熱點(diǎn)01集合、邏輯、復(fù)數(shù)

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

集合相等、元素與集合關(guān)系的判斷、集合的交集、補(bǔ)集，元素與集合關(guān)系的判斷、集合綜合

充要條件與函數(shù)綜合，集合與直線(xiàn)和圓綜合。復(fù)數(shù)的運(yùn)算，題、共甄復(fù)習(xí)

共輾復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的三角形式以及三角恒等變換

熱點(diǎn)題型解讀

遜1集合的概窿與表示方法

[避7復(fù)數(shù)的卜、(

\壁2集合間的基本關(guān)系

[避8蛤新效卜、\/

pA_________//-｛壁3集郵談

題型9復(fù)數(shù)與其它知識(shí)綜合集合、邏輯、復(fù)數(shù)

4^7------------------醒4峻a數(shù)

題型10命題與其它知識(shí)綜合卜//\\

/\'一[敏5復(fù)數(shù)的模

題型11集合與其它知識(shí)\

題型6復(fù)數(shù)的虛部

題型1集合的概念與表示方法

775o24-±BB^￡i)"￥I由寐麗看麗薇麗霰另二1：'

【答案】｛紅,黃｝;

【知識(shí)點(diǎn)】列舉法表示集合

【分析】根據(jù)集合的定義即可求解.

【詳解】中國(guó)國(guó)旗上所有顏色組成的集合為｛紅,黃｝.

故答案為：｛紅，黃｝.

2.(2024?上海寶山?二模)己知集合4=｛2,|0+1],。+3｝,且le/,則實(shí)數(shù)〃的值為.

【答案】0

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由集合/={2,|0+1],。+3},且1",得=1或.+3=1,解得a=0或a=-2,

當(dāng)°=0時(shí)，/={2,1,3},符合題意，

當(dāng)。=-2時(shí)，=1且。+3=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以實(shí)數(shù)”的值為0.

故答案為：0

題型2集合間的基本關(guān)系

3.（2024.上海楊浦?一模）已知集合力={。,6},則A的子集個(gè)數(shù)為.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)

【分析】利用子集概念列舉出即可得到答案.

【詳解】集合/={“回,則集合A的子集有：0,{a},,{a,b\

所以集合A的子集個(gè)數(shù)有4個(gè).

故答案為：4.

4.（2024?上海嘉定?二模）若規(guī)定集合￡={0,1,2,……，小的子集{%,0，%，…，*}為￡的第后個(gè)子集，其中

%=2"|+2傳+2%+……+2"”,則E的第2n個(gè)子集是.

【答案】{0,1,4,6,7}

【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義、求集合的子集（真子集）

【分析】正確理解左的含義，左=211時(shí)，即要先求出滿(mǎn)足2"<211,2.>211的"=7,即E的第211個(gè)子集

應(yīng)含有的元素，計(jì)算出211-27=83,再要求滿(mǎn)足2'<83,2向>83的"=6,即￡的第211個(gè)子集應(yīng)含有的元

素，如此類(lèi)推即得.

【詳解】H27=128<211,28=256>211,則E的第211個(gè)子集必包含7,止匕時(shí)211-128=83；

又因26=64<83,27=128>83,則E的第211個(gè)子集必包含6,此時(shí)83-64=19；

又24=16<19,25=32>19,則E的第2n個(gè)子集必包含4,此時(shí)19-16=3；

又21=2<3,22>3,則E的第211個(gè)子集必包含1；而2。=1.

綜上所述，E的第2"個(gè)子集是{0,1,4,6,7}.

故答案為:{0,1,4,6,7}.

5.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）考慮{無(wú)|0<%<12,xeN}的非空子集B,滿(mǎn)足3中的元素個(gè)數(shù)等于3中的最小元素,

例如，8={4,6,8,11}就滿(mǎn)足此條件.則這樣的子集3共有個(gè).

【答案】144

【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義、組合數(shù)的計(jì)算

【分析】由題意，且集合8中的最小元素不能大于6,再根據(jù)集合8中的最小元素進(jìn)行討論，即可

得解.

【詳解】由題意，0e8,且集合8中的最小元素不能大于6,

當(dāng)集合8中的最小元素1時(shí)，這個(gè)的集合B只有{1}這1個(gè)，

當(dāng)集合3中的最小元素2時(shí)，這個(gè)的集合B有C：。=10個(gè)，

當(dāng)集合3中的最小元素3時(shí)，這個(gè)的集合8有C；=36個(gè)，

當(dāng)集合3中的最小元素4時(shí),這個(gè)的集合8有C；=56個(gè)，

當(dāng)集合8中的最小元素5時(shí)，這個(gè)的集合8有C；=35個(gè)，

當(dāng)集合3中的最小元素6時(shí)，這個(gè)的集合B有C：=6個(gè)，

所以滿(mǎn)足題意的子集B共有1+10+36+56+35+6=144個(gè).

