第十三章立體幾何初步（知識歸納+題型突破）1.理解棱柱的定義，知道棱柱的結構特征，并能識別和作圖．2.理解棱錐、棱臺的定義，知道棱錐、棱臺的結構特征，并能識別和作圖．3.理解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義，知道這四種幾何體的結構特征，能夠識別和區分這些幾何體．4．會根據旋轉體的幾何體特征進行相關運算．5.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．6.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖．7.會根據斜二測畫法規則進行相關運算．8.了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面．9.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關系．10.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實和三個推論，理解三個基本事實和三個推論的作用．11.了解空間兩條直線間的位置關系，理解異面直線的定義．12.理解并掌握基本事實4和“等角”定理，并能解決有關問題．13.會用兩條異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成的角，會在三角形中求簡單的異面直線所成的角．14.理解直線與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行的判定定理，會用直線與平面平行的判定定理證明一些空間線面位置關系．15.理解并能證明直線與平面平行的性質定理，明確定理的條件，能利用直線與平面平行的性質定理解決有關的平行問題．16.理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性．17．掌握直線與平面垂直的判定定理，并能解決有關線面垂直的問題．18．了解直線和平面所成的角的含義，并會求直線與平面所成的角．19．理解點到平面的距離、直線到平面的距離的概念．20．理解直線和平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應用線面垂直的性質定理解決有關的垂直問題．21.了解兩個平面的位置關系．22.理解平面與平面平行的定義，會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述平面與平面平行的判定定理，會用平面與平面平行的判定定理證明空間面面位置關系．23.理解并能證明平面與平面平行的性質定理，能利用平面與平面平行的性質定理解決有關的平行問題．24.了解兩個平行平面間的距離．25.理解二面角的有關概念，會求簡單的二面角的大小．26.理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理．27.理解平面和平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理，能應用面面垂直的性質定理解決有關的垂直問題．28.了解直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開圖，掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積的求法，并理解它們之間的關系．29.了解圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖，掌握圓柱、圓錐、圓臺的側面積的求法，并理解它們之間的關系．30.能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關系．31.掌握球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積．32.會利用分割、補形求組合體的表面積和體積．1．棱柱、棱錐、棱臺的結構特征結構特征及分類圖形及記法棱柱結構特征(1)兩個底面是全等的多邊形，且對應邊互相平行(2)側面都是平行四邊形記作棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′分類按底面多邊形的邊數分為三棱柱、四棱柱……棱錐結構特征(1)底面是多邊形(2)側面是有一個公共頂點的三角形記作棱錐S-ABCD分類按底面多邊形的邊數分為三棱錐、四棱錐……棱臺結構特征用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分稱之為棱臺(1)上下底面互相平行，且是相似圖形(2)各側棱延長線相交于一點記作棱臺ABCD-A′B′C′D分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別為三棱臺、四棱臺、五棱臺……2.棱柱、棱錐、棱臺的關系在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例).3．多面體由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體．4．圓柱、圓錐、圓臺、球分類定義圖形及表示表示圓柱將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓柱圓柱OO′圓錐將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓錐圓錐SO圓臺將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉一周，形成的空間圖形叫作圓臺圓臺OO′球半圓繞著它的直徑所在直線旋轉一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球球O5．旋轉體一般地，一條平面曲線繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫作旋轉面，封閉的旋轉面圍成的空間圖形稱為旋轉體．圓柱、圓錐、圓臺和球都是特殊的旋轉體．6．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點．畫直觀圖時把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)長度規則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．7．空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸．(2)直觀圖中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面．(3)已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．8．平面(1)平面的概念平面是從現實世界中抽象出來的幾何概念．平面通常用平行四邊形來表示，當平面水平放置的時候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．(2)平面的表示法平面通常用希臘字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示；如圖的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.9．幾何里的平面的特點(1)平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量．(2)平面無厚薄、無大小，是無限延展的．10．點、線、面之間的關系位置關系符號表示點P在直線AB上P∈AB點C不在直線AB上Ceq\o(∈,\s\up0(/))AB點M在平面AC內M∈平面AC點A1不在平面AC內A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC直線AB與直線BC交于點BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內AB?平面AC直線AA1不在平面AC內AA1?平面AC11．平面的基本事實基本事實文字語言圖形語言符號語言作用基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面平面ABC①確定平面的依據②判定點線共面基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α①確定直線在平面內的依據②判定點在平面內基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據②判定點在直線上基本事實1：確定平面的依據；基本事實2：判定直線在平面內的依據；基本事實3：判定兩個平面相交的依據．12．基本事實的推論推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．圖形語言表述：如圖所示．13．空間直線的位置關系(1)異面直線定義：把不同在任何一個平面內的兩條直線叫作異面直線．(2)空間兩條直線的位置關系位置關系共面情況公共點個數相交直線在同一平面內有且只有一個平行直線在同一平面內沒有異面直線不同在任何一個平面內沒有14．平行直線(1)基本事實4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質叫作空間平行線的傳遞性．符號表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)“等角”定理如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．15．異面直線所成的角(1)定理：過平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過該點的直線是異面直線．(2)異面直線所成的角定義：a與b是異面直線，經過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).范圍：設θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．16．直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語言17．