第1頁（共1頁）2025年湖南省長沙市長郡教育集團中考數學模擬試卷（四）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．）1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）根據相關數據顯示，長沙市2024年常住人口約1060萬人，其中1060萬用科學記數法可表示為（）A．10.6×106 B．106×105 C．1.06×107 D．0.106×1083．（3分）長沙市某日早上6時的氣溫是5℃，中午12時氣溫升高了4℃，到晚上20時氣溫又降低了10℃（）A．2℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．1℃4．（3分）下列運算正確的是（）A．5a﹣3a＝2 B．a3﹣3a3＝﹣2a3 C．5a2+2a3＝7a5 D．a2b﹣5ab2＝﹣4ab25．（3分）在九年級下學期某次數學模擬檢測中，7位同學的成績依次為：73，90，75，99，85．這組數據的中位數是（）A．75 B．78 C．79 D．806．（3分）點P（3，﹣1）先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位得對應點P′（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）7．（3分）對于一次函數y＝﹣3x+4，下列結論錯誤的是（）A．函數的圖象與x軸的交點坐標是（0，4） B．函數值隨自變量的增大而減小 C．函數的圖象不經過第三象限 D．函數的圖象向下平移4個單位長度得到y＝﹣3x8．（3分）如圖，AB∥DC，點E在BC上，∠D＝74°，則∠B的度數為（）A．68° B．32° C．22° D．16°9．（3分）如圖，若OB＝5，AB＝8（）A． B．8 C．10 D．610．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A的圖象上，對角線BD平行于x軸，若S菱形ABCD＝400，則k的值為（）A．100 B．150 C．200 D．250二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）為了比較甲、乙、丙三種小麥秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.2，9.8，由此可知種秧苗長勢更整齊（填“甲”“乙”或“丙”）．12．（3分）為了幫助學生們準確區分物理變化和化學變化，化學老師準備了四張形狀、大小和背面圖案相同的卡片．每張卡片上描述了一個變化：“鐵器生銹”“光合作用”“木材燃燒”“冰塊融化”．老師將這些卡片背面朝上，充分混合后．13．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，則圖中陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，在△ABC中，D，E，F分別是邊AB，CA的中點，四邊形BEFD的周長為15．16．（3分）如圖，將9個數分別填入九宮格中，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等．若a，b，c，d，則a+b﹣c﹣d﹣e的值為．三、解答題（本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：．18．（6分）先化簡，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），y＝﹣1．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作線段BC的垂直平分線，交斜邊AB于點M（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若CM＝CA＝220．（8分）為提升學生實踐能力和團隊合作精神，增強學生的社會責任感，某市中學選取了四個中小學實踐研學基地：A．胡耀邦故里旅游區；C．稻花香里農耕文化園；D．中聯重科工程機械館．為了解學生的研學意向（每名學生只能選擇一個研學基地），根據調查數據繪制成了如圖兩幅不完整的統計圖．（1）在本次調查中，一共抽取了名學生；（2）請補全條形統計圖，并計算在扇形統計圖中，B選項所在扇形的圓心角度數為；（3）若該校有600名學生，請估計喜歡D的學生有人；（4）此次研學小數和小學同時參加，請用列表法或畫樹狀圖法，求出這兩名同學恰好去同一個研學基地的概率．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，AC＝DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）若AC＝8，CD＝6，求BD的長．22．（8分）某中學組織合唱比賽．某班同學自主購買A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫貴10元（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需購買48件文化衫，在實際購買時，商家讓利銷售，B款每件讓利10元，現計劃購買文化衫的費用不超過1530元，請問共有多少種購買方案？23．（11分）如圖，在?ABCD中，E，F是直線BD上的兩點（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，求DE的長．24．（9分）等腰三角形是指至少有兩邊相等的三角形，相等的兩條邊叫做這個三角形的腰，另一條邊叫做底邊．在⊙O中，我們不妨約定：當這個三角形為等腰直角三角形時，我們稱這個三角形為圓的“樸實三角形”，我們稱這個三角形為圓的“沉毅三角形”，當“樸實三角形”或“沉毅三角形”的兩條邊都與圓相切時，點C為半圓弧上一動點．