模塊01集合.邏輯用語和不等式

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（24-25高三上?甘肅?期末）設集合/={x|lnx<l},5={x|-l<x<1},則/口8=（）

A.{x|-l<x<l}B.{x|-l<x<e}C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<e}

【答案】C

【分析】解不等式lnx<l,化簡集合A,根據交集的定義求結論.

【詳解】因為“={x|lnx<l}={x[0<x<e},

所以/cB={x[0<xWl}.

故選：C.

2.（24-25高三上?安徽?階段練習）命題“*€1</-4》-5<0”的否定是（）

A.eR,x2-4x-5>0B.VxR,x2-4x-5>0

C.R,x2-4x-5>0D.VxeR,x2-4x-5>0

【答案】D

【分析】根據存在命題的否定即可求解.

【詳解】1^^t3xeR,x2-4x-5<0,,&t）;S^>VxeR,x2-4x-5>0,

故選：D

3.（24-25高三上?山東煙臺?期末）設集合/={1,。},8={0,1-若A=B,則。=（）

A.-1B.1C.yD.0

【答案】D

【分析】利用子集的概念計算可求。的值.

【詳解】因為集合/={1,。},8={0,1-。,2。一1},且ZC,

所以。=0或a=l-a或解得。=0或。=!或。=1,

2

當a=0時，/={1,0},8={0,1,-1},符合集合元素的互異性,

當a=g時，S=jo,1,oj,不符合集合元素的互異性，故舍去，

當“=1時，/={11},不符合集合元素的互異性，故舍去.

綜上所述：?=0.

故選：D.

4.(23-24高三上?山西呂梁?階段練習)第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，

參賽的各國運動員在比賽、訓練之余，都愛逛逛杭州亞運會特許商品零售店，開啟“買買買”模式.某商店售

賣的一種亞運會紀念章，每枚的最低售價為15元，若每枚按最低售價銷售，每天能賣出45枚，每枚售價

每提高1元，日銷售量將減少3枚，為了使這批紀念章每天獲得600元以上的銷售收入，則這批紀念章的

銷售單價x(單位：元)的取值范圍是()

A.(10,20)B.[15,20)C.(16,20)D.[15,25)

【答案】B

【分析】根據題中條件列出不等式，解出即可.

【詳解】由題意，得x[45-3(為一15)]>600,

即/-30x+200<0,(x-10)(x—20)<0,

解得10<x<20.又每枚的最低售價為15元，，15Vx<20.

故選：B.

5.(23-24高三上?湖北?階段練習)命題“Vxe(1,2),x，-0>0”為真命題的一個必要不充分條件是()

A.a<1B.a<1C.?<0D.a<2

【答案】D

【分析】根據題意結合恒成立問題可知a<1,根據充分、必要條件結合包含關系分析判斷.

【詳解】因為丁一。>0,即

且xe(l,2),則，e(l,4),由題意可得aWl,

選項中只有選項D滿足41}是<2}的真子集，

2

所以命題“Vxe(l,2),%-?>0”為真命題的一個必要不充分條件是a<2.

故選：D.

6.(2024?河南?模擬預測)已知命題“lreR,x2-m+機<0”是假命題，則實數的取值范圍為()

A.[0,4]B.(0,4)C.[0,2]D.(0,2)

【答案】A

【分析】已知原命題為假命題，那么它的否定“VxeR,，-機x+加之0”為真命題.對于一元二次函數

y=x2-mx+m,要使其對于任意實數x都大于等于0,則需要考慮其判別式△的取值范圍.

【詳解】已知原命題為假命題，那么它的否定“VxeR,，一如+加之0”為真命題.

對于一元二次函數y=f一機x+加，要使其對于任意實數x都大于等于0.

因為>=一一加x+加20怛成立，所以A<0,即加2—4加W0，解得0?加《4.

故選：A.

