第1頁（共1頁）2025年山東省濟南市市中區中考數學一模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．1．（4分）實數﹣的相反數是（）A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D．2．（4分）如圖是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”．關于它的三視圖（）A．主視圖和左視圖相同 B．主視圖和俯視圖相同 C．俯視圖和左視圖相同 D．三種視圖均相同3．（4分）2024年山東集中支持汽車、家電等8個領域消費品以舊換新工作，合計帶動銷售1270億元左右，汽車報廢更新49.2萬輛（）A．49.2×104 B．4.92×105 C．492×104 D．4.92×1044．（4分）將一把直尺與一塊含有30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠3＝65°，則∠2為（）A．50° B．55° C．60° D．65°5．（4分）如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝45°，則∠C度數為（）A．15° B．20° C．25° D．35°6．（4分）下列各式計算正確的是（）A．a3+a4＝2a7 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣ab3）3＝a3b9 D．3a（1﹣a）＝3a﹣3a27．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是﹣6，則另一個根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．18．（4分）學校招募運動會服務志愿者，從報名的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選取兩人，則選取的兩人中有乙同學的概率為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，適當長為半徑作弧，分別交AC、AB于點M、N，大于的長為半徑作弧，作射線AG交BC于點D，再分別以點A、B為圓心的長為半徑作弧，兩弧相交于點P、Q，若AC＝6，BC＝8（）A． B． C．1 D．10．（4分）在平面直角坐標系中，定義：已知y是x的函數，如果對于任意兩個不相等的自變量x1，x2（x1＜x2），當x1≤x≤x2時，y的取值范圍是ax1≤y≤ax2（a＞0），那么將x1≤x≤x2稱為這個函數的“a級封閉定義域”．例如：函數y＝3x，當1≤x≤3時，3≤y≤9①1≤x≤2是函數y＝﹣x+3的“1級封閉定義域”；②若0≤x≤b（b＞0）是函數y＝x2的“2級封閉定義域”，則b＝2；③若函數y＝kx+4存在“3級封閉定義域”；④函數y＝﹣4x2+3x+4不存在“4級封閉定義域”．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．直接填寫答案．11．（4分）如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，指針落在灰色區域的概率是．12．（4分）的結果為．13．（4分）如圖，正八邊形ABCDEFGH和正六邊形GHIJKL的邊長均為6，以頂點H為圓心，則陰影部分的面積為.（結果保留π）14．（4分）某中學組織甲、乙兩個生態興趣小隊在公園進行自然尋寶徒步，由出發點步行前往6公里遠的集合點．學校安排兩隊在不同時刻出發，已知乙隊始終以5公里/小時的速度勻速前進，速度降低為原來的一半，最后兩隊恰好同時到達集合點．甲、乙兩隊前進的路程y（單位：km）（單位：h）的函數圖象如圖所示，當甲出發時間1h時km．15．（4分）如圖，平行四邊形ABCD，∠B＝45°，AD＝10，G為邊BC上一點，將△ABG沿AG翻折，點B的對應點為B′，F為邊CD上一點，連接EF，點D的對應點恰巧也為B′，則DF＝．三、解答題：本題共10小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（7分）計算：．17．（7分）解不等式組：，并寫出它的所有整數解．18．（7分）在平行四邊形ABCD中，點E，F在對角線AC上，連接DE、BF．