PAGE1第6章控制系統的穩定性系統能在實際中應用的必要條件是系統要穩定。分析穩定性是經典控制理論的重要組成部分。經典控制理論對于判定一個線性系統是否穩定提供了多種方法。本章主要介紹幾種線形定常系統的穩定性判據及其使用，以及提高系統穩定性的方法。6.1系統穩定性概念及其條件穩定是控制系統完成期望工作任務的前提。系統在實際工作中，會受到外部干擾作用和內部某些因素變動影響，偏離原來的平衡工作狀態；在干擾或變動消失后，系統能否恢復到原來的平衡工作狀態—穩定性，這是我們最為關心的問題。穩定性是控制系統的重要性能，對其進行分析并給出保證系統穩定的條件，是自動控制理論的基本任務之一。6.1.1穩定性定義控制系統穩定性定義為：如果一個系統受到擾動，偏離了原來的平衡狀態，而當擾動取消后，經過充分長的時間，這個系統又能夠以一定的精度逐漸恢復到原來的狀態，則稱系統是穩定的。否則，稱這個系統是不穩定的。由此可見，穩定性是系統的一種內在固有特性，這種特性只取決于系統的結構和參數。例如，圖6-1（a）所示是一個懸掛的單擺示意圖。其垂直位置M是原始平衡位置。設在外界干擾作用下，擺偏離了原始平衡位置M到達新平衡位置b或c。當外力去掉后，顯然擺在重力作用下，將圍繞點M反復振蕩，經過一定時間，當擺因受空氣阻礙使其能量耗盡后，擺又回到原始平衡位置M上。像這樣的平衡點M就稱為穩定的平衡點。對于一個倒擺，圖6-1（b）所示，擺的支撐點在下方。垂直位置d是一個平衡位置，若外力f使其偏離垂直位置平衡點d，即使外力消失，無論經過多長時間，擺也不會回到原來平衡點d上來。對于這樣的平衡點d，稱為不穩定平衡點。ObMObMc圖6-1擺動平衡（a）懸掛的單擺（b）倒擺dFObdae圖6-2小球的穩定性再如圖6-2所示的小球，小球處在a點時，是穩定平衡點。因為作用于小球上的有限干擾力消失后，小球總能回到a點。而小球處于b、c點時為不穩定平衡位置，因為只要有干擾力作用于小球，小球便不再回到點b或c。上述兩個實例說明系統的穩定性反映在干擾消失后的過渡過程的性質上。與上述力學系統相似，一般的自動控制系統中也存在平衡位置。平衡位置的穩定性取決于輸入信號為零時，系統在非零初始條件作用下是否能自行返回到原平衡位置。如系統受到干擾后，被控量xo(t)發生偏差△xo(t),這種偏差隨時間逐漸減少，系統又逐漸恢復到原來的平衡狀態，即：則系統是穩定的；若這種偏差隨時間不斷擴大，即使擾動消失，系統也不能回到平衡狀態，則系統就是不穩定的。在干擾消失的時刻，系統與平衡狀態的偏差可以看作是系統的初始偏差。因此，控制系統的穩定性可以這樣來定義：若一個處于平衡狀態的系統，在擾動的作用下，會偏離原來的平衡狀態，而當擾動消失后，系統又能夠逐漸地恢復到原來的平衡狀態，稱該系統是穩定的；否則，稱該系統不具有穩定性。這一穩定性定義是目前普遍使用的概念，它沒有對系統所處的初始狀態如何提出具體要求，因此，這種定義對與系統初始狀態緊密相關的非線性系統穩定性探討顯出蒼白無力。根據現有穩定性的研究，給出如下一些關于穩定性概念的提法：1.李亞普諾夫穩定性εxe圖6.3李亞普諾夫穩定性示意圖李亞普諾夫（А.М.ЛЯПУНОВ，1882年）穩定性表述為：如圖6.3所示，若xe為系統的平衡工作點，系統初始狀態x(0)離此平衡點的起始偏差|x(0)xe|不超過域，由初始狀態引起的輸出及其終態x(t)與平衡點的差值|x(t)xe|不超過預先任意給定的域，則系統稱為李亞普諾夫意義下穩定。也就是說，εxe圖6.3李亞普諾夫穩定性示意圖的情況下，滿足輸出為:(6-1)則系統稱為在李亞普諾夫意義下穩定；反之，若要求系統的輸出不能超出任意給定的正數，但卻不能找到不為零的正數來滿足式(6-1)，則稱系統在李亞普諾夫意義下不穩定。2.漸進穩定性漸進穩定是指系統在李亞普諾夫意義下穩定，隨時間t+，由初始狀態引起的系統輸出最終趨于平衡狀態。與李亞普諾夫意義下穩定性比較可知，漸進穩定要求系統輸出最終趨于平衡狀態，而李亞普諾夫穩定性僅要求系統輸出進入的范圍即可，因此，漸進穩定性要求更高。漸進穩定是一個局部的概念，滿足漸進穩定的初始狀態的最大區域稱為引力域，起源于引力域的每一個運動都是漸進穩定的。3.大范圍穩定性系統在任意的初始狀態下出發的運動都保持穩定，則稱系統為大范圍穩定。系統在任意初始狀態下出發的運動都保持漸近穩定，則稱系統為大范圍漸近穩定的。從上面關于穩定性的定義可以看出，穩定性主要從兩個方面來進行定義：其一，是從系統的外部描述，即輸入、輸出關系上進行定義，前提條件是系統初始狀態為零，利用有界輸入考察系統輸出是否有界，若輸出有界則系統穩定，這種穩定性稱為零狀態響應，是有界輸入有界輸出（BoundedInputBoundedOutput）穩定性；這種穩定性定義特別適合于用傳遞函數形式描述的線性系統，因為系統傳遞函數代表的正是系統零狀態響應的拉氏變換對輸入的拉氏變換之比。