微專題十微元法

目錄

01考情透視?目標導航............................................................................2

.............................................................................................................................................................................................................3

.............................................................................................................................................................................................................3

....................................................................................................................................................................................................4

一、微元法................................................................................4

二、微元法的解題步驟.......................................................................4

....................................................................................................................................................................................................4

....................................................................................................................................................................................................5

考向一靜動力學中的微元法..................................................................5

考向二變力做功中的微元法..................................................................6

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法........................................................7

考向四均勻帶電體電荷微元法................................................................8

考向五電磁感應中棒類模型的微元法..........................................................9

考向六帶電粒子在磁場中的微元法...........................................................10

考情透視?目標導航

題統計

2024年2023年2022年

命題要點

2024湖南卷T82023全國甲卷T122022山東卷T3

熱

考2024全國甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022遼寧卷T15

度

從近三年高考試題來看，試題以計算題為主，大多在電磁感應中考查單雙棒

命題規律

問題，在其中應用動量定理處理安培力沖量時多用到微元法。

預計在2025年高考中，還會多以考查電磁感應現象中的單雙棒問題，從中

考向預測

用微元法，解決安培力的沖量問題，這種類型的題目應多關注。

命題情景多以典型的電磁感應中單雙棒為命題背景

常用方法微元法

小知識導圖?思維引航\\

I核心精講4

—?，一―微元法

微元法是一種處理物理問題的方法，它從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體問

題的目的。微元法的核心思想是“化整為零”，即先分析“微元”，再通過“微元”分析整體。這種方法

通過將問題分解為眾多微小的“元過程”，每個“元過程”所遵循的規律是相同的，然后對“元過程”進

行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。

二、微元法的解題步驟

1.明確研究對象或研究過程，并對其進行合理的分割，選擇適當的微元。微元的選取應盡量簡單，便于分析

處理，可以是長度、時間、質量等基本物理量。

2.對微元進行分析，找出其滿足的物理規律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根據具體情況建立新

的物理模型。

3.對微元進行數學處理，包括代數運算、微積分等。這一步是微元法的核心，需要熟練掌握數學工具。

4.將微元的結果進行累加或累乘，得到整體的結果。這一步需要注意物理量的方向、正負號等問題。

對整體結果進行討論和解釋，明確其物理意義和適用范圍。需要注意的是，微元法雖然是一種有效的解題

方法，但并不是萬能的。在應用微元法時，應充分考慮其適用范圍和局限性，避免出現錯誤或遺漏。

j真題研析］

1.（2022?山東?高考真題）半徑為R的絕緣細圓環固定在圖示位置，圓心位于。點，環上均勻分布著電量

為。的正電荷。點A、B、C將圓環三等分，取走A、8處兩段弧長均為AL的小圓弧上的電荷。將一點電荷

q置于OC延長線上距。點為2R的。點，。點的電場強度剛好為零。圓環上剩余電荷分布不變,q為（）

、十尾*QALc十*y/3QAL

A.正電何，q=------B.正電何，q=------

兀RTIR

C.負電荷，4=改絲D.負電荷，q=2+Q'L

兀RTIR

【技巧點撥】

（1）明確點電荷場強的計算公式；

（2）利用微元法結合場強矢量疊加原則，求解電荷量。

2.（多選）（2024?湖南?高考真題）某電磁緩沖裝置如圖所示，兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面

內，導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連，導軌段與8G段粗糙，其余部分光滑，A4右側處于豎直

向下的勻強磁場中，一質量為根的金屬桿垂直導軌放置。現讓金屬桿以初速度%沿導軌向右經過A4進入

磁場，最終恰好停在CG處。已知金屬桿接入導軌之間的阻值為R,與粗糙導軌間的摩擦因數為〃，

AB=BC=d,導軌電阻不計，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

C

XX

RXX

XX

d——d—H

A.金屬桿經過網的速度為年

B.在整個過程中，定值電阻R產生的熱量為:

C.金屬桿經過441g內與B4GC區域，金屬桿所受安培力的沖量相同

D.若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場中運動的距離大于原來的2倍

【技巧點撥】

（1）根據動能定理，求解產生的熱量多少；

（2）利用微元法和動量定理求解速度、沖量和距離。

;命題預測.