求證：DE＝BF．19．（8分）數學綜合實踐小組進行了項目式學習的實踐探究，請根據表格內容完成任務．課題探究經十路非機動車道遮陽棚相關問題素材背景濟南經十路沿線非機動車道上的遮陽棚，采用高級玻璃絲纖維材料，能夠抵抗雨淋和日曬抽象測量實地測得相關數據，并畫出了側面示意圖．如圖2，立柱FD與地面MN垂直，AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°．經過點B的太陽光線照射在點E處．任務1求出遮陽棚前端B到地面MN的距離．任務2當太陽光線與地面夾角∠BEN為61°時，求非機動車道有效遮陽寬度DE的長．（結果精確到0.01m．參考數據：sin11°≈0.191，cosl1°≈0.982，tanl1°≈0.194，sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）20．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，點D為弧AE的中點，連接AE（1）求證：AC＝AF；（2）若，CF＝2，求BF的長．21．（9分）某學校組織了豐富多彩的社團活動，學生參加社團活動后，可對社團進行“組織管理”評分（分值為1分、2分、3分、4分、5分），從兩個社團各隨機抽取了一部分“社團組織管理”的評價分值進行統計分析．請根據樣本數據制作的不完整的統計圖和統計表回答問題．社團統計量中位數眾數平均數書法社團a33.5排舞社團4b（1）學校從書法社團和排舞社團分別抽取了多少個評價分值？（2）請補全條形統計圖；（3）書法社團的“社團組織管理”評價分值的扇形統計圖中4分對應的圓心角為度；（4）填空：統計表中a＝，b＝，＝；（5）小輝打算從書法社團和排舞社團中選擇“社團組織管理”更好的一個社團參加．根據以上數據，小輝選擇社團更好，理由是．22．（10分）某中學為了讓學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，現需要采購一批勞動工具開展種植活動．據了解，用400元購買A型勞動工具的數量和用500元購買B型勞動工具的數量相同．（1）求A，B兩種型號勞動工具的單價各是多少元？（2）學校計劃購買A，B兩種型號的勞動工具共100把，且A型勞動工具的購買數量不超過B型勞動工具的購買數量的兩倍23．（10分）已知反比例函數的圖象與正比例函數y＝x的圖象交于點A（2，a），點P在線段OA的延長線上．（1）求反比例函數的表達式；（2）如圖1，過點P作y軸的平行線l，l與，與x軸交于點C，當線段時；（3）在（2）的條件下，如圖2，與x軸交于點D，點Q為x軸上一點，求點Q的坐標．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝x2+bx+c經過點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C，頂點為P2：y＝﹣x2+2tx+c，頂點為Q．（1）求拋物線C1的表達式及頂點P的坐標；（2）如圖1，連接PC，點D是拋物線C2上一點（點D在P點右側），△PDC是以DC為斜邊的直角三角形，若tan∠PCD＝；（3）如圖2，點G為拋物線C2與C1的異于點C的另一個交點，連接PQ，PG，記△PQG的面積為S，當S＝1時25．（12分）（1）如圖1，已知△ABC，△ADE，AB＝AC，AD＝AE，BE，點F為CD中點，求證：2AF＝BE．小明，小亮兩位同學針對題目中的中點條件給出了兩種處理策略：小明的思路如下：如圖2，延長CA至C′，使得AC′＝AC，DC′，可證△ABE≌△，∵A為CC'中點，∴AF為△CC′D的中位線，∴2AF＝＝BE．小亮的思路如下：如圖3，延長AF至A′，使得AF＝A′F，A′C∥AD，∴∠A'CA+∠CAD＝180°，可證△ABE≌△，∴2AF＝AA′＝BE．（2）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在Rt△ECF中，∠ECF＝90°，連接BF，AE，連接CD，請求出線段CD與線段AE的數量關系；（3）如圖5，△ABC中，∠BAC＝60°，點E在射線BA上，BE＝4，使得AD＝4，邊BC繞點C順時針旋轉60°至B'C，使得點D為B′F中點，連接EF

