重難點02相似三角形四種模型

明考情-知方向

2025年考向預測：解答題（必考題型）

重難點題型解讀

考向一："8"字模型

模型一：“8”字模型

模型展示：

8字一一平行型

條件：CDWAB,

結論：△以6?APC。（上下相似）；

左右不一定相似，不一定全等，但面積相等;

四邊形26。為一般梯形.

D

條件：CD\\4B，PD=PC.

結論:△/^?△。。?△/女上下相似）

△PAAXPBC左右全等;

四邊形26。為等腰梯形；

8字一一不平行型

條件：4CDP:乙BAP.

結論：

A4Q6?△。2C（上下相似）；

ZL4PZ??"Pq左右相似）；

1.如圖，已知。是BC的中點，M是A。的中點.求AN:NC的值.

【分析】解法1：過點。作AC的平行線交BN于點H,構造"A"型和"8"型，得出ABDHSABCV和

ADHM^AANM,再結合相似三角形的性質和中點的定義即可得出答案；

解法2：過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H,構造"A"型和"8"型，得出^BDM^BCH和

AAMNs△CHV,再結合相似三角形的性質和中點的定義即可得出答案；

解法3：過點A作BC的平行線交BN的延長線于點H,構造"A"型和"8"型，得出和

AAHNMCBN,再結合相似三角形的性質和中點的定義即可得出答案；

解法4：過點。作BN的平行線交AC于點”，根據三角形中位線定理得出AN=NH=C",

即可得出答案；

【詳解】解法1：如圖2,過點。作AC的平行線交BN于點H.

因為OH//AC.

所以ABDIIS^BCN,

^fiu—=—

CNBC

因為。為BC的中點，所以~―――——.

C7VnC2

因為DHUAN,所以GHMs^ANM,

所以黑=DM

AN~AM

E、fM,,,1LL7DHDM1

因為M為的中點'所以南=南=「

所以OH=AN,

所以網」

CN2

解法2：如圖3,過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H.

所以黑=BD

CrzBC

因為。為BC的中點，所以器=黑

CrznC2

因為乂為人。的中點，所以=

所以第=

C/12

因為DM//CH,

所以AAMN^ACHN,

所以繇AM

~CH2

解法3：如圖4,過點八作8C的平行線交B/V的延長線于點”.

因為A7///3O,所以△AHMs^DBM,

所以箓=第

因為M為A。的中點，所以=所以=

因為AH//BD,所以AAHNsACBN,

所以網=理

CNBC

因為。為BC的中點，且AH=HD,

所噂嘿21

解法4：如圖5,過點。作BN的平行線交AC于點H.

在AMH中，

因為M為AD的中點，MN//DH,

所以N為的中點，即AN=NH.

在ACBN中，因為。為BC的中點，DH//BN,所以H為CN的中點，題CN=HN,

所以AN=NH=CH.

日南、IAN1

所以五FF

2.（2024?安徽合肥?一模）已知：如圖，兩個A/MB和AEBC中，DA=DB,EB=EC,ZADB=ZBEC,

且點A、B、C在一條直線上，連接AE、ED,AE與BD交于點,F.

D

DF

(2)若”=CE,求言的值.

BD

【答案】⑴證明見解析;

(2)2^Z1

2

【分析】（1）證明AZMBSAEBC得到黑=段，再證明AAQFSREB尸得到當=冬，推導出第=整

EBBCEBBFBFBC

即可求證;

（2）證明AABFSA4CE得到空=絲，進而由止=CE得到空=絲，又由（1）的結論可得g=三,

CEACDFACDFAC

即得至UM2=AC.BC,得到點B是線段AC的黃金分割點，故而得到生=道二1,推導出空=避二1,利

AC2DF2

用比例的性質即可求解;

本題考查了相似三角形的判定和性質，黃金分割，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：S\DA=DB,EB=EC,