（1）如圖1所示，若以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”，以BC為底邊作⊙O的“樸實三角形”，如果變化，請證明，請求出∠DCE的度數．（2）如圖2所示，△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，當AD與⊙O相切時，如果不是，請證明，請求出AC的長度．（3）若分別以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”和“樸實三角形”，當點C從點A運動到點B時，分別求出點D運動的路徑長度．25．（10分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，一次函數y＝kx+4與拋物線交于M，N兩點，分別過點M，N，P作x軸的垂線，N′，P′，若；（3）如圖2，點G為第一象限拋物線上一動點，連接CG，將線段CG繞點C逆時針旋轉90°得到CD，點D落在第一象限，點G關于BC的對稱點為H，連接DH，分別交BC于點E，點F，是定值嗎？如果是，請分別求出定值，請說明理由．

2025年湖南省長沙市長郡教育集團中考數學模擬試卷（四）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BC．CB．DCABAB一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．）1．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項分析判斷如下：A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；C、既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形；D、不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．2．（3分）根據相關數據顯示，長沙市2024年常住人口約1060萬人，其中1060萬用科學記數法可表示為（）A．10.6×106 B．106×105 C．1.06×107 D．0.106×108【解答】解：1060萬＝10600000＝1.06×107．故選：C．3．（3分）長沙市某日早上6時的氣溫是5℃，中午12時氣溫升高了4℃，到晚上20時氣溫又降低了10℃（）A．2℃ B．0℃ C．﹣1℃ D．1℃【解答】解：由題意可得：5+4﹣10＝﹣4，∴20時的氣溫為﹣1℃，故選：C．4．（3分）下列運算正確的是（）A．5a﹣3a＝2 B．a3﹣3a3＝﹣2a3 C．5a2+2a3＝7a5 D．a2b﹣5ab2＝﹣4ab2【解答】解：A、5a﹣3a＝2a≠2；B、a3﹣4a3＝﹣2a8，故B正確；C、5a2+6a3≠7a8，故C錯誤；D、a2b﹣5ab6≠﹣4ab2，故D錯誤．故選：B．5．（3分）在九年級下學期某次數學模擬檢測中，7位同學的成績依次為：73，90，75，99，85．這組數據的中位數是（）A．75 B．78 C．79 D．80【解答】解：∵7位同學的成績依次為：73，90，75，78，∴這組數據按從小到大進行排序為73，75，80，90，∴中位數是80，故選：D．6．（3分）點P（3，﹣1）先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位得對應點P′（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，1） D．（3，1）【解答】解：由平移規律可知，P′（3﹣4，即P′（﹣7，故選：C．7．（3分）對于一次函數y＝﹣3x+4，下列結論錯誤的是（）A．函數的圖象與x軸的交點坐標是（0，4） B．函數值隨自變量的增大而減小 C．函數的圖象不經過第三象限 D．函數的圖象向下平移4個單位長度得到y＝﹣3x【解答】解：A、當y＝0時，解得不是（0，故符合題意；B、由于y＝﹣3x+4中的k＝﹣3＜0，故不符合題意；C、由于y＝﹣8x+4中的k＝﹣3＜7，所以函數的圖象不經過第三象限正確；D、一次函數y＝﹣3x+4的圖象向下平移8個單位長度得到y＝﹣x+4﹣4＝﹣7x正確；故選：A．8．（3分）如圖，AB∥DC，點E在BC上，∠D＝74°，則∠B的度數為（）A．68° B．32° C．22° D．16°【解答】解：∵∠D＝∠CED，∠D＝74°，∴∠DEC＝∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°﹣74°＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°，故選：B．9．（3分）如圖，若OB＝5，AB＝8（）A． B．8 C．10 D．6【解答】解：CD垂直AB于E，如圖AB＝，在Rt△OBE中，OE＝＝，∴CE＝OE+OC＝3+3＝8，在Rt△ACE中，AC＝＝．故選：A．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A的圖象上，對角線BD平行于x軸，若S菱形ABCD＝400，則k的值為（）A．100 B．150 C．200 D．250【解答】解：過點D作DM⊥x軸于點M，由條件可知，∴S△AOD＝200＝S△BCD，∵BD∥x軸，O為BC的中點∴△CON∽△CBD，∴，∵，∴S四邊形BOND＝200﹣50＝150，∴CB＝CD，∴∠OBF＝∠BDN，∵BD∥MN，∴∠BDN＝∠DNM，∴∠OBF＝∠DNM，記BD與y軸交于點F，∵BD∥MN，FO，∴OF＝DM，∠BFO＝∠DMN＝90°，∴△FBO≌△MND（AAS），∴S四邊形BOND＝S矩形FOMD＝150，∴k＝150，故選：B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）為了比較甲、乙、丙三種小麥秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.2，9.8，由此可知甲種秧苗長勢更整齊（填“甲”“乙”或“丙”）．