2023-2024學年上海市第二中學高一年級下學期

期中數學試卷

2024.4

一、填空題(本大題共有12小題，滿分36分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫

結果，每題每個空格填對得3分，否則一律得0分.

1.在0到2萬范圍內，與角-至終邊相同的角是.

3

【答案】—

3

【解析】與角弓終邊相同的角的集合為{a\a=~+2覬,keZ},

取左=1,可得a=--+2%=—.

33

.?.在0至IJ2萬范圍內，與角一網終邊相同的角是也

33

2.設角Q的終邊經過點尸(-3,4),那么sin，+2cos6=.

【答案】二

5

【解析】?.?角。的終邊經過點P(-3,4),;.x=—3,y=4,r=\OP\=5,

/.sin6)=—=—,cos0=—=,那么sin6+2cos。=壯一9=—2

r5r5555

3.若一個扇形的半徑變為原來的一半，而弧長變為原來的3倍，則該弧所對的圓心角是原來

2

的.

【答案】3

【解析】設原來扇形的半徑為R，弧長為L,圓心角為。.變化后的扇形的半徑為r,弧長

為/,圓心角為月.

13

貝!Jr=—E,l=—L,L=Ra,l=rB.

22

BTIR3、.

—=-^=-x—=-x2=3

aLLr2

4.函數y=tan(3x+?)的最小正周期為.

【答案】-

3

【解析】由正切函數的周期公式得：7=%

3

5.已知銳角x滿足sin%=L,則1=.

2

【答案】-

6

【解析】sinx=sin—=>%=—

66

6.已知e?是兩個不共線的向量，向量4=2q-e2，b=ke1+e2.a//b,則％=.

【答案】-2

【解析】《不共線,

?：UHb,.?.存在實數X,使石=4商,

kj+g=246]一彳4'

[k=2/1..

,,，解得人二一2

[—4=1

7.若函數）=sinx+&cosx+3的最小值為1,則實數〃=.

【答案】3

【解析】因為y=sinx+Gcos%+3=Jl+asin(x+/)+3(coscp=-J,

Jl+a

由題意得3—由+a=1,

解得a=3.

4

8.已知cos(cr-/?)cosa+sin(cr-/?)sincir=--,且P是第三象限的角，則sin/?=.

3

【答案】--

5

4

【解析】cos(a-/3)cosa+sin(a-j3)sina=-->

44

cos[(^z-/3)一=一~,即cos/3=一—,

?.,夕是第三象限的角，

9.已知1，4為單位向量且夾角為（，設苕=[+￡,建工,商在B方向上的數量投影為

【答案W

【解析】0?5=（G+晟）?最

=C]?e2+/

=-+1

2

=-,且|5曰；

2

.?.M在B方向上的數量投影為:

ai_3

|a|cos<a,b>=|a|*

\a\\b\~~\B\~2

10.已知角a滿足cos(i+?)=],貝Usin(2a—2)=.

【答案】N

9

[解析]cos(cr+—)=sin[——(a+—)]=sin(—宴a)=一,

62633

/.sin(2a——)=cos[——(2a——)]=cos(^-—2a)=cos2(——a)=l—2sin2(——6z)=1—2x(—)2=—

62633339

H.如圖，在平行四邊形ABCD中，石為5。的中點，尸為。石的中點，若

AF=xAB+yAD,貝!J九+y=.

【答案】-

4

【解析】連接AC,如圖所示,

因為平行四邊形ABCD中，E為3C的中點，/為DE的中點,

所以存，而+工荏」而+工，(箱+畫

22222

1—?1—?—?—?1—?3—?

=-AD+-(AD+AB+AB)=-AB-^--AD,

2424

所以％，

24

所以x+y='+3=9.

244

A1B

12.已知函數/（無）=^sin（＜yx+0）（O＜0〈萬）的部分圖象如圖中實線所示，圓C與/（幻圖象

6

交于M,N兩點，且M在y軸上，則圓C的半徑為.