故答案為：144.

題型3集合的運(yùn)算

6.（2024?上海?三模）己知集合「={1,2},0={1,3},M={x|xe尸或xe。},則河=（）

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算

【分析】根據(jù)給定條件，利用并集的意義求出M即得.

【詳解】集合尸={1,2},2={1,3},M={x|xe尸或xe。},

所以M={1,2,3}.

故選：D

7.（2024?上海?三模）已知集合>={1,3,4},B={a,a+\],^A[}B=B,則。=.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的結(jié)果直接列式計(jì)算即得.

【詳解】集合/={1,3,4},B={a,a+\},由“口3=3,得又a+l-a=l,

[{2+1=4

因此I,所以4=3.

[a=3

故答案為：3

8.（2024?上海虹口?二模）已知集合4={鄧@4:<0},5=卜上『wo1,則/口5=.

【答案】X^<x<2

【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式、解正切不等式、交集的概念及運(yùn)算

【分析】先求出集合48,再根據(jù)交集的定義即可得解.

【詳解】={x|tanx<0}=+k7i<x<hi,kEZ

所以/c3=[x]<xW2

故答案為：|xlf'<x-2l

9.（2024?上海?三模）若集合/={0,2,4},8={1,2,3},則/U8=.

【答案】{0,1,2,3,4};

【知識(shí)點(diǎn)】并集的概念及運(yùn)算

【分析】根據(jù)集合并集的定義即可求解.

【詳解】由集合的并集定義可得，因?yàn)?={0,2,4},3={1,2,3},

所以/U8={01,2,3,4},

故答案為：{0,1,2,3,4）.

10.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合/={2,4},貝。=.

【答案】{1,3,5}

【知識(shí)點(diǎn)】補(bǔ)集的概念及運(yùn)算

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求7

【詳解】由題設(shè)有）={1,3,5},

故答案為：{1,3,5}

11.（2024?上海金山?二模）已知集合河={1,3,5,7,9},N={x|2，=8},則=

【答案】⑶

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的指數(shù)方程、交集的概念及運(yùn)算

【分析】計(jì)算出集合N后，利用交集定義即可得.

【詳解】由/={尤［2，=8}={3},故McN={3}.

故答案為：{3}.

12.(2024?上海浦東新?三模)已知全集。=11,集合/={#2一3%+2叫，則]=.

【答案】(1,2)

【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、補(bǔ)集的概念及運(yùn)算

【分析】先求出集合A,然后結(jié)合集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】?.?[;=]</={無(wú)卜2-3x+2N0}={x|x22或xWl},

則1=(1,2).

故答案為：(1,2),

13.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))設(shè)集合/=卜.=/*+4苫],8=3強(qiáng)3卜_1)<1}，則/口2=.

【答案】(1,2]

【知識(shí)點(diǎn)】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、交集的概念及運(yùn)算

【分析】求了=---+4》的值域得到集合A,解不等式log3(x-l)<l得到集合8,再求交集即可.

【詳解】當(dāng)x=2時(shí)，--+以有最大值4,所以-x2+4xe[0,4],

y=^-x2+4xe[0,2],所以/=[0,2],

logs等價(jià)于logs(x-l)<logs3,則0<x-l<3,

xe(l,4),所以3=(1,4),故/口3=(1,2].

故答案為：(1,2].

14.(2024?上海?三模)已知集合/=卜|上一1|<1},8=則202=.

【答案】(1,2)

【知識(shí)點(diǎn)】幾何意義解絕對(duì)值不等式、分式不等式、交集的概念及運(yùn)算

【分析】首先解絕對(duì)值不等式與分式不等式求出集合A、B,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由上一1|<1,即解得0<x<2,

所以/={V卜_"<1}={乂0<%<2},

11—Y

由一<1,即——<0,等價(jià)于(l-x)x<0,解得無(wú)>1或無(wú)<0,

XX

所以8={x}<l[=(-oo,0)u(l,+<?),

所以NcB=(l,2).