其二，是從系統內部的狀態變化來進行定義，這一定義的主要代表是李亞普諾夫意義下的穩定性定義，它考察零輸入條件下系統初始狀態的響應是否有界，若輸出有界則系統穩定。但無論定義如何，都要求輸出不超出一個確定范圍或輸出趨于原有的平衡狀態。如果將擾動或初始狀態看成施加于系統的廣義能量，那么，輸出不超出一個確定范圍或輸出趨于原有的平衡狀態這一事實，便可以簡單地理解為穩定的系統具有消耗廣義能量的能力。這就等于說，兩種穩定性的定義是等價的。本章討論采用外部描述的方法進行穩定性分析。求解系統穩定性需要注意：(1)在討論李亞普諾夫意義下穩定性時，一般都將系統平衡點的狀態取為零。這樣，擾動所引起的狀態改變或偏離作為初始狀態，于是，問題的討論與研究得以簡化。(2)對非線性系統，通常采用在平衡點上對系統進行線性化，用線性化方程來分析穩定性，這種分析的結論只在平衡點附近成立；平衡點附近的范圍大小就是非線性系統在該點的引力域，該引力域范圍以外工作點的穩定性應另行分析。(3)在工程中，通常不采用李亞普諾夫穩定性的概念，而是采用條件更為苛刻的漸近穩定的概念。對定常線性系統來說，其穩定性是漸近的，而且是大范圍漸近穩定的，這給穩定性討論帶來了極大的方便。6.1.2線性系統穩定性條件設以x為輸入、y為輸出的定常線性控制系統微分方程為：為討論方便，取系統各初始狀態為零，系統傳遞函數為(6-2)式中：z1，z2，…，zm為零點；1，2，…，n為極點；M(s)為傳遞函數分子；D(s)為傳遞函數分母,稱為系統的特征方程式。穩定性所研究的問題是當擾動消失后系統的運動情況，這里采用系統的脈沖響應函數進行討論。取輸入為單位脈沖函數，其拉氏變換Xi(s)=1，系統的脈沖響應函數的拉氏變換Xo(s)就是系統傳遞函數，即，(6-3)下面按式(6-3)的特征方程D(s)=0的根互異、重根和共軛復根等情形展開討論系統單位脈沖響應函數。特征方程根互異的情形，即全部n個極點互不相同，且均為實數，可改寫為部分分式式中：Ai為待定常數。對上式進行拉氏反變換，即得單位脈沖響應函數y(t)根據穩定性定義考慮到系數Ai的任意性，必須使上式中的每一項都趨于零，所以應有(6-4)其中，Ai為常值，式(6-4)表明，系統的穩定性僅取決于特征根i的性質。經過分析可以得知，系統穩定的充分必要條件是系統特征方程的所有根都具有負實部，或者說都位于[s]平面的左半平面。特征方程有重根的情形，設重根數為k，則在脈沖響應函數中將具有如下分量形式：，，…，，…。這些項，當時間t時是否收斂到零，取決于重特征根i的性質。所以當系統的特征根有重根時，系統穩定的充要條件依然是系統特征方程的所有根都具有負實部。特征方程有共軛復根的情形，設為共軛復根，該根在脈沖響應函數中具有下列形式或寫成由上式可見，只要共軛復根的實部為負，仍將隨時間t而振蕩收斂到零。特征根更為復雜的情形是上述三種情形的組合，若要求系統穩定，同樣要求各根對應的響應分量隨時間t而振蕩收斂到零。綜上所述，系統穩定的充分必要條件是系統的所有特征根都具有負實部；只要有一個或一個以上特征根為正實部，響應就發散，系統不穩定。或者說，系統的所有極點均位于[s]平面的左半平面，系統穩定；若有一個或一個以上的極點均位于[s]平面的右半平面，系統不穩定。當系統有純虛根時，系統處于臨界穩定狀態，響應呈現等幅振蕩；由于實際系統參數的變化以及擾動的不可避免，工程實際中，將臨界穩定作不穩定處理。判別系統穩定與否，可歸結為判別系統特征根實部的符號，即：Re(i)0，系統穩定；Re(i)0，系統不穩定；Re(i)0，系統臨界穩定，工程上認為不穩定。因此，如果能解出全部特征根，則立即可以判斷線性系統是否穩定。例6-1某一具有單位反饋的系統其開環傳遞函數判別其穩定性。解：系統的閉環傳遞函數系統特征方程為：特征方程的根由于T>0和K>0，當TK0.25時，1,2為負數；當TK>0.25時，為一對共軛復根，具有負實部；所以系統穩定。6.2控制系統的穩定判據6.2.1代數穩定判據線性定常系統穩定的充要條件是其全部特征根均具有負實部。判別系統的穩定性，也就是要解出系統特征方程的根，看這些根是否具有負實部。通常對于三階以上的高階系統，根的求取不是一件容易的事。勞斯(E.J.Routh，1884)等人在研究代數方程根與系數關系的規律基礎上，提出了無需求解特征方程的根，只根據各系數間的相互關系就可判別特征根的實部是否為負，以確定系統是否穩定的方法，這種穩定判據以代數方程為基礎，通常稱為代數判據；代數判據中，有勞斯(Routh)穩定判據和赫爾維茨（Hurwitz）穩定判據，下面分別進行介紹。1.勞斯穩定判據設系統特征方程的一般式為(6-5)系統穩定的必要條件是ai>0，i=1，2，…，n，否則系統不穩定。系統穩定的充要條件是ai>0及羅斯表中第一列元素都大于零。勞斯判據指出，羅斯表中第一列元素符號改變的次數等于系統特征方程式具有正實部特征根的個數。勞斯表中各元素如表6-1所示。