7.（24-25高三上?四川?階段練習）已知：^:-^>l,^:log2（x-fl）>l.若。是4的充分不必要條件，則實

數的取值范圍為（）

A.(0,1)B.(0,1]C.(-?,0]D.

【答案】C

【分析】a

解分式不等式、對數不等式求對應x范圍，結合充分不必要條件有。+2W2,即可得范圍.

11r-3…-3)嘰2<1；

【詳解】由P：-->1^1—-==土=(0,可得

x-2x-2x-2x—2w0

由q:log2（X-6Z）>1=>X-6Z>2^>X>?+2,

因為夕是9的充分不必要條件，貝1」。+2（20。（0.

故選：C

21

8.（2024?山東淄博?二模）記max{x,y,z}表示x,y,z中最大的數.已知羽y均為正實數，則maxj-,-,x2+

的最小值為（）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

21?1

【分析】設“="^{—,一,/+4向，得3M2—+—+/+4/,兩次應用基本不等式求最小值，注意等號

xyxy

成立的條件即可.

2171

【詳解】設初=0^*{—,x?+4y2},貝|.2—>0,M>->0,M>x2+4v2>0,

xyxy

：.3M>-+-+x2+4y2>-+-+4xy,當且僅當x=2y時取等號，

xyxy

又丁21二"刃2的1出丑當且僅當2廠1廠4x九即x=2y=l時取等號,

所以MN2,

所以〃的最小值是2,

故選：C.

21

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據定義得出“2—>0,M>->0,M>x2+4y2>0,相加后基本

x>

不等式求得最小值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（2025高三?全國?專題練習）已知a,6eR,則下列結論正確的是（）

A.若a>b,,貝!J“b<0B.若a>b,且則臺>

aba-ba+b

C.若a<b<0,貝！a—6D.若a<b<0,貝！I丁--

b0-1

【答案】ACD

【分析】根據作差法即可求解AD,舉反例即可求解B,根據不等式即可求解C.

【詳解】選項A：由。>b可得a-6>0,由可得色/<0,故仍<0,故A正確.

abab

選項B：當。=0,6=-1時，滿足a>6,且但一J=-l,，==0,不等式一組〉，一不成立,

a-ba+ba-ba+b

故B錯誤.

選項C：因為a<bv0,所以一Q>—6>0,i^L—a—b>2y[ab>y[ab,故C正確.

aa—\a(b—\\-b(a—1)b—a八aa-\

選項D：由a<6<0可得人一。〉0,且6—1<0,故工一17~^二----\\---------=：,即7~~7,

bb-1b^b-X)byb-\\bb-1

故D正確.

故選：ACD

10.(2024高三,全國,專題練習)已知集合/={xwR|一一3%-18<0},5GR|x2+tzx+6Z2-27<oj,則

下列命題中正確的是（）

A.若A=B,則。=一3

B.若NqB,則a=-3

C.若2=0,則。4-6或。26

D.若a=3,則2|"|3={"一3<》<6}

【答案】ABC

【分析】先求出集合A,然后令8(月=/+辦+/一27,對于A,由題意可得T6是方程g(x)=o的兩個根,

g(-3)<0

利用根與系數的關系列方程可求出。，對于B,由題意可得g⑹V。’可求出對于C，由題意可得

A<0,可求出。的范圍，對于D,求出集合3,再求出兩集合的交集判斷即可.

【詳解】由已知得,A={x\-3<x<6},令g(x)=x，+ax+a2-27,

\—a=3

對于A,若4=5,即-3,6是方程g(%)=0的兩個根，貝！2”IQ，解得。=-3,所以A正確;

a-2/=-lo

g(-3)=a2-3a-18<0

對于B,若解得。=-3,所以B正確;

g(6)=a2+6a+9<0

對于C,當2=0時，廢/一人/-2?、。，解得一6或。26,所以C正確;

D：當a=3時，S={xeR|x2+3x-18<0)={x|-6<x<3},所以/口5={乂-3<工<3},所以D錯誤.

