培優(yōu)專題一：相交線與平行線

i脈絡(luò)

對頂角

兩直線相交

垂線及其性質(zhì)點到直線的距離

相交線

兩條直線被第

三條直線所截

平行線的判定

基本事實

平行線

（平行公理）平行線的性質(zhì)

圖形的平移

題型導(dǎo)覽

題型一:推理填空

題型二:拐點問題

題型三:折疊問題

題型四：旋轉(zhuǎn)問題

題型五：定值及存在性問題

題型六：關(guān)系探究及動點問題

題型七：實際應(yīng)用場景分析問題

。知識盤點?查漏補(bǔ)缺。

1.對頂角的概念及性質(zhì)：兩直線相交所成的角中，把其中相對的任何一對角叫作對頂角.對

頂角的頂點相同，角的兩邊互為反向延長線.任意兩個對頂角，由于它們的補(bǔ)角相同，所以

它們是相等的，即對頂角相等.

2.垂線、垂線段等概念：當(dāng)兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個是直角時，我們就說

這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.從

直線外一點向已知直線作垂線，這

試卷第1頁，共23頁

點與垂足之間的線段叫作垂線段（垂線段的長度叫作點到直線的距離）.用三角尺或量角器

過一點畫已知直線的垂線如右圖所示.

A

r--''J

/w>1

I

3.垂線的性質(zhì)：①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與己知直線垂直.②連結(jié)直線

外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.

4.“三線八角”：兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個角，稱為“三線八角”，這八個角中，

同位角有四對，內(nèi)錯角有兩對，同旁內(nèi)角有兩對.右圖中同位角有（找'F'）：Z1和45,Z4

和48,N2和46,N3和N7；內(nèi)錯角有（找2）:43和N5,44和N6；同旁內(nèi)角有（找“。）：

k

21

N4和乙5,43和N6.34

5.平行線的概念及基本事實：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線，“平行”用符

號“〃”表示.經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

6.用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線，如下圖所示.

7.平行線的判定方法：①根據(jù)定義判定.②三個判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)

錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.③平行的傳遞性.④在同一平面內(nèi),

垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.

8.平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等.②兩直線平行，內(nèi)錯角相等.③兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

9.平移的概念及性質(zhì)：一個圖形沿某個方向移動，在移動過程中，原圖形上所有的點都沿

試卷第2頁，共23頁

同一個方向移動相等的距離，這樣的圖形運動叫作圖形的平移.平移不改變圖形的形狀和大

小.一個圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行（或在同一條直線上）

且相等.

［。題型突圍?精準(zhǔn)提分。］

推理填空

【例1-1】

1.已知：如圖，zl=z2,N3=NE,試說明：NA=NEBC,（請按圖填空，并補(bǔ)理由，）

證明：?.21=42（已知），

-,.zE=z,

又「NE=N3（已知），

??23=4（等量代換），

II（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）,

?,.zA=zEBC,

【例1-2】

2.已知如圖，NB+N3=90。,NB+NE=9Q。,Nl=NE,求證40平分請完善證明過

程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù).

證明：因為/8+/3=90。,/8+/￡=90。，（已知）

所以_=/E,()

所以NZ>〃EG,()

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所以N2=/l,（）

因為N1=NE,（已知）

所以N2=NE,

所以（等量代換）

所以/。平分/8/C.（角平分線的定義）

【變式1-11

3.如圖，ABLBF,CD±BF,Zl=Z2,試說明N3=NE.

證明：?.?48_L8尸，CDYBF（已知），

：.NABD=NCDF=9Q。（）,

.-.//（同位角相等，兩直線平行），

???Zl=Z2（已知），

AB//EF（）,

CD//EF（）

?■.Z3=Z￡（兩直線平行,同位角相等），

4.請補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù).已知：如圖，BC11ED,BD平分ZABC,EF平分NAED,

求證：BD//EF.

證明：因為8。平分/4BC,所平分2/磯）,（已知）

所以N2=L/ABC,（）

22

因為2C〃EZ）,

所以（）

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所以;

所以N1=N2,()

所以aD〃斯.()

【解題方法總結(jié)】明確表達(dá)原則：①因為啥，所以啥，作出的結(jié)論要有知識依據(jù).②求誰

先寫誰，先表達(dá)數(shù)量關(guān)系(類似先寫公式)，再代入求值.③多方向思考能夠找到中間量去

“搭建橋梁”來支持結(jié)論.這些能力都需要牢記相關(guān)知識點：平行公理及其推論、判定方法和

性質(zhì)，題目就像積木一樣，把幾個簡單的內(nèi)容組成一個稍復(fù)雜的復(fù)合體，多思考即可識破.