表6-1勞斯表snanan2an4an6…sn1an1an3an5an-7…sn2b3b4…sn3c3c4…s0a0其中第一行與第二行由特征方程的系數直接列出，第三行（行）各元（）由下式計算……一直進行到其余的值全部等于零為止。第四行（行）各元（）由下式計算…一直進行到其余的值全部等于零為止。用同樣的方法，遞推計算第五行及以后各行，這一計算過程進行到第行（行）為止。第行（行）僅有一項，并等于特征方程常數項。為簡化數值運算，可用一個整數去乘或除某一行的各項。計算上述各數的公式是有規律的，自行以下，，每行的數都是由該行上邊兩行的數算得，等號右邊的二階行列式中，第一行都是上兩行中第一列的兩個數，第二列是被算數右上肩的兩個數，等號右邊的分母是上一行中左起第一個數。勞斯表計算會出現第一列某個元素為負或等于零的情形。當計算中出現某一元素為零，羅斯表的計算需要用攝動的方法來進行處理；當某一行為零，需要補充輔助方程來進行處理，具體做法通過例題來說明。例6-2設有一個三階系統其特征方程為試用勞斯判據判別系統的穩定性。解特征方程式的所有系數為正實數。列出Ruth表12531659（同乘以3）15（同乘以5/2）15考察第一行數值符號的變化，數值在5處符號發生了兩次改變，所以系統不穩定，特征方程有兩個正根。例6-3系統特征方程為試用勞斯判據判別系統的穩定性。→解由已知條件可知，ai>0，滿足必要條件。列勞斯表s4121s3120s2010(此行第一元素為0)（s2）10(足夠小的正數攝動，以替代原s2行即→0+)s10(正負號改變一次，>0故21/<0)s010(正負號改變一次)可見，勞斯表第一列系數不全大于零，所以系統不穩定。勞斯表第一列系數符號改變的次數等于系統特征方程正實部根的數目。因此，系統有兩個正實部的根，或者說有兩個根處在[s]平面的右半平面。可以求解得特征方程的四個根為0.1217j1.3066；0.6217j0.4406。例6-4系統特征方程為試用勞斯判據判別系統的穩定性。解由勞斯穩定判據必要條件可知，有ai>0，不滿足穩定必要條件，系統不穩定。列羅斯表進行一下分析。s6182016s5212160s41680(此行與上一行各元素相同！)s30000(此行各元素均為零)(s3)4120(輔助行，由行s4各元素作輔助方程d(s4+6s2+8)/ds得到，用導函數的系數代替0元素。)s2380s14/30s080從上述Ruth表中可知，第一列各項系數都為正號，各項符號沒有改變，因此可以確定該系統在右半平面沒有閉環極點。第四行各元素全為零，這表明系統中含有一對共軛虛根，，或存在兩個符號相異、絕對值相同的實數根；或上述兩種類型的根同時存在；或存在實部符號相異、虛部數值相同的兩對復數根。勞斯表第一列系數正負號改變一次，特征方程有一個正實部根。一部分特征根通過輔助方程求得。最后解得輔助方程的四個根為2j；。即得出兩組數值相同、符號相異的根。這兩對根是特征方程式的部分解。P1P3P2OP1P3P2O圖6-4系統的相對穩定性為了保證系統穩定，且具有良好的動態特性，在控制工程中還要涉及相對穩定性的問題，用它來說明系統的穩定程度。在時域分析中，以實部最大的特征根與虛軸的距離來表示系統的相對穩定性或穩定裕量，如圖6-4所示。要檢查系統是否具有的穩定裕量，可以移動平面的虛軸到的位置，并把它看作一個新的虛軸。如果系統的全部特征根都位于新虛軸的左邊，則系統具有的穩定裕量。使用Ruth判據可以判定穩定系統在平面的左半部，其閉環特征根離虛軸至少有幾個單位。在平面的左半部，其閉環特征根離虛軸越遠，系統的相對穩定性就越好，具體求解步驟為：設=，式中＞0，即將虛軸移動到新位置的坐標值。把=代入特征方程可以得到以為變量的新的方程。以為變量的新的方程，使用Ruth判據判別穩定性，如果所有特征方程根均在新虛軸的左邊（即在Ruth表中首列元素都大于零），則系統具有的穩定裕量。例6-5系統的特征方程為試用Ruth判據確定系統的穩定性，并確定有幾個跟在垂直線=的右邊。解特征方程的系數為正實數。列寫勞斯表如下21310412.24因為首列元素都大于零，所以系統穩定，無右半平面特征根。設=1，代入特征方程得由上式勞斯表為24因為首列元素變號一次，所以有一個特征根在=的右面。例6-6系統傳遞函數方框圖如圖6-5所示，已知，，試求：系統穩定時值的取值范圍；若要求系統的特征根均位于=線的左側，值的取值范圍。++—圖6-5系統方框圖解（1） 即其Routh表如下據Routh判據的充要條件可知:若該系統穩定，即Routh表第一列元素均大于零。即解之得(2)令=1代入特征方程得即其Routh表如下：11511400400根據Routh判據的充要條件可知，若該系統穩定，即Routh表第一列元素均大于零。即解之得2.