-2)表明：R-C電路在正弦信號作用下，過渡過程結束后，輸出的穩態響應仍是一個與輸入信號同頻率的正弦信號，只是幅值變為輸入正弦信號幅值的倍，相位則滯后了。上述結論具有普遍意義。事實上，一般線性系統(或元件)輸人正弦信號的情況下，系統的穩態輸出（即頻率響應）也一定是同頻率的正弦信號，只是幅值和相位不一樣。如果對輸出、輸入正弦信號的幅值比和相位差作進一步的研究，則不難發現，在系統結構參數給定的情況下，A和僅僅是的函數，它們反映出線性系統在不同頻率下的特性，分別稱為幅頻特性和相頻特性，分別以和表示。2頻率特性：線性定常系統在正弦輸入信號的作用下，其穩態輸出（頻率響應）的幅值與輸入信號的幅值比稱為幅頻特性，記作；輸出信號與輸入信號的相位之差稱為相頻特性，記作；它們都是頻率的函數，兩者合稱為系統的頻率特性，記作或。也就是說頻率特性定義為的復變函數，其幅值為，相位為。3頻率特性和傳遞函數的關系設線性定常系統的傳遞函數為有（5-3）當給系統輸入正弦波信號時，即，則，代入（5-3）式，可得系統輸出為（5-4）式中，為系統特征方程的根，、、（為的共軛復數）為待定系數。對式（5-4）進行拉氏反變換，得系統輸出為（5-5）對于穩定系統而言，上式中第一部分為瞬態響應。由于系統特征根si均具有負實部，故當時間t→∞時，瞬態響應趨近于零；第二部分為穩態響應，用表示（5-6）其中，、由待定系數法求得，將、代入式（5-6）中，則系統穩態響應為：由歐拉公式可得（5-7）式（5-7）表明，線性系統在正弦信號作用下，其輸出量的穩態分量的頻率與輸入信號相同，其幅值，相位差為，即，。因，所以為系統的頻率特性，而可直接將中的s以代之而得到。這就說明了傳遞函數與頻率特性之間的關系。4頻率特性的表達方式系統的頻率特性函數是一種復變函數，其矢量圖公式中的矢量請用黑斜體表示。如圖5-2所示，可用以下幾種方式表示：（我不太明白，你看看是什么意思。公式中并沒有矢量，而是通過幅值和相位來表示的。如果是圖中問題的話，沒有辦法編輯，你重新畫吧。）公式中的矢量請用黑斜體表示。代數式式中：為實頻特性，為虛頻特性。幅頻特性相頻特性②三角函數式③極坐標式④復指數式圖5-2頻率響應矢量圖5頻率特性的特點和作用頻率特性分析方法廣泛應用于機械、電氣、流體傳動等各種系統中，是分析線性定常系統的基本方法之一。系統的頻率特性有幾下特點：系統頻率特性就是單位脈沖響應函數的傅里葉變換，即的頻譜。所以，對系統頻率特性的分析就是對單位脈沖響應函數的頻譜分析，F[]＝G（）。時間響應分析主要用于分析線性系統的過渡過程，以獲得系統的動態特性，而頻率特性分析則通過分析不同的諧波輸入時系統的穩態響應，以獲得系統的動態特性。在研究系統的結構及參數的變化對系統性能的影響時，許多情況下，頻域分析法比時域分析法要容易些。若研究系統的階次較高，特別是對于不能用解析法求得微分方程的系統，在時域中分析系統，時域分析進行比較困難。而采用頻率特性分析可以較方便地解決此問題。若系統在輸入信號的同時，在某些頻帶中有嚴重的噪聲干擾，則對系統采用頻率特性分析法可以設計出合適的通頻帶，以抑制噪聲的影響。由此可見，在經典控制理論中，頻域分析法比時域分析法更有優勢。5.1.2頻率特性的求取及表示頻率特性求取內容主要包括其相頻特性與幅頻特性，一般有三種方法求取。1）定義法如果已知系統的微分方程，可將輸入變量以正弦函數代入，求系統輸出變量的穩態解（頻率響應），輸出變量的穩態解與輸入變量的復數比即為系統的頻率特性函數。