DADB

團---=---,

EBEC

國/ADB=NBEC,

也ADABS^EBC,

DAAB

國NDAB=NEBC,

EB~BC9

團AD//EB,

⑦ZDAF=ZAEB,ZADF=ZDBE

回AADFS^EBF,

ADDF

EBBF

DFAB

回----=----

BFBC

即Z＞尸?5C=8戶AB；

(2)解：團ADABSAEBC,

⑦ZABD=NBCE,

^\ZBAF=ZCAE,

團Z\ABF^Z\ACE,

BFAB

0----=-----，

CEAC

若DF=CE,

eBFAB

則—=—，

DFAC

由（1）知斯?"，

BFBC

團---=---，

DFAC

ABBC

團---=---，

ACAC

^\AB1=AC.BC,

團點B是線段AC的黃金分割點,

?BC_75-1

uJ-------------,

AC2

回”=旦

DF2

口BF+DF6一1+2

DF2

小+1

兇---=-----，

DF2

回里=上一旦

BD布+12'

3.（1）某學校"學習落實"數學興趣小組遇到這樣一個題目

如圖，在回ABC中，點。在線段BC上，08/40=30°,E1OAC=75。，AO=6BO：CO=2：1,求AB的長經過

數學小組成員討論發現，過點B作BDSiAC,交4。的延長線于點D,通過構造蜘BD就可以解決問題（如圖2）

AA

、^7\

BoCB'、/OC

V

圖1D圖2

請回答：SADB°,AB=

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3在四邊形ABCD中對角線AC與BD相交于點。，AC^AD,A0=舊,,EMBC=I3ACB=75。，80：。。=2：

1,求0c的長

【答案】⑴75,3?。?）8=殍

【分析】（1）根據平行線的性質可得出回AOB=I3OAC=75。，結合EIBOO=I3COA可得出EIBODEBCOA,利用相似三

角形的性質可求出。。的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出蜘BD=750=EMOB,由等角對

等邊可得出AB=AD即可求解；

（2）過點B作BEEM。交AC于點E,同（1）可得出AE=3若，在RKME8中，利用勾股定理可求出8E的長

度，再在RtBCAD中，利用勾股定理即可求出DC的長.

【詳解】解：（1）如圖2中，過點B作BDEMC,交A。的延長線于點0,

0BD04C,

aa4OB=EIOAC=75°.

S3\BOD=SCOA,

aaBooa3coA,

ODOB

團==2,.

OAOC

又&4。=6,

回0D=2A0=26

回AD=A0+00=3G

的BZD=30°,MD8=75°,

^\ABD=180°-回BAD-回八DB=75°=朋DB,

W\B=AD=3y/j;

故答案為：75,30.

（2）如圖3中，過點B作8EM。交AC于點E.

M?。，BEZZ。，

釀D/AC=?B￡4=90°.

^\AOD=^\EOB,

回MODHEEOB,

BOEOBE

回===2.

ODAOAD

團BO：OD=1：3,

^\AO=5/3,

團EO=26,

朋E=3S

的4BC=MCB=75°,

團團B/AC=30°,AB=AC,

^\AB=2BE.

在RtMEB中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+BE2=(2BE)2,

解得：8E=3,

3

MB=AC=6,AD=-

2

3

在Rt團GAD中,AC2+AD2—CD2即6?+(-)2=CD2,

f2

解得：吁孚（負根已經舍棄）.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及平行線的性質，掌握平

行線的性質、相似三角形的性質以及判定定理、勾股定理是解題的關鍵.

4.（2023?安徽合肥?模擬預測）在Rt^ABC中，ZACB=90°,tanZABC^a,。是BC上一點（不與點8,

C重合），連接AD,過點C作于點E,連接8E并延長，交AC于點尸.

⑴如圖1,當。=1時，

①求證：ZECD<45°；

②求證：nCD

~CF

（2）如圖2,若。是BC的中點,求tan/CEF的值（用含。的代數式表示）.

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析

⑵T

Ar'

【分析】（1）①由tan/A5C=F=l得，NABC=45。，由外角定理得/包心=45。+義&4￡>,從而

BC

ZECD=90°-ZEDC<45°.

②過點B作〃AC,交CE的延長線于H,證明AACD也4CBH,得到BH=CD,再證明ABEH^FEC,

得到普=萼，即可得結論.

EFCF

（2）過點3作3M_LCE,交CE■的延長線于設BC=2m,證明ABCMsAfMC,表示出四、CM、EM

的長…“E/tanN曲二黑求得結果.