故答案為:(1,2)

題型4共輛復(fù)數(shù)

15.-2024-±W^^.Hi7巨如數(shù)；布Y，飛j示的禰i定福陽(yáng)"-"'

A.z+7一定是實(shí)數(shù)B.z-T一定是虛數(shù)

C.若z+7=0,則z是純虛數(shù)D.若z-7=0,貝”是純虛數(shù)

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】共軌復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、根據(jù)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法，結(jié)合虛數(shù)和純虛數(shù)的定義即可逐一求解.

【詳解】設(shè)z=a+bi/,aeR,貝!|"=a-歷，故z+7=2。為實(shí)數(shù)，故A正確，

對(duì)于B,z-z=2bi,當(dāng)6=0時(shí)，此時(shí)z-彳為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,z+7=2a=0,貝！|。=0,當(dāng)6=0時(shí)，此時(shí)z為實(shí)數(shù)，C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,z-了=2歷,=（）,貝|b=0,則z是實(shí)數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：A

16.（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）設(shè)zeC,則"z=7是"zeR"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】共朝復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、充要條件的證明

【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的定義求解即可.

【詳解】設(shè)z=a+6i,則胃="歷，

由z=z可得6=0，所以z=aeR,充分性成立，

當(dāng)zeR時(shí)，即z=a,則z=a，滿(mǎn)足z=z，

故"z=”是"zeR”的充要條件.

故選：C.

17.（2024?上海青浦?一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=l+；i（其中i是虛數(shù)單位）的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

第一象限.

【答案】四

【知識(shí)點(diǎn)】共朝復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限

【分析】求出復(fù)數(shù)的共軟復(fù)數(shù)即可得解.

【詳解】因?yàn)閦=l+；i,

所以彳=1一1,

所以復(fù)數(shù)彳對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

故答案為：四

題型5復(fù)數(shù)的模

18.（2024?上海?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=2i（2+i）,則|z|=.

【答案】2口

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算、求復(fù)數(shù)的模

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得z=-2+4i,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知，z=2i（2+i）=4i-2=-2+4i,

所以|z|=J（-2y+42=26.

故答案為：26

19.（2024?上海?三模）已知復(fù)數(shù)z=-3+4i（i是虛數(shù)單位），則忖=

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的公式求解

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=-3+4i,所以目=存弄=5,

故答案為：5

題型6復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

20.（2024?上海?三模）而于食藪z=1+2/（i是虛雙單彳立），Imz=.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

【分析】根據(jù)給定條件，直接求出復(fù)數(shù)的虛部即得.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+2i的虛部為2,所以Imz=2.

故答案為：2

21.（2024?上海奉賢?三模）復(fù)數(shù)3+2i的虛部是.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解

【詳解】復(fù)數(shù)3+2i的虛部是2.

故答案為：2.

22.（2024?上海虹口一模）已知非零復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足匕-1|=1，BT=1,則z的虛部為.

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】由復(fù)數(shù)模求參數(shù)、共軌復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【分析】設(shè)z=a+6i（M#0）,根據(jù)復(fù)數(shù)的模得到方程組，解得即可.

【詳解】設(shè)z=a+6i（a6w0）,則

因?yàn)閨z-l|=l,=

所以z=l-i,則Z的虛部為—1.

故答案為：-1

題型7復(fù)數(shù)的運(yùn)算

23.（2024?上海靜安?一模）己知i是虛數(shù)單位，（入+i）（「2i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為一一二一

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】已知復(fù)數(shù)的類(lèi)型求參數(shù)、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)分類(lèi)即可得到答案.

【詳解】（w+i）（l-2i）=m+2+（l-2m）i,

因?yàn)槠錇榧兲摂?shù)，則〃7+2=0且1-2加/0,解得機(jī)=-2.

故答案為：-2.

24.（2024?上海,模擬預(yù)測(cè)）已知方程x2-2x+0=O（peR）的一個(gè)根是1+后一（i是虛數(shù)單位），貝l]P=.

【答案】4

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

【分析】根據(jù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根互為共軌復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理結(jié)合復(fù)數(shù)的chengfa運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)榉匠?-2x+°=0（peR）的一個(gè)根是1+6,

則方程一一21+。=0（0€11）的另一個(gè)根是1一后,

所以（1+四）（1_/）=〃，所以0=4.

故答案為：4.

25.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）復(fù)數(shù)z=F~,則zi=____.

3+41

【答案】|/0.2

【知識(shí)點(diǎn)】共軌復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,再利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算即可.

l+2i（l+2i）（3-4i）ll+2i112.