2）替代法如果已知系統的傳遞函數，可將系統傳遞函數中的s以替代，即可得到系統的頻率特性函數。3）試驗法這是對實際系統求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。根據頻率特性的定義，首先，保持輸入正弦信號的幅值和初相角不變，只改變頻率，測出輸出信號的幅值和相位角。然后，作出幅值比-頻率的函數曲線，此即幅頻特性曲線；作出相位差-頻率的函數曲線，此即相頻特性曲線。例5-1已知系統的傳遞函數，求其頻率特性。解法1）定義法因，則所以拉氏反變換得式中，第一項為瞬態分量，第二項為穩態分量。依據定義得系統的幅頻特性為，系統的相頻特性為解法2）替代法系統的頻率特性為幅頻特性相頻特性。5.2頻率特性的極坐標（Nyquist）圖描述控制系統頻率特性的表示方法有幅相頻率特性（Nyquist）圖法、對數頻率特性（Bode）圖法和對數幅相頻率特性（Nichols）圖法，而Nyquist圖法與Bode圖法更為常用。復平面幅相頻率特性是在圖5-3所示的復平面上研究的，當從0到+∞變化時，矢量請統一用黑斜體表示，圖中也如此，下同作為一個矢量，其端點在]復平面上所形成的軌跡就是頻率特性的極坐標圖，亦稱乃奎斯特圖（Nyquist曲線）。它一方面表示了幅值與頻率、相位與頻率的關系特性，同時也表示了實頻U（ω）和虛頻V（ω）的變化特性。矢量請統一用黑斜體表示，圖中也如此，下同圖5-3頻率特性的極坐標圖5.2.2典型環節的由于任何系統的數學模型均可以看成為由若干個典型環節組成，因此掌握典型環節的幅相頻率特性是研究控制系統幅相頻率特性的關鍵。（1)比例環節比例環節的傳遞函數是，K>0令s=jω,則可得比例環節的頻率特性為顯然，實頻特性U為恒值K，虛頻特性V恒為0，所以幅頻特性相頻特性可見，當ω從0→∞變化時，的幅值和相角均不變。所以比例環節的Nyquist為實軸上的一個定點（K，j0）。如圖5-4（a）所示。（2)積分環節積分環節的傳遞函數是，同樣方法可得頻率特性實頻特性U為恒值0，虛頻特性V=。所以幅頻特性|G（jω）|＝1/ω相頻特性∠G（jω）＝－90o當ω＝0時，|G（jω）|=∞，∠G（jω）＝－90o當ω→∞時，|G（jω）|=0，∠G（jω）＝－90o可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由∞→0，相角恒為－90o。所以積分環節的Nyquist圖是一與虛軸負段重合的直線，且由無窮遠處指向原點。如圖5-4（b)所示。（3)微分環節微分環節的傳遞函數G（s）=s頻率特性G（jω）＝jω實頻特性U為恒值0，虛頻特性V=。所以幅頻特性|G（jω）|＝ω；相頻特性∠G（jω）＝90o。當ω=0時，|G（jω）|＝0，∠G（jω）＝90o當ω=∞時，|G（jω）|＝∞，∠G（jω）＝90o可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由0→∞，相角恒為90o。所以微分環節的Nyquist圖為虛軸的上半軸，且由原點指向無窮遠點。如圖5-4（c)所示。（a)比例環節（b)積分環節（c)微分環節圖5-4比例、積分和微分環節的Nyquist圖（4)慣性環節慣性環節的傳遞函數是G（s）＝，頻率特性G（jω）＝＝+實頻特性U（ω）＝虛頻特性V（ω）＝.幅頻特性|G（jω）|＝,相頻特性∠G（jω）＝—arctgTω。