【詳解】（1）證明：①?.?NACB=90。，tanZABC=4S=h

BC

:.AC=BC,

:.ZABC=45°,

-.-ZEDC=ZABC+ZBAD=45°+ZBADf

「./EDC>45。,

????！?，仞于點石，

.?./DEC=900,

ZECD=90°-ZEDC,

/.Z￡DC<45°.

②證明：如圖1,過點3作BH〃AC,交CE的延長線于H,CH與AB交于G,

???NACB=90。，

..ZBCH+ZACE=90°,

?：CEVAD,

.?.ZZMC+ZACE=90°,

:.NDAC=NBCH,

XvtanZABC=——=1,

BC

BC=AC,

.?.△ACZ涇△CSH(ASA),

:.BH=CD.

?.?BH//AC,

:.4BEHSAFEC,

BEBH

~EF~~CF"

BECD

*EF-CF,

(2)解：如圖2,過點g作交CE的延長線于M,

圖2

貝！JNBMC=9O。,

???NACB=90。，

..NBCM+ZACE=9U0,

vCElAD,

ZDAC+ZACE=90°f

,\ZBCM=ZDACf

:.^BCM^^DAC,

.BMBCCM

-CD-AB-AC'

設BC=2m，

?.?。是5c中點，

BD=CD=m,

AC

,「tanXABC==a,

BC

AC=2am,

:.AD=y）AC2+CD2=7（2tzm）2+m2=V^+lm，

BM_2nl_CM

…m"/+i帆2am，

2“2m4am

，BM=---------CM=—{=

J4/4+1'"a2+1'

:BM〃AD,。是BC中點，

,.l「門2am

ME=CE=,.

J4/+1

tanNCEF=tanZBEM==-

MEa'

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角函數等知識,

綜合性比較強，合理添加輔助線，把所學知識串聯起來熟練運用是解題的關鍵.

考向二："A"字模型

模型二：“A”字模型

模型展示：

,.,?AAADAEDE

⑴如圖1,DE//BC^^ADE^=—=—

ADACDC

/、上e人人ADAEDE

⑵如圖2,AAED=ZB^AADE^AACB^-^=~^—

ACAJJDC

ADACCD

⑶共邊共角模型，如圖3,/ACMNg叢ADCsAACB-k「行

力。ADbb

證明：VBEXAC,CD1AB,

：.ZAEB=ZADC=90°.

AT)4cAT)AJ7

/A=/A,△AS￡°°Z\ACZ).Aj7~AJ)'AAo'

AtADACAo

又,/ZA=ZA,/\ADE^AACB.

2.如圖，在AABC中，點2在線段6c上，ZBAD=75°,ZCAD=30°,AD=2,

BD=2DC,求友7的長.

【解析】過點。作。M//M交AC于點M.

又ZADM+ZAMD+ADAM=180,ACAD=30

ZAMD=75,：.ZAMD=ZADM,

/.AD=AM=2.

AMBD

???DM//AB,

.BPAM_2

又=BD=2DC,

-BC-^4C-3,

.AC=3.

【總結】本題考查了三角形一邊的平行線及等腰三角形的相關知識.

3.一塊直角三角形木板的面積為1.5m2,一條直角邊A5為1.5m,怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方

形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損

耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）.

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.說明見解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合

要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據乙加工方案中的平行關系得

到相似三角形，根據相似三角形對應變成比例，可求出正方形的邊長；根據甲加工方案中，根據相似三角

形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求.

【詳解】解：作BH朋C于H,交DE于M,如圖

團哈管=2

0AC=VAB2+BC2=A/1.52+22=-

2

ABH=9

5

又回DEIiLAC

DEBM

團----=-----

ACBH

6

—xan

回5=七-，解得—行

JUJ/

25

設正方形的邊長為x米，如圖乙

田D團AB

DECD

團----=----

ABCB

x2-x”=6

回行=亍，解得％

630

0—>—

737

回乙木匠的加工方法符合要求.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質的實際應用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立

數學模型，把實際問題轉化為數學問題是解決本題的關鍵.

4.(2022?合肥二模)已知：如圖，AA5c中，NACB=90。，CD為回邊上的高，NABC的平分線BE分

別交CD,AC于點/，E.

(1)求證：ACBFs^ABE；

(2)若AB=1O,BC=6,求ACS尸的面積；

(3)^BC=AD,求烏的值.