拐點問題

單拐點模型

多拐點模型(整體代換思想)

試卷第5頁，共23頁

【例2-1】

5.如圖，已知Z1=3O°,Z2=35°,則/BCE的度數(shù)為（)

C.35°D.45°

【例2-2】

6.如圖所示，h\\l2,41=105°,Z2=14O°,則43的度數(shù)為()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【例2-3】

7.如圖，已知448c=80°,ZCDE=140°,則/BCD=

【例2-4】

8.甲同學(xué)在學(xué)完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進(jìn)一步探索相交線與平行線

的知識，他的具體操作步驟如下：

第一步：將一根鐵絲在處彎折得到如下圖①的形狀，其中NC〃DE,CD//BE.

第二步:將。E繞點D旋轉(zhuǎn)一定角度,再將BE繞點E旋轉(zhuǎn)一定角度并在BE上某點F處彎折,

得到如下圖②的形狀.

/

"_/

B--------T

RI2

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請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：

(1)如圖①，若NC=2ND,求NE；

(2)如圖②，若AC〃BF,請判斷瓦/尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式2-1]

9.如圖，己知ABIICD/EAF=；NEAB/ECF=；NECD，則NAFC與NAEC之間的數(shù)量關(guān)系

是________________________

【變式2-2]

10.如圖，直線hllk，41=20。，則N2+N3等于()

【變式2-3]

11.如圖，已知4B〃C。，若BG平分NABE,DF平分NCDE,BG與。尸的反向延長線

交于點"，試確定ZE與的關(guān)系，并說明理由.

12.如圖，AB//CD,MN交AB于點、M,交CD于點N,點尸在的延長線上，NNCP的

平分線與ZNMB的平分線交于點O,則手口=.

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M

AB

/P

【解題方法總結(jié)】遇到拐點作平行線，有多少拐點就作多少平行線，選擇題和填空題模型結(jié)

論直接套用，大題需要給出證明過程，再結(jié)合題目給的條件，靈活轉(zhuǎn)換角度和線段之間相互

關(guān)系，從而求解.

折疊問題

【例3】

13.如圖，已知長方形紙片/BCD,點￡和點尸分別在邊和8c上，且乙EFC=37。，點〃

和點G分別是邊40和3C上的動點，現(xiàn)將點B,C,。分別沿E尸,G77折疊至點N,

M,P,K,若MN//PK,貝吐K/m的度數(shù)為（）

A.37°或143°B.74。或96°C.37°或105°D.74。或106°

【變式3-1】

14.已知"，N分別是長方形紙條4BCD邊AB,CD上兩點（AM>DN）,如圖1所示，

沿M,N所在直線進(jìn)行第一次折疊，點aD的對應(yīng)點分別為點E,F,EM交CD于點、P；

如圖2所示，繼續(xù)沿尸M進(jìn)行第二次折疊，點5,C的對應(yīng)點分別為點G,H,若N1=N2,

則/CPM的度數(shù)為（）

A.74°B.72°C.70°D.68°

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【變式3-2]

15.如圖，將一條長方形彩帶/BCD進(jìn)行兩次折疊，先沿折痕九W向上折疊，再沿折痕/加

向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角22=26。，則第一次折疊時N1應(yīng)等于

【解題方法總結(jié)】折疊的本質(zhì)是軸對稱，找到對應(yīng)的角相等、對應(yīng)的線段相等，折痕可看成

角平分線或垂直平分線.其中雙平等腰模型很常見，即平行加角平分線會出現(xiàn)等腰三角

形.利用好題目中的條件和折疊后的隱含條件是解決這類問題的關(guān)鍵.

旋轉(zhuǎn)問題

【例4】

16.將一副直角三角板如圖1,擺放在直線兒加上(直角三角板/3C和直角三角板EDC,

NEDC=90。,/DEC=60。，ZABC=90°,ZBAC=45°),保持三角板EDC不動，將三角

板N8C繞點C以每秒5。的速度，順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)/C與射線CN重合

時停止旋轉(zhuǎn).

圖1圖2

⑴如圖2,當(dāng)NC為/OCE的角平分線時，直接寫出此時，的值；

⑵當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至ZDCE的內(nèi)部時，求ZDCA與NECB的數(shù)量關(guān)系.

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板/3C的其中一邊與血平行時，請直接寫出此時/的值.