【詳解】----------------------------=---------=-----1----]

3+4i（3+4i）（3-4i）252525

-f112.V11212141251

z'z—\-1--1-----------i=-------1---=--=-

（2525人2525）6256256255

故答案為：—

題型8集合新定義

26.（2024?上海靜安?二模）如果一個(gè)非電集合G上定義了一個(gè)運(yùn)算*,滿(mǎn)足如下性質(zhì)，則稱(chēng)G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)

成一個(gè)群.

（1）封閉性，即對(duì)于任意的a,beG,有a*beG；

（2）結(jié)合律，即對(duì)于任意的a,6,ceG,有（a*6）*c=a*（6*c）；

（3）對(duì)于任意的a,6eG,方程x*a=6與a*?=6在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿(mǎn)足加法結(jié)合律，對(duì)

于任意的a,6ez,方程x+“=6與a+y=b都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集R關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因?yàn)?/p>

方程O(píng)xy=1沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

以下關(guān)于"群"的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（x）構(gòu)成群；

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積L）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個(gè)；B.1個(gè)；C.2個(gè)；D.3個(gè).

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】集合新定義

【分析】根據(jù)群的定義需滿(mǎn)足的三個(gè)條件逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，x+3=2,在自然數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；

對(duì)于②，0x^=1,在有理數(shù)集中無(wú)解，錯(cuò)誤；

對(duì)于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足加法結(jié)合律，

且對(duì)任意的方程x+a=6與a+y=Z）有復(fù)數(shù)解，正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的3

個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.

27.（2023?上海徐匯?三模）對(duì)任意數(shù)集/={%,電，%}，滿(mǎn)足表達(dá)式為了=尤3+/-》-1且值域?yàn)锳的函數(shù)個(gè)

數(shù)為P.記所有可能的夕的值組成集合B，則集合B中元素之和為.

【答案】643

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)了=x3+x2-x-1的性質(zhì)并作出圖象，求出集合3,進(jìn)而求得答案作答.

【詳解】yr=3x2+2x-l=(x+l)(3x-1),當(dāng)x<T或時(shí)，V>0,當(dāng)一l<x<1?時(shí)，V<0,

即函數(shù)夕=/+/一%—i在(_*—i),g,+8)上單調(diào)遞增，在(—11)上單調(diào)遞減，

132

當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)無(wú)一1取得極大值0,當(dāng)x=§時(shí)，該函數(shù)取得極小值-力，圖象如圖:

觀察圖象知，當(dāng)y==1,2,3)與圖像有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的X有1種取法;

當(dāng)y=a,(，=1,2,3)與圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),相應(yīng)的x有22-1=3種取法；

當(dāng)y=%(i=1,2,3)與圖像有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的x有23-1=7種取法，

直線(xiàn)V=ax,y=a2,y=電與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能的取值如下：

(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,3),(2,2,3),(2,3,3)(3,3,3),

對(duì)應(yīng)的函數(shù)個(gè)數(shù)為1,3,7,3x3,3x7,7x7,3x3x7,3x7x7,7x7x7,

1+3+7+3x3+3x7+7x7+3x3x7+3x7x74-7x7x7=643.

所以集合3中元素之和為643.

故答案為：643

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及集合新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的

其它知識(shí)，分類(lèi)討論，進(jìn)行推理判斷解決.

28.(24-25高三上?上海?期中)設(shè)/={0,1},集合。={(占/2，...,項(xiàng)84)區(qū)1戶(hù)2，一/384€/},對(duì)于。中的任意兩

個(gè)元素￡=(尤1戶(hù)2廣.，龍384)、/=(%，84)，定義

a*-Xj）+（x2+y2-x2y2）+-?■+（x384+-x384y384）,設(shè)〃、veQ,若"*z，+v*v=384,貝

的最小值為.

【答案】192

【分析】由蒼（蒼-1）=0,可得X]+%+…+退84+M+%+…+%84=384,分析得X],3,…%84，m,%，…%84中有

384個(gè)1,384個(gè)0,進(jìn)而由〃*V=384-（X]必+苫2%+…+%84%84）可得最小值.

【詳解】設(shè)〃=（再戶(hù)2,…,X384），V=（%,%，…，%84），

因?yàn)橛?e{0,l},所以為(X,-1)=0,

所以"*"=

"*"=（乃+必一療）+（%+%—y；）+~+（為84+%84一墟4）=必+%+2+%84，

由〃*〃+V*V=384,得玉+工2~1---1~工384+必+%"*I-%84=384,

所以國(guó),％2,…％384,%，％，…%84中有384個(gè)1,384個(gè)0,

〃*V=（X]+%一再必）+（Z+%-）+…+（尤384+%84-尤384%84）

=384—（玉必+/了2+.?,+^84^384）.