【答案】—

12

【解析】函數的最小正周期T滿足：--解得T=萬，即加=萬，所以。=2.

236a

因為點"、N關于點C對稱，所以尤c=,x2=生，

c233

由圖象可得了⑺的最大值點為;.+§=去所以2*3°=]+2左/，kwZ,

結合。＜夕＜乃，取左=0得9=工，/（元）表達式為/'（尤）=———sin（2.x+—）.

363

因此可得|OM|=/（0）=叵sin二=工，所以圓C的半徑

634

r=7lOM|2+|CM|2==||

二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙

的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.二十四節氣是中國古代訂立的一種用來指導農事的補充歷法，是中華民族勞動人民智慧

的結晶.從立春起的二十四節氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬

至、小寒、大寒.二十四節氣的對應圖如圖所示，從2024年4月20日谷雨節氣到2024年

12月6日大雪節氣，圓上一點轉過的弧所對圓心角的弧度數為（）

A57c----3

A.—B.nC.——D.-n

442

【答案】C

【解析】依題意，二十四節氣將一個圓24等分，所以每一份的弧度數位也=2,

2412

從谷雨到大雪，二十四節氣圓盤需要逆時針旋轉15個格，

所以轉過的弧所對圓心角的弧度數為15x二二..

124

故選：C.

14.下列等式中不恒成立的是（）

A.a-b=b-aB.Aa-b=a-

/——\2—?2—?2

CAa-b\=a?b由-限（

【答案】C

【解析】?加）=（卜帆85卜，磯=卜|Wcos?卜,5）與〃-b不是恒相等的

故選C

6為了得到函數y=sin2x的圖象，可以將y=cos（2x-三）的圖象（）

A.向右平移三個單位長度B.向右平移三個單位長度

63

C.向左平移三個單位長度D.向左平移工個單位長度

63

【答案】A

jr-rr

【解析】將y=cos（2x----）=sin（2xH——）的圖象向右平移看個單位長度，可得函數y=sin2x

63

的圖象,

故選：A.

16.設函數/■（無）=$皿0無-a+1（昕"）在［1|,手上單調遞減，則下述結論:

①關于(2,0)中心對稱；

12

②/(x)關于尤=^軸對稱；

③在任㈤上的值域為［03；

22

④方程/(x)=1在［0,2句有4個不相同的根.

其中正確結論的編號是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】D

【解析】函數/⑴=sin(ox-')+1(。eN*)在［射，旦］上單調遞減,

6126

_.7CTC_.3兀2k7c2萬2k兀5%

2左乃+一轟％x——2k/r+——o-----+——轟/----+——；

262co3a)co3a)

2k冗In57r

----1-------

33?！?224k8雙/12kc

o亨+g驅——+2，

5TT2kji57r5

—，，----1---

、6co3co

又因為0eN*,所以左=0時，(o=2.

71

f(x)=sin(2x----)+1；

6

對于①，/(—)=1^0,所以①錯；

12

對于②，/(-)=-，未達最值，所以②錯;

32

對于③，

nn--,2n--=4>sinflx--e-1,—

xe—,7t=>2xe［1，2乃］=4>2x--e

266jI6jL2.

3

n/(x)e0,-

所以③對;

對于④，/(X)以萬為周期，y(x)=i在［0,2句上只有兩個根，端點不是根,

所以在［0,2句有4個不同根，所以④對.

故選：D.

三、解答題(本大題滿分48分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的

規定區域內寫出必要的步驟

17.(本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分)

077"

己知a,b,c分別為AABC三個內角A,B,C的對邊，A=—.

3

(1)若3=C,a=2A/3,求c；

(2)若AABC的面積為26，c=2,求“

【答案】(1)2；(2)26

【解析】

(1)因為A=,B=C,所以B=C=工，

36

由正弦定理，L=,，可得c=2；

sinAsinC

(2)因為AABC的面積為2百，

所以工6csinA=26,因為A=主，c=2,

23

J3l

所以火6=2抬，解得6=4,

2

O-TT[

由余弦定理可得標=16+4-2x4x2cos——=28,BPa=277

3

18.(本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分)

已知|西=夜,出|=1,1與5的夾角為45。.