直線與平面平行的性質定理文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言(1)線面平行的性質定理成立的條件有三個①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內，即a?β.以上三個條件缺一不可．(2)定理的作用①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現了數學中的轉化與化歸的思想．18．直線與平面垂直定義如果直線a與平面α內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足圖示及畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直(1)直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．(2)注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數條直線”．19．直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言符號語言a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，m∩n＝A?a⊥α20．直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線21．從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離．一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離．22．直線與平面所成的角(1)定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫作斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段．如圖所示，過平面外一點P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內的射影．平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角．(2)規定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內，那么稱它們所成的角是0°角．(3)范圍：直線與平面所成角θ的范圍是0°≤θ≤90°.23．兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有一條公共直線符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示24.兩個平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行符號語言a?α，b?α，a∩b＝A且a∥β，b∥β?α∥β圖形語言(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內的“兩條相交直線”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分體現了等價轉化思想，即把面面平行轉化為線面平行．25．兩個平面平行的性質定理文字語言兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言26．公垂線、公垂線段與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段；我們把公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離．27．二面角(1)定義：一般地，一條直線和由這條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面．(2)圖形和記法圖形：記作：二面角α-AB-β．28．二面角的平面角(1)定義：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角．(2)圖形、符號及范圍圖形：符號：OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角α-l-β的平面角．范圍：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．29．平面與平面垂直(1)定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β30.平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線31．直棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積(1)有關概念：側棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特別地，底面為正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的側棱長就是直棱柱的高．如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側棱長都相等，側面均為全等的等腰三角形．正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫作正棱臺．正棱臺的側棱長都相等，側面均為全等的等腰梯形．(2)公式：S直棱柱側＝ch(c為直棱柱的底面周長，h為直棱柱的高)S正棱錐側＝eq\f(1,2)ch′(c為正棱錐的底面周長，h′為斜高)S正棱臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分別為正棱臺的上下底面周長，h′為斜高)32．直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積之間的關系33．圓柱、圓錐和圓臺的側面積名稱圖形公式圓柱側面積：S側＝cl＝2πrl圓錐側面積：S側＝eq\f(1,2)cl＝πrl圓臺側面積：S側＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝πl(r＋r′)34.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系35．體積公式(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則V＝Sh．(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則V＝eq\f(1,3)Sh．(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S′、S，高為h，則V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(SS′)＋S)h．36.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V柱體＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V臺體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V錐體＝eq\f(1,3)Sh.37．球的表面積和體積公式設球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2；球的體積V＝eq\f(4,3)πR3．對球的體積和表面積的幾點認識(1)從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關，給定R都有唯一確定的S和V與之對應，故表面積和體積是關于R的函數．(2)由于球的表面不能展開成平面，所以球的表面積公式的推導與前面所學的多面體與旋轉體的表面積公式的推導方法是不一樣的．(3)球的表面積恰好是球的大圓(過球心的平面截球面所得的圓)面積的4倍．題型一棱柱的結構特征【例1】(1)下列命題中正確的是()A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面C．棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形(2)下列關于棱柱的說法：①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側棱也平行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號是__________．思維升華棱柱結構特征的辨析技巧(1)扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是平行四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除．鞏固訓練1.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱對應邊上的中點，過此四點作截面EFGH，把三棱柱分成兩部分，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由．題型二棱錐、棱臺的結構特征【例2】下列關于棱錐、棱臺的說法：①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；②棱臺的側面一定不會是平行四邊形；③棱錐的側面只能是三角形；④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號是________．思維升華判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點鞏固訓練1．如圖，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱臺2．(多選)下列說法中，正確的是()A．棱錐的各個側面都是三角形B．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐C．四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面D．棱錐的各側棱長相等題型三旋轉體的結構特征【例3】(多選)下列說法正確的是()A．圓柱的底面是圓面B．