注意到只有匕=%=1時(shí)，xiyi=1,否則x,%=0,

而再,無(wú)2,…w84,84中有384個(gè)1,384個(gè)0,所以滿(mǎn)足七%=1的最多有192個(gè)，

所以〃*32384-192=192,

故答案為：192.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，得到%（匕-1）=0,再進(jìn)行運(yùn)算.

題型9復(fù)數(shù)與其它知識(shí)綜合

29.（2024.上看豪彥二葡三贏面內(nèi),0為坐布最占援薪：[『4-町,22=12+A'z',

其中i為虛數(shù)單位，則西，醞的大小為.

【答案】arccos1|.

65

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的向量表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量夾角的計(jì)算

【分析】由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求得向，進(jìn)而得到兩，兩，利用向量數(shù)量積運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求得

cos（西,西），進(jìn)而得到（西，區(qū)）.

【詳解】因?yàn)閆|=i（-4-3i）=3-4i,z2=12+5i,

所以西=（3,-4）,氏=（12,5）,

西?西3x12-2016

所以"4。4”飛H小后三飛'

所以（OZ],OZ2）=arccos^|.

30.（2024?上海楊浦?一模）已知實(shí)數(shù)。>0,i是虛數(shù)單位，設(shè)集合/=—z=w+：,|M>LweC,zec1,集

合2=同2-1+其=a/€（：｝,如果Bq/,則。的取值范圍為.

【答案】（0,1）。（廂,+可

【知識(shí)點(diǎn)】逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、求復(fù)數(shù)的模

【分析】解法一：明確集合48的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)幾何意義即可求得參數(shù)范圍.

解法二：先證明不屬于A的復(fù)數(shù)z,恰好是那些區(qū)間卜2,2]上的實(shí)數(shù)，再利用該結(jié)論得到取值范圍.

【詳解】解法一：由于同〉1，設(shè)叩二人0$。+15由。）/>1,

]

貝|w+—=r(cos^+isin^)+

、w廠(cosO+isine)

cos^-isin^r+Jcosa+i1―[sina,

二尸(cos6+isine)+

r

1]

設(shè)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)（X,y）,則》=r+—\cosa,y=sina,

,其中">2/-!>0,

所以1

r+-rr

r

當(dāng)/*>1時(shí)，該方程的幾何意義為表示所有橢圓的并集，

即平面上除去線(xiàn)段44的點(diǎn)的集合，其中4（-2,0）,4（2,0）,

集合8={z||z-l+i|=a,zeC}表示復(fù)平面上的圓，圓心為（1,-1）,半徑為a,

如果8g/,則該圓與線(xiàn)段44無(wú)公共點(diǎn),

1、42》

弧1'7

結(jié)合圖形可知〃的取值范圍為（0,1）。（質(zhì),+可；

解法二：

先證明：不屬于A的復(fù)數(shù)z,恰好是那些區(qū)間［-2,2］上的實(shí)數(shù).

下設(shè)z是復(fù)數(shù).

①情況一：z不是實(shí)數(shù)，也不是純虛數(shù).

i.2i.2

設(shè)z=reia（r、0,aeR）,z2-4=7?-ei/?（7?>0,^eR）,并令..i+Me'、,r-elg-V^-e'?

1-22-2

=

貝I]對(duì)a=1,2,有(唳一]j=]唯一手=瓜;2即w；_z-w+l=0.

\7

假設(shè)W左=0,則0=比一Z,叫+1=()2-2,0+1=1,矛盾，所以縱w0,從而叫+'=z.

444

所以i=m=i叼引=網(wǎng)1詞.

.邑

止匕時(shí)，假設(shè)I吸|二|叱|=1：由于“二，e+j^e_=—00867+^-008—>1+—sincr+^-sin—i

12(222)(222J

2

...12IRfr4R(r.4R.夕丫rRr4R(⑶

故1=1=w.=—coscrd-----cos—+—smcrH-------sm—=1-----1-------cosa-----.

I"(222)(222J4422J

同理，根據(jù)|甸=1可以得到1=[+：-乎cos(a-￡|.

,r2Rr4R(〃、工皿,Rry[R(夕)工口4工i口、t

對(duì)1=----1-----1-------cosa和1=——+------------cosa相力1r口ln和相減，

442V2J4422J

就能得至心=。+生W^cos(a-2]=0.