考向一靜動力學中的微元法

3.（多選）（2024高三.全國?模擬預測）從地面上以初速度W豎直向上拋出一質量為根的球，若運動過程

中球受到的空氣阻力與其速率成正比，球運動的速率隨時間變化規律如圖所示，〃時刻到達最高點，再落回

地面，落地時速率為V/,且落地前球已經做勻速直線運動。已知重力加速度為g,則（）

V

A.球上升的時間等于下落的時間

B.球上升階段阻力的沖量大于下落階段阻力的沖量

C.球上升的最大高度H二（“一劭

g

/、

D.球拋出瞬間的加速度大小%=g1+乜

IvoJ

4.（多選）（2024?全國?模擬預測）隨著我國體育在國際體育產業地位的不斷提高，2023年多場大型高爾

夫球賽事落地中國。高爾夫球比賽過程中教練員可根據風力指示桿上飄帶的形態提示運動員現場風力的情

況。若飄帶可視為粗細一致，其所處范圍內風速水平向右、大小恒定且不隨高度改變。設飄帶的總長度為L

質量為“2,寬度為d,風速為V,空氣密度為可認為風與飄帶相互作用后速度變為0。如圖所示現截取

極小的一段△/研究，設其與豎直方向的夾角為凡則下列說法正確的是（）

A.風對該段飄帶的水平作用力為0cos。

B.風對該段飄帶的水平作用力為0dA\2cosO

C.整條飄帶應呈一條向上彎曲的曲線形態

D.整條飄帶應呈一條傾斜直線形態

考向二變力做功中的微元法

5.（2022.貴州黔南.模擬預測）在多年前的農村，人們往往會選擇讓驢來拉磨把食物磨成面，假設驢對磨

桿的平均拉力為600N,半徑「為0.5m,轉動一周為5s,則（）

B.驢轉動一周拉力所做的功為650R

C.驢轉動一周拉力的平均功率為120;rW

D.磨盤邊緣的線速度為Qbrm/s

6.（多選）（2023?山東青島?模擬預測）冬天的北方，人們常用狗來拉雪橇。一條狗用水平拉力拉著質量

為80kg的雪橇（包括內部物品），在水平雪面做半徑為24m的勻速圓周運動，速度大小為3m/s,雪橇與

地面間的動摩擦因數0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列說法正確的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小為40N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進方向成37°

C.狗給雪橇的水平拉力功率為150W

D.狗拉著雪橇轉過30。圓弧的過程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法

7.（2024?安徽合肥?二模）我國是世界上第三個突破嵌套式霍爾電推進技術的國家。霍爾推進器的工作原

理簡化如下圖所示，放電通道的兩極間存在一加速電場。工作物質氤氣進入放電通道后被電離為氤離子，

經電場加速后以某一速度噴出，從而產生推力。某次實驗中，加速電壓為U,款離子向外噴射形成的電流

強度為/.氤離子的電荷量與質量分別為q和相，忽略離子的初速度及離子間的相互作用，則離子推進器產

生的推力為（）

8.（多選）（2024?福建?三模）如圖所示，消防員正在進行消防滅火演練，消防員用高壓水槍噴出的強力

水柱沖擊著火物，設水柱直徑為D以水平速度V垂直射向著火物，水柱沖擊著火物后速度變為零。高壓水

槍的質量為消防員手持高壓水槍操作，進入水槍的水流速度忽略不計，水的密度為下列說法正確

的是（）

A.水槍的流量為1兀uD?

