《投影與三視圖》知識歸納與題型訓練（6題型）

01思維導圖

基本概念：投影、投射線、投射面、平行投影、中，誣或

~（投影）C

尸［正投影：

簡單幾何體的三視圖主視圖?.主視方向

（三視圖俯視圖

-左視圖

投影與三視圖

―（由三視圖描述幾何體a（由三視圖描述幾何體的法則：長對正、高平齊、寬福疊

表面展開圖定義

圓柱的側面展開圖

簡單幾何體的表面展開圖

圓錐

全面積公式：s全=m'+勿”

正方體的表面展開圖

02知識速記

1、投影：物體在光線的照射下，在某個平面內形成的影子叫做投影；這時，光線叫做投射線，投影所在的

平面叫做投影面；

2、平行投影：由平行的投射線所形成的投影叫做平行投影；

3、中心投影：由同一點出發的投射線所形成的投影叫做中心投影；

要點詮釋：

平行投影與圖形的相似緊密相關；中心投影與圖形的位似緊密相關；

二、簡單幾何體的三視圖

1、正投影：在平行投影中，如果投射線垂直于投影面，那么這種投影就稱為正投影；

2、三視圖：主視圖、左視圖和俯視圖合稱三視圖

主視圖：物體在正投影面上的正投影叫做主視圖;

俯視圖：物體在水平投影面上的正投影叫做俯視圖;

左視圖：物體在側投影面上的正投影叫做左視圖；

產生主視圖的投射線方向叫做主視方向

要點詮釋:

白一

正投影血

正投影詢

水平投忠向

水平投影曲

畫三視圖遵循的法則：“長對正、高平齊、寬相等”

三、簡單幾何體的表面展開圖

1、表面展開圖：將幾何體沿著某些棱“剪”開，并使各個面連在一起，鋪平所得到的平面圖形稱為幾何體

的表面展開圖；

2、圓柱的表面展開圖：圓柱可以看做由一個矩形繞它的一條邊旋轉一周，其余各邊所成的面圍成的幾何體;

和轉軸平行的一條邊旋轉所成的面就是圓柱的側面，這條邊不論轉動到哪一個位置，都叫圓柱的母線，圓

柱的側面展開圖是一個矩形，它的一組鄰邊長分別等于母線長和底面圓周長

3,圓錐的側面積和全面積公式：

S側=勿7S全=勿^+加7

S全=nr'+7irl

設圓錐的側面展開圖的圓心角為6,則有:

9J?360。

4、正方體的11種表面展開圖:

1.一四一型:

03題型歸納

題型一平行投影的綜合

例題：

1.（2024?下城區校級三模）某一時刻在陽光照射下，廣場上的護欄及其影子如圖1所示，將護欄拐角處

在地面上的部分影子抽象成圖2,已知NM4O=22°,/FCN=23°,則/N8C的大小為（）

【分析】根據平行線的性質及角的和差即可求得.

【解答】解：：某一時刻在陽光照射下，AD//BE//FC,且/M4D=22°,/FCN=23°,

：.ZMAD=ZABE=22°,/EBC=NFCN=23°,

，ZABC=ZABE+ZEBC=45°.

故選：B.

2.（2023?柯城區校級一模）在同一時刻，兩根長度不等的桿子置于陽光之下，但它們的影長相等，那么

這兩根竿子的相對位置是（）

A.兩根都垂直于地面B.兩根平行斜插在地上

C.兩根竿子不平行D.一根到在地上

【分析】根據平行投影的性質判斷即可.

【解答】解：因為兩根長度不等的桿子置于陽光之下，但它們的影長相等，

所以兩根竿子不平行.

故選：c.

鞏固訓練

3.（2024?長興縣模擬）土圭之法是在平臺中央豎立一根6尺長的桿子，觀察桿子的日影長度.古代的人

們發現，夏至時日影最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季.如圖，

利用土圭之法記錄了兩個時刻桿的影長，發現第一時刻光線與桿的夾角/A4c和第二時刻光線與地面的

夾角相等，測得第一時刻的影長為1.5尺，則第二時刻的影長為24尺.

2

【分析】由/B4C=/ADB,得ADBA,知組=^1,故$二=24

BDAB1.5

（尺），即第二時刻的影長為24尺.

【解答】解：/ABC=ZDBA=90°,/B4C=ZADB,

:.AABCs^DBA,

???AB,BC,

BDAB

根據題意得：48=6尺，2c=1.5尺,

:.BD=±—=24（尺），

1.5

???第二時刻的影長為24尺；

故答案為：24.