赫爾維茨穩定判據設控制系統的特征方程為式（6-5)，穩定的充分必要條件為特征方程系數ai(i=1，2，…，n)組成的主行列式n及其對角線上各子行列式i(i=1，2，…，n1)具有正值，即：，，，，主行列式n的列寫規則是：在主對角線上從an1開始依次填寫特征方程系數，直至a0；列寫主對角線上方的元素時，系數的ai腳標遞減；列寫主對角線下方的元素時，系數的ai腳標遞增；若特征方程中某s次方缺項，則該項對應系數為零。赫爾維茨穩定判據對5階以下系統計算比較方便，下面給出了4階及以下系統的穩定性條件：例6-7設某系統單位反饋系統的前向通道傳遞函數為試確定能使系統穩定的待定參數K和T的數值。解：閉環系統的傳遞函數為取閉環傳遞函數分母為零，得系統特征方程為由赫爾維茨穩定判據，按n=3的情形，得穩定條件如下：2T>0，T+2>0，K+1>0，K>0和(T+2)(K+1)2TK>0。由于(T+2)(K+1)2TK>0要求T<2(K+1)/(K1)，即T>0要求K>1，于是穩定條件為K>1及0<T<2(K+1)/(K1)上述穩定判據雖然避免了解根的困難，但有一定的局限性。例如，當系統結構、參數發生變化時，將會使特征方程的階次、方程的系數發生變化，而且這種變化是很復雜的，從而相應的羅斯表也將要重新列寫，并重新判別系統的穩定性。如果系統不穩定，應如何改變系統結構、參數使其變為穩定的系統，代數判據難于直接給我們啟示。隨著計算機數值計算方法的巨大進步，求特征方程式的根已經變得越來越容易，因此，代數穩定判據的方法正在由于其求解繁瑣耗時而變得不實用。作為初學者，了解和掌握問題求解思路和技巧仍是十分有意義的。6.2.2結構不穩定系統某些控制系統只要通過改變系統的參數就可以使系統穩定，這類系統稱為結構穩定的系統，其特點是特征方程式(6-5)的各階系數都不等于零。而結構不穩定的系統，其特征方程是各系數中，必有一個或至少一個系數為零。結構不穩定的系統，不滿足羅斯穩定的必要條件，是不穩定的系統。例如某火炮自動瞄準控制以目標x為輸入，火炮指向y為輸出，其系統框圖如圖6-6所示。已通過建模得系統開環傳遞函數為其中，K=KpK1K2K3為系統開環增益。+xy（vs）圖6-6某火炮自動瞄準控制系統框圖系統閉環傳遞函數其特征方程為即，可見，特征方程中缺少s一次方項，該項不可能通過改變參數的辦法來獲得，系統為結構不穩定系統。將系統加入一個局部反饋結構則系統框圖如圖6-7所示。+xy+圖6-7加入局部負反饋結構的系統框圖加入局部反饋結構后系統閉環傳遞函數為特征方程為可見，引入局部負反饋結構后，系統特征方程增加了s一次方項，方程各系數全部非零，成為結構穩定系統。6.2.3幾何穩定判據穩定性的代數判別方法由于根難以求取、不能清晰反應各環節對系統穩定性的影響，因而顯得不方便；另一方面，系統設計時，根據系統固有部分的建模通常可以給出系統開環傳遞函數，在已知的實物系統測試中通常得到的是系統的開環傳遞函數，這就希望謀求一個能用開環傳遞函數來判別閉環系統穩定性的判別方法。因此，下面利用根與相角的幾何關系，介紹奈奎斯特(Nyquist)判據和伯德(Bode)判據兩個幾何穩定判據。6.2.3.1奈奎斯特判據頻域穩定判據是奈奎斯特于1932年提出的，它是頻率分析法的重要內容，是利用開環頻率特性曲線來判別閉環系統穩定性。利用奈奎斯特穩定判據，不但可以判斷系統是否穩定（絕對穩定性），也可以確定系統的穩定程度（相對穩定性），還可以用于分析系統的動態性能以及指出改善系統性能指標的途徑。因此，奈奎斯特穩定判據是一種重要而實用的穩定性判據，工程上應用十分廣泛。+xy圖6-8閉環系統結構如圖6-8所示控制系統的閉環結構，記前向通道和反饋通道傳遞函數分別為，故開環傳遞函數為(6-6)式中：M(s)、N(s)為s的多項式，其的階次分別為m、n，且nm。閉環傳遞函數為(6-6)式中：D(s)為閉環傳遞函數特征多項式。做輔助函數(6-7)從式(6-6)和式(6-7)可以看出，輔助函數F(s)的分子就是閉環傳遞函數(s)的分母，即特征方程式D(s)；而輔助函數F(s)的分母就是開環傳遞函數G(s)H(s)的分母N(s)。因此，輔助函數F(s)確立了開環特性和閉環特性的關系，即G(s)H(s)=F(s)1；通過這個關系把[F]平面和[GH]平面聯系在一起，如圖6-9所示。從圖中可以看出，[F]平面的虛軸就是[GH]平面經過(1，j0)點且平行于[GH]平面虛軸的直線，于是，開環傳遞函數G(s)H(s)的Nyquist軌跡圖，可以直接用來判別閉環系統的穩定性。綜上所述可知，輔助函數具有以下特點：（1）輔助函數是閉環特征多項式與開環特征多項式之比，其零點和極點分別為閉環極點和開環極點。（2）的零點、極點的個數相同，均為個。（3）與開環傳遞函數之間只差常量1。的幾何意義為：平面上的坐標原點就是平面上的（）點。