當ω＝0時，|G（jω）|＝1，∠G（jω）＝0o；當ω＝1/T時，|G（jω）|＝，∠G（jω）＝-45o；當ω＝∞時，|G（jω）|＝0，∠G（jω）＝-90o。可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由1→0，相角為0→－90o。所以慣性環節的Nyquist-圖為正實軸下的一個半圓，圓心為（1/2,j0）,半徑為1/2。這一點可證明如下：虛頻特性與實頻特性之比為：，將其代入實頻特性表達式、展開并配方得:,上式代表一個圓的方程式，圓的半徑為，圓心在（，j0）處，如圖5-5所示（圖中標注ω的變化方向）。圖5-5慣性環節的Nyquist圖例5-2已知某環節的幅相特性曲線如圖5-6所示，當輸入頻率的正弦信號時，該環節穩態響應的相位遲后，試確定環節的傳遞函數。解根據幅相特性曲線的形狀，可以斷定該環節傳遞函數形式為依題意有因此得，圖5-6幅相特性曲線所以圖5-6幅相特性曲線慣性環節是一種低通濾波器，從幅頻特性可以看出，該濾波器低頻信號容易通過，而高頻信號通過后幅值衰減較大。5)一階微分環節(或稱導前環節)一階微分環節的傳遞函數是G（s）＝1+Ts頻率特性G（jω）＝1+jTω實頻特性U（ω）＝1，虛頻特性V（ω）＝Tω幅頻特性|G（jω）|＝,相頻特性∠G（jω）＝arctgTω。當ω＝0時，|G（jω）|＝1，∠G（jω）＝0o當ω＝1/T時，|G（jω）|＝，∠G（jω）＝45o當ω＝∞時，|G（jω）|＝∞，∠G（jω）＝90o可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由1→∞，相角為0→90o，所以微分環節的Nyquist圖為一條始于（1，j0）點，平行于虛軸，位于第一象限的一條垂線，如圖5-7所示。圖5-7一階微分環節的Nyquist圖6)二階振蕩環節二階振蕩環節的傳遞函數為G（s）＝頻率特性G（jω）＝＝幅頻特性|G（jω）|＝，相頻特性∠G（jω）＝-arctg當ω＝0時，|G（jω）|＝1，∠G（jω）＝0o當ω＝ωn時，|G（jω）|＝，∠G（jω）＝-90o當ω＝∞時，|G（jω）|＝0，∠G（jω）＝-180o可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由1→0，相角為0→－180o。所以二階欠阻尼系統的環節的Nyquist圖始于（1，j0）點，終止于原點，曲線與虛軸的交點頻率就是無阻尼固有頻率，此時幅值為，曲線分布在第三、第四像限，如圖5-8所示。在阻尼比較小時，幅頻特性|G（jω）|在頻率為ωr處出現峰值，此峰值稱為諧振峰值，ωr稱為諧振頻率。ωr可由下式求得：-ωr＝（5-8）|G（jωr）|＝（5-9）從式（5-8）可知，當<時，ωr才存在；越小，ωr越大，＝0時，ωr＝ωn。圖5-8二階振蕩環節的Nyquist圖7)二階微分環節二階微分環節的傳遞函數是G（s）＝頻率特性G（jω）＝實頻特性U（ω）＝虛頻特性V（ω）＝幅頻特性|G（jω）|＝相頻特性∠G（jω）＝arctan當ω＝0時，|G（jω）|＝1，∠G（jω）＝0o當時，|G（jω）|＝，∠G（jω）＝90o當ω＝∞時，|G（jω）|＝∞，∠G（jω）＝180o可見，當ω從0→∞變化時，G（jω）的幅值由1→∞，相角由0→180o。