故選：ABC.

II.(24-25高三上?貴州遵義?階段練習)星形線或稱為四尖瓣線，是一個有四個尖點的內擺線.已知星形線

222

。:小+戶=”伍〉。)上的點到x軸的距離的最大值為1,則()

B.C上的點到原點的距離的最大值為1

C.C上的點到原點的距離的最小值為變

2

D.當點(%,%)在C上時，Vo<|

O

【答案】ABD

【分析】令x=0得了=同=1，即可求解AB,根據基本不等式即可求解CD.

【詳解】對于A,?..星形線。上的點到x軸的距離的最大值為1,令x=0得帆=何=1,Va>0,可得

Q=1,故A正確；

對于B,由圖可得。上的點到原點的距離的最大值為1,故B正確;

/2A3/2、3

22—[一

對于C,設點P(Xo，yo)在C上，則需+元=1，：尤;+M=xj+羽=

\J\J

/22丫

(22、(4224、(22丫2-I2%0+歹0

卜不+年[焉一xj耳+%=xjf另xj+年-3(xoyo)-=1-3(XOJO)->1-3^^=~'

當且僅當聞=聞=1等號成立，即星形線上的點到原點距離的最小值為9故C錯誤；

對于D,當點(工0，%)在C上時，Vx3+y3=|^|7+>2-^|x0_y0|3=2|x0^0|3)得|%乂)|(W，

當且僅當闖=|%|='等號成立，即星形線上的點到4了軸距離的乘積的最大值為，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；

(2)利用已知參數的范圍，求新的參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；

(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；

(4)利用已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；

(5)利用求函數值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(24-25高三上?天津河東?階段練習)已知集合4=卜|4》+5>/},B^{x\x2+ax+b<0},若

Ap\B=0,AVJB=(-1,6],貝lJa+6=.

【答案】19

【分析】由題意可得5={x|5WxW6},所以5和6是方程x2+ax+b=0的兩個根，代入解方程可求出“力,

即可求出6的值.

【詳解】因為/={x14x+5>/}={x|—1<x<5},B-^x\x2+ax+b<Q^,

A^B=0,Nu8=(-1,6],所以2={x|54x46},

所以5和6是方程-+“工+6=0的兩個根,

所以[[3265+65。+*6=30

解得6=30,

所以a+6=-ll+30=19.

故答案為：19.

13.(2024?上海長寧?一模)已知a:2，+k)g2xW2,/?:x<w,若a是尸的充分條件，則實數加的取值范圍

.

【答案】。,+⑹

【分析】通過構造函數"x)=2'+k)g〃,xe(0,+8),利用/'(x)的單調性解不等式，再由題意將。是/7的充

分條件轉化為包含關系，進而求得參數加范圍.

【詳解】設/(x)=2"+log2X,xe(0,+s),

則〃x)在(0,+功單調遞增,又/(1)=2,

所以2工+log2xV2,即/(x)v/(l),故0<x41.

貝！Ja:0<x?1.

由題意0<xWl是》<以的充分條件，則(0,1]=(-8,%),

所以有機>1,故實數加的取值范圍是(1,+8).

故答案為：(1,+°°).

14.(24-25高三上?河北滄州?階段練習)如圖，曲線C:(X2+J/)3=32X2/是四葉玫瑰花瓣曲線，若點(x,y)

是曲線C上一點，則/+/的最大值為,玫瑰花瓣及其邊界內包含整點(橫、縱坐標均為整數)的

個數為.

【答案】817

【分析】根據給定條件，利用基本不等式求出最大值；求出圓三+爐=8及內部的整點個數，再剔除在玫瑰

花瓣外的點即可得解.

22

【詳解】由基本不等式(一+/、32//432.(匕匚)2=8,+/)2,解得/+廿48,

當且僅當，=/時取等號，所以/+；?的最大值為8；

在圓f+J=8及其內部的整點橫向最上面一排有(-2,2),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,2),共5排；

縱向每一列也有5個點，有5歹U,共25個，驗證知只有坐標軸上除原點外的8個點不在花瓣內，所以共有

17個.