圖圖6-9[F]平面和[GH]平面的關系[F]0ReIm1(1,j0)F(s)[GH]0ReIm1(1,j0)G(s)H(s)(a)(b)奈奎斯特穩定判據以Cauchy幅角定理為基礎，經式(6-7)，將F(s)在[s]平面中D(s)的零點與幅角的關系，轉換到[GH]平面中G(s)H(s)的NGH(j)與幅角的關系來判別穩定性；奈奎斯特穩定判據實質上是映射定理的應用。這里簡要介紹Cauchy幅角定理及其在自動控制系統中的應用，側重給出奈奎斯特穩定判據的內容并通過例子來說明其使用方法。設式(6-2)表達為零極點形式的復變函數F(s)，即，根據(6-7)式可知，上式極點p1，p2，…，pn和零點z1，z2，…，zm分別為開環和閉環系統的極點。 若在[s]平面上作任意一條封閉曲線Es，則在平面[F]上必有一對應的曲線EF也是封閉曲線。該Es的內域包含的零點個數為Z個，極點個數為P個；當自變量s避開F(s)的零極點按順時針方向沿Es變化一周時，那么Es的映射線EF在[F]平面上將按順時針方向包圍其坐標原點(ZP)圈。這種映射關系稱為映射定理，又稱Cauchy幅角定理。圖圖6-10封閉曲線E在平面[s]到平面[F]的映射(a)(b)[s]0jEss1s2zip1z1pi+1pi+2[F]0ReImEFF(s1)F(s2) 假設F(s)在[s]平面上的零、極點分布如圖6-10(a)所示，現選取如圖所示封閉曲線Es，它包圍了閉環系統D(s)的全部右極點(即F(s)的全部右零點)Z個，以及開環系統的全部右極點(即F(s)的全部右極點)P個。在封閉曲線Es之外任意取一個極點p1(或零點)，當復變量s沿Es順時針轉一周時，向量(sp1)的相角變化為零，即(sp1)=0；而在Es內任取一零點(或極點)zi，當復變量s沿Es順時針轉一周時，向量(szi)的相角增量為2，即(szi)=2。可見，F(s)在[s]右半平面所有零、極點的相角增量之和分別為和因此，當復變量s沿封閉曲線Es順時針運動一周時，Es的映射線EF的相角增量為 如果將封閉曲線Es選取為[s]平面上包含虛軸的整個右半平面，則當s在無窮大的半圓上移動時，由于開環傳遞函數分母s的最高次冪大于(或等于)分子的最高次冪，因此，G(s)H(s)縮成一個點，即在[GH]平面上的坐標原點(或實軸上某個點)，它對于的映射曲線對某點的包圍情況無影響,所以的繞行情況只需考慮平面的軸映射到平面上的開環軌跡即可。；當Es隨s沿虛軸變化，注意到此時，s=j，且<<時，則EF為頻率特性曲線。于是，根據映射定理，若當s沿Es順時針移動一周，其映射線，即系統開環奈奎斯特軌跡順時針包圍原點(0，j0)的圈數為(ZP)，即有N=(ZP)又因為F(s)=1+G(s)H(s)，故F(s)與G(s)H(s)在圖形上完全相同，只是將[F]平面的虛軸向右平移一個單位就可以構成[GH]平面，也就是說[F]平面的原點即為[GH]平面的(1，j0)點，如圖6-9(a)和(b)所示。由此可見，當s沿Es移動一周時，Es的映射線G(s)H(s)在[GH]平面上相對(1，j0)點的相角變化應為(ZP)2，即G(s)H(s)順時針包圍(1，j0)點的圈數為(ZP)。至此，可以給出Nyquist穩定判據如下： 閉環系統穩定的充要條件是特征方程式的根都具有負實部，即Z=0。因此，當由變到+時，系統開環幅相頻率特性G(j)H(j)曲線逆時針方向包圍(1，j0)點的圈數N等于開環特征式NGH(j)在復平面的正根數P，系統穩定；否則閉環系統不穩定。 若開環系統穩定(P=0)，則閉環系統穩定的充要條件是，系統G(j)H(j)曲線不包圍(1，j0)點；否則閉環系統不穩定。 規定：Nyquist軌跡的行進方向是由0+；逆時針方向包圍(1，j0)點N次是指按行進方向的左側包圍它N次；若記逆時針方向包圍(1，j0)點的圈數為正，則順時針方向包圍(1，j0)點的圈數記為負；不包圍是指按行進方向，Nyquist軌跡與實軸的交點在(1，j0)點的右邊。注意，由于G(j)H(j)幅相頻率特性圖關于實軸對稱。因為當變為時，與的模相同,而相位異號,即，[GH]0ReIm=+1=0K圖6-11開環幅相頻率特性曲線=[GH]0ReIm=+1=0KK'(a)(b)所以，由0與[GH]0ReIm=+1=0K圖6-11開環幅相頻率特性曲線=[GH]0ReIm=+1=0KK'(a)(b)例6-8一單位反饋系統開環傳遞函數為試判別閉環系統的穩定性。解 作開環幅相頻率特性曲線，即Nyquist軌跡，如圖6-11(a)所示。由圖可見，當由變到+時，Nyquist軌跡不包圍(1，j0)點，即N=0。從開環傳遞函數G(s)可知，開環特征根均分布在[s]平面的左半平面，開環系統不存在右極點，即P=0，因此，根據Nyquist穩定判據，閉環系統穩定。[GH]0ReIm1=0圖6-122/(s1)的幅相頻率特性曲線=+2 若系統開環增益K增大到K，開環幅相頻率特性曲線如圖6-11(b)中虛線所示，由于幅相頻率特性曲線在由變到0和0變到+的曲線對稱于實軸，圖(b)中僅給出了由0變到+[GH]0ReIm1=0圖6-122/(s1)的幅相頻率特性曲線=+2例6-9一單位反饋系統開環傳遞函數試判別閉環系統的穩定性。