【變式4-1]

17.如圖(1),在三角形/8C中，乙4=38。，邊繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原

來的位置.在旋轉(zhuǎn)的過程中(圖(2),使C8'〃48,則()

試卷第9頁，共23頁

D.38°或52°

【變式4-2】

18.在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，￡在NC上,

ZC=ZDAE=90°,/B=60°,ND=45。.小明將從圖中位置開始，繞點A按每秒6。

的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第一秒時，邊N5與邊。E平行.

【解題方法總結(jié)】旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)即線段長度不變，故分析題目時可以抓住旋轉(zhuǎn)三角形、旋轉(zhuǎn)中

心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)范圍去考慮，如是三角形的邊平行情況可以分三個線段仔細(xì)分析.當(dāng)然

以上變量條件越多，旋轉(zhuǎn)的題目越復(fù)雜，很考驗動態(tài)過程的感知，本題型需要多加練習(xí)和想

象.

定值及存在性問題

【例5】

19.已知AB//CD,P是截線MN上的一點，MN與CD,48分別交于￡,F.

求的度數(shù);

(2)如圖(1),當(dāng)點P在線段E尸上運動時，/CD尸與的平分線交于Q,則是

否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍;

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⑶如圖(2),當(dāng)點尸在線段尸E的延長線上運動時，/CD尸與ZN8P的平分線交于。，

的值是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由.

【變式5-1]

20.如圖1,直線/i〃4，點/，8在直線4上，點、C、。在《上，線段交線段8c于點

E,>ABED=60°.

(1)求證：ZABE+ZEDC=60°；

(2)如圖2,當(dāng)F,G分別在線段/￡、EC上,且ZABF=2NFBE,ZEDG=2ZGDC,標(biāo)記

NBFE為,NBGD為/2.

①若Nl-N2=16。，求/4DC的度數(shù)；

②當(dāng)先為何值時，化/1+/2)為定值，并求此定值.

【變式5-2]

21.【注重閱讀理解】閱讀以下材料:

已知點8,。分別在/K和CF上，且C/〃/K.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NCOE=22。，ADEB=75°,則—ABE的度數(shù)為

(2)如圖2,BG平分~NABE,G8延長線與NED尸的平分線交于77點，若NDEB比NDHB

大60。，求的度數(shù).

⑶保持(2)中所求的NDEB的度數(shù)不變，如圖3,■平分NEBK,DN平分NCDE,作

BP//DN,則的度數(shù)是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

【解題方法總結(jié)】此類問題比較綜合，首先需完全掌握相交線與平行線的相關(guān)知識，可從以

下角度考慮問題：①觀察有沒有自己熟知的模型，可以先套用結(jié)論；②構(gòu)造相關(guān)的輔助線;

③因為是定值或者是否存在，那么可以利用特殊值法進(jìn)行探路，考慮特殊情況及邊界條件

試卷第11頁，共23頁

先把答案做出來；④條件較多時需要進(jìn)行梳理，一般可用方程思想設(shè)邊設(shè)角，哪怕設(shè)多個

未知數(shù)也不要慌張，因為如果最后是比值或者等量的關(guān)系，多個未知數(shù)也可以用整體代換約

掉，不影響最后的定值.

關(guān)系探究及動點問題

【例6】

22.如圖1,已知直線NM〃8G,點C為射線8G上一動點，過點（7作交于點

。，點E在線段48上，4DCE=90。,點尸在線段40上，4FCG=90°,點8在線段2c上,

UHG=90°,4ECF=60°.

備用圖

（1）寫出一個與4toe相等的角一（寫一個即可）;

（2）如圖2,求N8C。的度數(shù)；

⑶若點尸是京線上的一點，點〃是亶線3G上的一點，在點C的運動過程中（點C不

與點8、〃重合），求乙8/斤的度數(shù).

【變式6-1]

23.如圖，點￡在射線D4上，點尸、G為射線上兩個動點，滿足NDBF=NDEF,

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)點G在尸右側(cè)時，求證：BD//EF；

（2）如圖2,當(dāng)點G在尸左側(cè)時，求證：ZDGE=ZBDG+ZFEG；

⑶如圖3,在（2）的條件下，尸為AD延長線上一點，DM平分■NBDG,交BC于點M,DN

平分APDM交EF于點、N,連接NG,若DGING,NB-ZDNG=ZEDN,則NB的度數(shù).

【變式6-2]

24.已知直線//〃以直線小〃分別與//，12交于點、B,尸和4E,點P是直線乙上一動點

（不與點8,廠重合），設(shè)4氏4尸=41,乙PEF=QZAP￡=N3.