AE

C

【分析】(1)根據NA+NACD=NACD+N3c0=90。，可得N4=N3CD,再結合角平分線的定義可得

ZABE=ZCBE,即可得證.

(2)過點E作于點由角平分線的性質可得CE=A1E,利用AAMESAACB,求出ME的值，

進而可得5放=工45-上"=」xl0x3=15,由(1)知，ACBFsAABE,而相似三角形的面積比等于相似

iAvAioc22

比的平方，進而可得出答案.

(3)易知CE=ME,AAMEsAACB,ABC"ABAC,可得也=些，—=—,結合6C=AZ),可

AEABABBC

彳/曰早_C__E____E__M_____B_C_________B__C__________1__________1___可求出生的值，即可得出答案.

'AE~AE~AB~BD+AD~BDBCAB

BCAB

【解答】解：（1）證明：?.?CD為AB邊上的高,

.\ZADC=ZACB=90°,

ZA+ZACD=ZACD+ZBCD=90。,

:.ZA=ZBCD,

?.BE平分ZABC,

:.ZABE=/CBE,

:.ACBF^AABE.

(2)過點石作￡7以_1鉆于點

C

AC=8,

?.?HE是NABC的平分線，ZACB=ZBME=90。,

:.CE=ME,

?.?NA=NA，ZAME=ZACB,

:.^AME^/SACB,

.AEME

…BC'

設CE=ME=x,貝|AE=8—%，

8-x_x

----=一，

106

解得x=3,

S.ARF=-AB-EM=-x}0x3^l5,

AABE22

由(1)知，ACBF^AABE,

.S&CBF_(C3)2_9

一。一AB一五’

(3)由(2)知，CE=ME,AAME^AACB,

EM_BC

…~AE~~AB，

???/CBD=ZABC,ZA=ZBCD,

..ABCD^ABAC,

BC_BD

AB-BC'

\BC=AD,

CE_EM_BC_BC_1_1

…彘一?！稀狟D+AD-BD]JBCI

BCAB

.BCy/5-1

??—,

AB2

.CEA/5-1

..---=-----.

AE2

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質、角平分線的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答

本題的關鍵.

5.如圖，在蜘BC中，AB=AC,以AB為直徑作回。交BC于點D,過點。作回。的切線DE交AC于點E,交AB

延長線于點F.

(1)求證：DEEL4C；

(2)若A8=10,BF=—,求AE的長.

3

【答案】⑴見解析；(2)AE=8.

【分析】(1)連接OD、AD,由AB=AC且EIADB=90。知D是BC的中點，由。是AB中點知ODE1AC,根據

ODIBDE進一步求證即可；

(2)通過證明回ODFEHAEF,可得"="，據此進一步求AE的長即可.

AFAE

【詳解】(1)連接OD、AD,

A

回DE切回0于點D,

團0D團DE,

團AB是直徑，

團團ADB=90°,

回AB=AC,

團D是BC的中點，

又回。是AB中點，

團ODR1AC,

國OD團DE,

團DE回AC；

(2)團AB=10,

團OA=OB=OD=5,

2540

回OF=BO+BF=——，AF=BF+AB=——，

33

由(1)得OD團AC,

的ODF二團AEF,團F二團F,

的ODF釀AEF,

OFOD

回-------，

AFAE

團AE=8.

【點睛】本題主要考查了切線的性質與相似三角形的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.

考向三：“手拉手”旋轉型

模型三：“手拉手”旋轉型

模型展示：

旋轉放縮變換，圖中必有兩對相似三角形.

1、如圖，。為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且N3=/4.求證:

⑴AABDsACBE；

(2)AABCs4DBE.

證明：(1)：NA8C=NQBE,

:./ABC—2DBC=/DBE—/DBC,即N1=N2.

又N3=/4,.'.△ABDSACBE.

(2)VAABDsdCBE,

.ABDB?AB_CB

,,CB=EB"，DB=EB-

大NABC=NDBE,：.AABC^ADBE.

2.(2021?安徽,二模)在數學探究活動中，小夢進行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABCCBACB

=90。，AC=BC=13)和ADE(0AZ)E=9O。，AD=DE=5)的銳角頂點A重合，AO在AC邊上.

請完成下列探究：

(1)tanISABE的值為；

(2)將她。E繞點A順時針旋轉(旋轉角為銳角)，連接BE,當C,D,E三點在同一條直線上時，取線段

8E的中點M,線段。0的長為.