B.水槍的功率為：兀0￡?2,

C.水柱對著火物的沖擊力為2V2

O

D.向前水平噴水時，消防員對水槍的作用力方向向前且斜向上方

考向四均勻帶電體電荷微元法

9.（2023?河北?模擬預測）已知均勻帶電薄殼外部空間電場與其上電荷全部集中在球心時產生的電場一樣，

內部空間的電場處處為0.如圖所示為一帶電量為+Q,半徑為，的均勻帶電球殼，以球心為坐標原點，建

立。r軸，其中A點為殼內一點，8點坐標為2R,靜電力常量為公下列說法正確的是（）

A.將+4的試探電荷由殼內A點移到。點，試探電荷的電勢能減小

B.在圓心。處放一個電量為-2。的點電荷，球殼外表面帶電量仍為+Q

C.在+R處取走極小的一塊面積A5,。點場強大小為石=然^

D.在圓心。正上方處取走極小一塊面積AS,B點場強大小為峪

ZSJTIR

10.（24-25高三上?河北?開學考試）如圖，一均勻帶正電荷的圓環，其半徑為R,圓心為。，AB和C。為

圓環的直徑，A8與C。垂直，尸點為圓弧AC的二等分點，四分之一圓環AC部分的全部正電荷在圓心。處

產生的電場強度大小為4,關于圓環各部分電荷在圓心。處產生的電場強度，說法正確的是（）

A.整個圓環全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為44

、_3

B.四分之三圓環部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為^耳)

C.半圓環ACB部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為2&E0

D.八分之一圓環AP部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為V2+V2

考向五電磁感應中棒類模型的微元法

11.(2024.全國甲卷?高考真題)如圖，金屬導軌平行且水平放置，導軌間距為L,導軌光滑無摩擦。定值

電阻大小為R,其余電阻忽略不計，電容大小為C。在運動過程中，金屬棒始終與導軌保持垂直。整個裝置

處于豎直方向且磁感應強度為B的勻強磁場中。

(1)開關S閉合時，對金屬棒施加以水平向右的恒力，金屬棒能達到的最大速度為川。當外力功率為定值電

阻功率的兩倍時，求金屬棒速度v的大小。

(2)當金屬棒速度為v時，斷開開關S,改變水平外力并使金屬棒勻速運動。當外力功率為定值電阻功率的

兩倍時，求電容器兩端的電壓以及從開關斷開到此刻外力所做的功。

R

I——1--------------------1

12.(2025?全國?模擬預測)如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面上平放一閉合正方形導線框成加，其阻值

R=0.2O,邊長L=0.4m,邊界平行的有界磁場的寬度為L磁感應強度大小B=0.5T、方向豎直向下。線

框以大小為%=(應m/s的初速度水平向右沿與磁場邊界垂直的方向運動，當時邊與磁場左邊界間的距離為

L時線框受到一水平向右的恒定拉力廠作用，刃邊運動到磁場左邊界時立即撤去力F,線框加速度隨位移

圖甲圖乙

⑴線框進入磁場的過程通過線框某一橫截面的電荷量;