經過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面C．圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交D．夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉體思維升華(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法①明確由哪個平面圖形旋轉而成；②明確旋轉軸是哪條直線．(2)簡單旋轉體的軸截面及其應用①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量；②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想．鞏固訓練1.給出以下說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心所連線段的長；②球的直徑是球面上任意兩點間所連線段的長；③用一個平面截一個球，得到的截面可以是一個正方形；④過圓柱軸的平面截圓柱所得截面形狀是矩形．其中正確的序號是________．題型四簡單組合體的結構特征【例4】如圖所示的幾何體是由下面哪一個平面圖形旋轉而形成的()思維升華不規則平面圖形旋轉形成幾何體的結構特征的分析策略(1)分割：首先要對原平面圖形適當分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓(半圓或四分之一圓)等基本圖形．(2)定形：然后結合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析．鞏固訓練1.若將如圖所示的平面圖形旋轉一周，試說出它形成的幾何體的結構特征．2.已知AB是直角梯形ABCD中與底邊垂直的腰，如圖所示，分別以AB，BC，CD，DA所在的直線為軸旋轉，試說明所得幾何體的結構特征．題型五旋轉體中的計算問題【例5】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．思維升華解決旋轉體中計算問題的解法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的軸截面(經過旋轉軸的截面)的幾何性質，利用相似三角形中的相似比，列出相關幾何變量的方程(組)而解得．[注意]在研究與截面有關的問題時，要注意截面與物體的相對位置的變化．由于相對位置的改變，截面的形狀也會隨之發生變化．鞏固訓練1．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1cm，2cm，截得圓臺的圓錐的母線長為12cm，則圓臺的母線長為________．2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是__________cm.題型六畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例6】畫水平放置的直角梯形(如圖所示)的直觀圖．思維升華畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關鍵及注意事項(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐標系是關鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上或邊與坐標軸平行，以便于畫圖．(2)畫圖時要注意原圖和直觀圖中線段的長度關系是否發生變化．鞏固訓練1.如圖所示，在△ABC中，BC＝8cm，BC邊上的高AD＝6cm，試用斜二測畫法畫出其直觀圖．題型七畫簡單幾何體的直觀圖【例7】已知一個正四棱臺的上底面邊長為2，下底面邊長為6，高為4，用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖．思維升華畫空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線段在直觀圖中應分別畫成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線段．(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變為原來的eq\f(1,2).鞏固訓練1.已知一棱柱的底面是邊長為3cm的正方形，各側面都是矩形，且側棱長為4cm，試用斜二測畫法畫出此棱柱的直觀圖．題型八直觀圖的還原與計算【例8】如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積．思維升華(1)直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．(2)直觀圖與原圖形面積之間的關系若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．鞏固訓練1.已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2題型九圖形、文字、符號語言的相互轉化【例9】(1)用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.思維升華三種語言的轉換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言敘述，再用符號語言表示．(2)根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別．鞏固訓練1.根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.題型十點、線共面問題【例10】證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．【解析】已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．思維升華證明點、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內．(2)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．鞏固訓練1.如圖，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．題型十一三點共線、三線共點問題【例11】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1的中點．求證：CE，D1F，DA三線交于一點．思維升華鞏固訓練1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1上的點且D1F∩CE＝M．求證：點D，A，M三點共線．2．如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l，設在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F.求證：E，F，G，H四點必定共線．題型十二空間兩直線位置關系的判定【例12】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關系是________．思維升華(1)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實4判斷．(2)判定兩條直線是異面直線的方法①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內；②重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為Aeq\o(∈,\s\up0(/))α，B∈α，l?α，Beq\o(∈,\s\up0(/))l?AB與l是異面直線(如圖).鞏固訓練1．三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有()A．3對 B．4對C．5對 D．6對2．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交題型十三平行公理和等角定理的應用【例13】如圖，已知E，F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形EBFD1是菱形．思維升華(1)證明兩直線平行的常用方法①利用平面幾何的結論，如平行四邊形的對邊，三角形的中位線與底邊；②定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；③利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)證明兩角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在應用等角定理時，應注意說明這兩個角同為銳角、直角或鈍角．鞏固訓練1.如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.題型十四異面直線所成的角【例14】如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心．求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．思維升華求異面直線所成角的步驟(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，若題設中有中點，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交直線．(2)求——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角．(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．[提醒]求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個三角形中去，通過解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.鞏固訓練1．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，P是平面EFGH的中心，求OP和CD所成的角．2．