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⑴如上圖，當(dāng)點P在8,尸兩點之間運動時，試確定N1,42,Z3之間的關(guān)系，并給出證明；

(2)當(dāng)點尸在3,尸兩點外側(cè)運動時，試探究Nl,N2,43之間的關(guān)系，畫出圖形，給出結(jié)論，

不必證明.

【解題方法總結(jié)】此類問題比較綜合，首先需完全掌握相交線與平行線的相關(guān)知識，可從以

下角度考慮問題：①觀察有沒有自己熟知的模型，可以先套用結(jié)論；②如果是角度的關(guān)系

探究需熟練三角形內(nèi)角和、外角和定理，角平分線等相關(guān)模型.動點問題需分析運動過程,

明確動點的運動路徑、速度、起點、終點以及時間范圍，可按照題意分段研究，也可以用特

殊位置為關(guān)鍵突破口，條件較多時要進(jìn)行梳理，多用分類討論的思想來分析.

實際應(yīng)用場景分析問題

【例7】

25.如圖1是一蓋可折疊臺燈.圖2、圖3是其平面示意圖，支架/8、8C為固定支撐桿,

支架0c可繞點C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié).已知燈體頂角/。。￡=52。，頂角平分線。尸始終與OC垂直.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)支架0C旋轉(zhuǎn)至水平位置時，。。恰好與8c平行，求支架2c與水平方向的夾

角的度數(shù)；

⑵若將圖2中的0C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15。到如圖3的位置，求此時。。與水平方向的夾角

NOQM的度數(shù).

【變式7-1]

26.探照燈、汽車燈等很多燈具的光線都與平行線有關(guān)，如圖所示是一探照燈碗的剖面，從

位于。點的燈泡發(fā)出的兩束光線OC,經(jīng)燈碗反射以后平行射出，其中乙42。=38°,

試卷第13頁，共23頁

/DC。=78。，則/BOC的度數(shù)是

【變式7-2］

27.如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁￡尸始終平行于48,E/與上拉桿CF形成的

N尸=140。，主柱40垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿3c的位置來調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)

NCr>2=35。時，點〃，D,8在同一直線上，則N”的度數(shù)是一.

【解題方法總結(jié)】仔細(xì)閱讀情境，結(jié)合生活常識，分析出所學(xué)的模型（建模）.實際應(yīng)用場

景問題難點在于審題和提取關(guān)鍵信息，平時可多留意由相交線與平行線所組成的方方面面:

如窗戶、樓梯、高鐵軌道、尺子、光線、各類運動場地（劃線的）、大雁、蜂巢等，今后數(shù)

學(xué)知識也更是結(jié)合生活情境來應(yīng)用.

［。好題必刷?強(qiáng)化落實。］

一、單選題

28.如圖，a\\b,設(shè)/1=（3加+10）。，Z4=（7m-30）°.下列說法中，正確的是（）

A.若/2=/3,貝1|/2=（3加-10）。；B.若N1=N4,則/3=（加+30）。；

C.若21=2/2=2/3,則/2=（3加）。；D.若/1=/2=/3,則/2=（5加-10）。；

29.把一副三角板擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點重合，己知乙4=60。，

NB=30。，ND=NE=45。，若2。〃。￡,則44。。的度數(shù)是（）

試卷第14頁，共23頁

-B

A.

A.100°B.120°C.135°D.150°

30.光線經(jīng)過不同介質(zhì)時，會發(fā)生折射，平行的光線經(jīng)折射后仍是平行的光線.如圖，有兩

束平行光線在油和水中先后發(fā)生折射，若/1+/2=150。，則N3-N4的度數(shù)為（）

C.35°D.40°

31.下列說法;

①a,仇c是直線，若a||6,b||c,則a||c；

②夾在兩條平行線間的線段的長度，叫作這兩條平行線的距離；

③不相交的兩條直線叫作平行線；

④經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

32.如圖，已知長方形紙片48CD,點￡在邊上，點、M、N在邊上,連接EN、

EN.將NCEM對折使點C落在直線瓦/上的點C'處，得折痕EP；將/DEN對折，使點。

落在直線EN上的點。處，得折痕E0.若NPEQ=a,則/MEN用含a的式子表示為

（）

試卷第15頁，共23頁

A.-?-30°B.6Q°--aC.2（z-180°D.1800-2a

22

33.如圖，將長方形/8CD的一角折疊，以CE（點E在45上，不與4臺重合）為折痕，

得到/CQE,連結(jié)/夕，設(shè)NDCB，,乙4夕￡的度數(shù)分別為4分，若則a,尸之間

的關(guān)系是（）

DC

（1^7

K：

LA//?