4.（2023秋?西湖區校級月考）

數學實踐活動：901班測量校園小山坡護坡石壩的有關數據

活動1如圖1,測角小組用一根木條防斜靠在護坡石壩上，

使得BF與BE的長度相等，如果測量得到=

30°,那么石壩與地面的傾角Na的度數是

60°_.

圖1

活動2如圖2,測高小組把一根長為4米的竹竿NG斜靠在

石壩旁（/點在石壩頂部，G點在地面），量出竿長11

GM=1米時離地面的高度為0.5米，請你求出護坡石

壩的垂直高度M

GNBH

圖2

實踐活動總結歸納

大家總結各組的方法后，設計了如圖3方案：在護坡石壩頂部

的影子處立一根長為。米的桿子尸桿子與地面垂直，測得桿

子的影子長為6米，點P到護坡石壩底部8的距離為c米.利

光線

用測角小組得到的傾角Na的度數，請你用a,b,c表示出護

D

坡石壩的垂直高度

CP

圖3

【分析】（1）根據等邊對等角得到，然后利用三角形外角的性質求解即可;

（2）首先得到△GMNS^G/8,然后利用相似三角形的性質得到史工此，然后代數求解即可;

GAAH

時然后得至UpH=PB+BH=c+^~AH，然后證明出△CZJPs

（3）首先根據60°角的正切值得到

△CAH,得到史典，然后代入求解即可.

PHAH

【解答】解：（1）■：BF=BE,

:./BEF=/EFB=30°,

Za=ZBEF+ZEFB=60°.

故答案為：60°；

(2)'JMN//AH,

:.△GMNSAGAH,

.GM_MN即1=0.5

?怎而AH

解得N”=2；

(3)VZa=60°，AH±BH,

.AH

tanZCl=tan600=777=Vi3—)

Dn

AH，

??PH=PB+BH=c

"JCD//AP,

：.ZC=ZAPH,

,:DP〃AH,

：.ZCPD=ZPHA=90°,

:.△CDPsfAH,

.-.CPJP,即一^得，

PHAH,V3ATTAH

解得皿=省小.

V3b-a

題型二中心投影

例題：

1.（2023?婺城區模擬）下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（）

B.

D.

【分析】利用“在同一時刻同一地點路燈下的影子的方向應不一致”對各選項進行判斷.

【解答】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反.

故選：D.

2.（2024?龍港市二模）如圖，點光源。射出的光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠

片平行的屏幕上，形成影像CD.已知/8=0.3(dm)，點光源到膠片的距離OE長為6(dm),CD長

為4.3(dm),則膠片與屏幕的距離斯為()dm.

【分析】證明△O/Bs^ocD,推出姻_=旦殳，構建方程求出所即可.

CDOF

【解答】I?：'JAB//CD,

:.△OABs^ocD,

'：OF.LCD,

J.OFLAB,

?AB=OE

"CDOF'

?0.3=6

"TT6+EF'

:.EF=80(dm),

故選：C.

3.(2022秋?義烏市期末)如圖，小樹N8在路燈。的照射下形成投影BC.若樹高/8=2根，樹影BC=

3m,樹與路燈的水平距離2P=45〃.則路燈的高度OP為()

【分析】先判斷相似三角形，再利用相似三角形的性質求解.

【解答】解：?.15_LCP,POLPC,

C.OP//AB,

，△ABCsAOPC,

?AB=BC,

"OPPC"

即：_2_=_3_,

op3+4.5

解得：OP=5(%)，

故選：A.

鞏固訓練

4.(2023秋?鹿城區期中)圖1是遮雨棚，一邊搭在墻面上，由支架固定.其側面結構示意圖如圖2所

示.墻2E垂直于地面，棚面DG的頂端。固定在5E上，CF是支架，在墻上有一照明燈E,該遮雨棚

外端點G在燈光和陽光照射下產生的影子分別落在地面B處.經測量得到N/8G=45°,

DF=FG=CFX^~，CD=1,4B=BD,X為。G和A4延長線的交點，BH=20,則EC=16.

圖I圖2

【分析】連接CG,證明GC〃/2,推出典=型，求出CG,AB,可得結論.

EBAB

【解答】解：如圖，連接CG.

D

H

圖2

'：BE±AB,/N5G=45°,

:.NEBG=90°-45°=45°,

,:FD=FC=FG,

：.ZGCD^90°,

：.ZCGB=ZCBG=45°,

ACG=C5=VDF2-CD2=V(V17)2-I2=4?

