上海市格致中學2024-2025學年高一下學期3月考試數學試

題

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

若一3€,一3,2a—1,02_1｝，則a的值為------

2.在V48C中，角43,C所對應的邊分別為若人生5=生,°=2夜，則6=—

43

3.不等式-2W生心42的解集為.

4—x

4.已知函數>=/（%）的對稱中心為若函數y=l+sinx的圖象與函數7=/（力的圖

象共有6個交點，分別為卜1，/），（“2，匕），…，（々，乂），則￡@+乂）=.

Z=1

5.當*>1時，x+二的最小值為一.

X-1

x,ya丫

6.設正實數滿足中=10,lgx-lgy=——,則lg」=_____.

-4y

7.若且cos2ct=cos[a,則----

8.函數?=是定義在（0,+功上的嚴格減函數，對任意x、ye（O,+e），滿足

〃孫）=/（x）+/3,且/囚=2，則不等式〃x）+〃xf+2>0的解集為

試卷第11頁，共33頁

9.已知函數"x）=xTinx是R上的單調增函數，則關于“的方程一一尤如2》+工=』8$4*

88

的實根為.

tana2呵2以+與的值是一

10.已知(兀3,則

tana+—

I4

a

11.關于“的方程2cos2x-sinx+a=0在區間0,—上恰好有兩個不等實根，則實數一的

6

取值范圍是—.

93,且當

04再＜%2Kl時,/(X1)^/(X2),則/1

2025

二、單選題

13.已知扇形所在圓的半徑為2,扇形的弧長為三，則扇形所對的圓心角的弧度為（）

5

B-7C-TD-TF

14..sinx|在下列哪個區間上是嚴格減函數（

A.B.71C.371D.3兀5兀

5"

15.已知X￡R,則“（x-2）（x-3）40成立”是“卜_2|+,-3|=1成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

試卷第21頁，共33頁

16.己知函數了=/(x)(xeR)的最小正周期是工，函數＞=g(x)(xeR)的最小正周期是北，

且7]=件代＞1)，對于命題甲：函數了=〃尤)+g(x)(尤eR)可能不是周期函數；命題乙：

若函數y=/(x)+g(x)(xeR)的最小正周期是心，則(27].下列選項正確的是()

A.甲和乙均為真命題B.甲和乙均為假命題

C.甲為真命題且乙為假命題D.甲為假命題且乙為真命題

三、解答題

17.外戶均為第一象限角，其中。終邊與單位圓的交點橫坐標為，￡終邊與單位圓的交點

縱坐標為空，求0+

13

18.設銳角三角形的內角4S。所對的邊分別為〃,仇。，若

(siib4+sinJ?-sinC+=siib4?

⑴求5；

⑵求尸siM+sinC的取值范圍?

meR

19.已知函數/(Xi?-妙+味g(x)=S+3_2,

x+1

⑴求/(X)的單調區間和值域；

⑵若對于任意修?0,1],總存在再40,1],使得〃x0)=g(xj成立,求機的取值范圍.

20.對于/(x)=ln[2+].

試卷第31頁，共33頁

⑴若g(x)=/(1一%),且g(x)為奇函數，求。的值;

⑵若且對任意當％、龍2^也6+1］時，滿足|〃xJ-〃X2)|4ln2,求實數“

的取值范圍.

21.如圖，某景區有景點42,C,Z>,經測量得，BC=6km,ZABC=120°,

smZBAC=--,ZACD=60°,CD=AC-

14

(1)求景點4。之間的距離；

(2)現計劃從景點8處起始建造一條棧道，并在〃處修建觀景臺.為獲得最佳觀景效果，

要求觀景臺對景點A,D的視角AAMD=120。?為了節約修建成本，求棧道9長度的最小值.

試卷第41頁，共33頁

《上海市格致中學2024-2025學年高一下學期3月考試數學試題》參考答案

題號13141516

答案ABCC

【分析】由題意可得3=-3或2°-1=-3或/.i=_3,分別求解后再驗證即可―

【詳解】解：因為一3e{"3,2a-l,〃一1},

當"3=-3，即°=0時，此時==不滿足元素的互異性；

當2°-1=-3,即"T時，此時{”3,2々-1,/-1}=卜4,-3,0},滿足題意；

當/_1=_3，即02=_2時，此時無解；

綜上，a=-\'

故答案為：_1

2-273

【分析】根據正弦定理即可求解.

3=2.2及x縣

,e、，siiL4sin8..,asiriS7、h

【詳解】因為，所cr以K6=—v=——^^=2J3.

SIIL4V2

故答案為：2拒，

3.LiZ

_'3_

【分析】根據分式不等式的解法求解即可.