AE......R

A.B=2aB.Z7=45°+-?C.6=45。+&D./?=90°-a

2

34.如圖，直線AB"CD,點、E、M分別為直線42、CD上的點，點N為兩平行線間的點,

連結(jié)NE、NM,過點N作NG平分NENM交直線CD于點G,過點、N作NFLNG,交直線

CD于點尸，若NBEN=160°,則/NGD-/ACVF的度數(shù)為（）

A.110°B.115°C.120°D.125°

35.學(xué)習(xí)近平行線后，小敏想出了過己知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通

過折一張半透明的紙得到的（如圖（1）?（4））,從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（）

①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

試卷第16頁，共23頁

③同位角相等，兩直線平行;

④內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

36.如圖，AB"CD,點E為AB上方一點、,FB,CG分別為ZEFG,ZECD的角平分線，若

ZE+2ZG=210°,貝的度數(shù)為()

C.130°D.160°

37.如圖，AB〃CD、PG平分NEPF,NA+NAHP=18。°,下列結(jié)論:

①CD〃PH；@ZBEP+ZDFP=2ZEPG；③NFPH=4GPH；④

/BEP—ADFP

ZA+ZAGP+ZDFP-ZFPG=180°；⑤若ZBEP>ZDFP,貝！|-------------=2,

Z.GPH

A.2個B.3個C.4個D.5個

試卷第17頁，共23頁

二、填空題

38.已知：如圖，點。是射線48上一動點，連接C。，過點。作DE〃臺C交直線ZC于點

E,若/4BC=84°,ZCDE=20°,則—4DC的度數(shù)為.

39.如圖，在△NBC中，ZABC=90°,ZCAB=35°,。是線段N3上的一個動點，連結(jié)

CD,將△CDB沿著CD翻折，得到ACOE,當(dāng)ACDE的三邊與△4BC的三邊至少有一組邊

平行時，/CDB的度數(shù)是.

40.如圖是由螳螂抽象出的簡筆畫，已知NA4c=120。,/。=85。，且則

ZACD=

41.如圖，直線4B〃C。，M、N分別為直線48、CD上一點，且滿足/3AW=37。，尸是

射線MB上的一個動點（不包括端點M）,將三角形尸女W沿尸N折疊，使頂點〃■落在點。

處.若乙DNQ，4PND,則NPVD的度數(shù)為.

42.有三面鏡子如圖放置,其中鏡子43和BC相交所成的角NABC=110°,已知入射光線EF

經(jīng)反射后，反射光線與入射光線斯平行，若ZAEF=a,則鏡子8C和CD相交

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所成的角.(結(jié)果用含a的代數(shù)式表示)

43.如圖，兩條平行直線4,4被直線N2所截，點。位于兩平行線之間，且在直線43右側(cè),

點E是4上一點，位于點A右側(cè).小明進(jìn)行了如下操作：連接/C,BC,在NE/C平分線

上取一點。，過點。作。尸〃2C,交直線4于點尸.記乙4c3=a,NCBF=(3,

/ADF=y,貝l]/=（用含a,方的代數(shù)式表示).

三、解答題

44.利用直尺畫圖:

圖⑶

(1)利用圖1中的網(wǎng)格，過P點畫直線N2的平行線和垂線;

(2)把圖(2)網(wǎng)格中的三條線段通過平移使三條線段/8、CD、E廠首尾順次相接組成一個

角形;

(3)在圖(3)的網(wǎng)格中畫一個三角形：滿足①是直角三角形；②任意兩個頂點都不在同一

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條網(wǎng)格線上；③三角形的頂點都在格點上(即在網(wǎng)格線的交點上).

45.如圖，AE平分/BAC,ZCAE=ZAEC.

⑴判斷與。是否平行，并說明理由.

Q)若GF〃CD,EF工AE,ABAC=4ZF,求NEE。的度數(shù).

46.已知N8//CD,點M為直線NC上的動點(點M不與點4C重合)，交直線

CD于E.

(1)如圖1,當(dāng)點M在。上時，若/M48=46。，則NMEC=_；

(2)如圖2,當(dāng)點〃在C4的延長線上時，與/MEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論,

并說明理由；

(3)當(dāng)點”在ZC的延長線上時，NM48與/MEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直按寫出結(jié)論.

47.如圖1,自行車尾燈是由塑料罩片包裹的若干個小平面鏡組成，利用平面鏡反射光線,

以提醒后方車輛注意.小亮所在學(xué)習(xí)小組對其工作原理進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：如圖2,EF

為平面鏡，AB,2C分別為入射光線和反射光線，則乙=尸.請繼續(xù)以下探究：

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反%射、點一二嬰三擎看-k點A.