【解答】解：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，即波動越大；反之，表明這組數據分布比較集中，即波動越小，∵3.2＜8.8＜13.9，∴甲種秧苗長勢更整齊，故答案為：甲．12．（3分）為了幫助學生們準確區分物理變化和化學變化，化學老師準備了四張形狀、大小和背面圖案相同的卡片．每張卡片上描述了一個變化：“鐵器生銹”“光合作用”“木材燃燒”“冰塊融化”．老師將這些卡片背面朝上，充分混合后．【解答】解：∵“鐵器生銹”“光合作用”“木材燃燒”是化學變化，“冰塊融化”是物理變化，∴這4張卡片上，有3個是化學變化，∴讓學生隨機抽取一張卡片共有2種等可能的結果，其中，∴抽到描述化學變化的卡片的概率是，故答案為：．13．（3分）要使分式有意義，則x的取值范圍是x≠2．【解答】解：當分母x﹣2≠0，即x≠2時有意義．故答案為：x≠4．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝3，則圖中陰影部分的面積為．【解答】解：∵AB＝3，將△ABC繞點A逆時針旋轉45°得到△AB′C′，∴△AB′C′≌△ABC，∠B′AB＝45°，∴S△AB′C′＝S△ABC，∴圖中陰影部分的面積等于，故答案為：．15．（3分）如圖，在△ABC中，D，E，F分別是邊AB，CA的中點，四邊形BEFD的周長為1515．【解答】解：在△ABC中，D，E，F分別是邊AB，CA的中點，∴DF∥BC，EF∥AB，，∴四邊形BEFD為平行四邊形．∵四邊形BEFD周長為15，∴DF+EF＝×15＝7.5，∴AB+BC＝2EF+2DF＝15．故答案為：15．16．（3分）如圖，將9個數分別填入九宮格中，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等．若a，b，c，d，則a+b﹣c﹣d﹣e的值為﹣7．【解答】解：∵第一行與第三行上的三個數之和相等，∴a+b+0＝d+e+1，∴a+b﹣d﹣e＝8．∵幻和＝中間數×3，即﹣2+6+c＝3×3，∴c＝5，∴a+b﹣c﹣d﹣e＝a+b﹣d﹣e﹣c＝1﹣8＝﹣2．故答案為：﹣7．三、解答題（本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：．【解答】解：原式＝＝＝﹣1．18．（6分）先化簡，再求值：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+3y），y＝﹣1．【解答】解：（x﹣2y）（x﹣3y）﹣x（x+5y）＝x2﹣3xy﹣4xy+6y2﹣x8﹣3xy＝﹣8xy+5y2．將x＝﹣3，y＝﹣5代入得：原式＝﹣8xy+6y6＝﹣8×（﹣3）×（﹣4）+6×（﹣1）3＝﹣18．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）作線段BC的垂直平分線，交斜邊AB于點M（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若CM＝CA＝2【解答】解：（1）如圖，線段DM即為所求作；（2）由題意得，∠BDM＝∠ACB＝90°，∴MD∥AC，∴，∴點M為AB中點，∴，∴AB＝2CM＝4，∵CA＝6，∴．20．（8分）為提升學生實踐能力和團隊合作精神，增強學生的社會責任感，某市中學選取了四個中小學實踐研學基地：A．胡耀邦故里旅游區；C．稻花香里農耕文化園；D．中聯重科工程機械館．為了解學生的研學意向（每名學生只能選擇一個研學基地），根據調查數據繪制成了如圖兩幅不完整的統計圖．（1）在本次調查中，一共抽取了40名學生；（2）請補全條形統計圖，并計算在扇形統計圖中，B選項所在扇形的圓心角度數為90°；（3）若該校有600名學生，請估計喜歡D的學生有225人；（4）此次研學小數和小學同時參加，請用列表法或畫樹狀圖法，求出這兩名同學恰好去同一個研學基地的概率．【解答】解：（1）由題意得，8÷20%＝40，故答案為：40；（2）40﹣8﹣7﹣15＝10（人），在扇形統計圖中，B選項所在扇形的圓心角度數為：，補全條形統計圖如圖：故答案為：90°；（3）（人），故答案為：225；（4）小數和小學同時參加，作樹狀圖如下：總共有16種等可能的結果，小數和小學恰好去同一個研學基地的情況有3種，∴小數和小學恰好去同一個研學基地的概率為．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，AC＝DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）若AC＝8，CD＝6，求BD的長．【解答】（1）證明：在△ABC中，∠A＝90°，ED⊥BD，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠A＝∠D＝90°，∴∠B+∠ACB＝∠E+∠ECD＝90°，∴∠B＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS）；（2）解：∵AC＝8，AC＝DE，∴DE＝8，∵CD＝4，在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，∴CE＝BC＝10，∴BD＝BC+CD＝10+6＝16．22．（8分）某中學組織合唱比賽．某班同學自主購買A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫貴10元（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需購買48件文化衫，在實際購買時，商家讓利銷售，B款每件讓利10元，現計劃購買文化衫的費用不超過1530元，請問共有多少種購買方案？