(1)求舊+26|的值;

(2)若向量(24-呵與日萬-3方)的夾角是銳角，求實數2的取值范圍

【答案】(1)師；(2)(1,V6)U(V6,6)

【解析】

(1)由團=應,|5|=1,乙與方的夾角為45。,

所以①+26)2=及2+464+452=2+4x應xlxcos45o+4xl=10,

所以14+25|=A/10；

(2)由(2”4)與(施-35)的夾角是銳角,

所以(24-篇)?("-35)>0,且(2a-Ab)與(Aa-3b)不能同向共線；

即2Atz~+3—（彳~+6）Zz,Z?>0?JEL2&—Ab4k（九a—3b）,左>0；

所以幾2一72+6<0,且外/6,2>0；

解得1<彳<痛或后<2<6；

19.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

已知函數/（x）=cos2x+6sinxcosx+；.

（1）求函數/（無）的最小正周期和單調增區間；

（2）求函數/（%）在區間［《肛|萬］上的最小值以及取得該最小值時x的值

【答案】（1）兀,遞增區間為k7i-—.k7i+—（左EZ）；

（2）x萬時，/（x）取得最小值0

【解析】

（1）因為函數

\2石.1cos2x+lA/3.143.（乃）［

t%=cosx+V3sin%cos%d■—=-----------1-----sinzxd■—=——sin2x-\■一|+1

v7222226J

；?函數/（元）最小正周期是T=?;

,.,TC_TC-,7C

當t2人》---<2x-\——<2kjiH——

262

rrrr

即k7l--<X<k7l+-

36

jrjr

函數/（%）單調遞增區間為k7T--.k7V+-（%￡Z）

/八「75i4?雙新n117i

（2）XG［71,—7l\--爰必￥4；

126366

所以當2了+工=3%時，即x=2萬時，/（X）取得最小值0

623

20.（本題滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）

如圖，有一條寬為30”?的筆直的河道（假設河道足夠長），規劃在河道內圍出一塊直角三角

形區域（圖中AAB0種植荷花用于觀賞，C,3兩點分別在兩岸4上，ABLAC，頂點

A到河兩岸的距離AE=%,AD=h2,設NABD=a.

（1）若&=30。，求荷花種植面積（單位：，/）的最大值;

(2)若生=4%,且荷花的種植面積為1504，求sina.

【答案】(1)1504??；(2)$加c=3或3

55

【解析】

由題可得，AB二工,AC=—仁.

sinacosa

(1)當(z=30。時，AB=2^,AC=《h\,

所以SAABC=5筋，AC=忑他,

又因為々+4=30,4,飽..0,

所以5-80=2%3，A(A±Zk)2=15073,當且僅當4=久=15時取等號-

所以荷花種植區域面積的最大值為150屈2.

(2)因為4+生=30,a=4%，所以々=6,e=24,

=AC=-^—,a6(0,-),

sin。cosa2

i7?

從而SMKC=-ABAC=-------------=150，

2sinacosa

所以sinacostz="，①

25

49

所以(sina+cosa)2=l+2sin(7coscr=-?

jr7

又因為(ze[0,—],所以sine+cose=—,②

25

由①②解得：sina=I或1

21.(本題滿分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分)

“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角

形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小意大利數學家托里拆利給出

了解答，當AABC的三個內角均小于120。時，使得NAOB=N3OC=NCO4=120。的點。即

為費馬點；當AABC有一個內角大于或等于120。時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知

識解決下面問題：已知AABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1.

(1)求A；

(2)若bc=2,設點P為AABC的費馬點，求耳?旃+旃?無+定?麗；

(3)設點P為AABC的費馬點，|PB|+|PC|=r|R4|,求實數f的最小值

【答案】(1)A——；(2)---；(3)2+25/3

23

【解析】

(1)由己知AABC+cos2B+cos2C-cos2A=1,BP1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2