所以二階微分環節的環節的Nyquist圖始于（1，j0）點，為上半平面上的曲線，并且取值不同，其圖形也不同。曲線與虛軸的交點的頻率為，此時的幅值為，如圖5-9所示。圖5-9二階微分環節的Nyquist圖8)延遲環節延遲環節的傳遞函數是G（s）＝,頻率特性為G（jω）＝＝實頻特性U（ω）＝虛頻特性V（ω）＝-幅頻特性|G（jω）|＝1相頻特性∠G（jω）＝-可見，延遲環節的Nyquist圖是一個單位圓。其幅頻特性A（ω）恒為1，而相頻特性Φ（ω）隨頻率ω順時針方向變化而成正比變化，即矢量端點在單位圓上無限循環,如圖5-10所示。圖5-10延遲環節的Nyquist圖例5-3設一系統的開環傳遞函數為，試繪制其乃奎斯特圖。解：開環系統的頻率特性為由上式可見，系統是由比例環節、積分環節和一個慣性環節串聯而成的。實頻特性，虛頻特性。幅頻特性，相頻特性；當ω＝0時，U（ω）＝－20，V（ω）＝－∞|G（jω）|＝∞，∠G（jω）＝－90o；當ω＝∞時，U（ω）＝0，V（ω）＝0|G（jω）|＝0，∠G（jω）＝－180o；該系統的Nyquist圖如圖5-11所示。不難看出，當ω→0時，Nyquist曲線漸近于過點（－20，j0）且平行于虛軸的直線。圖5-11例5-3的Nyquist圖5.2.2開環系統的幅相特性曲線如果已知開環頻率特性，可令由小到大取值，算出和相應值，在平面描點繪圖可以得到比較準確的開環系統幅相特性。實際系統分析過程中，往往只需要知道幅相特性的大致圖形即可，并不需要繪出準確曲線。可以將開環系統在平面的零極點分布圖畫出來，令沿虛軸變化，當時，分析各零點、極點指向的復向量的變化趨勢，就可以概略畫出開環系統的幅相特性曲線。概略繪制的開環Nyquist圖應反映開環頻率特性的三個重要因素：開環Nyquist圖的起點（）和終點（）。開環Nyquist圖與實軸的交點設時，的虛部為（5-10）或（5-11）稱為相角交界頻率，開環頻率特性曲線與實軸交點的坐標值為（5-12）開環Nyquist圖隨ω的變化范圍即曲線所在的象限及幅頻特性、相頻特性隨ω的變化趨勢。例5-4單位反饋系統的開環傳遞函數為分別概略繪出當系統型別時的開環幅相特性。解討論時的情形。在平面中畫出的零極點分布圖，如圖5.12（）所示。系統開環頻率特性為在s平面原點存在開環極點的情況下，為避免時相角不確定，我們取作為起點進行討論。(到距離無限小，如圖5-12所示。)當由逐漸增加時，三個矢量的幅值連續增加；除外，均由連續增加，分別趨向于。當時由此可以概略繪出的幅相曲線如圖5-12（）中曲線所示。同理，討論時的情況，可以列出表5-1，相應概略繪出幅相曲線分別如圖5-12（）中所示。（）時的零極點圖（）對應不同型別幅頻曲線圖5-12例5-4圖

表5-1例5-4結果列表圖5-12例5-4圖零極點分布當系統在右半s平面不存在零、極點時，系統開環傳遞函數一般可寫為開環幅相曲線的起點完全由，確定，而終點則由來確定。而過程中的變化趨勢，可以根據各開環零點、極點指向的矢量之模、相角的變化規律概略繪出。例5-5已知單位反饋系統的開環傳遞函數為試概略繪出系統開環幅相曲線。解系統型別，零點—極點分布圖如圖5-13(a)所示。顯然（1）起點（2）終點（3）與坐標軸的交點（）（）圖5-13極點—零點分布圖與幅相特性曲線令虛部為，可解出當（即）時，幅相曲線與實軸有一交點，交點坐標為概略幅相曲線如圖5-13（）所示。5.3頻率特性的對數坐標（Bode）圖描述5.3對數頻率特性曲線又叫伯德(Bode)曲線。