(2)%=0.4m時線框的速度大小；

(3)力尸的大小。

考向六帶電粒子在磁場中的微元法

13.（2025?云南昆明?一模）如圖所示，在平面直角坐標系xOy的第三象限內，區域I（x<-L）內有方向

垂直xOy平面向外的勻強磁場；區域H（-L<x<0）內有一平行紙面且大小、方向均未知的勻強電場（圖

中未畫出）。一質量為加、電荷量為q（4>0）的粒子從點a（-2L,-2L）沿y軸正方向、以大小為%的

L

初速度開始運動，從點b（-L,-乙）沿X軸正方向進入區域n,粒子在電場中運動時間「后，從坐標原

2%

點進入第一象限，第一象限內存在垂直無Oy平面向里的磁場，該磁場內各點的磁感應強度大小與與橫坐標

尤滿足與=履（左為大于0的常量）。不計粒子重力，求：

（1）區域I內勻強磁場磁感應強度耳的大小；

（2）區域H內勻強電場場強E的大小；

（3）該粒子在第一象限內運動過程中與y軸的最大距離。

14.（2024?福建廈門?二模）如圖所示，直角坐標系xOy平面內，第一、二象限分別存在垂直紙面向里的勻

強磁場2和沿y軸正方向的勻強電場E,E、B大小均未知。質量為相、電荷量為一q（q>0）的粒子從無軸

負半軸M點與無軸正方向成60。射入電場，經電場偏轉后以速度vo從點P（0,d）垂直y軸進入磁場，最后

從N點與x軸正方向成60。射出磁場，不計粒子重力。

（1）求粒子進入電場時的速度大小；

（2）求磁感應強度B的大小；

（3）若粒子在磁場中受到與速度大小成正比的阻力/=E（左為已知常量），粒子恰好從。點（圖中未標出）

垂直x軸射出磁場，求。點的坐標；

（4）在第（3）問的情況下，求粒子從P點運動到。點的軌跡長度。

題統計

2024年2023年2022年

命題要點

2024湖南卷T82023全國甲卷T122022山東卷T3

熱

考2024全國甲卷T122023江西卷T152022福建卷T8、15

微元法

角2024海南卷T132022遼寧卷T15

度

從近三年高考試題來看，試題以計算題為主，大多在電磁感應中考查單雙棒

命題規律

問題，在其中應用動量定理處理安培力沖量時多用到微元法。

預計在2025年高考中，還會多以考查電磁感應現象中的單雙棒問題，從中

考向預測

用微元法，解決安培力的沖量問題，這種類型的題目應多關注。

命題情景多以典型的電磁感應中單雙棒為命題背景

常用方法微元法

小知識導圖?思維引航\\

1核心精講4

—?，一―微元法

微元法是一種處理物理問題的方法，它從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體問

題的目的。微元法的核心思想是“化整為零”，即先分析“微元”，再通過“微元”分析整體。這種方法

通過將問題分解為眾多微小的“元過程”，每個“元過程”所遵循的規律是相同的，然后對“元過程”進

行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。

二、微元法的解題步驟

1.明確研究對象或研究過程，并對其進行合理的分割，選擇適當的微元。微元的選取應盡量簡單，便于分析

處理，可以是長度、時間、質量等基本物理量。

2.對微元進行分析，找出其滿足的物理規律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根據具體情況建立新

的物理模型。

3.對微元進行數學處理，包括代數運算、微積分等。這一步是微元法的核心，需要熟練掌握數學工具。

4.將微元的結果進行累加或累乘，得到整體的結果。這一步需要注意物理量的方向、正負號等問題。

對整體結果進行討論和解釋，明確其物理意義和適用范圍。需要注意的是，微元法雖然是一種有效的解題

方法，但并不是萬能的。在應用微元法時，應充分考慮其適用范圍和局限性，避免出現錯誤或遺漏。

j真題研析］

1.（2022?山東?高考真題）半徑為R的絕緣細圓環固定在圖示位置，圓心位于。點，環上均勻分布著電量

為。的正電荷。點A、B、C將圓環三等分，取走A、8處兩段弧長均為A￡的小圓弧上的電荷。將一點電荷

q置于OC延長線上距。點為2R的。點，。點的電場強度剛好為零。圓環上剩余電荷分布不變,q為（）

,T?升QMC十屆*yf3QAL

A.正電荷，q-------B.正電何，q=------

nR”兀R

C.負電荷，q=改絲D.負電荷，其1四

兀RTIR

【答案】C

【詳解】取走A、8處兩段弧長均為AL的小圓弧上的電荷，根據對稱性可知，圓環在。點產生的電場強度

為與A在同一直徑上的4和與B在同一直徑上的助產生的電場強度的矢量和，如圖所示，因為兩段弧長非

QNL

常小，故可看成點電荷，則有p萬一上。羽由圖可知，兩場強的夾角為120。，則兩者的合場強為

已I1=K;2-=K------r

R2兀

E=g=Z曰根據。點的合場強為0,則放在。點的點電荷帶負電，大小為笈=￡=左器根據

2兀N2萬收

E'=聯立解得4=跑廿故選C。

（2人）nR

?-

D

【技巧點撥】

（1）明確點電荷場強的計算公式；

（2）利用微元法結合場強矢量疊加原則，求解電荷量。

2.（多選）（2024.湖南?高考真題）某電磁緩沖裝置如圖所示，兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面

內，導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連，導軌2C段與4G段粗糙，其余部分光滑，AA右側處于豎直