反福車后光線o

圖4圖5

（1）探究反射規(guī)律

①如圖3,AABE=a,/BFC=105。,則4>CG=（用含。的代數(shù)式表示）.

②若光線N8〃C。，判斷所與尸G的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）模擬應(yīng)用研究

在行駛過程中，后車駕駛員平視前方，且視點。會高于反射點C（如圖4）,因此小亮認(rèn)為

反射光線C。應(yīng)與水平視線成一定角度.學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如圖5所示的模擬實驗裝置，使

入射光線48〃OH,當(dāng)與。〃所成夾角為15。時，求/8FC的度數(shù).

48.如圖，ABHCD,定點￡,尸分別在直線/氏CD上，在平行線N8,CZ）之間有一動點

P,且滿足0。<80。，QE,。尸分別平分乙?班和乙所D.在探究乙￡尸尸與NE0尸之間

的數(shù)量關(guān)系時，我們需要對點P的位置進(jìn)行分類討論：

（1）如圖1,當(dāng)P點在斯的右側(cè)時，若乙"尸=110。，則乙理尸=；猜想NEP尸與NEQF

的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果;

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(2)如圖2,當(dāng)尸點在所的左側(cè)時，探究乙分戶與乙￡。尸的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

(3)若4E0與U)FQ的角平分線交于點Q2EQ1與ADFQi的角平分線交于點Q2,/-BEQ2

與乙竹的角平分線交于點。3；…以此類推，則乙"/與乙也202#滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

49.錢塘江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

江水及兩岸河堤的情況.如圖，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線

自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是a。/秒,

燈B轉(zhuǎn)動的速度是b。/秒，且a、b滿足|a-3b|+(a+b-4)2=0.假定這一帶長江兩岸河堤

是平行的，即PQIIMN,且NBAN=45。.

⑴求a、b的值；

(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)

動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點C,過C作

CD1AC交PQ于點D,則在轉(zhuǎn)動過程中，NBAC與NBCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不

變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍.

50.根據(jù)素材，完成下列任務(wù)

江景燈光秀

今年除夕夜小周江邊觀賞燈光秀時，發(fā)現(xiàn)兩岸燈光在有規(guī)律

的旋轉(zhuǎn).如圖②，/燈射出的光線44'從/尸開始逆時針旋轉(zhuǎn)

素材

至/。便立即回轉(zhuǎn)，8燈射出的光線88'從8N開始逆時針旋

轉(zhuǎn)至9便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停旋轉(zhuǎn).假定江兩岸平行，即

PQ//MN.

素材8燈射出光線的轉(zhuǎn)動的速度為1%,/燈有兩種型號可供選擇:

二型號/的速度為5。右，型號n的速度為4。人.

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為了呈現(xiàn)不同的投射效果，小周觀察發(fā)現(xiàn)8燈先轉(zhuǎn)動15s后/

燈才開始轉(zhuǎn)動，且/燈轉(zhuǎn)動35s時兩燈的光束剛好互相垂直.

問題解決

任務(wù)

請你判斷/燈所安裝的型號，并說明理由.

任務(wù)當(dāng)8燈的光束第一次達(dá)到BM之前，兩燈的光束能否互相平行，如果能互相平行，

請求出此時燈/旋轉(zhuǎn)的時間.

51.如圖1,N/CB=90°,MA\\BN.

(1)(^)如果/他4。=28。，求/C2N的度數(shù)；

②設(shè)NM/C=a,NCBN=。,直接寫出a、夕之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)如圖2,/MAC、/CBN的角平分線交于點P,當(dāng)/朋ZC的度數(shù)發(fā)生變化時，//P2的

度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請說明理由；如果不變，請求出N/P8的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，若/M4C=44。，點E為射線8N上的一個動點，過點￡作石尸〃2C

交直線4尸于點尸，連接EP.己知/FEP=15。，求/8PE的度數(shù).

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1.見解析

【分析】根據(jù)平行線的判定得出DBIIEC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NE=N4,求出乙3=44,根

據(jù)平行線的判定得出ADHBE即可.

【詳解】證明：?.21=42（已知），

???DBHEC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

??.ZE=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

又?./E=N3（已知），

.?.z3=z4（等量代換），

??.ADIIBE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

.-.ZA=ZEBC（兩直線平行，同位角相等），

故答案為：DB,EC,內(nèi)錯角相等，兩直線平行，4,兩直線平行，內(nèi)錯角相等，4,AD,

BE,兩直線平行，同位角相等.