它由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線所組成，是頻率法中應用最廣泛的一組圖線。Bode圖是在半對數坐標紙上繪制出來的。橫坐標采用對數刻度，縱坐標采用線性的均勻刻度。Bode圖中，對數幅頻特性是的對數值和頻率的關系曲線；對數相頻特性則是的相角和頻率的關系曲線。在繪制Bode圖時，為了作圖和讀數方便，常將兩種曲線畫在半對數坐標紙上，采用同一橫坐標作為頻率軸，橫坐標雖采用對數分度，但以的實際值標定，單位為(弧度／秒)。所以橫坐標的最小值是大于零的任意實數。橫坐標的起點可根據實際所需的最低頻率來決定畫對數頻率特性曲線時，必須掌握對數刻度的概念。盡管在坐標軸上標明的數值是實際的值，但坐標上的距離卻是按值的常用對數來刻度的。坐標軸上任何兩點和(設)之間的距離為，而不是。橫坐標上若兩對頻率間距離相同，則其比值相等。頻率每變化10倍稱為一個十倍頻程，記作dec。每個dec沿橫坐標走過的間隔為一個單位長度，如圖5.14所示。由于橫坐標按的對數分度，故對而言是不均勻的，但對來說卻是均勻的線性刻度。對數幅頻特性圖的縱軸是將取常用對數，并乘上20倍，使其變成對數幅值，即稱為對數幅值，單位是dB(分貝)。幅值每增大10倍，對數幅值就增加20dB。由于縱坐標已作過對數轉換，故縱坐標值是線性刻度的。對數相頻特性圖的縱坐標為相角，單位是度，采用線性刻度。對數幅頻特性與對數相頻特性合起來稱為頻率特性的對數坐標圖，又稱波德（Bode）圖，如圖5-14所示。為了方便直觀比較起見，兩張圖上下對齊。圖5-14Bode圖坐標系頻率特性的Bode圖表示具有如下優點：1）可將串聯環節幅值的乘、除轉化為幅值的加、減，從而簡化了計算和作圖過程；2）可用近似方法作圖。先分段作出對數頻率特性的漸近線，再用修正曲線對漸近線進行修正；3）可分別作出各典型環節的波德圖，再用疊加的方法得出系統的波德圖，并由此可看出各環節對系統總特性的影響；4）由于橫坐標采用對數刻度，將低頻段相對展寬了(低頻段頻率特性的形狀對于控制系統性能的研究具有較重要的意義)，而將高頻段相對壓縮了。可以在較寬的頻段范圍中研究系統的頻率特性。5.3.2（1）比例環節比例環節的頻率特性是對數幅頻特性＝對數相頻特性分析可知，比例環節頻率特性的幅值和相角均不隨ω變化，故其對數幅頻特性為一水平線，而對數相頻特性恒為0o，如圖5-15所示。圖5-15比例環節的Bode圖（2）積分環節積分環節的頻率特性是EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4對數幅頻特性EMBEDEquation.DSMT4對數相頻特性EMBEDEquation.DSMT4當ω＝1時，，當ω＝10時，可見，積分環節的對數幅頻特性是一條過點（1，0）的直線，其斜率為－20dB/dec（dec表示十倍頻程，即橫坐標的頻率由ω增加到10ω），即頻率每擴大10倍，對數幅頻特性下降20dB。對數相頻特性恒為一條－90o的水平線，如圖5-16所示。圖5-16積分環節的Bode圖（3）微分環節微分環節的頻率特性是EMBEDEquation.DSMT4對數幅頻特性EMBEDEquation.DSMT4對數相頻特性EMBEDEquation.3。當ω＝1時，EMBEDEquation.DSMT4，；當ω＝10時，EMBEDEquation.DSMT4，。