向下的勻強磁場中，一質量為機的金屬桿垂直導軌放置。現讓金屬桿以初速度%沿導軌向右經過A4進入

磁場，最終恰好停在CG處。己知金屬桿接入導軌之間的阻值為R,與粗糙導軌間的摩擦因數為〃,

AB=BC=d.導軌電阻不計，重力加速度為g,下列說法正確的是（）

A\B—\C

I

XX;XX

I

：

RXXIXX

I

XXX!XXX；XX

A.金屬桿經過2瓦的速度為當

B.在整個過程中，定值電阻R產生的熱量為:加喏

c.金屬桿經過"48與84GC區域，金屬桿所受安培力的沖量相同

D.若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場中運動的距離大于原來的2倍

【答案】CD

【詳解】A.設平行金屬導軌間距為L金屬桿在區域向右運動的過程中切割磁感線有E=B加，

1=—金屬桿在AAiBiB區域運動的過程中根據動量定理有—BILM=mAv貝U-更絲At=mAv由于

27?2R

d=EvtAt,則上面方程左右兩邊累計求和，可得-歲旦=mvB-mv0則喔=%-歲旦設金屬桿在BBQC

2R2mR

D2r27

區域運動的時間為to,同理可得，則金屬桿在B8/GC區域運動的過程中有-匕巴-〃〃7gr°=-%VB解得

2R

支出+綜上有多+幺等〉?則金屬桿經過皿的速度大于多，故A錯誤；

112mR82222

B.在整個過程中，根據能量守恒有:加說=〃儂〃+。則在整個過程中，定值電阻R產生的熱量為

QR=：Q=；根〃相gd故B錯誤；

A2r2p2r2

C.金屬桿經過AA/B/B與3B/GC區域，金屬桿所受安培力的沖量為-2臺尼加二-2”匕加二色上則金

2R2R

屬桿經過A4出力與B2/GC區域滑行距離均為4,金屬桿所受安培力的沖量相同，故C正確；

D.根據A選項可得，金屬桿以初速度%在磁場中運動有-里!衿一8務=一m%金屬桿的初速度加倍，

2

設此時金屬桿在2SC/C區域運動的時間為〃，全過程對金屬棒分析得-三B三T?X-〃/gf'=O-2根％聯立整理

2R

得92(龍-4嘰mg(2r0-f)分析可知當金屬桿速度加倍后,金屬桿通過BBCC區域的速度比第一次大，

故/'</。，可得x>4d可見若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場中運動的距離大于原來的2倍，故D

正確。故選CD。

【技巧點撥】

(1)根據動能定理，求解產生的熱量多少；

(2)利用微元法和動量定理求解速度、沖量和距離。

命題預測.

考向一靜動力學中的微元法

3.（多選）（2024高三.全國?模擬預測）從地面上以初速度vo豎直向上拋出一質量為,"的球，若運動過程

中球受到的空氣阻力與其速率成正比，球運動的速率隨時間變化規律如圖所示，〃時刻到達最高點，再落回

地面，落地時速率為v/,且落地前球已經做勻速直線運動。已知重力加速度為g,則（）

A.球上升的時間等于下落的時間

B.球上升階段阻力的沖量大于下落階段阻力的沖量

C.球上升的最大高度"=3。—g'l）"