解 作出開環幅相頻率特性曲線，如圖6-12所示。由圖可見，G(j)曲線(左側)逆時針包圍(1，j0)點一圈，即N=+1；由G(s)可知開環是不穩定的，有一個正根，即P=1，故N=P=1，閉環系統穩定。從上述這兩個例子可以看出，開環系統穩定，但若各部件以及被控對象的參數選擇不當，很可能保證不了閉環系統的穩定性；而開環系統不穩定，只要合理地選擇控制裝置，完全能使閉環系統穩定。圖6-13開環傳遞函數中有積分環節時的Es和EF(a)(b)[s]0ReIm=0=0+R==0R=Es[GH]0ReIm1=0=+=0+=0EFR= 最后，討論當控制系統的開環傳遞函數G(s)H(s)在[s]圖6-13開環傳遞函數中有積分環節時的Es和EF(a)(b)[s]0ReIm=0=0+R==0R=Es[GH]0ReIm1=0=+=0+=0EFR=其中對角度的規定為：當從0沿小半圓移動到0+時，按逆時針方向轉過角度。復變量在這小半圓上移動的映射線EF為 (6-8)[GH]0ReIm1=0=+=0+ 對于Ι型系統(=1)，由式(6-8)可見，[s]平面上以原點為圓心，以無窮小為半徑位于該平面右半側小半圓的映射線Es，將是按逆時針方向從=0變化到=0+，其轉角從/2經0變化到/2；這時，[GH]平面內，由式(6-8)可知，當趨于零時，幅值（K/）趨于無窮大，即EF以無窮大為半徑的圓弧從/2經0變化到/2，如圖6-13(b)所示。同理，如果開環傳遞函數中包含有個積分環節，則繪制開環幅相頻率特性曲線后，在[GH]平面內，EF必須增補以無窮大為半徑的圓弧按順時針方向從[GH]0ReIm1=0=+=0+例6-10某系統前向通道和反饋通道的傳遞函數分別為圖6-1圖6-1410/[s(0.1s+1)(s+1)]的幅相頻率特性曲線試判別閉環系統的穩定性。解 系統開環傳遞函數為[GH]0ReIm=0圖6-15K/[s2(Ts+1)]的幅相頻率特性曲線=+=0+其幅相頻率特性曲線如圖6[GH]0ReIm=0圖6-15K/[s2(Ts+1)]的幅相頻率特性曲線=+=0+例6-11某單位反饋系統，其開環傳遞函數試用Nyquist判據判別閉環系統的穩定性。解 系統開環Nyquist軌跡，如圖6-15所示。圖中虛線是按=2畫的總相角增補圓弧，開環幅相頻率特性曲線順時針包圍(1，j0)點一圈。從的整個變化區間分析，N=2，開環右極點數P=0，即，NP，所以閉環系統不穩定。6.2.3.2Bode穩定判據在工程計算中，常采用開環對數頻率特性曲線，把Nyquist穩定判據的條件轉換到開環對數頻率特性曲線上來，直接利用開環對數頻率特性曲線來判別閉環系統的穩定性。如圖6-16所示為Nyquist圖與Bode圖的對應關系圖，圖中，系統開環Nyquist圖和Bode圖有如下對應關系：(1)由于20lg|1|＝0dB，因此，Nyquist圖上的單位圓對應于Bode圖上的0分貝線，即圖中的對數幅頻特性橫軸；|G(j)H(j)|>1的范圍，對應著20lg|G(j)H(j)|>0的范圍，即單位圓外（內）的Nyquist軌跡在對數幅頻特性圖上則表示在0dB線之上（下）。Nyquist軌跡與單位圓交點的頻，即是對數幅頻特性曲線與0dB線交點的頻率，該頻率稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，記為c；在c處，輸入與輸出幅值相等。(2)Nyquist圖的負實軸相角為180，與Bode圖上的180°線相對應。Nyquist軌跡與負實軸交點的頻率，亦即對數相頻特性曲線與180線交點的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率，記為g；圖中a、b和d三個點均為相位穿越頻率。注意到Nyquist軌跡會出現穿越負實軸的情況，這里定義“穿越”的概念：開環Nyquist軌跡在(1，j0)點以左，跨越穿過負實軸稱為“穿越”。若沿頻率ω增加的方向，開環Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過(1，j0)點以左的負實軸稱為正穿越；相反，沿頻率ω增加的方向，開環Nyquist軌跡自下而上（相位減小）穿過(1，j0)點以左的負實軸稱為負穿越。對應于Bode圖上，在開環對數幅頻特性為正值的頻率范圍內，沿ω增加的方向，對數相頻特性曲線自下而上穿過180°線為正穿越；相反，沿ω增加的方向，對數相頻特性曲線自上而下穿過180°線為負穿越。如圖6-16中，點a處為負穿越一次，點b處為正穿越一次；點d在單位圓內，不列入穿越范圍。正穿越一次，對應于Nyquist軌跡逆時針包圍(1，j0)點一圈，負穿越一次，對應于Nyquist軌跡順時針包圍(1，j0)點一圈。