442I2J

若假設(shè)7?=0,貝lj(z—2)(z+2)=z2—4=%皿=0,從而2=2或z=—2,

這和情況一的定義矛盾，所以R>0.

若假設(shè)廠=0,則z=r/a=0,從而z=0,這和情況一的定義矛盾，所以外>0.

這就得到半>0,所以cos]a-g=0,所以f=1+(2加-1日(加eZ),

即P=2cr+(2m-l)7c(meZ).

2a2ia(22i(2M1)71

這就得到z?-4=Rd=R-e'(2"+(2"T*)=Re'-^"-^=^(reY-e'"-^=^z-e-.

y\Jy

DD

所以Z2-4==Z2或Z2-4=-2Z2,無(wú)論哪種情況都能得到z?是實(shí)數(shù)，故可設(shè)z2=ceR.

rr

若ezo,則0=z2-c=(z-G)(z+G),得2=土正是實(shí)數(shù)，這和情況一的定義矛盾.

若c<0,則0=z2-c=(z-i五)(z+iG),得Z=±i人是純虛數(shù)，這和情況一的定義矛盾.

故前面的假設(shè)1叫1=1甸=1不成立,所以結(jié)合1=1印網(wǎng)可知,

一定存在k=l,2使得|町|>1,結(jié)合%+(=z可知ze/.

②情況二：z是純虛數(shù).

此時(shí)設(shè)z=mg/0),則卬=q+62+4j滿(mǎn)足IT=q+忖+40+V0+4,

->-------------=1，

21122

且

1q+Jq2+4.1q+dq2+4.2.q+《q2+4.Jq2+4—q.

WH——=--------------1H-------；---------=--------1---------/=--------------1--2-------------1=qi=

W2q+y]q2+4.2q+y/q2+4,22

2

故Z￡/.

③情況三：Z是實(shí)數(shù)，且z>2.

此時(shí)w=滿(mǎn)足同=

z+yjz2-4z-y/z2-4

------------1-------=--z---故2￡/.

22

④情況四：z是實(shí)數(shù)，且z<-2.

此時(shí)川=-z+^7滿(mǎn)足M=-z+^7

二1，

2

且校+工=z-y/z—42

-------1------/7=Z,故Z￡4.

W2z-y/z2-422

⑤情況五：z是實(shí)數(shù)，且z?-2,2].

0

假設(shè)zeN,則存在復(fù)數(shù)川使得H>1，且w+』=z,^W^ro-e'(ro>l,0eRY

w

1010

則z=w+工=rQed——二=roe+—e-3=f^+—cos8+i(q--sin0.

w小4IIr.)

111c

從而“+—cos6=z,rQ----sin6=0,而由4〉1可知為——>l—;=0,

II41

所以sin6=0,故|cos4=1.

矛盾.

這就得到22,=cos0=rQ+—=伍一2。>%=2,

IroJ4roro

所以假設(shè)不成立，從而

綜合上面五種情況，就得到了結(jié)論：不屬于A的復(fù)數(shù)2,恰好是那些區(qū)間卜2,2]上的實(shí)數(shù).

現(xiàn)在回到原題，結(jié)合上面的結(jié)論，條件等價(jià)于3中包含的每個(gè)實(shí)數(shù)都不屬于-2,2].

一方面，若8中包含一個(gè)實(shí)數(shù)z,滿(mǎn)足一2WzV2.

2

貝[a=|z-l+i|=J（z-1『+121,a=|z-1+i|=^（z-l）+l=^（z+2）（z-4）+10<V10,Ml<a<V10.

另一方面，若而，則實(shí)數(shù)2=1—，/一1滿(mǎn)足z=l-J/-i一，（可『一1=一也=_2,

z=l-Va2-l<1<2.

故3中包含一個(gè)實(shí)數(shù)z,滿(mǎn)足_24z42.

這就說(shuō)明，8中包含一個(gè)實(shí)數(shù)z滿(mǎn)足一2VzW2的充要條件是IV.W廂.

所以0的取值范圍是（0,1）。（質(zhì),+可.

故答案為：（0,1）。（麗,+。）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)和三角恒等變換的使用.

題型10命題與其它知識(shí)綜合

31."(2024-±j$^E-^"三兩1萬(wàn)二焉5客而誦而茬聚湎亞而￡6SSL"

AB=AC=2V2,ABAC=90",二面角P-2C-4的大小為45。，則對(duì)以下兩個(gè)命題，判斷正確的是()

Q

①三棱錐。-48C的體積為1;②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2血兀.