g

/、

D.球拋出瞬間的加速度大小%=g1+—

IvoJ

【答案】C

【詳解】A.由于上升過程與下落過程的位移大小相等，又有速度-時間圖像與時間軸所圍面積表示位移可

知，上升過程中的平均速度大于下落過程中的平均速度，則小球在運動的全過程，上升的時間小于下落的

時間，故A錯誤；

B.由題意可得，阻力與速率的關系為4=人故阻力的沖量大小為4=耳"=五仁依其中x表示位移，因為

上升過程和下落過程位移相同，則上升和下降過程沖量大小相等，故B錯誤；

C.設上升時加速度大小為m由牛頓第二定律得相g+E=〃幻解得a=g+&y取極短。時間，速度變化Av有

m

上kk

Av=-a\t=-gAt——v-Az,必/=A/z上升全程，貝!j有ZAu=0-%=—gEA/——￡八%則%=曰1+—〃空氣阻

mmm

力與其速率成正比，最終以以勻速下降，由平衡條件則有機g=在聯立解得"=止星叢故C正確；

g

D.小球拋出瞬間，由牛頓第二定律則有其中上=螫解得球拋出瞬間的加速度大小為

V1

+故D錯誤。故選C。

4.（多選）（2024.全國?模擬預測）隨著我國體育在國際體育產業地位的不斷提高，2023年多場大型高爾

夫球賽事落地中國。高爾夫球比賽過程中教練員可根據風力指示桿上飄帶的形態提示運動員現場風力的情

況。若飄帶可視為粗細一致，其所處范圍內風速水平向右、大小恒定且不隨高度改變。設飄帶的總長度為L

質量為能，寬度為d,風速為v,空氣密度為0,可認為風與飄帶相互作用后速度變為0。如圖所示現截取

極小的一段△/研究，設其與豎直方向的夾角為。，則下列說法正確的是（）

A.風對該段飄帶的水平作用力為“so

B.風對該段飄帶的水平作用力為0dA/cosO

C.整條飄帶應呈一條向上彎曲的曲線形態

D.整條飄帶應呈一條傾斜直線形態

【答案】BD

【詳解】AB,長度為△/的飄帶質量為=。根風吹到長度為A/的飄帶上的有效面積S=dA/cos。則在極

短時間加內撞擊到有效面積的風的質量Am'=pSvAt根據動量定理FM=Am”聯立解得F=夕根

據牛頓第三定律?二尸二夕如、2cose故A錯誤，B正確;

CD.根據三力平衡的條件和幾何關系可知tan6==皿門。，。整理得上%=2叱可見微元飄帶與

\mgmgcos8mg

豎直方向的夾角僅取決于空氣密度、風速及飄帶整體的相關性質，與所取得微元飄帶本身并無關系，也就

是說，飄帶的各部分與豎直方向的夾角都是相同的，因此飄帶應呈一條傾斜的直線的形態，故C錯誤，D

正確。故選BD。

考向二變力做功中的微元法

5.（2022.貴州黔南.模擬預測）在多年前的農村，人們往往會選擇讓驢來拉磨把食物磨成面，假設驢對磨

桿的平均拉力為600N,半徑廠為0.5m,轉動一周為5s,則（）

B.驢轉動一周拉力所做的功為6509

C.驢轉動一周拉力的平均功率為120;rW

D.磨盤邊緣的線速度為0.1〃m/s

【答案】C

【詳解】AB.驢對磨的拉力沿圓周切線方向，拉力作用點的速度方向也在圓周切線方向，故可認為拉磨過

程中拉力方向始終與速度方向相同，故根據微分原理可知，拉力對磨盤所做的功等于拉力的大小與拉力作

用點沿圓周運動弧長的乘積，則磨轉動一周，弧長

L=2兀r=欣m)

所以拉力所做的功

W=FL=600x萬J=600萬J

故AB錯誤；

C.根據功率的定義得

史叨W=120?W

t5

故C正確；

D.線速度為

2萬r2%x0.5._.,

v=-----=-----------m/s=O.z^rn/s

T5

故D錯誤。

故選C。

6.（多選）（2023?山東青島?模擬預測）冬天的北方，人們常用狗來拉雪橇。一條狗用水平拉力拉著質量

為80kg的雪橇（包括內部物品），在水平雪面做半徑為24m的勻速圓周運動，速度大小為3m/s,雪橇與

地面間的動摩擦因數0.05,重力加速度取10m/s2,cos53°=0.6o下列說法正確的是（）

A.雪橇受到狗的水平拉力大小為40N

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進方向成37°

C.狗給雪橇的水平拉力功率為150W

D.狗拉著雪橇轉過30。圓弧的過程中，雪橇克服地面摩擦力做功160兀J

【答案】BD

【詳解】A.狗拉雪橇的水平拉力有兩個作用效果，一個作用效果平衡雪橇做圓周運動時切向受到的摩擦力,

233

另一個作用效果使雪橇做圓周運動，根據雪橇做圓周運動，由牛頓第二定律有《=加余v■=80x五N=30N在

雪橇前進的方向上始終有F切=Mg=40N則可得雪橇受到狗的水平拉力大小為F==SON

F3

B.狗給雪橇的水平拉力方向與雪橇前進方向之間夾角的正切值為tane=h=i可得夾角夕=37。故B正確;