可見，微分環節的對數幅頻特性是一條過點（1，0）的直線，其斜率為20dB/dec，即頻率每擴大10倍，對數幅頻特性上升20dB。對數相頻特性恒為+90o，如圖5-17所示。圖5-17微分環節的Bode圖（4）慣性環節慣性環節的頻率特性是EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.3對數幅頻特性－20lg，對數相頻特性當ω?1/T時，L（ω）≈0dB，即對數幅頻特性在低頻段近似為0dB水平線，稱為低頻漸近線。當ω?1/T時，L（ω）≈－20lgTωdB，即對數幅頻特性在高頻段近似為斜率等于-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。低頻漸近線與高頻漸近線在ω＝1/T處相交，稱ω＝1/T的頻率為轉折頻率，記為ωT。當ω＝0時，＝0o，當時，＝－45o，當ω→∞時，→－90o。對數相頻特性是一條反正切函數曲線，所以相位曲線關于彎點是斜對稱的。慣性環節的Bode圖如圖5-18。圖5-18慣性環節的Bode圖（5）一階微分環節一階微分環節的頻率特性為，它與慣性環節的頻率特性互為倒數。因此，一階微分環節與慣性環節的對數幅頻特性和對數相頻特性分別以橫坐標軸互為鏡像對稱。一階微分環節用低頻、高頻漸近線描繪的波德圖如圖5-19所示。圖5-19一階微分環節的Bode圖（6）二階振蕩環節二階振蕩環節的頻率特性為對數幅頻特性－20lg對數相頻特性＝當ω?1/T時，L（ω）≈0dB，即對數幅頻特性在低頻段近似為0dB水平線，稱為低頻漸近線。當ω?1/T時，L（ω）≈－40lgTωdB，即對數幅頻特性在高頻段近似為斜率等于-40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。低頻漸近線與高頻漸近線在ω＝1/T處相交，稱的頻率為振蕩環節的轉折頻率。當ω＝0時，＝0o，當時，＝－90o，當當ω→∞時，→－180o。對數相頻特性也是一條反正切函數曲線，相位曲線關于-90o的彎點是斜對稱的，不同的所對應的曲線也不同，如5-20所示。圖5-20二階振蕩環節的Bode圖（7）二階微分環節二階微分環節的頻率特性為，它與振蕩環節的頻率特性互為倒數。因此，二階微分環節與振蕩環節的對數幅頻特性和對數相頻特性分別以橫坐標軸互為鏡像對稱。二階微分環節用低頻、高頻漸近線描繪的波德圖如圖5-21所示。圖5-21二階微分環節的Bode圖（8）延遲環節延遲環節的頻率特性是對數幅頻特性對數相頻特性。分析可見，對數幅頻特性恒為0分貝線，對數相頻特性隨的增加而線性增加，在半對數坐標圖上則是一條曲線，如圖5-22所示。圖5-22延遲環節的Bode圖由以上舉例，可將典型環節的對數頻率特性及其漸近線的特點對照圖5-23歸納如下：①比例環節的幅值為平行橫軸的直線，其相位為0°線，與無關；②積分環節和微分環節的幅值為過（1，j0）點，斜率分別為，對稱于橫軸的直線。相位分別為°，與無關；③慣性環節和一階微分環節的幅值低頻漸近線為0分貝線，高頻漸近線斜率分別為：±20dB/dec，轉角頻率為，對稱于橫軸。相位在范圍內變化。曲線斜對稱于彎點（，）；④振蕩環節和二階微分環節幅值的低頻漸近線為0分貝線，高頻漸近線的斜率分別為,轉角頻率為，對稱于橫軸。相頻特性在范圍內變化，并斜對稱于彎點（，）；⑤延時環節的幅值為0分貝線，相位隨成線性變化。