第3章圓（壓軸題專練）目錄：題型1：圓與三角形、四邊形綜合題型2：圓與相似三角形、解直角三角形題型3：圓與二次函數題型4：圓在平面直角坐標系中的應用題型5：與圓有關的動態問題題型6：切線問題題型7：正多邊形與圓、弧長問題題型1：圓與三角形、四邊形綜合1．是上的一條不經過圓心的弦，，在劣弧和優弧上分別有點A，B（不與M，N重合），且，連接，．(1)如圖1，是直徑，交于點C，，求的度數；(2)如圖2，連接，，過點O作交于點D，求證：；(3)如圖3，連接，，試猜想的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．2．【特例感知】

（1）如圖①，是的直徑，是的圓周角，平分交于點D，連接．已知，，則的度數為，點D到直線的距離為；【類比遷移】（2）如圖②，是的圓周角，平分交于點D，過點D作，垂足為M，探索線段之間的數量關系，并說明理由；【問題解決】（3）圖③，四邊形為的內接四邊形，，平分，，求線段的長．3．如圖1，點是直徑上一點，，，過點作弦，點在上運動，連接．

(1)求的長．(2)如圖，連接，作的角平分線交于點，在點運動的過程中，的長度是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不會發生變化，請求出其值．(3)如圖，過點作于，連接，求的最小值．題型2：圓與相似三角形、解直角三角形4．已知的直徑與弦交于點．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點在上，連接，弦交直徑于點，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點在上，連接交直徑于點，，過點的直線交的延長線于點，求的長．5．如圖1，內接于，于點D．(1)連接，，求證：；(2)如圖2，若點E為弧上一點，連接交于點F，若，，連接，求證：平分；(3)在（2）的條件下，如圖3，點G為上一點，連接，，若，，求線段的長．6．【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為___________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發現，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結，∵四邊形是的內接四邊形，∴．，∴．∵是等邊三角形．∴，∴請你補全余下的證明過程．【延申】如圖③，是的外接圓，，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．則、、之間滿足什么關系？證明你的結論．【應用】如圖④，是的外接圓，，，點P在上，且點P是上一點，連結、、．若，則的值為___________．題型3：圓與二次函數7．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸負半軸于點

(1)如圖1，①直接寫出，，三點的坐標；②拋物線上存在點，使得，直接寫出點的坐標；(2)如圖2，設經過，，三點的交軸于另外一點，，經過點的直線交拋物線于，兩點，若的長等于的直徑長，求的值．8．在平面直角坐標系內，的三個頂點為，，，以及其內部區域記為W．若點P落在圖形W上，則稱點P為“好點”．

(1)下列各點，，中是“好點”的有(2)如圖，點Q坐標為，若以Q為圓心r為半徑的圓上存在唯一點P是“好點”，求r的值：(3)如圖，點M、N是拋物線（）的兩個端點，（點M在點N左邊），連接，由拋物線（）和線段圍城的封閉圖形及其內部區域記為U．若圖形U上存在“好點”，求c的取值范圍．9．已知拋物線經過點．

(1)求拋物線解析式和直線的解析式；(2)若點是第四象限拋物線上的一點，若，求點的橫坐標；(3)如圖2，點是線段上的一個動點（不與重合），經過三點的圓與過且垂直于的直線交于點，求當最小時點的坐標及最小值．題型4：圓在平面直角坐標系中的應用10．如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，過點A、B的與y軸交于C、D兩點（點C在點D上方），連接，點E為中點．

(1)連接，求證：；(2)若的半徑為2，的平方和等于24，求的長度；(3)連接，若，點P在內部，且，則B點坐標為______．11．在平面直角坐標系中，對于點（不在坐標軸上）給出如下定義：以為圓心，為半徑的與y軸的另一個交點為，若在線段，上分別存在點，，使得為等腰直角三角形，其中，則稱點是完美點．如圖，若點的坐標為點，則在線段，上分別存在點，，使得為等腰直角三角形，其中，所以點是完美點．

(1)下列點中是完美點的有___________（填序號）；①；②(2)已知為拋物線上一點，若為完美點，求的取值范圍：(3)已知直線l：，點為直線上一點，若以為圓心，半徑為的上無完美點，求的取值范圍．12．在平面直角坐標系中，線段，點M，N在線段上，且，P為的中點，如果任取一點Q，將點Q繞點P順時針旋轉得到點，則稱點為點Q關于線段的“旋平點”