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，若M，N分別是BF，CG的中點，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成的角．題型十五直線與平面平行的判定【例15】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.思維升華應用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有：(1)空間直線平行關系的傳遞性法；(2)三角形中位線法；(3)平行四邊形法；(4)成比例線段法．[提醒]線面平行判定定理應用的誤區(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．鞏固訓練1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點，則不能得出AB∥平面MNP的是()2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.題型十六線面平行性質定理的應用【例16】如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.思維升華鞏固訓練如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，點M在側棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，試確定實數t的值．題型十七直線與平面垂直的定義【例17】(1)直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行 B．相交C．異面 D．垂直(2)如果一條直線垂直于一個平面內________，則能保證該直線與平面垂直，選擇合適的序號填空()①三角形的兩邊②梯形的兩邊③圓的兩條直徑④正六邊形的兩條邊A．①③ B．②C．②④ D．①②④思維升華對線面垂直定義的理解(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義，對直線的任意性要注意理解．實際上，“任何一條”與“所有”表達相同的含義．當直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內的任何直線．由此可知，如果一條直線與一個平面內的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直．(2)由定義可得線面垂直?線線垂直，即若a⊥α，b?α，則a⊥b.鞏固訓練1．設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m2．下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內也可以有無數條直線與l垂直；④若平面α內有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．題型十八直線與平面垂直的判定【例18】如圖，在側棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D為棱B1B的中點．求證：A1D⊥平面ADC.思維升華(1)線線垂直和線面垂直的相互轉化(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．[提醒]要證明兩條直線垂直(無論它們是異面還是共面)，通常是證明其中的一條直線垂直于另一條直線所在的一個平面．鞏固訓練如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.題型十九線面垂直的性質定理的應用【例19】如圖，已知正方體A1C.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.思維升華(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關性質．(2)直線與平面垂直的其他性質①如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內任一條直線垂直；②若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，則AP?α；④垂直于同一條直線的兩個平面平行；⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面．鞏固訓練在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點，底面對角線AC與BD相交于點O.(1)求證：BD1∥平面ACE；(2)求證：BD1⊥AC.題型二十直線與平面所成的角【例20】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC.點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD＝DB.(1)求證：CD⊥平面PAB；(2)求直線PC與平面PAB所成的角．思維升華鞏固訓練如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的長為4，∠MBC＝60°，求直線MC與平面CAB所成的角的正弦值．題型二十一兩個平面平行的判定【例21】如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1.(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD.思維升華證明兩個平面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個平面內找到兩條相交直線平行于另一個平面即可．(2)判定兩個平面平行與判定線面平行一樣，應遵循先找后作的原則，即先在一個面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．鞏固訓練已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.題型二十二兩個平面平行的性質定理的應用【例22】如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于點B，A和D，C，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN∥平面α.思維升華應用平面與平面平行性質定理的基本步驟[提醒]面面平行性質定理的實質：面面平行?線線平行，體現了轉化思想．與判定定理交替使用，可實現線面、線線、面面平行間的相互轉化．鞏固訓練如圖，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長．題型二十三二面角的概念及其大小的計算【例23】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成銳二面角A1-BD-A的正切值為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)(2)一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系為()A．相等 B．互補C．相等或互補 D．不確定思維升華(1)求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角[提醒]二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據需要選擇特殊點作平面角的頂點．鞏固訓練若P是△ABC所在平面外一點，而△PBC和△ABC都是邊長為2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P-BC-A的大小為__________．題型二十四利用定義證明平面與平面垂直【例24】如圖，在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.題型二十五利用判定定理證明平面與平面垂直【例25】(2020·高考江蘇卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分別是AC，B1C的中點．(1)求證：EF∥平面AB1C1；(2)求證：平面AB1C⊥平面ABB1.思維升華證明平面與平面垂直的兩種常用方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角，其判定的方法是：①找出兩相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據定義，這兩個相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要證面面垂直，只要證線面垂直．即在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直．這是證明面面垂直的常用方法，其基本步驟是：鞏固訓練如圖所示，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.求證：平面PQC⊥平面DCQ.題型二十六面面垂直的性質定理的應用【例26】已知P是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC.【證明】如圖，在平面PAC內作AD⊥PC于點D，因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AD⊥BC.因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.因為AD∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BC⊥AC.思維升華應用面面垂直的性質定理應注意的問題若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質定理將其轉化為線面垂直、線線垂直．應用面面垂直的性質定理，應注意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個平面內；③直線必須垂直于它們的交線．鞏固訓練如圖，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求證：AE∥平面BCD.題型二十七直棱柱、正棱錐和正