圖5-23典型環節對數頻率特性利用漸近線繪制伯德圖的步驟如下：①將傳遞函數G（s）化為由典型環節組成的形式；②令，求得；③找出各環節的轉折頻率，作各環節的漸近線；④修正漸近線，得精確曲線；⑤將各環節的幅值相加，得系統幅值曲線；⑥作各環節相位曲線，然后相加得系統相位曲線。例5-6試繪制系統開環傳遞函數為的對數坐標圖。解：由開環傳遞函數可得系統的頻率特性為，分析可知該系統由一個比例環節和一個慣性環節組成，慣性環節的轉折頻率。分別作出比例環節和慣性環節的對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖，然后進行疊加，得到系統的對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖，如圖5-24所示。圖5-24例題5-6Bode圖例5-7試繪制系統開環傳遞函數為的對數坐標圖。解：系統的頻率特性為此系統由比例環節、積分環節和慣性環節串聯組成，慣性環節的轉折頻率。系統的對數幅頻特性為系統的對數相特性為在低頻段（亦稱對數幅頻特性的首段），系統由比例環節和分環節構成，在ω＝1處，L（ω）＝20lg10=20dB,當ω＝10時，系統的對數幅頻特性曲線發生轉折，斜率由－20dB/dec變為－40dB/dec。系統的對數相頻特性可采用各環節分別繪制，然后疊加的方法得到。最后作出的系統波德圖如圖5-25所示。圖5-25例題5-7Bode圖通過上面舉例可以作總結如下：繪制系統的開環對數幅頻特性，通常只需畫出漸近特性，繪制方法有兩種。方法一是分別繪出各典型環節的對數幅頻特性，然后疊加，可得到系統的開環對數幅頻特性。方法二是按下面步驟進行1）在半對數坐標紙上標出縱軸和橫軸的刻度；2）將轉化為若干典型環節的頻率特性相乘（或相除）的標準形式，要求慣性、一階微分、振蕩和二階微分環節的常數項均為1；3）找出各典型環節的轉折頻率；4）計算，K為系統的開環放大倍數；5）在ω＝1處找出縱坐標等于的點“A”；過該點作一直線，其斜率，為系統的型次；該線段直到第一個轉折頻率對應的地方。若，則該直線的延長線經過“A”點。6）以后每遇到一個轉折頻率，就改變一次漸近線的斜率：遇到慣性環節的轉折頻率，斜率增加-20dB/dec；遇到一階微分環節的轉折頻率，斜率增加+20dB/dec；遇到振蕩環節的轉折頻率，斜率增加-40dB/dec；遇到二階微分環節的轉折頻率，斜率增加+40dB/dec。直至經過所有各典型環節的轉折頻率，便得到系統開環對數幅頻特性。方法二常被采用。繪制系統的開環對數相頻特性時，也有兩種方法。一是先繪出各典型環節的對數相頻特性，然后將它們的縱坐標代數相加，就可以得到系統的開環對數相頻特性同。另一種方法是利用系統的相頻特性表達式，直接計算出不同數值時所對應的相位角，通過描點法用光滑曲線連接，得到開環對數相頻特性。在工程分析與設計中，幅頻特性曲線與軸相交的頻率(稱為穿越頻率或截止頻率)和，是分析系統穩定性的關鍵。例5-8若系統開環傳遞函數為，試繪制該系統的對數坐標圖，并求相角。解：系統的頻率特性為，此系統由比例環節、一階微分環節、積分環節和兩個慣性環節串聯組成，各環節的轉折頻率如下：，，系統對數幅頻特性的繪制：當ω＝1時，L（ω）＝20lgK＝20lg10＝20dB，積分環節的特性曲線經過該點，斜率為-20dB/dec。在ω＝1時，慣性環節作用，特性曲線由-20dB/dec什么單位？前面已經提到，表示十倍頻程。