【答案】《6^2.

【分析】⑴因為AABC和AAD石是等腰直角三角形，可以得到NB4E=90。，即可求解；

⑵連接0M并延長至R使=連接8死CF,證明得到ABMF名AEMD,進而進行求解.

【詳解】（1）由圖形可得，AABC和AADE是等腰直角三角形，

ZACB=ZADE=90°f

^ZBAD=ZDAE=45°,

回NBAE=NEW+ND4￡=45。+45。=90。，

.一4AE^AD2+DE2505

在Rt\BAE中，tan/ABE==—/=尸=—,

ABVAC2+BC213613

⑵連接。M并延長至E使FN=DM,連接BECF,

如圖所示：

團M是8E中點，

X^FM=DM,ZBMF=ZEMD，

⑦ABMFmAEMD,

0BFIIDE,BF=DE,ZFBC+ZBCE=1SO0,

又團/BCE=ZBCA+ZACD,

團NBC4=90。，

團NFBC+ZACD=90。，

團NC4T>+NACD=90。,

⑦NFBC=/CAD,

^\AD=DE,BF=DE,

^\BF=AD,

在AfiCF和AACD中，

AC=BC,ZFBC=ZCAD,BF=AD,

0ABCF^MCD,

CF=CD,/BCF=ZACD,

ZFCD=ZFCA+ZACD=ZFCA+ZBCF=90°,

在中，

HAASAC=13,AD=549

^CD=yjAC2-Alf=12,

過M作陰7，。。于6,MG是AFCD中位線，

^\MG=-CF=-CD=6,

22

在mACMG中，CG=-CD=6,MG=6,

2

22

^CM=y/cG+MG=672.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質，正確作出輔助線，讀懂題意是解題的關鍵.

3.（2023?亳州三模）如圖1,在AABD和AACE中，ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE.

(2)如圖2,旋轉AADE,使點。落在邊上，若44C=NZME=9O。，NB=NADE.求證：CE±BC.

AR4D

【分析】(1)①根據兩個角相等可得AABD-AACE,得絲=絲，再根據NE4c=可證明結論;

ACAE

②由①知，當AB=AC時，AD=AE,則AADE是等腰三角形；

(2)同理證明AfiMSAG場，得NB=/ACE,再利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明結論.

【解答】(1)①證明：\-ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE,

:.AABD^AACE,

.ABAD

「AC-AE'

目口ABAC

ADAE

又,.?ZBAD=NCAE,

.\ZBAD+ZDAC=ZCAE^-ZDACf

即ZBAC=ZDAE,

.-.AABC^AADE；

②解：AADE是等腰三角形，理由如下：

由①知，空=生，

ADAE

\AB=AC,

AD=AE,

.?.A4DE是等腰三角形；

(2)證明：vZBAC=ZDAE,ZB=ZADE,

..ABAC^ADAE,

.ABAC

…~AD~^E'

.ABAD

…AC-AE'

又???44C—NZMC=NZ14E—NZMC,

,\ZBAD=ZCAEf

:.\BAD^\CAE,

:.ZB=ZACE,

???"4C=90。，

:.ZB+ZACB=90°,

..ZACE+ZACB=90°,

:.ZBCE=90°,

.\CE.LBC.

【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，直角三

角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

4.（2024九年級下?安徽?專題練習）（1）（問題發現）如圖1,VABC和VADE均為等邊三角形，點3,D,

E在同一條直線上.填空：

①線段30,色之間的數量關系為;

②NBEC=°.

(2)(類比探究)如圖2,VABC和VADE均為等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC^BC,AE=DE,

點、B,D,E在同一條直線上，請判斷線段8。，CE之間的數量關系及/3EC的度數，并給出證明.

(3)(解決問題)如圖3,在VABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,點。在A8邊上，DELAC千

點、E,AE=3,將VADE繞點A旋轉，當OE所在直線經過點B時，CE的長是多少？(直接寫出答案)

圖1圖2圖3

【答案】(1)①BD=CE；(2)60；(2)BD=42CE，ZBEC=45。,見解析；(3)2)或26+：

【分析】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解直角

三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問

題，屬于中考壓軸題.