【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)和判定定理，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注

意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然.

2.見解析

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)的運用，角平分線的定義，掌握平行線的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意得到N3=NE,則ND〃EG,由平行線的性質(zhì)，等量代換得到/2=/3,結(jié)合角

平分線的定義即可求解.

【詳解】證明：因為48+/3=90。,/3+/￡=90°,（已知）

所以/3=/E,（同角的余角相等）

所以NO〃EG,（同位角相等，兩直線平行）

所以N2=N1,（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

因為N1=NE,（已知）

所以N2=NE,

所以N2=/3,（等量代換）

所以/。平分NA4c.（角平分線的定義）

3.垂直的定義；AB；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線平行.

【分析】根據(jù)垂直定義得出=/CD尸=90。，根據(jù)平行線的判定定理得出

答案第1頁，共52頁

AB//EF,求出CD〃斯，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理得出即可.

【詳解】解：證明：既，CDA.BF（已知），

:./ABD=/CDF=90。（垂直的定義），

AB//CD（同位角相等，兩直線平行），

Zl=Z2（已知），

AB//EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

：.CD//EF（平行于同一直線的兩直線平行），

："3=4E（兩直線平行，同位角相等），

故答案為：垂直的定義；AB-,CD-內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線

平行.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理和判定定理，能熟記平行線的性質(zhì)定理和判定定理是

解此題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)定理：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角

相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然.

4.見解析

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)角平分的定義得到=N2=；NABC,由平行的性質(zhì)得到//ED=//2C,

則Zl=Z2,結(jié)合平行線的判定方法即可求解.

【詳解】證明：因為平分平分/4ED,（已知）

所以=N2=；4BC,（角平分線的定義）

因為8C〃￡D,

所以N4ED=N4BC,（兩直線平行，同位角相等）

所以=

所以N1=N2,（等量代換）

所以BD〃EF.（同位角相等，兩直線平行）

5.B

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)，合理作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

如圖所示，過點。作。司貝UBIIC尸||￡>E,得至IJZl=N8C尸,N2=NEB,由

ZBCE=ZBCF+ZECF,即可求解.

答案第2頁，共52頁

【詳解】解：如圖所示，過點C作c廠||48,

AB||CF||DE,

Zl=ZBCF,Z2=NECF,

ZBCE=ZBCF+ZECF,

.?.23CE=Z1+N2=65°,

故選：B.

6.C

【分析】首先過點/作/司//,由m/2，即可得/2II//M，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，即可求得N4與N5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得N3的度數(shù).

【詳解】解：

過點/作/8憶，

-ABWljWh，

z1+z4=1800,z2+z5=1800,

vzl=105°,z2=140°,

.-.z4=75o,z5=40°,

??24+45+23=180。,

??23=65。.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).

7.40°

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，正

確做出輔助線.

答案第3頁，共52頁

過點C作C歹〃N8,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差，求解即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點C作

:.NBCF=NABC=8。。,

又；AB\\DE,

DE//CF,

ZDCF+ZCDE=180°,

.-.ZDC^=180°-140°-40°,

NBCD=NBCF-ZDCF=80°-40°=40°,

故答案為：40°.

8.(l)Z￡=60°；

(2)ZC+NCDE=NDEF+NF,理由見解析

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到/C+/D=180。，結(jié)合題意，得到3/0=180。,

由CD〃8E,得到/￡=/￡>=60。，即可求解；

(2)如圖所示，過點分別作NC的平行線。可得EM〃DN,設(shè)

NMED=4NDE=a,結(jié)合題意得到4C〃,貝|

ZC+ZCDE+a=180°,ZDEF+a+ZF=1SO0,由此即可求解.

【詳解】(1)-.-AC//DE,

.-.ZC+ZJD=180°,

???ZC=2ND,

.?.3〃=180°,

解得：乙0=60。，

■.-CD//BE,

.?./￡1=〃=60°；

(2)解:如圖所示，過點2E分別作NC的平行線

答案第4頁，共52頁

：,EM//DN,

ZMED=ZNDE,設(shè)/MED=/NDE=a,

又???ZC〃B尸，

??.AC//DN,ME//BF,

.?./C+/C0E+a=18O。，NDEF+a+/F=180。,

.-.ZC+ZCDE=/DEF+ZF.

9.4zAFC=3zAEC

【詳解】【分析】連接AC,設(shè)』EAF=x。，zECF=y°,zEAB=4x°,zECD=4y°,根據(jù)平行線

性質(zhì)得出NBAC+ZACD=18O。，求出乙CAE+4ACE=180。-(4x°+4y°),求出/AEC=4

(x°+y°),ZAFC=3(x°+y°),即可得出答案.