變為-40dB/dec。什么單位？前面已經提到，表示十倍頻程。在ω＝2時，一階微分環節作用，特性曲線由-40dB/dec變為-20dB/dec。在ω＝20時，慣性環節作用，特性曲線由-20dB/dec變為-40dB/dec。系統對數相頻特性的繪制：由開環相頻特性分別計算出、、、、值，再用光滑曲線連接，得到開環對數相頻特性。該系統的對數坐標圖如圖5-26所示。求穿越頻率，計算相位角：因為L（ωc）＝0dB，或A（ωc）＝1，同時考慮到ωc＞ωT1，ωc＞ωT2及ωc＜ωT3，對于ωT1和ωT2來說，屬于高頻段，取高頻漸近線；對于ωT3來說，ωc屬于低頻段，取低頻漸近線。所以有解之得，則圖5-26例5-8的Bode圖5.4控制系統閉環頻率特性的Bode圖在前面幾節中，主要討論了開環頻率特性。在控制系統的分析與計算中，有時也需要直接研究系統的閉環頻率特性。通過討論系統開環頻率特性與閉環頻率特性之間的關系，進而估計系統閉環頻率特性是研究控制系統閉環頻率特性的有效方法。5.4.1設有單位反饋控制系統，如圖5-27所示。圖5-27單位反饋控制系統其閉環頻率特性與開環頻率特性之間關系為顯然，閉環幅頻特性與閉環相頻特性可用下式表示將逐點取值，可分別計算出閉環幅頻特性與閉環相頻特性，作出－ω和－ω圖，如圖5.28所示。圖5-28閉環系統對數頻率特性圖當系統為非單位反饋系統時，其閉環頻率特性為不難看出，對于非單位反饋系統，可將其看成前向通道傳遞函數是的單位反饋環節與串聯即可。一般實用系統的開環頻率特性具有低通濾波的性質，即低頻時，?1，與1相比，1可忽略去不計，則；高頻時，?1，與1相比，可忽略去不計，則。因此，對于一般單位反饋的最小相位系統（詳見5.4.3），低頻輸入時輸出信號的幅值和相位均與輸入基本相等，高頻輸入時輸出信號的幅值和相位均與開環特性基本相同，而中間頻段的形狀隨系統阻尼的不同而有較大的變化。5.4典型控制系統的閉環幅頻特性曲線如圖5-29所示。系統的特征可用這條曲線上的一些特征量加以描述，這些特征量構成了分析和設計系統的頻域性能指標。圖5-29閉環頻域性能指標1零頻幅值零頻幅值表示頻率接近于零時，閉環系統輸出的幅值與輸入幅值之比。在頻率→0時，若，則輸出的幅值能完全準確地反映輸入幅值。對于單位反饋系統，若系統為無差系統，在常值信號輸入下，穩態時輸出等于輸入，有＝若系統為有差系統，輸入為常值信號，穩態時輸出不等于輸入，有＝，K為系統開環放大倍數。因此，零頻幅值是否為1，可判斷系統是否為無差系統。顯然，A（0）越接近于1，則有差系統的穩態誤差最小。2）復現頻率與復現帶寬若事先規定一個Δ作為反映低頻輸入信號的允許誤差，那么就是幅頻特性與之差第一次達到Δ時的頻率值。當時，輸出就不能準確“復現”輸入。因此，定義為復現頻率，的頻率范圍為復現帶寬，亦稱工作帶寬。3)諧振頻率與諧振峰值（）幅頻特性出現最大值時的頻率稱為諧振頻率。定義為諧振比或諧振峰值。顯然在時，。諧振峰值為諧振頻率所對應的閉環幅值，它反應系統瞬態響應的速度和相對穩定性。對于二階系統，由最大超調量和諧振峰值的計算式不難看出，它們都隨的增大而減小。可見大的系統，相應的也大，瞬態響應的相對穩定性就不好。為減弱系統的振蕩性，又不失一定的快速性，應適當選取值。若取1.0＜＜1.4，0.4＜＜0.7，階躍響應的超調量＜25%。諧振頻率在一定程度上反映了系統瞬態響應的速度，值越大，則瞬態響應越快。4)截止頻率與帶寬所謂截止頻率是指閉