答案第11頁，共22頁

2x+2.

---------+2>0

4jr—6---------<0-

【詳解】V20V4-x一'I<?-l<x<-

4x—6八6x-14八3

-----------2<0---------->0

4-x1x-4

故答案為：-1J.

_3_

4.6

【分析】根據給定條件，結合函數y=l+sinx圖象的對稱性，確定6個交點的關系即可求

解作答.

【詳解】顯然函數y=1+sinx的圖象關于點(0,1)成中心對稱，

依題意，函數y=l+sinx的圖象與函數＞=/(x)的圖象的交點關于點(0,1)成中心對稱，

666

于是。=。5%=6,所以之(x,+%)=6.

Z=1Z=1Z=1

故答案為：6

5.5

【分析】構造乘積為定值，應用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】因為、＞1，

4.4,?

當％-1=------,x=3時，x+-------的取小值為5.

x-1x-1

故答案為：5.

6.土？

【分析】根據對數的運算法則與性質化簡即可得解.

【詳解】由中=10,得Igx+Igy=Igpcy=1.

答案第21頁，共22頁

所以1g2=Igx-lgy=±7(Igx+Igy)2-41gx-Igy=±2.

y

故答案為：+2

7.-A

12

【分析】化簡三角函數式，求出sin|a+3=；，根據即可求解.

【詳解】由cos2a=cos(o:+J,得cos%-sin2a=[^(cosa-sintz),

因為ae—,。],所以c-m”0,則c°se+sme=*則sm"T=g

由aejgo],得a+哭J—則a+”一，解得a=-N.

I2)4612

故答案為：-4.

12

8.(1,2)

【分析】由定義代入x=〉=l,可求出/(I)的值，代入x=，可求出一2對應的”的值，根

2

據題意對不等式變形可得了(/_1)>/(2)，根據單調性可列出關于x的不等關系，結合定

義域可求出結果.

【詳解】解：令x=y=l，則有=/⑴+/⑴=2/(1)，所以〃1)=0,

因為/出=2,所以/⑴=/出+〃2)=0,所以/⑵=一2,

答案第31頁，共22頁

不等式/(x)+/(x—l)+2>0等價于-尤)>-2=/(2)，

函數了=〃x)是定義在(0,+的上的嚴格減函數，則V一》<2，

即一1cx<2，又x>0，且x-l>0，所以1<X<2?

故答案為：(1,2)

9.0

【分析】x2-xsin2x+—=—cos4x,得到x-'sin2x=0再利用題目中函數

882

/(x)=x-sinx是R上的單調增函數，得到答案.

【詳解】x2-xsin2x+—=—cos4x=>x2-xsin2x+—sin22x=0=>(x--sin2x)2=0

8842

x--sin2x=0=>2x-sin2x=0

2

驗證知：》=0是方程的解.

函數/(x)=x-sinx是R上的單調增函數，〃2x)單調遞增，最多有一個零點.

故》=0是方程的唯一解

故答案為0

【點睛】本題考查了方程的解，三角恒等變換，函數的單調性，函數零點，綜合性強，需

要靈活掌握各個知識點，綜合運用.

10.旦.

10

【分析】由題意首先求得tLadlnlCZa的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題

轉化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數式的值即可.

答案第41頁，共22頁

tana_tana_tana(l-tana)__2

【詳解】由(tana+1tana+13,

tana+-----------

[4)1-tana

得3tan2a-5tana-2=0?

左刀&tana=2-1

角牛得，或tana=一一?

3

sin2a+—=sin2acos——Fcos2asin—

I4)44

2sinacosa+cos2a-sin2a

(sinla+cos2a)=

si?n7a+cos2a

2tana+1-tan2a

tan2a+1

當tana=2時，卜式一小加2+1-21.小

2122+1J10

1

tana=——

當3時,

綜上,

【點睛】本題考查三角函數的化簡求值，滲透了邏輯推理和數學運算素養.采取轉化法，利

用分類討論和轉化與化歸思想解題.

11.一21(一2,1)

【分析】根據題意，令"smx,將問題轉化為直線'一"和函數"2r+"2,

2

答案第51頁，共22頁

的交點個數問題，進而分XGFK,—1時和當X€（。兀）兩種情況討論求解?

_6_

【詳解】解：由題意，方程可變為a=_2cos2x+sinx=2sin2x+sinx-2，

人，=sinx..,7兀日「1i

令，由——，可得，w——,1?

6L2

①當71,—時，/￡--,0，此時，與“一一對應.

_6JL2J

由題意可得，關于’的方程“="+/2,當/JJ.（）］應有2個實數根,

_2_

即直線和函數0=2〃+"2,當（/_±0］應有2個交點.