(1)首先根據"CB和“ME均為等邊三角形，可得AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

ZADE=ZAED=6O°,據此判斷出=,然后根據全等三角形的判定方法，判斷出

△ABD^AACE,即可判斷出30=CE,NBDA=NCEA,進而判斷出,3EC的度數為60。即可；

(2)首先根據"CB和VADE均為等腰直角三角形，可得AC=BC,DE=AE,ZACB=ZAED=90°,

進而利用相似三角形的判定和性質解答即可；

(3)根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】解：(1)①?.?△ACB和均為等邊三角形，

:.AB^AC,AD=AE,ZBAC=N/ME=60°,ZADE=ZAED=60°,

:.ZBAC-ADAC=NDAE-ADAC,

即=

在△ABD和AC4E■中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.".AABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,NBDA=NCEA,

；點、B,D,E在同一直線上，

ZADB=180-60=120°,

.-.ZAEC=120o,

ZBEC=ZAEC-ZAED=120-60=60°,

綜上，可得/AEB的度數為60。；線段8。與CE之間的數量關系是：BD=CE.

②ZBEC=ZAEC-ZAED=120-60=60°；

故答案為：BD=CE；60；

（2）BD=V2C￡，ZBEC=45°.

理由如下：VABC和VADE均為等腰直角三角形，

ABAC=ZABC=ZADE=Z.DAE=45°,ZACB=ZAED=90°,

:.ZBAD=ZCAE,ZADB=135°,

24cAE/o

,/RtAASC和Rt^ADE中，sinZ.ABC=----,sinNADE=------,sin45°=—,

ABAD2

.ACAE_y[2

AB-

.ABAC

,,一,

ADAE

又/BAD=/CAE,

:.AABD^/\ACE,

BDABAD

..ZADB=ZAEC=135°,——=——=——，

CEACAE

??./BEC=ZAEC-ZAED=45°,

?.ACAE

安后，

AC

BD=^2CE;

(3)如圖3中,

圖3

/.A,B,C,E四點共圓，

.-.ZCEB=ZCAB=30P,ZABD^ZACE,

\'ZFAE=ZBAC=30°,

:.ZBAD=ZCAE,

.△BAD^ACAE,

，生=生33。。=走,

BDAB2

:.EC=—BD,

2

在RSADE中，，：DE=6ZDAE=30°,

:.AE=6DE=3,

BE=ylAB2-AE2=4，

:.BD=BE—DE=4—6,

:.CE=—BD=2y/3--，

22

如圖4中，當。，E,5在同一直線上時，同法可知BDuDE+ESud+g,CE=—BD=2s/3+-,

22

圖4

綜上所述，CE的長為26-|或26+|.

考向四：“一線三等角“模型

模型四：“一線三等角”模型

模型展示：

(1)“三垂直”模型

如圖1,ZB=ZD=ZACE=90°,則△/比S2\功￡

(2)“一線三等角”模型

如圖2,AB=Z.ACE=ZD,則△切￡

特別地，連接力￡,若。為M的中點，則次

(1)求證.：AABEsAECD；

(2)若.AB=4,AE.=BC=5,求CO的長.

解：(1)證明：'：AB±BC,DCLBC,.,.NB=/C=90°,

ZBAE+90°.

'：AE±DE,：.ZAED^90°,

：.ZAEB+ZDEC=9Q°,

：.ZBAE=ZDEC,

：.△ABEs^ECD.

(2)在RtAABE中，?.18=4,AE=5,

ADBE433

：.BE=3,：.EC=BC-BE=5-3=2."：AABE^A￡CD,上/=寧，六彳=不，:,CD予.

2、如圖，在△ABC中，AB=AC,點E在邊BC上移動(點E不與點B,C重合)，滿足且點

D,歹分別在邊AB,AC上.

⑴求證：4BDEs4CEF；

(2)當點E移動到8C的中點時，求證：FE平分/DFC.

證明：⑴：AB=AC,

：?/B=NC.

VZBDE=180°-ZB-ZDEBfZ.CEF=1800-ZDEF-ZDEBf且NDEF=/B,：.ZBDE=ZCRF.

???△BDEs"EF.

BEDE

Q)?：ABDEs^CEF,A?=—

CEDE

???點是的中點，；隹.