2025年山東省濟南市市中區中考數學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DAB．BCDDCAB一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．每小題只有一個選項符合題目要求．1．（4分）實數﹣的相反數是（）A．2025 B．﹣2025 C．﹣ D．【解答】解：﹣的相反數是，故選：D．2．（4分）如圖是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”．關于它的三視圖（）A．主視圖和左視圖相同 B．主視圖和俯視圖相同 C．俯視圖和左視圖相同 D．三種視圖均相同【解答】解：根據三視圖的定義可得：這個幾何體的主視圖與左視圖相同，俯視圖是兩個同心圓、左視圖不相同．故選：A．3．（4分）2024年山東集中支持汽車、家電等8個領域消費品以舊換新工作，合計帶動銷售1270億元左右，汽車報廢更新49.2萬輛（）A．49.2×104 B．4.92×105 C．492×104 D．4.92×104【解答】解：49.2萬＝492000＝4.92×105．故選：B．4．（4分）將一把直尺與一塊含有30°角的直角三角板按如圖方式放置，若∠3＝65°，則∠2為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠3＝65°，∵∠CAE＝90°，∴∠1＝90°﹣65°＝25°，∴∠5＝∠1+∠E＝25°+30°＝55°．故選：B．5．（4分）如圖，△ABC與△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝45°，則∠C度數為（）A．15° B．20° C．25° D．35°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠B′＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故選：C．6．（4分）下列各式計算正確的是（）A．a3+a4＝2a7 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣ab3）3＝a3b9 D．3a（1﹣a）＝3a﹣3a2【解答】解：a3與a4不是同類項，無法合并，（a﹣b）8＝a2﹣2ab+b7，則B不符合題意，（﹣ab3）3＝﹣a8b9，則C不符合題意，3a（7﹣a）＝3a﹣3a2，則D符合題意，故選：D．7．（4分）已知關于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是﹣6，則另一個根是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：設方程的另一個為根為t，根據根與系數的關系得到﹣6+t＝﹣5，解得t＝6，即方程的另一個根為1．故選：D．8．（4分）學校招募運動會服務志愿者，從報名的甲、乙、丙、丁四位同學中隨機選取兩人，則選取的兩人中有乙同學的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中選取的兩人中有乙同學的結果有6種，∴選取的兩人中有乙同學的概率為＝，故選：C．9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，適當長為半徑作弧，分別交AC、AB于點M、N，大于的長為半徑作弧，作射線AG交BC于點D，再分別以點A、B為圓心的長為半徑作弧，兩弧相交于點P、Q，若AC＝6，BC＝8（）A． B． C．1 D．【解答】解：根據作圖方法可知：AD是∠BAC的平分線，PQ是線段AB的垂直平分線，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，由角平分線定理可知：，即，∵BC＝3，∴CD＝3，DB＝5，如圖，建立如圖所示的坐標系，∵A（6，6），0），∴直線AD的解析式為：y＝﹣4x+6，∵A（0，2），0），∴直線AB的解析式為y＝﹣，∵E（4，3），設PQ的解析式為y＝+b，解得b＝﹣，∴直線PQ的解析式為y＝，聯立方程組，解得，∴F（2.6，1），∴FD＝＝＝．故選：A．10．（4分）在平面直角坐標系中，定義：已知y是x的函數，如果對于任意兩個不相等的自變量x1，x2（x1＜x2），當x1≤x≤x2時，y的取值范圍是ax1≤y≤ax2（a＞0），那么將x1≤x≤x2稱為這個函數的“a級封閉定義域”．