PAGE7-第一節集合[考綱傳真]1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的詳細問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在詳細情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡潔集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能運用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算．1．元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系：屬于或不屬于，分別記為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數集的記法集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關系表示關系文字語言符號語言記法基本關系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬于AA?B，?x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?A?A＝BA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集?x，x??，??A?3.集合的基本運算表示運算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的元素組成的集合{x|x∈A且x∈B}A∩B并集屬于A或屬于B的元素組成的集合{x|x∈A或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于A的元素組成的集合{x|x∈U，x?A}?UAeq\o([常用結論])1．若有限集A中有n個元素，則集合A的子集個數為2n，真子集的個數為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何集合都至少有兩個子集． ()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.()(3)若{x2，x}＝{－1,1}，則x＝－1. ()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C. ()[解析](1)錯誤．空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的．(2)錯誤．集合A是函數y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集．因此A，B，C不相等．(3)正確．(4)錯誤．當A＝?時，B，C可為隨意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下列結論正確的是()A．{a}?A B．a?AC．{a}∈A D．a?AD[由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)知，a?A.]3．設集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．(2024·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，則?UA＝( )A．? B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}C[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴?UA＝{2,4,5}．故選C.]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含義與表示1．設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個數為()A．3B．4 C．5 D．6B[因為集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以當b＝4，a＝1,2,3時，x＝5,6,7.當b＝5，a＝1,2,3時，x＝6,7,8.由集合元素的互異性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4個元素．]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝( )A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8) C．0 D．0或eq\f(9,8)D[若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).]3．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2019＋b2019為( )A．1B．0 C．－1 D．±1C[由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依據集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.]4．設集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數a＝________.1[由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.解得a＝1.][規律方法]與集合中的元素有關的問題的求解策略1確定集合中的元素是什么，即集合是數集還是點集.2看這些元素滿意什么限制條件.3依據限制條件列式求參數的值或確定集合中元素的個數，要留意檢驗集合是否滿意元素的互異性.集合間的基本關系【例1】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則()A．B?AB．A＝BC．AB D．BA(2)(2024·大慶模擬)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－3)≤0))))，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則集合B的子集個數為()A．5B．8 C．3 D．2(3)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實數a的取值集合為________．(1)C(2)B(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0))[(1)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，則AB，故選C.(2)由eq\f(x＋1,x－3)≤0得－1≤x＜3，則A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的個數為23＝8個．(3)A＝{－3,2}，若a＝0，則B＝?，滿意B?A，若a≠0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由B?A知，eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，故a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2)，因此a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0)).][規律方法]1.集合間基本關系的兩種判定方法1化簡集合，從表達式中找尋兩集合的關系.2用列舉法或圖示法等表示各個集合，從元素或圖形中找尋關系.2.依據集合間的關系求參數的方法,已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數滿意的關系，解決這類問題經常要合理利用數軸、Venn圖化抽象為直觀進行求解.易錯警示：B?AA≠?，應分B＝?和B≠?兩種狀況探討.(1)(2024·長沙模擬)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個數為( )A．1B．2 C．4 D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實數a的取值范圍是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A?C?B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故選C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A?B，則a≥2.]集合的基本運算?考法1集合的運算【例2】(1)(2024·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2024·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2024·桂林模擬)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，則下列關系正確的是()A．M∪N＝{－1,1,3}B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.法二：因為A＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故選B.]?考法2利用集合的運算求參數【例3】(1)設集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為()A．0B．1 C．2 D．4(3)(2024·廈門模擬)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，則實數a的取值范圍是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠?知，集合A，B有公共元素，作出數軸，如圖所示：易知a＞－1，故選D.(2)由題意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故選D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B?A，則a≥2，故選C.][規律方法]解決集合運算問題需留意以下三點：1看元素組成，集合是由元素組成的，從探討集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提.2看集合能否化簡，集合能化簡的先化簡，再探討其關系并進行運算，可使問題簡潔明白，易于求解.3要借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續時用數軸表示，并留意端點值的取舍.(1)(2024·東北三省四市聯考)設集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，則A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2024·西安模擬)設集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，則(?RA)∩B＝()A．{1}B．{2} C．{1,2} D．?(3)(2024·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2024·長沙模擬)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，則A∩B＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故選C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，則?RA＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(?RA)∩B＝?，故選D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故選C.(4)因為A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2024·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為()A．9B．8 C．5 D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1，0,1}，所以A中元素的個數為9，故選A.]3．(2024·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，則()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(3,2)))))B．A∩B＝?C．A∪B＝eq\