江西省上高第二中學2025屆高三下學期第二次階段性考試數(shù)學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．2．命題“”的否定為（）A． B．C． D．3．已知等邊△ABC內接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．24．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種5．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．6．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．67．設，則關于的方程所表示的曲線是（）A．長軸在軸上的橢圓 B．長軸在軸上的橢圓C．實軸在軸上的雙曲線 D．實軸在軸上的雙曲線8．設i為數(shù)單位，為z的共軛復數(shù)，若，則（）A． B． C． D．9．高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數(shù)學成績不低于110分的學生人數(shù)約為（）A．40 B．60 C．80 D．10010．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或012．已知點是雙曲線上一點，若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結果為的式子的序號是_____.14．已知集合，，則_____________.15．三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.16．已知，，且，則最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：（1）證明：平面平面ABC；（2）若點M在棱PA上運動，當直線BM與平面PAC所成的角最大時，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.18．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分線與交于點D，與的外接圓交于點E（異于點A），，求的值.19．（12分）設都是正數(shù)，且，．求證：．20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.22．（10分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面積為，，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.2．C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎題.3．D【解析】

如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，則.當，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.4．C【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，即可求解.【詳解】由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有種，剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有種，所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有種不同的排法.故選：C.【點睛】本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.5．A【解析】

利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項；當時，，可排除D選項；當時，，當時，，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應用，屬于中檔題．6．D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．7．C【解析】

根據(jù)條件，方程．即，結合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型．【詳解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C．【點睛】本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關鍵．8．A【解析】

由復數(shù)的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的乘除法運算，考查共軛復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵．9．D【解析】

由正態(tài)分布的性質，根據(jù)題意，得到，求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數(shù)學成績不低于110分的人數(shù)為人，故選:.【點睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質,考查學生分析問題的能力,難度容易.10．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學生的計算能力.11．C【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，只需，即，令，利用導數(shù)求其單調區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當時，根據(jù)函數(shù)的單調性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當時，由得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調遞增.∵，∴；當時，，函數(shù)在上單調遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題.12．A【解析】

設點的坐標為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結合，可得到的齊次方程，進而可求出離心率的值.【詳解】設點的坐標為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，構造的齊次方程是解決本題的關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．①②③【解析】

由已知分別結合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案為：①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應用，屬于中檔試題.14．【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，屬于基礎題.15．【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個小朋友之間準備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.16．【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結合均值不等式的結論即可求得其最小值.【詳解】，結合可知原式，且，當且僅當時等號成立.即最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）【解析】

(1)設的中點為,連接.由展開圖可知,，.為的中點,則有,根據(jù)勾股定理可證得,則平面,即可證得平面平面．(2)由線面成角的定義可知是直線與平面所成的角，且,最大即為最短時,即是的中點建立空間直角坐標系,求出與平面的法向量利用公式即可求得結果.【詳解】（1）設AC的中點為O，連接BO，PO．由題意，得，，．在中，，O為AC的中點，，在中，，，，，．，平面，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC．（2）由（1）知，，，平面PAC，是直線BM與平面PAC所成的角，且，當OM最短時，即M是PA的中點時，最大．由平面ABC，，，，于是以OC，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標系，則，，設平面MBC的法向量為，直線MA與平面MBC所成角為，則由得：.令，得，，即.則.直線MA與平面MBC所成角的正弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查線面成角問題,借助空間向量是解決線面成角問題的關鍵,難度一般.18．（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理轉化整理為，再利用余弦定理求解.（2）根據(jù)，利用兩角和的余弦得到，利用數(shù)形結合，設，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【詳解】（1）因為，所以，即，即，所以.（2）∵，.所以，從而.所以，.不妨設，O為外接圓圓心則AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，從而.所以.【點睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數(shù)形結合的方法，屬于中檔題.19．證明見解析【解析】

利用比較法進行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關鍵;屬于中檔題。20．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）求解出導函數(shù)，分析導函數(shù)的單調性，再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；（2）根據(jù)導函數(shù)零點，判斷出的單調性，從而可確定，利用以及的單調性，可確定出之間的關系，從而的值可求.【詳解】（1）證明：∵，∴.∵在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∴函數(shù)在上單調遞增.又，令，，則在上單調遞減，，故.令，則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.函數(shù)在上單調遞增.∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴.由（*）式得.∴，顯然是方程的解.又∵是單調遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度較難.（1）判斷函數(shù)的零點個數(shù)時，可結合函數(shù)的單調性以及零點的存在性定理進行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點”問題，可通過“設而不