：.AB=BD=BC+CD=4+1=5,

VZECG=ZABE=90°,

C.CG//AB,

???EC---CG,

EBAB

-EC=4

"EC+4T

；.￡C=16.

故答案為：16.

題型三簡單幾何體的三視圖

例題:

1.（2024?臺州模擬）下列幾何體中，主視圖和左視圖都為矩形的是（)

【分析】分別寫出各幾何體的主視圖和左視圖，然后進行判斷.

【解答】解：/、主視圖和左視圖都為矩形的，所以N選項正確;

B,主視圖和左視圖都為等腰三角形，所以8選項錯誤；

C、主視圖為矩形，左視圖為圓，所以C選項錯誤；

。、主視圖是矩形，左視圖為三角形，所以。選項錯誤.

故選：A.

2.（2023秋?義烏市校級月考）如圖所示的幾何體的左視圖是（）

A.

C.

【分析】要記住常見的幾何體的三視圖,從左面觀察即可得到結果.

【解答】解：仔細觀察幾何體特征,

從左面觀察可得圖形是

故選：D.

3.（2024?金華三模）中國古代數學著作《九章算術》中，將兩底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹

堵”.將一個“塹堵”按如圖方式擺放,則它的左視圖為（）

/正面

A.C.

【分析】從左邊觀看立體圖形即可得到.

【解答】解：從左邊觀看立體圖形可得,左視圖為直角在左邊的直角三角形,

故選：B.

4.（2024?鹿城區校級三模）如圖是U型磁鐵示意圖，它的俯視圖是（）

主視方向

A.B.C.D.

【分析】根據從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】解：從上面看。型磁鐵的示意圖是一個大矩形，且中間有2條實線段,

故選：D.

5.（2024?浙江模擬）如圖是由七個相同的小立方體擺成的幾何體，則這個幾何體的左視圖是（

主視方向

【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可.

【解答】解：從左邊看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形.

故選：A.

鞏固訓練

6.（2024?湖州一模）如圖是由大小相同的正方體搭成的幾何體，其主視圖是（）

A.B.

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中.

【解答】解：從正面看有2層，底層是三個小正方形，上層左邊是一個小正方形，故/符合題意，

故選：A.

7.（2023?龍港市二模）原木旋轉陀螺是一種傳統益智玩具，是圓錐與圓柱的組合體，則它的主視圖是（）

【分析】從正面看到的平面圖形是主視圖，根據主視圖的含義可得答案.

【解答】解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：

故選：A.

8.（2024?浙江模擬）如圖所示的工件，其俯視圖是（）

【分析】根據工件的特征，可得俯視圖是兩個同心圓，外圓是實線，內圓看不見，用虛線.

【解答】解：從上邊著是一個同心圓，內、外圓均是實線，

故選：D.

題型四由三視圖判斷幾何體

例題:

1.（2024?浙江一模）由6個同樣的立方體擺出從正面看是I_I_I_I的幾何體，下面擺法正確的是（）

【分析】根據主視圖是從正面看到的圖形判斷則可.

【解答】解：由題目中的主視圖可知，第一層有三列，第二層有一列，只有2選項符合題意.

故選：B.

2.（2024?玉環市三模）小李同學準備送給朋友一個小禮物.禮物外包裝的主視圖如圖所示，則該禮物的

外包裝不可能是（)

A.長方體B.正方體C.三棱錐D.圓柱

【分析】根據主視圖即可判斷出答案.

【解答】解：根據主視圖可知，三棱錐的主視圖是矩形，且中間有縱向的實線或虛線，與題干圖形不符,

故選：C.

3.（2024?錢塘區二模）由〃個大小相同的小立方塊搭成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，則"的值

【分析】左視圖、俯視圖是分別從物體左面、上面看，所得到的圖形.

【解答】解：從俯視圖發現有5個立方體，從左視圖發現第二層最多有3個立方塊，最少有1個立方塊,

所以最多有8個立方塊，最少有6個立方塊，

故"的值可以是6、7、8.不可能是9.

故選：D.

4.（2024?杭州四模）某三棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為△N2C,已知

tanB=A,ZC=45°,則左視圖的面積是（）

3

<----------4------------?

左

俯

主

視

視

視2

圖

圖

圖

BC

A.2V3B.4-73C.4D.2

【分析】作4DL2C于點。，設4D=x,根據等腰三角形的性質得CD=4D=x,解直角三角形得

3x,所以8c=4x=4,即4D=1,又知三棱柱的高為2,即可求出答案.