例如：函數y＝3x，當1≤x≤3時，3≤y≤9①1≤x≤2是函數y＝﹣x+3的“1級封閉定義域”；②若0≤x≤b（b＞0）是函數y＝x2的“2級封閉定義域”，則b＝2；③若函數y＝kx+4存在“3級封閉定義域”；④函數y＝﹣4x2+3x+4不存在“4級封閉定義域”．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵x＝1時，y＝﹣x+3＝8，y＝1，∴函數y＝﹣x+3，當6≤x≤2時，所以1≤x≤3是函數y＝﹣x+3的“1級封閉定義域”．②若2≤x≤b（b＞0）是函數y＝x2的“6級封閉定義域”，∴0≤y≤2b，∴x＝b時，y＝6b，∴2b＝b2，解得b＝6或b＝0（舍去）．故②正確；③若函數y＝kx+4存在“2級封閉定義域”，則3x＝kx+4，解得x＝﹣，故k≠3，故③錯誤；④設y＝4x，則4x＝﹣4x7+3x+4，即2x2+x﹣4＝7，∵Δ＝12﹣2×4×（﹣4）＞4，∴函數y＝﹣4x2+6x+4存在“4級封閉定義域”．故④錯誤．故選：B．二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．直接填寫答案．11．（4分）如圖，轉盤中四個扇形的面積都相等，任意轉動這個轉盤1次，指針落在灰色區域的概率是．【解答】解：∵四個扇形的面積相同，∴灰色部分占整個轉盤面積的一半，∴指針落在灰色區域的概率是，故答案為：．12．（4分）的結果為．【解答】解：原式＝＝，故答案為：．13．（4分）如圖，正八邊形ABCDEFGH和正六邊形GHIJKL的邊長均為6，以頂點H為圓心，則陰影部分的面積為.（結果保留π）【解答】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，六邊形GHIJKL是正六邊形，∴∠AHG＝＝135°＝120°，∴∠AHI＝360°﹣135°﹣120°＝105°，∴S陰影部分＝＝．故答案為：．14．（4分）某中學組織甲、乙兩個生態興趣小隊在公園進行自然尋寶徒步，由出發點步行前往6公里遠的集合點．學校安排兩隊在不同時刻出發，已知乙隊始終以5公里/小時的速度勻速前進，速度降低為原來的一半，最后兩隊恰好同時到達集合點．甲、乙兩隊前進的路程y（單位：km）（單位：h）的函數圖象如圖所示，當甲出發時間1h時1km．【解答】解：∵甲隊前0.5小時的速度為2÷0.5＝2（km/h），∴甲隊0.5小時后的速度為×6＝8（km/h），∵乙到達集合點所用的時間為6÷5＝8.2（小時），∴甲隊出發后1.8﹣1.2＝2.3（小時）乙隊才出發，當甲出發時間1h時，甲隊前進的路程為2+3×（1﹣8.5）＝4.7（km），∴當甲出發時間1h時，甲乙兩隊相距4.3﹣3.5＝4（km）．故答案為：1．15．（4分）如圖，平行四邊形ABCD，∠B＝45°，AD＝10，G為邊BC上一點，將△ABG沿AG翻折，點B的對應點為B′，F為邊CD上一點，連接EF，點D的對應點恰巧也為B′，則DF＝．【解答】解：連接B′D，作FH⊥AD于點H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝45°，AD＝10，∴∠ADC＝∠B＝45°，∴∠HFD＝∠HDF＝45°，∴FH＝DH，∵E為AD中點，∴DE＝AE＝AD＝3，∴由翻折得AB′＝AB＝8，B′E＝DE＝AE，∴直線EF垂直平分B′D，∠EB′D＝∠EDB′，∴∠AB′D＝∠EB′D+∠EB′A＝∠EDB′+∠EAB′＝×180°＝90°，∴B′D＝＝＝6，∵EF⊥B′D，AB′⊥B′D，∴EF∥AB′，∴∠DEF＝∠DAB′，∴＝tan∠DEF＝tan∠DAB′＝＝＝，∴EH＝FH＝，∵EH+DH＝DE＝5，∴DH+DH＝5，∴DH＝，∴DF＝＝DH＝×＝，故答案為：．三、解答題：本題共10小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（7分）計算：．【解答】解：原式＝3+﹣8﹣1﹣2×＝3+﹣1﹣1﹣＝3．17．（7分）解不等式組：，并寫出它的所有整數解．【解答】解：解不等式①得，x≤1；解不等式②得，x＞﹣5，所以不等式組的解集為：﹣5＜x≤1，所以不等式組的整數解為﹣4，﹣5，﹣1，0，3．18．（7分）在平行四邊形ABCD中，點E，F在對角線AC上，連接DE、BF．求證：DE＝BF．