包頭市第八十一中學2024-2025學年高二下學期第一次月考數學試題一、單選題1．已知，則等于A．0 B．C． D．2．函數的導函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．3．某放射性同位素在衰變過程中，其含量（單位：貝克）與時間（單位：天）滿足函數關系，其中為時該同位素的含量.已知時，該同位素含量的瞬時變化率為，則（

）A．24貝克 B．貝克C．1貝克 D．貝克4．已知直線與曲線相切，則實數a的值為（

）A． B． C．0 D．25．已知為函數的極值點，則在區間上的最大值為（

）（注：）A．3 B．C．5 D．6．已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知實數，且，為自然對數的底數，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題正確的有（

）A．已知函數，若，則B．已知函數在上可導，若，則C．D．設函數的導函數為，且，則10．已知函數，其導函數為，下列說法正確的是（

）A．函數的單調減區間為B．函數的極小值是C．函數的圖像有條切線方程為D．點是曲線的對稱中心11．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．當時，函數恰有兩個零點B．當時，不等式對任意恒成立C．若函數有兩個零點，則D．當時，若不等式對恒成立，則實數的取值范圍為三、填空題12．函數的單調增區間為.13．已知是定義在上的奇函數，又，若時，，則不等式的解集是．14．已知曲線與有公共切線，則實數a的最大值為．四、解答題15．（1）已知函數，直線l為曲線的切線且經過原點，求直線l的方程及切點坐標.（2）已知是函數的一個極值點，求在區間上的最小值.16．已知函數，（1）若曲線在點處的切線為，求的值；（2）討論函數的單調性；（3）設函數，若至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍．17．已知函數(1)求的極值；(2)證明：當時，．18．設.(1)若在上恒成立，求實數a的取值范圍；(2)若函數存在兩個極值點、，求證：.19．已知函數的導函數為，的導函數為，對于區間A，若與在區間A上都單調遞增或都單調遞減，則稱為區間A上的自律函數．(1)若是R上的自律函數．（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）若a取得最小值時，只有一個實根，求實數t的取值范圍；(2)已知函數，判斷是否存在b，c及，使得在上不單調，且是及上的自律函數，若存在，求出b與c的關系及b的取值范圍；若不存在，請說明理由．題號12345678910答案CDBABDCDBDABD題號11答案BCD12．13．14．15．（1）由，若切點為，則，所以切線方程為，且過原點，所以，可得，故切點為，所以切線方程為.（2）由，則，可得，所以，則，所以或時，時，故在上單調遞增，在上單調遞減，顯然為極值點，且，，，，綜上，在區間上的最小值為.16．（1）的定義域為，，∴，解得，∴．（2），當時，，∴的單調增區間為當時，由，∴的單調增區間為，由，∴的單調減區間為．當時，由，∴的單調減區間為，由，∴的單調減區間為．綜上所述：當時，，∴的單調增區間為，當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為當時，∴的單調增區間為，，的單調減區間為．（3）若至少存在一個，使得，∴，當時，，∴有解，令，∴，∴在上單調遞減，∴得，．17．（1）函數的定義域為，，由可得，，解得，由可得，，解得，所以函數在單調遞增，單調遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）若證，即證，即證，設，，令恒成立，所以在上單調遞減，又，所以存在唯一，使得，所以當時，，則，函數單調遞增，當時，，則，函數單調遞減，所以，所以.18．（1）設，即，即；所以在上單調遞增；當時，；若即，則；即在上恒成立，所以在上單調遞增；恒成立；若即，則；又，且在上單調遞增；存在唯一，使得；所以在上恒成立，在上單調遞減；此時，這與條件矛盾，所以不成立；所以；（2）因為函數存在兩個極值點；所以有兩個實數根；所以將兩式相減，得：；即要證：，只需證：；即證：，設，因為，所以；即證：；設，則單調遞減，所以；故原命題成立.19．（1）（ⅰ）因為，所以，，因為是R上的自律函數，所以恒成立，恒成立，所以解得，所以a的取值范圍是．（ⅱ）當時，，設，則，所以當時，，單調遞減，當或時，，單調遞增，因為，，，所以若只有一個實根，t的取值范圍是．（2）由得，