【解答】解：如圖，作ADL2C于點。，

VZC=45°,

：.CD=AD=x,

..1

,tanB二不'

o

AAD=X

"BD于

:.BD=3x,

：.BC=4x=4,

??x=1,

：.AD=\,

...左視圖的面積是2X1=2.

故選：D.

鞏固訓練

5.（2024?浙江模擬）如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（

主視圖左視圖

△

俯視圖

A.長方體B.圓錐C.圓柱D.三棱柱

【分析】根據三視圖看到的圖形的形狀和大小，確定幾何體的底面，側面，從而得出這個幾何體的名稱.

【解答】解：俯視圖是三角形的，因此這個幾何體的上面、下面是三角形的，主視圖和左視圖是長方形

的，且左視圖的長方形的寬較窄，因此判斷這個幾何體是三棱柱，

故選：D.

6.（2024春?瑞安市月考）如圖1所示的長方形是一種小禮盒的俯視圖，其長為4,寬為1.現將若干個小

禮盒如圖2所示擺放到一個俯視圖為正方形的大禮盒中，若留空的部分（陰影部分）的面積是整個正方

形面積的工，則大正方形邊長最小是10.

5

小禮盒T至少有3個小卜

禮盒

圖1圖2

【分析】設下方豎著放的有。個（。23）,上方豎著放的有b個（623）,則正方形的邊長為a+4,一

共擺了（20+6）個禮盒；然后根據留空的部分（陰影部分）的面積是整個正方形面積的工得到

5

2

b=（三也5“然后運用列舉法確定a的值成為解題的關鍵.

5

【解答】解：設下方豎著放的有。個Q23）,上方豎著放的有b個（623）,則正方形的邊長為a+4,

一共擺了（2a+6）個禮盒，這些禮盒的面積為1義4（2a+6）=8a+4b,

陰影部分的面積為：（。+4）2-（8a+4b）=層+16-46,

???留空的部分（陰影部分）的面積是整個正方形面積的工，

5

,,a2+16-4b^7"（a+4）2,

D

a2口+1u6-AU4b1)a2816

bob

42864,,

『a

bbb

4.9

―(a-2a+16)=4b,

b

a2-2q+16=5b,

(Q-1)2+15=56,

5b=(a-1)2+15,

,(a-l)2+15

b=5-'

：a23,623,

當。=3時，不是整數，不符合題意;

5

當。=4時，bM不是整數，不符合題意；

5

當。=5時，bWL不是整數，不符合題意；

5

當。=6時，6=8是整數，符合題意；

?,?正方形的邊長為q+4=6+4=10.

故答案為：10.

題型五圓柱與圓錐的計算

例題：

1.(2024秋?婺城區校級期中)已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側面積為()

A.6irB.12nC.151rD.24K

【分析】根據圓錐的側面積公式即可求解.

【解答】解：S側=TU7=TTX3X4=12II,

故選：B.

2.(2023?海曙區校級三模)如圖已知扇形405的半徑為6c冽,圓心角的度數為120。，若將此扇形圍成

一個圓錐的側面，則圍成的圓錐的底面積為()

D.12ircm2

【分析】根據圓錐的計算公式即可求出答案.

【解答】解：由弧長公式可知：AB=12QKX6=4it

180

.?.底面圓的周長為4n,

設底面圓的半徑為CD=r,

.*.4n=2iir

???尸=2,

???圓錐的底面積為nX22=4n,

故選：A.

------>

O

3.（2024?寧波模擬）若圓錐的底面圓半徑為3,母線長為5,則該圓錐的側面積是154.（結果保留

TT）

【分析】根據圓錐的側面積就等于圓錐母線長乘底面周長的一半，依此公式即可計算.

【解答】解：根據圓錐的側面積公式：irr/=-n:X3X5=15iT,

故答案為：15n.

鞏固訓練

4.（2024?浙江模擬）圓錐的底面直徑是10c加，母線長為12°加，則它的側面展開圖的圓心角的度數為

150°.

【分析】設圓錐的側面展開圖的圓心角的度數為"。，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧

長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.則根據弧長公式得到得n”兀T2=然后

解關于"的方程即可.

【解答】解：設圓錐的側面展開圖的圓心角的度數為武，

根據題意得￡E±=10n,

解得〃=150,

所以它的側面展開圖的圓心角的度數為150。.

故答案為150°.

5.（2022秋?金華期末）用一