_2_

當仁」時，。=2/+"2有最小值JI.

48

當仁-工或0時，a=2F+-2=-2.此時，應有.

218」

但當"=一2時，:一工或0,在區間1°衛］上，對應x=°或"或?，

2L6J6

關于”的方程2c°s2x-sinx+a=0在區間h田上有3個實數根，

_6_

故不滿足條件，應舍去，故ae］-.，-2〉

②當xe（O,兀），且時，有2個、與一個'值對應.

故由題意可得，關于f的方程a=2?+”2,當fe（O,l）有一個實數根，

答案第61頁，共22頁

即直線y=a和曲線a=2產+f-2在（0,1）上有一個交點，如圖所示：此時，ae（-2,l）.

a（

綜上可得，實數的取值范圍是-y,-2ju(-2,l).

一［，_卜(_

故答案為:22,1).

【點睛】本題考查三角函數的性質，方程的根的個數求參數范圍，考查分類討論思想，數

形結合思想，運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據已知條件，分當

7兀時和當xe（0,n）兩種情況討論求解.

XG71.-----

6

12.—

128

答案第71頁，共22頁

【分析】利用賦值法可得〃1)=1,L==進而根據條件當°"占＜%41時,

〃網)"口2)得小€，」］均有/@)=；,即可賦值求解.

322

【詳解】由/(°)=°J(x)+/(j)=l,令x=；,得/出=；,

令X=O，得〃0)+/⑴=1，所以/⑴=1，

令E

又當0W網jWl時，〃』)4/伉)，又因為/匕］=/&］=：,

所以X/xe—均有/(x)=L

［32)2

注意到工=1史』,口，因此/?］」，

20252025|_3'2」71^2025)2

于是《小卜心言fm%募卜出/盛］

=-=Q}4蔡［出*卜力，

故答案為：—.

128

13.A

【分析】設這個扇形的圓心角的弧度數為0，根據弧長公式求解即可.

答案第81頁，共22頁

ajr

【詳解】設這個扇形的圓心角的弧度數為，〃=2,/=二，

根據扇形的弧長公式得/=oz=>]=ax2,解得a=R.

故選：A.

14.B

【分析】作出函數“X)■sinx|的圖象，結合選項可得答案.

【詳解】根據正弦函數的圖象，作出函數〃耳=卜山|的圖象，

如圖所示：

分析選項可得函數函數“*)=忖時在區間性,兀]上是嚴格減函數.

故選：B.

15.C

【分析】利用解二次不等式和去絕對值，結合充要條件的分析方法，即可作出判斷.

【詳解】由(尤一2)(>3)40可得:24尤43,

而當2Wx(3時,W|X-2|+|X-3|=X-2+3-X=1,

所以“(x-2)(x-3)(0”成立是“卜一2|+卜-3|=1”成立的充分條件?

2x-5,x>3

由卜-2|+,-3|=11,2<x<3^

5-2x,x<2

因為x>3n2x-5〉6-5=1，X(2=>5-2%〉5-4=1，

答案第91頁，共22頁

可知若k_2|+卜-3|=1，必有2X3.

所以“(x-2)(x-3)?0”成立是“|x-2|+|x-3|=1”成立的必要條件，

綜上所述，"(x—2)(工-3)?0”成立是7.2|+|x-3|=1”成立的充要條件?

故選：C.

16.C

【分析】利用三角函數的周期性，選用特殊函數和反證法驗證兩個命題.

【詳解】甲:存在/(x)=sinx,g(x)=sin7rx,y=sinx+sin;rx不是周期函數,

(反證法)假設f(x)=sinx+sinTTX(XGR)是周期函數，

則存在非零常數T,使得對VXER,都有/(x+7)=/(x),

即sin(x+T)+sin(〃x+兀T)=sinx+sinnx①，

在①式中，取x=0，得sinT+sin乃7=0②'

在①式中，取x=2-T，得sin2=sin(2-T)-sin〃T③，

在①式中，取x=2,W"sin(2+T)+sinTIT=sin2?，

由③④得，sin(2+T)+sinnT=sin(2-T)-sin，

所以cos2?sin7+sin兀T=0⑤'

由②⑤得，cos2sinT-sinF=0，所以sinT(cos2—l)=0，

顯然cos2wl，所以sin7=0，所以存在％eZ且左片0，使T=k兀，

又sin/rT=-sin7=0，所以存在加EZ,加。0,使得開T=m冗，

所以'=所以加=左匹乃=竺，所以“是有理數，矛盾，

答案第101頁，共22頁

所以/(x)=sinx+sinc不是周期函數，正確；

乙:取/(x)=Sin2x+sin3x,)=2肛g(x)=-sin=%，則f(x)+g(x)=sin3》工=g，所

以7；<4，錯誤；

故選：C

17.a+夕=2桁tarcces左eZ）

【分析】由a,夕是第一象限角，可以得出a,夕的正余弦值，從而計算a+夕的余弦值，由

余弦值的符號可以斷定a+0為第二象限角，反三角函數求出結果.