A.①②都是真命題

B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題

D.①②都是假命題

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何中的軌跡問(wèn)題、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、判斷命題的真假

【分析】根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)可得出二面角，利用直角三角形性質(zhì)判斷△/2C外心q和APBC外心Q的

位置，利用垂直關(guān)系證明Q是力。中點(diǎn)，利用體積公式判斷①，根據(jù)為定長(zhǎng)判斷P點(diǎn)軌跡是圓，判斷

②.

【詳解】由題意知NB=/C=2板,NA4c=9(T,故8C=4,

設(shè)△NBC外心為Q,則Q為5c的中點(diǎn)，設(shè)△尸3c外心為口，如圖，

則OOX±平面ABC,OO21平面PBC,

;2Cu平面/8C,8Cu平面尸8C,

OOX1BC,OO2±BC,

■：OO2nOOX=O,,.?。。2，。。1u平面OO]Q,8C_L平面0002,

又因?yàn)閯t/Qu平面0002，即A,O\,o,Q四點(diǎn)共面，

則BC,平面。/。，

連接。02,則為二面角尸-2。-/的平面角，

,二面角P-2C-/的大小為45。，,N/O02=45°,

而/Od=；BC=2,因?yàn)??！?,平面P8C，。。2<=平面P8C,

故。。2_1。1。2，而OQ=yJO加=2,則aO=VI，

在△4002中，(/。2)2=(/，)2+(。。2)2-2/01?002cos45°=2,

則4。2=后，^OA^142=AO2+OO2,即4。?,。三點(diǎn)共線(xiàn)，

且Q是。/的中點(diǎn)；

則匕TBC=gX0。XSaJ2jC=1x2x|x2V2x2V2=|,故①是真命題；

又；02P=］。尸2-(。。2)2=7^2=V6,

點(diǎn)尸形成的軌跡是以。2為圓心，半徑為痛的圓，

.??軌跡長(zhǎng)度為2灰兀，故②真命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)空間的位置關(guān)系，推出4Q。三點(diǎn)共線(xiàn)，及說(shuō)明&是。4得

中點(diǎn)，從而確定點(diǎn)P形成的軌跡.

32.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取用心乙e。，存在不全

為o的實(shí)數(shù)4,4,4,使得+4西+4就=0.已知(i,o,o)ec,貝I(o,o,i)e。的充分條件是()

A.(0,0,0)eQB.(-1,0,0)eQ

C.(O,l,O)eQD.(0,0,-l)eQ

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)(1,0,0),(0,0,1),(o,l,0)eC時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則即可分析出正確答案.

【詳解】由題意知這三個(gè)向量赤、配，西共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

對(duì)A,由空間直角坐標(biāo)系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)(0,0,0),(1,0,0)e。無(wú)法推出

(0,0,1)任。，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B,由空間直角坐標(biāo)系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個(gè)向量共面，則當(dāng)(-1,0,0),(l,0,0)eQ無(wú)法推出

(0,0,1)血故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,由空間直角坐標(biāo)系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

則由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)eQ,

對(duì)D,由空間直角坐標(biāo)系易知(1。0),(0,0,1),(0,0,-1)三個(gè)向量共面，

則當(dāng)(0,0,-1)(1,0,0)eQ無(wú)法推出(0,0,1)eQ,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

33.(2024?上海?三模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線(xiàn)口、人的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)都在x軸上，且口與

「2不重合.記和、12的離心率分別為6、4,則“9=02"是“卻與:T?沒(méi)有公共點(diǎn)”的()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的取值范圍、判斷命題的充分不必要條件

【分析】由雙曲線(xiàn)的離心率計(jì)算公式及方程組解的情況，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)一、「2的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為為，出，短半軸長(zhǎng)分別為配8，

2222

=

雙曲線(xiàn)「1：~2~T2~?雙曲線(xiàn)「2：T-與=1，

axbxa2b2

若即e：=e；,則1+竺=1+與,即駕=巧，此時(shí)6尸打，否則A、烏重合，

axa2axa2

2-y2b

2x=l

顯然方程組無(wú)解，即雙曲線(xiàn)口與「2沒(méi)有公共點(diǎn);

氏22b

alx-y=l

[=1,方程組，3

令雙曲線(xiàn)口：尤2雙曲線(xiàn)jf[無(wú)解，

I33

即雙曲線(xiàn)「與「2沒(méi)有公共點(diǎn)，而目=6，有G*e?，

所以=02〃是與匕沒(méi)有公共點(diǎn)”的充分不必要條件.

