作輔助線解決平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題解題技巧

目錄

【考點(diǎn)一豬蹄模型（”型）與鋸齒模型】.........................................................1

【考點(diǎn)二鉛筆頭模型】.........................................................................11

【考點(diǎn)三牛角模型】...........................................................................19

【考點(diǎn)四羊角模型】...........................................................................25

【考點(diǎn)五蛇形模型（“5"字模型）】.............................................................35

□

【考點(diǎn)一豬蹄模型（M型）與鋸齒模型】

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①己知：AMZBN,結(jié)論：乙4PB=乙4+乙B；②已知：UPB=U+AB,結(jié)論：AM\\BN.

如圖2,已知：AMWBN,結(jié)論：乙匕+乙匕=乙4+48+乙?2.

如圖3,已知：AA4\\BN,結(jié)論：+……

【模型證明】

（1）//尸8=//+/8這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃/

'."PQ//AM,AM//BN,J.PQ//AM//BN,：.ZA^ZAPQ,NB=NBPQ,

:./A+/B=NAPQ+/BPQ=NAPB,即：ZAPB^ZA+ZB.

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論可得，ZA+ZB+ZP2=ZP1+ZPi，

故答案為：//+/3+/尸2=/尸1+/93，

(3)由(2)的規(guī)律得，N/+N2+N尸2+…+尸2〃=NP1+NP3+N尸5+…+N尸2〃+1

故答案為：AA+AB+AP^---1"尸2"=/尸1+/尸3+NP5H----^/尸2〃+1

例題：(23-24七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線43〃CD,連接8￡,CE,可以發(fā)現(xiàn)

NB+NC=NBEC.

請(qǐng)把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：

證明：過(guò)點(diǎn)￡作跖〃48,

AB//DC(已知)，EF//AB(輔助線的作法)，

EF//DC().

ZC=NCEF.().

■：EF//AB,

:"B=/BEF(同理).

.-.NB+ZC=.

即48+/C=/NEC.

(2)拓展探究：如果點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說(shuō)明：Z5+Z5￡C+ZC=360°.

(3)解決問(wèn)題：如圖③，AB//DC,E.F、G是48與CD之間的點(diǎn)，直接寫出Nl,Z2,Z3,Z4,Z5

之間的數(shù)量關(guān)系.

圖①圖②圖③

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，AB//CD,ZBAP=60°-x,ZAPC=45°+x,NPCD=30°-x,

求x.

2.(23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期末)探究：如圖①，AB\\DE,試問(wèn)/8、NE、/8GE有什么關(guān)系.下面給

出了這道題的解題過(guò)程，請(qǐng)你完成下列填空：

解：如圖①，過(guò)點(diǎn)C作。尸H”，

；.NB=/1(_).

X--AB\\DE,AB\\CF,

(_),

；.NE=N2(_),

.?./8+/E=/l+/2,

即「

應(yīng)用：如圖②，直線4鳳，4BU，垂足為O,3c與4相交于點(diǎn)R若/1=30。，求/。3￡的度數(shù);

拓展：如圖③，AB\\EF,8C_LCD于點(diǎn)C,ZABC=30°,/DEF=45°,則/CDE=_.

圖②圖③

3.（23-24七年級(jí)下?黑龍江鶴崗?期末）如圖1,已知求證：ZAEP+NCFP=NEPF；小明想到了

以下方法，請(qǐng)幫助他完成證明過(guò)程:

⑴如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃/3,^\ZAEP=.()

AB//CD,

■■.PG\\()

:./CFP=()

又Z1+N2=NEPF,

ZAEP+ZCFP=ZEPF.

⑵如圖2,AB//CD,請(qǐng)寫出乙4￡尸+/瓦乎+/班心的和并說(shuō)明理由；

⑶如圖3,AB//CD,請(qǐng)直接寫出圖3中NNEP+NE尸0+N尸如+N。尸C的和.

