2025屆安徽省宣城市第十三中學高三年級校內模擬數學試題試卷（最后一卷）注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的結果為3，則可輸入的實數值的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．復數的虛部是()A． B． C． D．3．已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A． B． C． D．4．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．15．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．7．己知全集為實數集R，集合A={x|x2+2x-8>0}，B={x|log2x<1}，則等于（）A．[4,2] B．[4,2) C．(4,2) D．(0,2)8．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．9．已知復數，則（）A． B． C． D．210．若函數滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．11．一艘海輪從A處出發，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里12．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數字作答）14．已知平行于軸的直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標原點，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為______.15．已知函數，則曲線在點處的切線方程為___________.16．若的展開式中各項系數之和為32，則展開式中x的系數為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．18．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件0.65元，乙公司規定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據題中數據寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數的平均數和眾數；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為(單位：元)，求的分布列和數學期望；（3）根據題中數據估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.19．（12分）在世界讀書日期間，某地區調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）從該地區城鎮居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經常閱讀的人數為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數（為常數）（Ⅰ）當時，求的單調區間；（Ⅱ）若為增函數，求實數的取值范圍.21．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：根據題意，當時，令，得；當時，令，得，故輸入的實數值的個數為1．考點：程序框圖．2、C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.3、D【解析】

設，，作為一個基底，表示向量，，，然后再用數量積公式求解.【詳解】設，，所以，，，所以.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4、A【解析】

由兩圓相外切，得出，結合二次函數的性質，即可得出答案.【詳解】因為兩圓和相外切所以，即當時，取最大值故選：A【點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數，屬于中檔題.5、B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據公理2對②進行判斷；根據空間角的定義對③進行判斷；根據空間直線位置關系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關系及其相關公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數形結合思想，化歸與轉化思想.6、C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法，考查拋物線的性質，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題.7、D【解析】

求解一元二次不等式化簡A，求解對數不等式化簡B，然后利用補集與交集的運算得答案.【詳解】解：由x2+2x-8>0，得x＜-4或x＞2，

∴A={x|x2+2x-8>0}＝{x|x＜-4或x＞2}，

由log2x<1，x＞0，得0＜x＜2，

∴B={x|log2x<1}＝{x|0＜x＜2}，

則，

∴.

故選：D.【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算，考查了對數不等式，二次不等式的求法，是基礎題.8、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．9、C【解析】

根據復數模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數模的性質，屬于容易題.10、A【解析】

由推導出，且，將所求代數式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數的單調性可得出其最小值.【詳解】函數滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.，由于函數在區間上為增函數，所以，當時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數式最值的計算，涉及對數運算性質、基本不等式以及函數單調性的應用，考查計算能力，屬于中等題.11、A【解析】

先根據給的條件求出三角形ABC的三個內角，再結合AB可求，應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用，關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.12、D【解析】

對于集合,求得函數的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點睛】本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數的定義域,考查解一元二次不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解析】

先優先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.14、2【解析】

根據為等邊三角形建立的關系式，從而可求離心率.【詳解】據題設分析知，，所以，得，所以雙曲線的離心率.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解，根據條件建立之間的關系式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.15、【解析】

根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義，切線方程，屬于容易題.16、2025【解析】

利用賦值法，結合展開式中各項系數之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數.【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和，考查二項式展開式指定項系數的求法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．18、（1）平均數為360，眾數為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數據相加，再除以總的天數10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數的平均數．從中發現330出現的次數最多，故為眾數；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數的平均數為.眾數為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.19、（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據題意填寫列聯表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結論；（2）由樣本數據可得經常閱讀的人的概率是，則，根據二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030130不經常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）根據樣本估計，從該地區城鎮居民中隨機抽取1人，抽到經常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．20、（Ⅰ）單調遞增區間為，；單調遞減區間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）對函數進行求導，利用導數判斷函數的單調性即可；（Ⅱ）對函數進行求導，由題意知,為增函數等價于在區間恒成立，利用分離參數法和基本不等式求最值即可求出實數的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）由題意知，函數的定義域為，當時，，令，得，或，所以，隨的變化情況如下表：遞增遞減遞增的單調遞增區間為，，單調遞減區間為.（Ⅱ）由題意得在區間恒成立，即在區間恒成立.，當且僅當，即時等號成立.所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間、利用分離參數法和基本不等式求最值求參數的取值范圍；考查運算求解能力和邏輯