四川數學一模試卷及答案一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1.若函數f(x)=x^2-4x+m在區間[2,+∞)上單調遞增，則實數m的取值范圍是（）。A.m≥-4B.m≥0C.m≤4D.m≤02.已知等比數列{an}的前n項和為S_n，若a_1=1，S_3=7，則公比q為（）。A.2B.-2C.3D.-33.函數f(x)=sin(x)+√3cos(x)的最小正周期為（）。A.2πB.πC.2D.44.若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于A、B兩點，且|AB|=√2，則k的值為（）。A.0B.1C.-1D.±15.已知函數f(x)=x^3-3x，若f'(a)=0，則a的值為（）。A.0B.1C.-1D.±16.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√2x，則雙曲線C的離心率為（）。A.√3B.√2C.2D.37.已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，則向量a+2b的坐標為（）。A.(5,0)B.(4,3)C.(0,-3)D.(4,-3)8.已知等差數列{an}的前n項和為S_n，若a_1=1，S_3=9，則公差d為（）。A.2B.3C.4D.59.已知函數f(x)=x^2-6x+8，若f(x)=0的根為x_1，x_2，則|x_1-x_2|的值為（）。A.2B.4C.6D.810.已知拋物線C：y^2=4x的焦點為F，點P(1,2)在拋物線C上，則|PF|的值為（）。A.1B.2C.3D.411.已知函數f(x)=x^3-3x，若f'(x)>0，則x的取值范圍為（）。A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,1)∪(-1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,1)∪(1,+∞)12.已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為e=√3/2，且a=2，則橢圓C的方程為（）。A.x^2+4y^2=4B.x^2/4+y^2=1C.x^2+y^2/4=1D.x^2/4+4y^2=1二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0的根為x_0，則f(x_0)的值為______。14.已知拋物線C：y^2=4x的焦點為F，準線方程為x=-1，則拋物線C上的點到焦點F的距離等于到準線的距離，即|PF|=|PQ|，其中Q為P在準線上的垂足，則|PF|的最小值為______。15.已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為e=√3/2，且a=2，則橢圓C的短軸長為______。16.已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√2x，則雙曲線C的離心率的平方為______。三、解答題（本題共6小題，共70分）17.（本題滿分12分）已知函數f(x)=x^3-3x，求f(x)的單調區間。解：首先求導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，令f'(x)<0，解得-1<x<1，所以f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)和(1,+∞)，單調遞減區間為(-1,1)。18.（本題滿分12分）已知拋物線C：y^2=4x，焦點為F，準線方程為x=-1，求拋物線C上的點到焦點F的距離等于到準線的距離的點的坐標。解：設P(x,y)為拋物線C上的點，由題意可知|PF|=|PQ|，其中Q為P在準線上的垂足，即x+1=√((x-1)^2+(y-0)^2)，化簡得y^2=4x，代入拋物線方程得x=1，y=±2，所以點P的坐標為(1,2)或(1,-2)。19.（本題滿分12分）已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為e=√3/2，且a=2，求橢圓C的方程。解：已知離心率e=√3/2，a=2，根據離心率公式e=c/a，可得c=√3，再根據橢圓的性質a^2=b^2+c^2，可得b^2=1，所以橢圓C的方程為x^2+y^2=4。20.（本題滿分12分）已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√2x，求雙曲線C的離心率。解：已知雙曲線的漸近線方程為y=±(b/a)x，由題意可知b/a=√2，設a=√2t，b=t，則c=√(a^2+b^2)=√(3t^2)=√3t，根據離心率公式e=c/a，可得e=√3。21.（本題滿分12分）已知函數f(x)=x^3-3x，求f(x)的極值。解：首先求導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1，當x<-1或x>1時，f'(x)>0，f(x)單調遞增；當-1<x<1時，f'(x)<0，f(x)單調遞減。所以f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=1處取得極小值f(1)=-2。22.（本題滿分10分）已知等差數列{an}的前n項和為S_n，若a_1=1，S_3=9，求公差d及數列{an}的通項公式。解：已知S_3=9，根據等差數列的求和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入n=3，a_1=1，可得3/2(2+2d)=9，解得d=2。所以數列{an}的通項公式為an=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。四、選做題（本題共2小題，每小題10分，共20分）23.（本題滿分10分）已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為e=√3/2，且a=2，求橢圓C的焦點坐標。解：已知離心率e=√3/2，a=2，根據離心率公式e=c/a，可得c=√3，焦點坐標為(±c,0)，即(±√3,0)。24.（本題滿分10分）已知雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√2x，求雙曲線C的