故答案為：8；17

【點睛】關鍵點點睛：確定圓f+爐=8及其內部的整點個數是解決第2空的關鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

高三上?江蘇揚州?階段練習)已知集合

15.(24-254=]X|￡|<0B={x|x2-4x<Oy.

⑴求1(NuB)；

(2)已知集合C=卜加+1<x<2/77-1},若“xeC”是“無e8”的充分不必要條件，求實數加的取值范圍.

【答案】(1)[(/28)="|工40或xN6}

5

(2)?/<-

【分析】(1)解分式不等式以及一元二次不等式可得集合48,再由集合的運算可得結果;

(2)易知。口8,對集合C是否為空集進行分類討論，列出不等式求解即可.

B-卜,-4x<o}=|x|x(x-4)<oj=1x|0<x<4},

可得4口3={工[0<]<6},

所以4(4u5)={x|x?0或xN6}.

(2)若是"工￡月”的充分不必要條件,則。口5,

若。=0,貝IJ2加一1W機+1,解得機42；

2m-1>m+\

若CN0,則加+120,且等號不能同時成立，解得

2m-1<4

綜上可知，實數加的取值范圍為機4，

16.(24-25高三上?安徽合肥?期末)己知關于x的不等式/+〃優一”<0的解集為{x|-2<x<l}.

(1)求實數加，"的值；

(2)若正實數。，6滿足'+:=2,求俏a+77b的最小值.

ab

【答案】(1)加=1,〃=2

⑵|

【分析】(1)根據不等式的解集得到-2和1是方程尤2+?^-"=0的兩根，再由韋達定理即可求解;

(2)結合(1)中結論，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【詳解】(1)因為關于x的不等式/+〃優-〃<0的解集為{止2Vx<1},

所以-2和1是方程x?+mx-n=0的兩根，

—2+1=-m

由韋達定理得-2xl="解得〃I，"=2；

1?

(2)由(1)得一+不=2,

ab

ma+幾b=Q+2b=g(a+2b)125+辿+包

—+—>15+2

abiab

當且僅當立=?,即。=6=1時取等號,

ab2

9

所以〃+2〃取得最小值2，

9

即ma+nb的最小值為,.

17.(2024?四川成都?二模)已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產一千件需另投入

2.7萬元，設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，銷售收入為R(x)萬元，且

1

(10.8——x92)x,(0<x<10)

器(注：年利潤=年銷售收入一年總成本)

R(x)=<

108-——,(x>10)

3x

(1)寫出年利潤少(萬元)關于年產量》(千件)的函數解析式;

(2)求公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大時的年產量.

8.1x--------10,0<x<10

30

【答案】(1)少=

八。1000-s

98----------2.7x,x>10

3x

(2)9千件

【分析】(1)分段利用“年利潤=年銷售收入一年總成本”可得所求函數的解析式.

(2)分段求函數的最大值，進行比較可得結論.

,3,3

【詳解】(1)當0<xW10時，FF=7?(x)-(10+2.7x)=10.8x----10-2.7x=8.1x----10；

3030

當x>10時，〃=R(x)-0O+2.7x)=108-幽L10-2.7x=98-竺”-2.7x.

3x3x

r3

8.lx--------10,0<x<10

30

綜上：W=\

98—W22—2.7x,x〉10

3x

,3,2

(2)當0<xW10時，W(x}=S.lx----10,嗎x)=8.1-土.

''30v710

由少'(x)>0n0<x<9；由次(x)<0=9<xW10.

所以少(x)在(0,9)上單調遞增，在(9,10]上單調遞減,

93

所以甲(x)"(9)=8.1x9-萬-10=38.6.

當x>10時，沙(x)=98—甯—2.7x.