【解答】解：（1）設A款文化衫每件x元，B款文化衫每件y元，由題意得：，解得，所以A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．（2）設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫（48﹣a）件，由題意得：，解得16≤a≤18，∵a為正整數，∴滿足條件的所有a的值為16，17，綜上所述，共有3種購買方案，答：共有8種購買方案．23．（11分）如圖，在?ABCD中，E，F是直線BD上的兩點（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，求DE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠CBF．在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．∴AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，∴BD＝＝＝4，連接AC交EF于O，∴DO＝OB＝BD＝2，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴EO＝OF＝EF，∴DE＝BF，設DE＝BF＝x，∴EF＝2x+6，∵EF﹣AF＝2，∴AF＝2x+3，∵AF2＝AD2+DF8，∴（2x+2）7＝32+（7+x）2，∴x＝（負值舍去），∴DE的長為．24．（9分）等腰三角形是指至少有兩邊相等的三角形，相等的兩條邊叫做這個三角形的腰，另一條邊叫做底邊．在⊙O中，我們不妨約定：當這個三角形為等腰直角三角形時，我們稱這個三角形為圓的“樸實三角形”，我們稱這個三角形為圓的“沉毅三角形”，當“樸實三角形”或“沉毅三角形”的兩條邊都與圓相切時，點C為半圓弧上一動點．（1）如圖1所示，若以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”，以BC為底邊作⊙O的“樸實三角形”，如果變化，請證明，請求出∠DCE的度數．（2）如圖2所示，△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，當AD與⊙O相切時，如果不是，請證明，請求出AC的長度．（3）若分別以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”和“樸實三角形”，當點C從點A運動到點B時，分別求出點D運動的路徑長度．【解答】解：（1）∠DCE的度數不發生變化；理由如下：∵以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”，以BC為底邊作⊙O的“樸實三角形”，∴△ACD是等邊三角形，△BCE是以BC為底邊等腰直角三角形，∴∠ACD＝60°，∠BCE＝45°，∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DCE＝360°﹣∠ACD﹣∠BCE﹣∠ACB＝165°，∴∠DCE的度數不發生變化，∠DCE的度數為165°．（2）△ACD是⊙O的“完美三角形”；證明：△ACD是⊙O的“沉毅三角形”，如圖2，∴△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝60°，∵AD與⊙O相切，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC＝30°，∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝90°，即OC⊥CD，又∵OC是⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切，又∵AD與⊙O相切，∴△ACD是⊙O的“完美三角形”．∵AB＝10為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，．綜上所述，△ACD是⊙O的“完美三角形”；（3）以AC為底邊作⊙O的“沉毅三角形”，如圖3，△ACD與△ABM重合，取AM的中點P，連接OM，OP，∵△ABM是等邊三角形，OA＝OB，∴∠OAM＝60°，MO⊥AB，在Rt△AOM中，，∴△AOP是等邊三角形，∴OA＝AP＝OP，∵△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝60°，AD＝AC，∴∠CAD＝∠OAM＝60°，∴∠CAD﹣∠CAP＝∠OAM﹣∠CAP，即∠PAD＝∠OAC，在△PAD和△OAC中，，∴△PAD≌△OAC（SAS），∴PD＝OC，又∵OC＝OA，OA＝PA，∴PD＝PA＝PM，∴點A，D，M三點共圓，∴當點C從點A運動到點B時，點D運動的路徑是在以AM為直徑的半圓上，∵△ABM是等邊三角形，且AB＝10，∴AM＝AB＝10，∴此時點D運動的路徑長度為；以AC為底邊作⊙O的“樸實三角形”，如圖4，△ACD與△ABN重合，同理可證：當點C從點A運動到點B時，點D運動的路徑是在以AN為直徑的半圓上，∵△ABN是以AB為底邊的等腰直角三角形，∴∠BAN＝45°，∴在Rt△ABN中，，∴此時點D運動的路徑長度為；綜上所述，點D運動的路徑長度分別為3π或．25．（10分）在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，一次函數y＝kx+4與拋物線交于M，N兩點，分別過點M，N，P作x軸的垂線，N′，P′，若；（3）如圖2，點G為第一象限拋物線上一動點，連接CG，將線段CG繞點C逆時針旋轉90°得到CD，點D