4.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）⑴如圖①，AB//CD,試問(wèn)/2與N1+N3的關(guān)系是什么？并說(shuō)明理

由；

⑵如圖②，AB//CD,試問(wèn)N2+N4與ZI+/3+N5的關(guān)系是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；

（3）如圖③，AB//CD,試問(wèn)N2+N4+N6與N1+N3+N5+N7的關(guān)系是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

圖①圖②圖③

5.（24-25七年級(jí)上?山東青島?期中）【提出問(wèn)題】睿睿在學(xué)習(xí)完平行線的基本模型一一豬蹄模型后，想繼續(xù)

研究相關(guān)模型的特點(diǎn)，于是他組織數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了以下探究：

【分析問(wèn)題】如圖，已知直線直線c分別與直線a,6相交于點(diǎn)E,F,點(diǎn)2分別在直線a,6上,

且在直線c的左側(cè)，點(diǎn)P是直線c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)￡,尸重合），設(shè)=AAPB=Z2,

ZPBF=Z3.

【解決問(wèn)題】（1）問(wèn)題一：如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段所上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探索Nl,Z2,N3之間數(shù)量的關(guān)系，

并給出證明.睿睿回憶豬蹄模型的證明方法："過(guò)點(diǎn)P作尸。......"請(qǐng)你用直尺和鉛筆在圖1中作出這一

輔助線，并幫助睿睿完成證明；

【類比探究】（2）問(wèn)題二：當(dāng)點(diǎn)P在線段E尸外運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立呢？興趣小組的同學(xué)們認(rèn)

為要分兩種情況進(jìn)行討論，請(qǐng)你結(jié)合圖形幫助他們探究這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系.

①如圖2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在線段￡尸之外且在直線。的上方運(yùn)動(dòng)（不與E點(diǎn)重合）時(shí)，Zl,Z2,N3滿足什么

數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明；

②請(qǐng)用直尺、鉛筆，在圖3中畫出動(dòng)點(diǎn)P在線段E尸之外且在直線6的下方運(yùn)動(dòng)（不與廠點(diǎn)重合）時(shí)的圖

形，并仿照?qǐng)D1,圖2,標(biāo)出圖3中的/I,Z2,N3,此時(shí)Nl,Z2,N3之間有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出

結(jié)論，不必說(shuō)明理由.

【應(yīng)用拓展】

（3）問(wèn)題三：如圖4所示48〃CD,請(qǐng)直接寫出圖4中Zl,Z2,N3,N4之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明

理由.

【考點(diǎn)二鉛筆頭模型】

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：Nl+N2+N3=360。；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：Zl+Z2+...+Zn=（?-1）180°.

【模型證明】在圖1中，過(guò)尸作的平行線尸0,

,JAM//BN,J.PQ//BN,：.Z1+ZAPQ=1SO°,Z3+ZBPQ=1SO°,AZl+Z2+Z3=360°；

在圖2中，過(guò)馬作的平行線馬C,過(guò)點(diǎn)尸2作的平行線尸2。，

'JAM//BN,：.AM//PtC//P2D//BN,

.,./1+//尸＜=180°,ZP2PiC+ZPiP.D=180°,/3尸2。+/4=180°,；.Nl+N2+N3+/4=540°；

在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作的平行線，

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：/1+N2+/3+…+/”=（?-1）180°.

例題：（2024七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖1,四邊形M7VBD為一張長(zhǎng)方形紙片.