因此，開環Nyquist軌跡逆時針包圍(1，j0)點的次數就等于正穿越和負穿越的次數之差。于是根據Nyquist穩定判據和上述對應關系，Bode穩定判據可表述如下：閉環系統穩定的充要條件是，在Bode圖上，如果0型或Ⅰ型系統開環狀態下的特征方程在平面的右半平面內的極點數為，并設開環放大倍數大于零，在開環對數幅頻特性為正值的頻率范圍內,開環對數相頻特性對線正穿越與負穿越次數之差為,則閉環系統穩定；否則不穩定。如果是Ⅱ型系統，開環狀態下的特征方程在平面的右半平面內的極點數為，并設開環放大倍數大于零，在在開環對數幅頻特性為正值的頻率范圍內,開環對數相頻特性對線正穿越與負穿越次數之差為,則閉環系統穩定；否則不穩定。圖6-16圖6-16開環Nyquist圖及其對應的Bode圖[GH]0ReIm(1,j0)=0cabd單位圓20lg|GH|0cabdGH180(a)開環Nyquist圖(b)對應的Bode圖++=+分圖名？這種情況下，一般我們不做標注。看看有沒有必要加上？感覺有點多余。若P=0，開環對數幅頻特性曲線20lg|G(j)H(j)|>0的所有頻率范圍內，對數相頻特性G(j)H(j)曲線對180線的正、負穿越次數之差等于零，則閉環系統穩定；否則，不穩定。例如，若已知P=0圖6-16所示系統，由Nyquist軌跡和其對數頻率特性曲線可知，根據Nyquist判據判別，閉環系統是穩定的，用Bode判據判別也是穩定的。絕大多數控制系統的開環系統多為最小相位系統，即P=0的情形，對數相頻特性G(j)H(j)曲線對180線的交點為g。若c<g，則閉環系統穩定；若c>g，則閉環系統不穩定；若c=g，則閉環系統臨界穩定。換言之，若開環對數幅頻特性達到0分貝，即交于c時，其對數相頻特性還在180°線以上，即相位還不足180°，則閉環系統穩定；若開環相頻特性達到180°時，其對數幅頻特性還在0分貝線以上，即幅值大于1，則閉環系統不穩定。在使用Bode穩定判據時，會遇上一些特殊情形，如多個剪切頻率和有積分環節的開環頻率特性，下面予以介紹。穿越的特殊情形是半穿越。如圖6-17所示，若沿頻率ω增加的方向，開環Nyquist軌跡在(1，j0)點以左的負實軸上，出現向下的行進，稱為半次正穿越；反之，沿頻率ω增加的方向，開環Nyquist軌跡自(1，j0)點以左的負實軸上，出現向上的行進，為半次負穿越。對應于Bode圖，若對數相頻特性曲線自180°線出發向上，為半次正穿越；反之，對數相頻特性曲線自180°線出發向下，為半次負穿越。圖中點A為半次負穿越，點B為半次正穿越。圖圖6-17半次穿越=+[GH]0ReIm(1,j0)cAB20lg|GH|0cABGH180(a)(b)++若開環對數幅頻特性在0dB線有多個剪切頻率，如圖6-18所示，則取剪切頻率最大的c3來判別穩定性，因為，若用c3判別系統是穩定的，則用c1和c2判別，自然也是穩定的。圖6-18多個剪切頻率點圖6-18多個剪切頻率點20lg|GH|0GH180c1c2c30(1，j0)點一圈，N=1；正好對應于Bode穩定判據中的正穿越一次。順時針包圍(1，j0)點一圈，記N=1，正好對應于Bode穩定判據中的負穿越一次。因此，Nyquist軌跡逆時針包圍(1，j0)點的次數就等于正負穿越次差。Bode穩定性判別方法避免了Nyquist軌跡繪制的繁瑣及幅角轉動方向的辨認，此外，用Bode圖來判別穩定性的方法還有下列優點：（1）利用Bode圖上的漸近線，可以粗略地快速判別系統的穩定性；（2）在Bode圖中，可以分別作出各環節的對數幅頻率對數相頻特性曲線，以便明確哪些環節是造成不穩定性的主要因素，從而對其中參數進行合理選擇或校正；（3）在調整開環增益K時，只需將Bode圖中的對數幅頻特性上下平移即可，因此很容易看出為保證穩定性所需的增益值。9090270圖6-19含有積分環節的對數頻率特性曲線20lg|GH|0GH18040dB/decc060dB/dec試用Bode判據判別閉環系統的穩定性。解繪制系統開環對數頻率特性曲線，如圖6-19所示。開環傳遞函數中有二個積分環節，其相角滯后量為180，開環極點數為P=0。在20lg|G(j)H(j)|>0的所有頻率范圍內，相頻特性曲線從180向下行進，故出現負穿越180半次，即N=1/2，而相頻特性曲線沒有正穿越；正負穿越次數之差為1/2P/2根據Bode判據知，閉環系統不穩定。作為進一步的討論，如果系統開環傳遞函數中增加一微分環節，在20lg|G(j)H(j)|>0的所有頻率范圍內，有半次正穿越，便可滿足穩定條件；當然，所增加的微分環節其轉折頻率必須小于1/T。建議讀者繪制Bode圖進行討論。6.3控制系統的穩定性儲備控制系統穩定與否是絕對穩定性的概念。而對一個穩定的系統而言，還有一個穩定的程度，即相對穩定性的概念。相對穩定性與系統的動態性能指標有著密切的關系。