(1)如圖1，已知，，，如果為點Q關于線段的“旋平點”，①寫出一個點Q的“旋平點”的坐標______；②畫出示意圖，寫出a的取值范圍：(2)如圖2，的半徑為3，點A，B在上，點，如果在直線上存在點Q關于線段的“旋平點”，求m的取值范圍．題型5：與圓有關的動態問題13．（1）如圖1，已知點，是軸上的動點，過點作交軸于點是中點，求證．

（2）在（1）的條件下，可知在線段的垂直平分線上，若點，則是否有最小值？最小值為多少？（3）如圖2，在中，為中點，圓過，兩點且分別交于點，連接，當圓從過點變化到過時，點的運動軌跡為多長？

14．在矩形中，，點P從點A出發，沿邊向點B以每秒的速度移動，同時點Q從點D出發沿邊向點A以每秒的速度移動，P、Q其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為t秒．解答下列問題：(1)如圖①，t為何值時，的面積等于；(2)如圖②，若以點P為圓心，為半徑作．在運動過程中，是否存在t值，使得經過點C？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，若以Q為圓心，為半徑作，當與相切時．①求t的值．②如圖④，若點E是此時上一動點，F是的中點，連接，則線段的最大值為．15．在中，，，給出如下定義：作直線l分別交、邊于點M、N，點A關于直線l的對稱點為，則稱為等腰直角關于直線l的“直角對稱點”．（點M可與點B重合，點N可與點C重合）(1)在平面直角坐標系中，點，直線，O'為等腰直角關于直線l的“直角對稱點”．①當時，寫出點的坐標______；②連接，求長度的取值范圍；(2)⊙O的半徑為8，點M是上一點，以點M為直角頂點作等腰直角，其中，直線l與、分別交于E、F兩點，同時為等腰直角關于直線l的“直角對稱點”，連接；當點M在上運動時，直接寫出長度的最大值與最小值．題型6：切線問題16．已知：四邊形內接于，對角線交于點平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點，點為上一點，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點作的切線交的延長線于點，若，求線段的長．17．已知平面直角坐標系中，以原點O為圓心，5為半徑的交y軸的正半軸于點P，小剛同學用手中的三角板（）進行了如下的實驗操作：

(1)如圖1，將三角板的斜邊放置于x軸上，邊恰好與相切于點D，則切線長；(2)如圖2，將三角板的頂點A在上滑動，直角頂點B恰好落在x軸的正半軸上，若邊與相切于點M，求點B的坐標；(3)請在備用圖上繼續操作：將三角板的頂點A繼續在上滑動，直角頂點B恰好落在上且在y軸右側，邊與y軸的正半軸交于點G，與的另一交點為H，若，求的長．18．已知：對于平面直角坐標系中的點P和的半徑為4，交x軸于點A，B，對于點P給出如下定義：過點C的直線與交于點M，N，點P為線段的中點，我們把這樣的點P叫做關于的“折弦點”．

(1)若．①點中是關于的“折弦點”的是；②若直線上只存在一個關于的“折弦點”，求k的值；(2)點C在線段上，直線上存在關于的“折弦點”，直接寫出b的取值范圍．題型7：正多邊形與圓、弧長問題19．如圖1．扇形中，，，點P在半徑上，連接．(1)把沿翻折，點O的對稱點為點Q．①當點Q剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點Q落在扇形外，與弧交于點C，過點Q作，垂足為H，探究、、之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖3，記扇形在直線上方的部分為圖形W，把圖形W沿著翻折，點B的對稱點為點E，弧與交于點F，若，求的長．20．【綜合與實踐】【問題情境】在學習了數學活動《車輪做成圓形的數學道理》后，數學學習小組的同學們利用計算機軟件繼續模擬并探討各種不同類型的圖形的滾動問題．【實踐探究】同學們首先選擇了以下四種正多邊形沿水平地面的滾動，研究了以一個頂點為支點完成一次完整旋轉的過程．例如，在圖一中，等邊三角形圍繞頂點，中心從順時針旋轉到再到的過程．我們定義這個旋轉過程為正多邊形繞一個頂點的一次旋轉．（1）我們學習了圖二中正方形繞一個頂點的一次旋轉角度為，即是正方形的中心角度數，也是外角度數．那么等邊三角形繞一個頂點的一次旋轉角度為______；正五邊形繞一個頂點的一次旋轉角度為______；正邊形繞一個頂點的一次旋轉角度為______；【深入探究】同學們繼續模擬并探究，如果不是沿著水平地面滾動又會是怎樣