^,1000crc嚶*2.…，當且僅喈=2.7即號時取一

因ra為----+2.7x>2.

3x

此時少(x)V98-60=38.

因為38<38.6.

所以當年產量為9千件時，年利潤最大.

18.(24-25高三上?安徽六安?期中)己知哥函數/(》)=(療-4加+4)-x2：2在(—8,0)上單調遞減.

⑴求函數/'(x)的解析式;

⑵解關于x的不等式“'㈤+辦+出。(a<l)

⑶若對任意xe[l,2],都存在6e[l,2],使/(尤”次一+6+1成立，求實數/的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=x2

⑵答案見解析

U[l,+⑹

【分析】(1)由幕函數的定義結合單調性即可求解；

(2)通過。=0和兩類情況討論即可；

(3)由題意得到了3皿4療T+6+1,再得到存在6e[l,2],使得次一+6+124,進而可求解.

【詳解】(1)由基函數/(》)=(療-4加+4)"2i在(y,0)上單調遞減，

可得丁;I，解得加=3,所以Ax)*

[2m-4>0

(2)當。=0時，120,解集為R,

當時，ax2+tzx+1>0,得++1-^>0,

A=/-4a=Q(Q-4),

當avO時，A>0,

方程，+辦+『。的兩根為寸2三“三”

所以不等式的解為F+荷-4aAw-a-yja1-Aa

la2a

當0<Q<1時，/^=a2-4a=a(a-4)<0,不等式的解集為R,

..._.,?、rQ+*\/Q2—4。，一〃—JQ2-4a

綜上可知‘當時,解集為X—五--x-―仁—

當時，解集為R.

(3)由(1)知〃x)=x2,因為對Vxe[l,2],使得/一+6+1都成立,

所以〃x)皿/產T+6+1，易知/(x)皿=4,

所以#T+6+1N4,

因為存在6e[l,2],使得/T+6+124成立，

可得(次一+6_3)>0,

\/max

因為〃+1>0,所以>=任+1)6--3是關于6的單調遞增函數,

所以但2_/+6_3）m*=2（?2+l）-Z-3>0,

解得：/?-5或此1,

所以，的取值范圍為u［1,+<?）.

19.（2024?重慶?模擬預測）集合是數學中的基本概念和重要內容.對于實數集中的兩個非空有限子集A和8,

定義和集么+8=,+小”,北研.記符號|）|表示集合/中的元素個數.當|/|22時,設％,電，--，力是集合/

中按從小到大排列的所有元素，記集合G（/）=B+-%k=l,2,...，M|T}.

⑴已知集合/={1,3,5},5={1,2,6},C={l,2,6,x},^A+B=A+C,求|G（C）|的值.

（2）已知M=\B\=m（m>3,meN,）,記集合G（/,8）=卜卜6G⑷或xeG（2）}.

（i）當僅=3時，證明|/+B|=5的充要條件是|G（43）|=1；

（ii）若|G（/）|=1,\A+B\=2m,求|G（/,8）|的所有可能取值.

【答案】（1）2

⑵（i）證明見解析；（ii）|G（42）|=2

【分析】（1）先根據/+8=/+C求出x的值，可確定集合C,進而求|G（C）］.

（2）（i）先證充分性，再證必要性.

（ii）根據|G⑷|=1和|/+4=2加，分析4+8中元素的特征,求出G⑻，進而確定|G（45）|的值.

【詳解】（1）因為/+8={2,3,4,5,6,7,9,11},由/+3=/+C,

所以N+C={2,3,4,5,6,7,9,11},

所以1+x,3+x,5+x￡{2,3,4,5,6,7,9,11}且％w1,2,6,

所以必有x=4,所以C={1,2,4,6},所以G（C）={1,2},所以|G（C）|=2.

（2）（i）因為加=3,可設/={%,%,4}，8={4也，&}.

先證充分性：因為|G（4團1=1,所以G（4）=G（團且|G（/）