⑴如圖2,將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（NB4E、NAEC、NECD),貝I」NBAE+ZAEC+ZECD=

⑵如圖3,將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（NBAE、NAEF、NEFC、NFCD),則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD='

⑶如圖4,將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（NBAE、NAEF、NEFG、NFGC、NGCD),則

NBAE+ZAEF+ZEFG+NFGC+Z.GCD=

⑷根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪〃刀,剪出（〃+1）個(gè)角，那么這（〃+1）個(gè)角的和是

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?江蘇宿遷?階段練習(xí)）（1）如圖①，MA.//NA.,^]ZA1+ZA2=

如圖②，MAJ/NA,,則/4+“+/4=，請(qǐng)你說(shuō)明理由；

(2)如圖③，M4〃NA&,貝I]N4+N4+/4+24=

（3）利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖④，AB//CD,//BE和NCDE的平分線相交于點(diǎn)尸，/E=130。，求

N8FD的度數(shù).

2.（22-23七年級(jí)下?廣東江門,階段練習(xí)）（1）如圖1,AB//CD,求//+//EC+/C的度數(shù).

解：過(guò)點(diǎn)E作跖〃N8.

EFUAB(已作),

：.ZA+ZAEF=\^O°().

Xv^5||CD（已知），

〃（平行關(guān)系的傳遞性），

：.ZCEF+Z=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

.?.44+4EF+NC￡F+NC=360。（等式性質(zhì)），

即NA+ZAEC+ZC=；

（2）根據(jù)上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB//EF,貝iJ/8+/C+/D+/E=

（3）根據(jù)（1）和（2）的規(guī)律，圖3中/2||GF,猜想：ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=；

（4）如圖4,AB//CD,在8,。兩點(diǎn)的同一側(cè)有監(jiān)，懼，M，…M共〃個(gè)折點(diǎn)，貝U

ZB+ZMl+ZM2+...+ZMn+ZD的度數(shù)為(用含〃的代數(shù)式表示).

3.（23-24七年級(jí)下?山東青島?單元測(cè)試）已知：（1）AB//CD,尸為平行線內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)猜測(cè)/8、/尸、ND

的關(guān)系并說(shuō)明理由.

（2）若內(nèi)部有兩個(gè)點(diǎn)《，P2,那么N3,和/耳，/5又有怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）

AB

尸i

CD

（3）內(nèi)部有〃個(gè)點(diǎn)呢，你找到了怎樣的規(guī)律？（直接寫出結(jié)果）

你找到了怎樣的規(guī)律？（直接寫出結(jié)果）

【考點(diǎn)三牛角模型】

【模型解讀】

如圖1,已知/2〃CD,結(jié)論:

如圖2,已知N5〃CD,結(jié)論:Zl+Z3-Z2=180°

【模型證明】在圖1中,過(guò)E作45的平行線斯，：.ZI+ZFEB=1SO°

圖1圖2

'JAB//CD,：.EF//CD,AZ3+ZF￡￡>=180°,即：Z3+Z2+ZF￡5=180°,.,.Z1=Z2+Z3.

在圖2中，過(guò)￡作48的平行線EF,；.N1+/FE8=18O°

'CAB//CD,J.EF//CD,：.Z3=ZFEC,即：Z3-Z2=ZFEB,AZl+Z3-Z2=180°.

注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)凡或延長(zhǎng)￡8交于點(diǎn)產(chǎn)等。

例題：（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，已知45〃。￡,ZABC=75°,ZCDE=\45°,則/8C。的

度數(shù)為

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期末）直線P為直線上方一點(diǎn)，連接尸4PD.

圖1圖2

⑴如圖1,若44=100。，ZD=130°,求N4PD的度數(shù)；

⑵如圖1,設(shè)NP4B=a,4CDP=/3,求N/尸。的度數(shù)（用含a、￡的式子表示）；

/Apr

（3）如圖2,N為443內(nèi)部一點(diǎn)，ZBAN=3NPAN,連接CN,若aDCN=34PCN,求工標(biāo)的值?

2.（23-24七年級(jí)下?河南商丘?期末）【閱讀理解】

我們經(jīng)常過(guò)某個(gè)點(diǎn)作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

例如：如圖1,AB//CD,點(diǎn)N分別在直線4B,CD上，點(diǎn)尸在直線48,CD之間.設(shè)

ZBMP=2a,ZDNP=2/3,求證：ZMPN=Aa+A/3.