E5c.JBE=CE.KCr=￡Sr

火/DE.F=/B=/C,：.叢DEFsAECF.

：.ZDFE=ZCFE,即PE平分/DFC.

3.某數學興趣小組在學習了尺規作圖、等腰三角形和相似三角形的有關知識后，在等腰MBC中，其中

AB=AC,如圖1,進行了如下操作：

第一步，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交BA的延長線和AC于點E,F,如圖2；

第二步，分別以點E,F為圓心，大于々EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點。，作射線A。；

第三步，以D為圓心，DA的長為半徑畫弧，交射線AE于點G；

(1)填空；寫出回。。與13G4。的大小關系為—;

(2)①請判斷AD與BC的位置關系，并說明理由.

②當A3=AC=6,8C=2時，連接。G,請直接寫出等=―；

ACJ

(3)如圖3,根據以上條件，點P為的中點，點M為射線/W上的一個動點，連接PM,PC,當NCPM=NB

時，求4W的長.

【答案】⑴EIC4D=EIGAD；

(2)①ACfflBC；②3

(3)9

【分析】⑴根據題目的尺規作圖發現A。平分回CAG即可得到配AD=回G/W；

(2)①由A。平分13aG再結合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；

②易證AABC?A/MG,可得絲=絲=3

AGBC

(3)以M為圓心，的長為半徑畫弧，交射線8A于點N,由(2)可得/CPM=/B=ZN,

即可用一線三等角模型構造相似解題.

(1)

由尺規作圖步驟發現AD平分團CAG

回回。。二回GA。；

(2)

①團AB=AC

團/ABC=/ACB

回團CZ。二團G4。,ZCAG=Z.GAD+ACAD=ZABC+ZACB

^\ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB

加。團BC

(2)^\DA=DG

^\ZGAD=ZAGD

^1ZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB

BZGAD=ZCAD=ZABC=ZACB=ZAGD

團小ABC?△/14G

ADAB

回---=---

AGBC

^AB=AC=6,BC=2

ADABc

團——=—=3

AGBC

(3)

以M為圓心，MA的長為半徑畫弧，交射線BA于點N,如圖

BC

AAfAB

由(1)(2)^^ZNAM=ZCAM=ZB=ZACB=ZN,——=——=3

ANBC

設4V=%則4^=必/=3彳

回點P為AB的中點

B1PA=PB=-AB=3

2

0ZCPM=ZB

0NCPM=/B=NN

0Z.BCP=ZMPN=ZNPC-ZB

@ABPCfNMP

BPBC

團----=----

MNNP

39

回?==7,解得x=3

3xx+3

SAM=3x=9.

【點睛】本題考查尺規作圖中的作角平分線以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是能根據尺規作圖

的步驟判斷是作角平分線.

4.(1)問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點P為AB上一點，當/OPC=NA=/B=90。時，求證：ADBC^APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由.

（3）應用

如圖3,在AABC中，AB=20,NB=45。,以點A為直角頂點作等腰及△ADE.點。在BC上，點E在

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）CD=5

【分析】（1）由EIDPC=EM=B=90°,可得0/WP=ISBPC,即可證到EMOPsI3BPC,然后運用相似三角形的性質即

可解決問題;

（2）由回DPC=M=[3B=a,可得回ADP=I3BPC,即可證至膽lAOP。I3BPC,然后運用相似三角形的性質即可解決

問題;

（3）先證MBDSODFE,求出DF=4,再證EIEFCSMEC,可求FC=1,進而解答即可.

【詳解】(1)證明：如題圖1,

團團OPC二加二回B=90°,

團蜘DP+團4PD=90°,回BPC+朋PD=90°,

團蜘DP=回BPC,

團蜘DPs團BPC,

.ADAP

^\AD'BC=AP'BPf

(2)結論仍然成立，理由如下，

?//BPD=/DPC+/BPC,

又???ZBPD=ZA+ZADP,

Z.DPC+ZBPC=ZA+ZADP,

?;/DPC=ZA,

設NDPC=NA=a,

:./BPC=ZADP,

:./\ADPs4BPC,

,ADAP

一而一拓’

^1ADBC=APtBP,

(3)vZEFD=45°,

ZB=ZADE=45°,

:.ZBAD=ZEDF,

:.AABDS八DFE,

ABAD

"DF-DE?