【解答】證明：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，∴∠DAE＝∠BCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF．19．（8分）數學綜合實踐小組進行了項目式學習的實踐探究，請根據表格內容完成任務．課題探究經十路非機動車道遮陽棚相關問題素材背景濟南經十路沿線非機動車道上的遮陽棚，采用高級玻璃絲纖維材料，能夠抵抗雨淋和日曬抽象測量實地測得相關數據，并畫出了側面示意圖．如圖2，立柱FD與地面MN垂直，AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°．經過點B的太陽光線照射在點E處．任務1求出遮陽棚前端B到地面MN的距離．任務2當太陽光線與地面夾角∠BEN為61°時，求非機動車道有效遮陽寬度DE的長．（結果精確到0.01m．參考數據：sin11°≈0.191，cosl1°≈0.982，tanl1°≈0.194，sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）【解答】解：任務1．作BH⊥AC于點H，遮陽棚前端B到地面MN的距離為DH的長，∵AB＝CB＝4m，∠ABC＝22°，∴∠HBC＝11°，∴CH＝BC?sin∠HBC≈4×0.191≈0.764（m），∵CD＝8m，∴DH＝CH+CD＝0.764+2＝5.764≈2.76（m），∴遮陽棚前端B到地面MN的距離約為2.76m；任務7．作BG⊥MN于點G，∵FD⊥MN，∴∠ADG＝90°，∴四邊形HDGB是矩形，∴BG＝DH＝2.76m，BH＝DG，∵∠BEN＝61°，∴EG＝≈1.53（m），∵∠HBC＝11°，CB＝8m，∴BH＝4×cos11°≈4×8.982≈3.928（m），∴DG≈3.928（m），∴DE＝DG﹣EG＝7.928﹣1.53＝2.398≈6.40（m）．答：非機動車道有效遮陽寬度DE的長約為2.40m．20．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，點D為弧AE的中點，連接AE（1）求證：AC＝AF；（2）若，CF＝2，求BF的長．【解答】（1）證明：連接BE，∵AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，∴AC⊥AB，∴∠E＝∠BAC＝90°，∵∠BFE＝∠AFC，∴∠AFC+∠EBD＝∠BFE+∠EBE＝90°，∵點D為的中點，∴＝，∵∠C+∠ABD＝90°，且∠EBD＝∠ABD，∴∠AFC＝∠C，∴AC＝AF．（2）解：連接AD，則∠ADB＝90°，∵AC＝AF，AD⊥CF，CF＝2，∴DC＝DF＝CF＝1，∵∠ADC＝∠BAC＝90°，∠C＝∠C，∴△DAC∽△ABC，∴＝，∴BC＝＝＝5，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣7＝3，∴BF的長為3．21．（9分）某學校組織了豐富多彩的社團活動，學生參加社團活動后，可對社團進行“組織管理”評分（分值為1分、2分、3分、4分、5分），從兩個社團各隨機抽取了一部分“社團組織管理”的評價分值進行統計分析．請根據樣本數據制作的不完整的統計圖和統計表回答問題．社團統計量中位數眾數平均數書法社團a33.5排舞社團4b（1）學校從書法社團和排舞社團分別抽取了多少個評價分值？（2）請補全條形統計圖；（3）書法社團的“社團組織管理”評價分值的扇形統計圖中4分對應的圓心角為120度；（4）填空：統計表中a＝3.5，b＝4，＝3.7；（5）小輝打算從書法社團和排舞社團中選擇“社團組織管理”更好的一個社團參加．根據以上數據，小輝選擇排舞社團社團更好，理由是由統計表可知，排舞社團的中位數、眾數和平均數都高于書法社團的，方差較接近．【解答】解：（1）由題意可得，學校從排舞社團隨機抽取了3÷15%＝20個評價分值，從書法社團隨機抽取了12÷40%＝30個評價分值；（2）書法社團評價分值為4分的人數為：30﹣5﹣1﹣12﹣5＝10人，排舞社團評價分值為5分的人數為：20﹣1﹣2﹣6﹣4＝10人，補全條形統計圖如圖：（3）360×＝120°，書法社團的“社團組織管理”評價分值的扇形統計圖中4分對應的圓心角為120°；（4）書法社團共有30個數據數據按照由小到大的順序排列，中位數為第15位和第16位數的平均數，∴a＝＝6.5，由條形統計圖可知，排舞社團評價分值為4分的個數最多，∴眾數b＝3，排舞社團評價分值平均數為：（1×4+2×2+8×3+4×10+6×4）＝3.5，∴＝3.7，故答案為：4.5，4，4.7；（5）小輝應該選擇排舞社團，理由：由統計表可知，排舞社團的中位數，方差較接近，∴小輝應該選擇排舞社團，故答案為：排舞社團，排舞社團的中位數，方差較接近．