在設計一個控制系統時，不僅要求它必須是絕對穩定的，而且還應保證系統具有一定的穩定程度。只有這樣，才能不致因系統參數變化而導致系統性能變差甚至不穩定。為了使系統能很好地工作，不但要求系統穩定，而且要有一定的穩定裕量，即穩定性儲備。如圖6.20所示，給出了典型的Nyquist軌跡及其對應的Bode圖，假定系統開環傳遞函數右極點P=0。從圖(a)Nyquist軌跡和穩定判據可推知，因P=0，閉環系統穩定；Nyquist軌跡與單位圓相交時，其交點c處的相角尚未達到180，離系統閉環臨界穩定還有相角的儲備；而Nyquist軌跡在g處，其幅值為1/Kg，尚未達到1。這就是說，當開環Nyquist軌跡在單位圓內虛軸上，交點離(1，j0)點越遠，則其閉環系統的穩定性裕度越高；相反，開環Nyquist軌跡越靠近點(1，j0)，其閉環系統的穩定性裕度越低。這一相對關系稱為系統的相對穩定性，它通過G(j)H(j)與點(1，j0)的靠近程度來表征，定量表示為幅值儲備Kg和相位儲備。相位裕度和幅值裕度是系統開環頻率指標，它與閉環系統的動態性能密切相關。6.3.1相位裕度在[GH]平面中，如圖6-20(a)、(b)所示，表示Nyquist軌跡在單位圓的交點c和原點的連線，與負實軸的相位差值，稱為相位裕度，記為=180°+(c)(6-9)其中，相角(c)為負值。對于穩定系統，如圖6-20(a)所示，當=c時，Nyquist軌跡在負實軸下方進入單位圓，其相位(c)大于180°，由式(6-9)知，為正值，這時稱為正的相位裕度；對于不穩定系統，如圖6-20(b)所示，當=c時，Nyquist軌跡在負實軸上方進入單位圓，其相位(c)小于180°，由式(6-9)知，為負值，這時稱為負相位裕度。相應地，在Bode圖中，相位儲備表示為，當=c時，相頻特性∠GH距180°線的相位差值。對于穩定系統，如圖6-20(c)所示，在Bode圖180°線以上，這時稱系統具有正的相位裕度；對于不穩定系統，如圖6-20(d)所示，在Bode圖180°線之下，稱為負相位裕度。正的相位裕度表示系統不僅穩定，而且有相當的穩定性儲備，它可以在c的頻率下，允許相位再增加絕對值為的相角才達到g=c的臨界穩定條件。因此，相位裕度又稱相位儲備。6.3.2幅值裕度Kg開環Nyquist軌跡與負實軸線交點(相位交界頻率)g處幅值|G(j)H(j)|的倒數稱為系統得幅值裕度，即 (6-10)在Bode圖開環對數頻率特性曲線上，相頻特性曲線為180°時的對數幅值與零分貝線的距離，如圖6.20(c)所示。其表達式為幅值裕度的含義是，如果系統開環增益增大到原來的Kg倍，則系統就將處于臨界穩定狀態，因此，幅值裕度是系統在幅值上的幅值穩定性儲備的裕量，又稱幅值儲備。如圖6.20(a)所示，穩定系統其Nyquist軌跡與負實軸的交點g在單位圓內；如圖6.20(b)所示，不穩定系統其Nyquist軌跡與負實軸的交點g在單位圓外。對于穩定系統，Kg(dB)在0分貝線以下，Kg(dB)>0，此時稱為正幅值裕度，如圖6.20(c)所示；對于不穩定系統，Kg(dB)在0分貝線以上，Kg(dB)<0，此時稱為負幅值裕度，如圖6.20(d)所示。對于最小相位系統，當相位裕度大于零且幅值裕度Kg大于1(Kg的分貝值大于零)時，表明系統是穩定的。和Kg越大，系統的相對穩定程度越好；當<0、Kg<1(Kg分貝值為負)時，則表明系統不穩定。圖圖6-20幅值裕度Kg與相位裕度(a)正幅值裕度，正相角裕度1=+[GH]0ReImc單位圓jg(c)1j1/Kgcg=+[GH]0ReIm1單位圓j(c)1j1/Kg9027020lg|GH|0GH180cgKg(dB)>0Kg(dB)<09027020lg|GH|0GH180cg(c)正幅值裕度，正相角裕度(b)負幅值裕度，負相角裕度(d)負幅值裕度，負相角裕度6.3.3穩定性儲備量要求一階和二階系統的相位裕度總大于零，而幅值裕度為無窮大。因此，從理論上講，一階、二階系統不可能不穩定；但實際上，某些一階和二階系統的數學模型本身是忽略了一些次要因素后建立的，實際系統常常是高階的，其幅值裕度不可能無窮大。因此，如開環增益太大，這些系統仍有可能不穩定。一般說來，僅用相位裕度(或幅值裕度還不足以說明系統的穩定程度。但是，對于無零點的二階系統和只要求粗略估算過渡過程性能指標的高階系統，只用相位裕度也就可以了。對三階及以上系統，特別是系統中含有振蕩環節且其阻尼比較小者，由于系統相角滯后大，若開環增益大，系統很難滿足穩定性要求，因而需要進行校正。為了獲得滿意的動態過程，且有好的穩定性儲備，從工程控制實踐中總結出如下要求：；或。例6-13設系統的開環傳遞函數為試分析阻尼比和增益K與該閉環系統的相對穩定性關系。解先分析阻尼比與相對穩定性關系：假定增益K=1，較小，取<0.3。系統的G(j)H(j)將具有如圖6-21所示的形狀。由于在很小時，振蕩環節的幅頻特性峰值很