故選：A

34.(2024?上海閔行?二模)已知/(x)=sin無(wú)，集合。千券與，「=|2/(x)+〃y)=0,x,ye￡>},

Q={(x,.y)|2/(x)+/(y)>0,x,yeD].關(guān)于下列兩個(gè)命題的判斷，說(shuō)法正確的是()

命題①：集合r表示的平面圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

命題②：集合。表示的平面圖形的面積不大于得.

A.①真命題；②假命題B.①假命題；②真命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求含sinx的函數(shù)的奇偶性、判斷命題的真假

【分析】根據(jù)〃x)=sinx是奇函數(shù)，可以分析出當(dāng)(x,y)e「時(shí)(-x,-y)er,所以集合「表示的平面圖形是

中心對(duì)稱(chēng)圖形；結(jié)合集合「代表的曲線(xiàn)及不等式的范圍可以確定集合。表示的平面圖形，從而求得面積,

5萬(wàn)2

與工進(jìn)行比較.

12

【詳解】對(duì)于「={(》,好2/卜)+〃力=0,x/e。},集合。=唱,學(xué)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)/(x)=sinx

是奇函數(shù)，

若貝IJ2/(x)+/(y)=0貝IJ2/(-x)+/(—了)=一2/(可一/(y)=-[2/(x)+/(y)]=0,

即若(xj)e「則(-x,-力e「，即集合「表示的平面圖形是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)圖形，故①是真命題；

對(duì)于C={(x,y)|2〃x)+/(y)Z0,x,ye￡)},

由2/(%)+/(歹)=0即2sinx+siny=0知siny=—2sinX,

設(shè)，=siny,y￡-%,?,貝！與歹---對(duì)應(yīng)且/隨歹的增大而增大，閆T,",

又由,=—2sinx知一2sinx￡[—l,l],sinx￡一;，

結(jié)合工￡知在xw范圍內(nèi),/與X對(duì)應(yīng)且f隨X的增大而減小,

2zoo

77"TTTTTT

所以在xe/e范圍內(nèi)，了與一一對(duì)應(yīng)且y是關(guān)于x的減函數(shù),

oo22

7171

由①可知2sinx+siny=0圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以可得到2sinx+siny=0在xe,ye

oo5'萬(wàn)

的圖象，如圖

代入點(diǎn)(胃，!^可得2sin]+sin]=3>0,所以2sinx+sinyN0的區(qū)域是右半部分,

面積為正方形面積的一半，即集合。表示的平面圖形的面積S=；x兀'兀=：兀2>(兀2,故②是假命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：確定不等式表示的區(qū)域范圍

第一步：得到等式對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)；

第二步：任選一個(gè)不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)，若原點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，一般選擇原點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否符合不等式;

第三步：如果符合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)區(qū)域即為不等式所表示的區(qū)域；若不符合，則另一側(cè)區(qū)域?yàn)椴坏仁?/p>

所表示的區(qū)域.

35.（2024?上海浦東新,三模）"-2<x<2"是"卜+2|+k-2歸4”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式

【分析】求出忖+2|+,-2區(qū)4的解集，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論.

—2x,xW—2

【詳解】令〃x）=|x+2|+|x-2|=，4,-2<x<2,所以/（x）44的解集為：[-2,2],

2x,x>2

所以"-2<x<2"能推出牛+2|+k-2區(qū)4,

而“|x+2|+|x_2歸4不能推出“_2<x<2”即"一2<x<2",是“卜+2|+,一2|44”的充分不必要條件；

故選：A

36.（2024?上海青浦?二模）若無(wú)窮數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：存在正整數(shù)T,使得a.+r=%對(duì)一切正整數(shù)"成立，則稱(chēng)｛%｝

是周期為T(mén)的周期數(shù)列.

⑴若&=$也一+?。ㄆ渲姓麛?shù)機(jī)為常數(shù)，"€N,〃N1）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

Vm3J

（2）若。"+i=g+sina,（〃eN,"Nl）,判斷數(shù)列｛%｝是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；

⑶設(shè)也｝是無(wú)窮數(shù)列，已知%="+sina“（〃eN,〃洲.求證："存在％,使得也,｝是周期數(shù)列”的充要條件

是"也｝是周期數(shù)列

【答案】（1）｛%｝是周期為2刃的周期數(shù)列，理由見(jiàn)解析

⑵答案見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】