22．（10分）某中學為了讓學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，現需要采購一批勞動工具開展種植活動．據了解，用400元購買A型勞動工具的數量和用500元購買B型勞動工具的數量相同．（1）求A，B兩種型號勞動工具的單價各是多少元？（2）學校計劃購買A，B兩種型號的勞動工具共100把，且A型勞動工具的購買數量不超過B型勞動工具的購買數量的兩倍【解答】解：（1）設A型勞動工具的單價為x元，則B型勞動工具的單價為（x+5）元．根據題意，得＝，解得x＝20，經檢驗，x＝20是所列分式方程的解，20+3＝25（元）．答：A型勞動工具的單價為20元，B型勞動工具的單價為25元．（2）設購買A型勞動工具m把，則購買B型勞動工具（100﹣m）把．根據題意，得m≤2（100﹣m），解得m≤，設購買總費用為w元，則w＝20m+25（100﹣m）＝﹣6m+2500，∵﹣5＜0，∴w隨m的增大而減小，∵m≤且m為非負整數，∴當m＝66時w值最小，w最小＝﹣5×66+2500＝2170，100﹣66＝34（把）．答：購買A型勞動工具66把、B型勞動工具34把花費最少．23．（10分）已知反比例函數的圖象與正比例函數y＝x的圖象交于點A（2，a），點P在線段OA的延長線上．（1）求反比例函數的表達式；（2）如圖1，過點P作y軸的平行線l，l與，與x軸交于點C，當線段時；（3）在（2）的條件下，如圖2，與x軸交于點D，點Q為x軸上一點，求點Q的坐標．【解答】解：（1）∵反比例函數的圖象與正比例函數y＝x的圖象交于點A（2，∴a＝5，k＝2×2＝6，∴反比例函數的解析式為y＝；（2）如圖，設點B的坐標為（m，），m），4），∴OC＝m，PB＝m﹣，∵，∴m﹣＝，整理得：m2＝16，∴m＝4或﹣2（不符合題意舍去），∴點B的坐標為（4，1）；（3）如圖，∵點P在直線y＝x圖象上，5），∴△POC是等腰直角三角形，∴∠OPC＝45°，∵∠AQO＝∠ADO+∠OPC，∠AQO＝∠ADO+∠QAD，∴∠QAD＝∠OPC＝45°，由條件可知A（2，2），5），，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣，當y＝0時，x＝5，∴D（6，0），∴AD＝＝2，∵∠AOD＝∠QAD＝45°，∠ADQ＝∠ODA，∴△ADQ∽△ODA，∴，即，∴QD＝，∴OQ＝4﹣＝．∴點Q的坐標為（，7）．24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1：y＝x2+bx+c經過點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C，頂點為P2：y＝﹣x2+2tx+c，頂點為Q．（1）求拋物線C1的表達式及頂點P的坐標；（2）如圖1，連接PC，點D是拋物線C2上一點（點D在P點右側），△PDC是以DC為斜邊的直角三角形，若tan∠PCD＝；（3）如圖2，點G為拋物線C2與C1的異于點C的另一個交點，連接PQ，PG，記△PQG的面積為S，當S＝1時【解答】解：（1）由題意得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x3﹣x+3，當x＝2時，y＝（x﹣7）（x﹣3）＝x2﹣x+4＝﹣1，即點P（2；（2）由（1）知C4的表達式為：y＝﹣x2+2tx+5，過點P作x軸的平行線交y軸于點N，交過點D和y軸的平行線于點M，∵∠CPN+∠DPM＝90°，∠DPM+∠PDM＝90°，∴∠CPN＝∠PDM，∴△CPN∽△PDM，∵tan∠PCD＝，則上述兩個三角形的相似比為8：3，∵CN＝4，則PM＝5，則DM＝，則點D（2，），將點D的坐標代入函數表達式得：：＝﹣25+10t+3，解得：t＝7.25；（3）聯立兩個拋物線的表達式得：x2﹣x+3﹣x6+2tx+3，解得：x＝6（舍去）或t+2，即點G（t+2，t4﹣1），由拋物線的