【詳解】連接AC,設(shè)NEAF=x。，zECF=y°,zEAB=4x°,zECD=4y°,

vABIICD,

.-.ZBAC+ZACD=18O°,

.-.zCAE+4x°+zACE+4y°=180°,

/.ZCAE+ZACE=18O°-(4x°+4y°),ZFAC+ZFCA=18O°-(3x°+3y°),

.-.zAEC=180°-(ZCAE+ZACE)

=180°-[180°-(4x°+4y°)]

=4x°+4y°

=4(x°+y°),

zAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)

=180°-[180°-(3x°+3y°)]

=3x°+3y°

=3(x°+y°),

3

.*.ZAFC=-ZAEC,

4

BP：4zAFC=3zAEC,

答案第5頁，共52頁

故正確答案為：4zAFC=3zAEC.

【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ).

10.D

【分析】過42的頂點作b的平行線1,則II山11b，由平行線的性質(zhì)得出44=41=20。，

zBAC+z3=180°,即可得出N2+Z_3=200。.

【詳解】過N2的頂點作12的平行線1，如圖所示：

則叩I世，

.-.z4=zl=20°,zBAC+z3=180°,

.?.z2+z3=180o+20o=200°；

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);

兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

11.ZE=2NH,理由如下

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合分析

思想是解題的關(guān)鍵.

方法一：過點E作近過點“作N"〃48,根據(jù)平行線的性質(zhì)，

48E+/3=180。，ZCD￡1+Z3+Z4=180o,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得==,

ZCDF=ZEDF=|ZCDE,根據(jù)等量代換，可得2》+/3=2歹+/3+/4=180。，推出

N4=2x-2y,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得NNHG=Nl=x,/N如=/。尸=＞，根據(jù)角之間

的數(shù)量關(guān)系，可得NGHF=ZNHG-2NHF=x-y,即可.

方法二：如圖所示，延長交于點P,延長8交G8于點。，由平行線的性質(zhì)得到

答案第6頁，共52頁

/CDE=NAPE,AABH=/CQH,根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)得到

NE=2/CDH-2/ABH=2/H,由此即可求解.

【詳解】解：方法一：過點后作反〃〃45,過點、H作NH〃AB,

-EM//AB,

???/43￡+/3=180。；

vAB//CD,EM//AB,

.'.ME//CD,

???/CD￡+/3+/4=180。，

???BG平分N4BE,DF平分NCDE,

:,Z1=Z2=-ZABEZCDF=ZEDF=-ZCDE,

2f2

設(shè)/l=/2=x,ZCDF=ZEDF=yf

??.2x+/3=180。，2y+N3+N4=180。，

.?.2x+N3=2y+N3+N4=180。，

Z4=2x-2y；

???AB//NH,

Z.NHG=ZA.=x,

-：CD\\NH,

ANHF=ZCDF=y,

ZGHF=ZNHG-ZNHF=x-yf

Z4=2ZGHF,

即ZE=2/H.

答案第7頁，共52頁

方法二：如圖所示，延長48交。￡于點P,延長CZ)交G”于點。，

qE

??.AB//CD,

AP//CQ,

??.NCDE=/APE,ZABH=ZCQH,

ZE=/ABE-/APE=/ABE-ZCDE,/H=/CDH-ZCQH=ZCDH-/ABH,

???BG平分N4BE,DF平分/CDE,

???ZE=2/ABG-2/CDF

=2(180°--2(180°-ZCD/f)

=2ZCDH-2ZABH

=2ZH.

12.2

【分析】利用平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，解答即可.

本題考查了平行線的性質(zhì)，角的平分線，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)與MO交于點R

???AB//CD,

答案第8頁，共52頁

ZBMF=AMFN,

???ZNCP的平分線與/NMB的平分線交于點O,

ABMF=/NMF,ZPCO=ZNCO,

/BMF=ZNMF=/MFC,APCO=ZNCO,

???/CNP=/MNF,

???ZCPM+ZPCN=AMFN+ZNMF=2ZMFN,

??.ZCPM=2ZMFN-2ZFCO=2(ZMFN-ZFCO),

-ZO=ZMFN-ZFCO,

ZCPMc

:.----------=2,

AO

故答案為：2.

13.D

【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)尸K在/。上方時，延長MN、K〃相交于點。，根據(jù)

MN//PK,推出硒〃K0,得到N4EN=N4HQ,求出乙4EN的度數(shù)