【詳解】由％"是第一象限角，得sina=±cos夕=9，

513

/n\A..々4531216

cos（a+p）=cosacosp-smasmp=jx--—x—,

因為a,0是第一象限角，所以a+夕為第二象限角，

所以a+2=2左兀aircces

18.(1)5=-

3

【分析】（1）由正弦定理得碇=/+°2_/,代入余弦定理即得8的值.

V

（2）由兩角和差的正弦公式和輔助角公式得,從而得,的取值范圍.

答案第111頁，共22頁

【詳解】(1)由正弦定理,可得(a+6-c).(b+c-“)=ac

即ac=a2+c2-b29

由余弦定理得C0S3=:+/―=1

lac2

又?..3￡（0,兀），

3

（2）由（1）可知z+c=E27r,

3

因為V/5c為銳角三角形，

0<A<-

2

八2兀兀,

0<A<—

32

7171,

—</<一

62

36316八2

y=siiL4+sinC=+的取值范圍為gG-

19.(1)遞減區間為(—8,2],遞增區間為g,+8);值域為[加_生1,+8)

2，4

答案第121頁，共22頁

⑵[0,1]

【分析】(1)根據題意，利用二次函數的圖象與性質，即可求解;

(2)化簡函數ga)=(x+l)+&-4,利用換元法和單調性，求得g(x)的值域為[°H,根

X+1

據題意，轉化為{y|y=/(x)}q[0,l],結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.

【詳解】⑴解：由函數/(力=/一3+加，其圖象對應的拋物線開口向上，且對稱軸

為x=一，

2

所以函數/(x)在(-8,%]上單調遞減，在白，+?)上單調遞增，

22

當》=當時，函數/(X)取最小值，最小值為了⑹="_,，

所以函數/(x)的值域為阿一+00).

(2)解：由函數g(x)=^±l_2=(x+D2_2(x+l)+4_2=(x+i)+J__4,

x+1x+1x+1

當xe[0,l]時，令，=尤+1，可得元=/-1且，

則gC)=/+,4在/工2]為單調遞減函數，

所以g(/)mm=g(2)=0,g⑺=g6=「所以函數g(X)的值域為[。刀，

對于任意為e[0,l]，總存在&e[0,l]，使得/(%)=g(xj成3

可得函數/⑴的值域為函數g(x)的值域的子集，即3y=/(x)}曰0,1],

答案第131頁，共22頁

由/(Hi-mx+m'可得〃O)=mJ⑴=1，

當％＜0時，即機＜°時，顯然不成立；

2

當依＞_1時，即心＞1,根據拋物線的對稱性，可得/(°)＞/(1),顯然不成立;

22

廿卜=/(%)}7[0』]冽,10<m<l

us—s一

所以要使得，貝IJ22,解得

m八

m---->0

4

所以實數機的取值范圍為［0,1］.

2。?⑴I

24

⑵

【分析】⑴先求出函數g(x)的解析式，根據g(x)為奇函數，可得g(x)+g(-x)=0,

再結合對數的運算即可得解；

(2)易得〃x)在［46+1］上為減函數，由題意可得則〃X)ma、WM2，再構造新的

函數，求出函數的最值即可得解.

【詳解】(1)因為〃x)=ln1|+d，

所以8(切=〃1_》)=111(占+“=111三人詈，

又g(X)為奇函數，.?.g(x)+g(r)=In2+”竺+In2+a+ax=i"尸—=。，

'\-x\+xn1-x2

...(2+4一1+(-2)-=°,對定義域內任意x恒成立，

答案第141頁，共22頁

」(2+4-1=0,解得°=T

\\-a2=0

7

(2)令/，+人

x

則t=2+a在（°，+8）上為減函數，，=血在（0,+8）上為增函數,

X

=ln4+a）在電"1］上為減函數，

當司,工2￡［6,6+1］時，滿足|/（項）_/（x2）|<ln2，

則〃x）max-/（x）mm=/（6）-/e+l）=ln1|+\-ln［高+a^<\n2,

一+042（=-+4］，即加+（"+2）6—220對任意的辰］］恒成立，

b（6+1）［4」

設〃伍）=加+（0+2）6-2，

又a>°'，函數'e