???VADE是等腰直角三角形，

DE=\f2AD，

???AB=2V2，

:.DF=4,

???ZEFD=45°,ZADE=45°,

ZEFC=ZDEC=135°,

:.AEFCSADEC,

.FCEC

'~EC~~cb'

?,EC=?CD=DF+FC=4+FC,

:.EC?=FC?CD=FC(4+FC)=5,

;.FC=1,

CD=5.

【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構造45。角將問題轉化為一線三角是解題

的關鍵.

5.(2022?揚山縣模擬)如圖1,在四邊形ABCD中，AC是對角線，且＞1B=AC.歹是3c邊上一動點，

連接AF,DF,DF交AC于點、E,其中NZMF=9O。，ZAFD=ZB.

(1)求證：ACEC=BFCF；

(2)若AB=AC=1O,BC=16.

①如圖2,若DF//AB,求旦的值；

AB

【分析】(1)根據等腰三角形的性質得出ZAB尸=NFCE,再根據NAFC=NAFE+NEFC=NABF+NE4B

得出NEFC=NFAB,證AAB尸sAFCE,根據線段比例關系即可得出結論；

(2)①證AAB尸SACR4,得族=4生=122=史，再根據=2C-臺尸=老，最后利用平行線分線段成

BC1644

比例得出巨=c匕得出結論即可；

ABBC

②過點A,。分別作A〃J_3C,DNYFC,垂足分別為M,N,過點A作AGLDN于點G,根據三角

函數得出tanNAFD=——=tan5=—,證AAVFSAAGD,根據線段比例關系分別求出CF和DN的值即可

AF4

求出ADCF的面積.

【解答】(1)證明：?.?AB=AC,

,\ZABF=ZFCE,

?：ZAFD=ZB,ZAFC=ZAFE+ZEFC=ZB+ZFAB,

:.ZEFC=/FAB,

.,.AFABs^EFC,

.AB_BF

一正一演’

即至?石。=6FCF；

(2)解：①?.?。尸//AB,

:.ZBAF=ZAFE,

:.ZBAF=ZACB,

又?.ZABF=NCBA,

..AFAB^AACB,

ABBF

BC-AB

...CF=BC—BF=——

4

*：DF1/AB,

.EFCF39

"A3-BC-16-64'

②如圖，過點A,。分別作DN1FC,垂足分別為M,N,過點A作AG_LDN于點G,

A一D

A/FNC

在AABC中，AB=AC,AM.LBC,

:.BM=CM=8,則AM=JAB?-3吠=6,

“AM3

..tanB------——,

BM4

\ZAFD=ZB,ZDAF=90°,

AjT)3

/.tanZAFD------=tanB=—,

AF4

?.?ZAMN=Z.GNM=ZAGN=90°,

二.四邊形MNG4是矩形，

:.GN=AM=6,NM4G=90。，

又???ZEW=90。，則/7^^+/融6=^1146+/以6=90。，

ZFAM=ZDAG.

X?/ZAMF=ZAGD=90°,

「.AE4MsAZMG,

.-G池_3

"AM-AF-4?

3Q

則AG=_AM=_

42

9

?.MN=AG=-

2

Q7

貝(JQV=CM—肱V=8——=—

22

??DF=CD,

,\CF=2CN=1,

:.FM=CM—CF=\,

由AE4AfsS4G,

-曰DGAD3

得---=——=一，

FMAF4

3

DG=-

4

327

:.DN=DG+GN=-+6=—

44

127189

S=-CFDN=—x7x——=-----

AnrF248

【點評】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質及平行線分線段成比例等知識是

解題的關鍵.

6.矩形408C中，0B=4,0A=3.分別以08、0Z所在直線為x軸、y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標

系.F是BC邊上一個動點(不與B、C重合).過點F的反比例函數y="(k>0)的圖象與邊AC交于點E.

X

⑴當點F運動到邊BC的中點時，點E的坐標為.

⑵連接EF,求回FEC的正切值;

⑶如圖2,將團CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊0B上的點G處，求BG的長度.

【答案】⑴(2,3)

(2)t

⑶:

【分析】(1)求出點F的坐標，進而求出反比例函數的表達式，即可求解;

(2)CF=BC-BF,CE=AC-AE,求出CF、C