*切4

C.狗給雪橇的水平拉力功率為P=Fwv=40x3W=120W故C錯誤；

D.狗拉著雪橇轉過30。圓弧的過程中，雪橇克服地面摩擦力做功皿=《〃加g-2萬R=160萬J故D正確。故選

BD。

考向三柱狀流體和離子模型中的微元法

7.（2024?安徽合肥?二模）我國是世界上第三個突破嵌套式霍爾電推進技術的國家。霍爾推進器的工作原

理簡化如下圖所示，放電通道的兩極間存在一加速電場。工作物質氤氣進入放電通道后被電離為氤離子，

經電場加速后以某一速度噴出，從而產生推力。某次實驗中，加速電壓為U,流離子向外噴射形成的電流

強度為/.氤離子的電荷量與質量分別為q和相，忽略離子的初速度及離子間的相互作用，則離子推進器產

生的推力為（）

放電通道?*G*

G>

G>

陽極陰極

【答案】D

【詳解】伍離子經電場加速，根據動能定理有機。2-o解得丫=I辿設單位體積內離子數目為〃，加

m

速噴出時截面積為S,在加時間內，有質量為△加的債離子以速度V噴射而出Am=根的形成電流為/：

bmU\2mU

I=陽Sv由動量定理可得FM=Amv聯立可得F=［于離子推進器產生的推力為/小子。故選D。

8.（多選）（2024?福建?三模）如圖所示，消防員正在進行消防滅火演練，消防員用高壓水槍噴出的強力

水柱沖擊著火物，設水柱直徑為D以水平速度V垂直射向著火物，水柱沖擊著火物后速度變為零。高壓水

槍的質量為消防員手持高壓水槍操作，進入水槍的水流速度忽略不計，水的密度為下列說法正確

的是（）

A.水槍的流量為1兀uD?