證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作尸。〃/2,==

■.-PQ//AB,AB//CD,.-.PQ//CD,

ZQPN=ZPND=,

：.ZMPN=ZMPQ+ZNPQ=Na+N/3.

【類比應(yīng)用】

(1)如圖3,AB//CD,ZC=30°,ZGBA=45°,求/GPC的度數(shù).

（2）如圖4,48〃。，點(diǎn)m在直線8上，點(diǎn)尸在直線48的上方,連接尸5,尸河.設(shè)/8=/0,/尸必）=/￡,

則/a,4與/BPM之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖5,/2〃CD,點(diǎn)M在直線CD上，點(diǎn)尸在直線48的上方，連接依，PM.ZPMC的平分線與

N尸氏4的平分線所在的直線交于點(diǎn)。，請(qǐng)直接寫出+的度數(shù).（不要求寫過(guò)程）

圖4圖5

【考點(diǎn)四羊角模型】

【模型解讀】

圖2

如圖1,已知：ABWDE,結(jié)論：a=y-P.

如圖2,已知:ABWDE,結(jié)論:。+尸+7=180°.

【模型證明】在圖1中,過(guò)C作48的平行線CF,.-.Z/3―FCB

■.■ABWDE,：.CF\\DE,：./.y=/LFCD,,:乙a=^FCD-乙FCB,.-.z?=zy-z^.

在圖2中，過(guò)C作的平行線CF,：/口=乙FCB

■■■ABWDE,.-.CFWDE,.-.zy+zFC￡>=180°,,:乙FCD=La+乙FCB,.-.za+z^+zy-z=180°.

例題：（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖a,AB//CD,猜想與18、ZD的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑴填空：

解：猜想N8PO+/8+/D=360。.理由：過(guò)點(diǎn)尸作E尸〃48,如圖e所示，所以N8+NBPE=180。

（①）.因?yàn)?8〃CD,EF//AB,所以￡F||CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么

②）,所以/EPZ）+/O=180。（③）,所以NB+NBPE+NEPD+ND=

（4）,即ZB+ZBPD+ZD=360°；

（2）依照上面的解題方法，觀察圖6,已知猜想圖中的尸。與的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑶觀察圖。和圖d,已知NB〃CD,猜想圖中的N8PD與23、的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，已知48〃C〃，"BE=150。，ZCDE=85°,求N8ED的度數(shù).

D

⑵在圖2中，AB//CD,若44=120。，ZC=140°,則N4PC的度數(shù)為_；

⑶在圖3中，AB//CD,若N/=40。，ZC=70°,則//PC的度數(shù)為一；

（4）在圖4中，AB//CD,探索一尸與NC,/尸48的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.（23-24七年級(jí)下?遼寧大連?期末）已知A8〃CD

⑴如圖1,求證：ZABE+ZDCE-ZBEC=180°

⑵如圖2,/DCE的平分線CG的反向延長(zhǎng)線交Z/5E的平分線班'于k，若BF〃CE,NBEC=28。,求

Z3FC的度數(shù)

（3）如圖3,若CN平分NECD,BF平分NABE,好的反向延長(zhǎng)線和CN的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,且

ZE+ZM=m°,求NE的度數(shù)

4.（23-24七年級(jí)下?山東荷澤?期末）已知：在圖1-圖6中，AB//CD,點(diǎn)E,點(diǎn)尸，點(diǎn)G與4B,C。在

同一平面內(nèi).

⑴探究與表達(dá)請(qǐng)直接寫出：

4______B---------------B4__________B

￡（___________〉_

>---------------D4----------------DC~力

圖1C圖2圖3

V「「

cDcL_________DC——D

圖4圖5圖6

①圖1中/E,—C的數(shù)量關(guān)系；

②圖2中NE,44,/