B.水槍的功率為：兀0￡?2,

C.水柱對著火物的沖擊力為2V2

O

D.向前水平噴水時，消防員對水槍的作用力方向向前且斜向上方

【答案】BD

【詳解】A.設△/時間內，從水槍噴出的水的體積為AV,質量為△根，則A和AV=SvM=-nD2v\t

4

流量萬。2y,A錯誤；

At4

B.加時間內水槍噴出的水的動能為石卜=：Aww2二b小/加知高壓水槍在此期間對水做功為

28

卬=線=1兀。。7加高壓水槍的功率為尸=藝=!兀。。2優，B正確；

8Ar8

C.考慮一個極短時間在此時間內噴到著火物上水的質量為機，設著火物對水柱的作用力為凡由動量

22

定理得FM'=mvA/,時間內沖到著火物上水的質量為m=\pnDV\t'解得F=^npD-v由牛頓第三定律可

知，水柱對著火物的平均沖力為廠'=?=!兀00、2,c錯誤；

D.當高壓水槍水平向前噴出高壓水流時，水流對高壓水槍的作用力水平向后，由于高壓水槍有重力，根據

平衡條件，手對高壓水槍的作用力方向斜向前上方，D正確。故選BD。

考向四均勻帶電體電荷微元法

9.（2023?河北?模擬預測）已知均勻帶電薄殼外部空間電場與其上電荷全部集中在球心時產生的電場一樣，

內部空間的電場處處為0.如圖所示為一帶電量為+。，半徑為r的均勻帶電球殼，以球心為坐標原點，建

立3軸，其中A點為殼內一點，8點坐標為2R,靜電力常量為匕下列說法正確的是（）

A.將+4的試探電荷由殼內A點移到。點，試探電荷的電勢能減小

B.在圓心。處放一個電量為-2Q的點電荷，球殼外表面帶電量仍為+Q

C.在+R處取走極小的一塊面積AS,。點場強大小為E=

D.在圓心。正上方處取走極小一塊面積AS,B點場強大小為片=鑼二

【答案】C

【詳解】A.殼內場強處處為0,故移動試探電荷不做功，A錯誤；

B.在圓心。處放一個電量為-2Q的點電荷，由于靜電感應，球殼內表面感應出+2。的電荷，則球殼外表

面的電荷量為-。，B錯誤；

C.在+R處取走極小一塊面積AS,根據對稱性，在一尺處極小一塊面積的電荷產生的電場

kASQQAS

c正確；

D.整個球殼在8點的電場與=空水平向右，在圓心。正上方處取走極小一塊面積A5在8點的場強為

4=2,導0=鬟2方向斜向右下，4與E2矢量作差即為B點電場強度，D錯誤。故選C。

5A2\J7IR

10.（24-25高三上?河北?開學考試）如圖，一均勻帶正電荷的圓環，其半徑為R,圓心為。，AB和C。為

圓環的直徑，A8與CD垂直，尸點為圓弧AC的二等分點，四分之一圓環AC部分的全部正電荷在圓心。處

產生的電場強度大小為4,關于圓環各部分電荷在圓心。處產生的電場強度，說法正確的是（）

A.整個圓環全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為4綜

3

B.四分之三圓環AC3。部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為］綜

C.半圓環AC8部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為2及

E。

八分之一圓環部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為

D.AP也+近

【答案】D

【詳解】AB.圓環上取一微元電荷q,可視為點電荷，根據真空中點電荷電場強度計算公式，微元電荷q

q

在圓心。處產生的電場強度大小E=左圓環上電荷到圓心。的距離相同，都為R,則每個微元電荷q在

R2

圓心。處產生的電場強度大小都相等，方向從微元電荷指向圓心。，根據對稱性和疊加原理可知整個圓環

全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為0；同理，根據對稱性和疊加原理可知圓環AC和部分全

部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為0,則四分之三圓環AC8D部分的全部正電荷在圓心。處產生

的電場強度大小相當于四分之一圓環部分在圓心。處產生的電場強度，四分之一圓環部分在圓心O

處產生的電場強度大小與四分之一圓環AC部分在圓心。處產生的電場強度大小相等，即為《，故AB錯

誤；

C.根據對稱性可知四分之一圓環AC部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為綜，方向沿PO

方向，圓環8C部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小也為心,方向垂直于PO方向，根據疊

加原理和平行四邊形定則可知半圓環部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為4

故C錯誤；

D.設八分之一圓環AP部分的全部正電荷在圓心。處產生的電場強度大小為馬，根據對稱性可知八分之一

圓環CP部分的全部正電荷在圓心O處產生的電場強度大小也為生，根據對稱性和疊加原理可知兩電場強

度方向夾角為45。,兩電場強度矢量和即為四分之一圓環AC部分的全部正電荷在圓心O處產生的電場強度，

45。E=———=-=J。

所以有2七85二-=4解得22cos竺?/l+cos45°收二故D正確。故選D。

22^三

考向五電磁感應中棒類模型的微元法

11.（2024?全國甲卷?高考真題）如圖，金屬導軌平行且水平放置，導軌間距為L導軌光滑無摩擦。定值

電阻大小為凡其余電阻忽略不計，電容大小為C。在運動過程中，金屬棒始終與導軌保持垂直。整個裝置

處于豎直方向且磁感應強度為8的勻強磁場中。

（1）開關S閉合時，對金屬棒施加以水平向右的恒力，金屬棒能達到的最大速度為川。當外力功率為定值電

阻功率的兩倍時，求金屬棒速度v的大小。

（2）當金屬棒速度為v時，斷開開關S,改變水平外力并使金屬棒勻速運動。當外力功率為定值電阻功率的

兩倍時，求電容器兩端的電壓以及從開關斷開到此刻外力所做的功。

R

I——1-------------------i-

【答案】（I）v=T；（2）U=也，w=CB"v。2

248

【詳解】（1）開關S閉合后，當外力與安培力相等時，金屬棒的速度最大，則