江西省撫州臨川市第二中學2025屆高三下學期期中聯考數學試題理試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，函數的定義域為，集合，則下列結論正確的是A． B．C． D．2．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．33．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．4．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a5．直線x-3y+3=0經過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．6．已知函數，其中，記函數滿足條件：為事件，則事件發生的概率為A． B．C． D．7．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學習氛圍，向班內同學征集書法作品貼在班內墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細節決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進行了問話，得到回復如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細節決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李8．某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成進行分析，隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績，并根據這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內的學生人數為（）A．800 B．1000 C．1200 D．16009．高三珠海一模中，經抽樣分析，全市理科數學成績X近似服從正態分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數學成績不低于110分的學生人數約為（）A．40 B．60 C．80 D．10010．已知為虛數單位，復數，則其共軛復數（）A． B． C． D．11．已知函數，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．12．某校在高一年級進行了數學競賽（總分100分），下表為高一·一班40名同學的數學競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學生的數學競賽成績，運行相應的程序，輸出，的值，則（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數”為假命題的一個函數是________.14．已知，，求____________.15．定義，已知，，若恰好有3個零點，則實數的取值范圍是________.16．正四面體的各個點在平面同側，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點，求的最小值.18．（12分）已知直線：（為參數），曲線（為參數）．（1）設與相交于，兩點，求；（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線距離的最小值．19．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）．（1）若，（ⅰ）求證：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實數滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．20．（12分）已知函數，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當時，，求的取值范圍.21．（12分）已知.（1）若是上的增函數，求的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，判斷函數零點的個數.22．（10分）如圖，正方形是某城市的一個區域的示意圖，陰影部分為街道，各相鄰的兩紅綠燈之間的距離相等，處為紅綠燈路口，紅綠燈統一設置如下：先直行綠燈30秒，再左轉綠燈30秒，然后是紅燈1分鐘，右轉不受紅綠燈影響，這樣獨立的循環運行.小明上學需沿街道從處騎行到處（不考慮處的紅綠燈），出發時的兩條路線（）等可能選擇，且總是走最近路線.（1）請問小明上學的路線有多少種不同可能？（2）在保證通過紅綠燈路口用時最短的前提下，小明優先直行，求小明騎行途中恰好經過處，且全程不等紅綠燈的概率；（3）請你根據每條可能的路線中等紅綠燈的次數的均值，為小明設計一條最佳的上學路線，且應盡量避開哪條路線？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求函數定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．【點睛】本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數的定義域，還是函數的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．2、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優解,代入到目標函數,即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數轉化為的形式,在可行域內通過平移找到最優解,將最優解帶回到目標函數即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.3、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.4、C【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.【詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【點睛】本題考查復數的概念，屬于基礎題.5、A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【詳解】由題意，直線x-3y+3=0經過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得6、D【解析】

由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.7、D【解析】

根據題意，分別假設一個正確，推理出與假設不矛盾，即可得出結論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對應“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對應“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對應“細節決定成敗”，所以剩下小王對應“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細節決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對應“天道酬勤”，所以得出“細節決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點睛】本題考查推理證明的實際應用.8、B【解析】

由圖可列方程算得a，然后求出成績在內的頻率，最后根據頻數=總數×頻率可以求得成績在內的學生人數.【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內的頻率，所以成績在內的學生人數.故選：B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應用，屬基礎題.9、D【解析】

由正態分布的性質，根據題意，得到，求出概率，再由題中數據，即可求出結果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態分布，則正態分布曲線的對稱軸為，根據正態分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數學成績不低于110分的人數為人，故選:.【點睛】本題考查正態分布的圖象和性質,考查學生分析問題的能力,難度容易.10、B【解析】

先根據復數的乘法計算出，然后再根據共軛復數的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復數.故選：B.【點睛】本題考查復數的乘法運算以及共軛復數的概念，難度較易.11、C【解析】

由題意可知，，由可得出，，利用導數可得出函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構造函數，利用導數求出函數在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數的定義域為，對恒成立，所以，函數在區間上單調遞增，同理可知，函數在區間上單調遞增，，則，，則，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞增；當時，，此時函數單調遞減.所以，.故選：C.【點睛】本題考查代數式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.12、D【解析】

根據程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數，的取值為成績大于等于60且小于90的人數，故，，所以.故選：D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統計量等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數學應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、答案不唯一，如【解析】

根據對基本函數的理解可得到滿足條件的函數.【詳解】由題意，不妨設，則在都成立，但是在是單調遞增的，在是單調遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對基本初等函數的圖像和性質的理解，關鍵是假設出一個在上不是單調遞減的函數，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.14、【解析】

求出向量的坐標，然后利用向量數量積的坐標運算可計算出結果.【詳解】，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據題意，分類討論求解，當時，根據指數函數的圖象和性質無零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，再分當，兩種情況討論求解.【詳解】由題意得：當時，在軸上方，且為增函數，無零點，至多有兩個零點，不合題意；當時，令，得，令，得或，如圖所示：當時，即時，要有3個零點，則，解得；當時，即時，要有3個零點，則，令，，所以在是減函數，又，要使，則須，所以.綜上：實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題主要考查二次函數，指數函數的圖象和分段函數的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用導數判斷函數單調性，屬于中檔題.16、【解析】

不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，根據題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡即可得出結果；（2）在中，由余弦定理得，在中結合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點連線斜率的相反數，數形結合可得，故的最小值為.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實際應用，還涉及二倍角正弦公式和誘導公式，考查計算能力.18、（1）；（2）．【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程，聯立直線和曲線，可得交點坐標，可得的值；（2）可得曲線的參數方程，利用點到直線的距離公式結合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直線的普通方程為，的普通方程．聯立方程組，解得與的交點為，，則．（2）曲線的參數方程為（為參數），故點的坐標為，從而點到直線的距離是，由此當時，取得最小值，且最小值為．【點睛】本題主要考查參數方程與普通方程的轉化及參數方程的基本性質、點到直線的距離公式等，屬于中檔題.19、（1）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導出，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（2）設，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（ⅰ）證明：連接交于點，連接，，因為為線段的中點，所以,因為，所以因為∥所以四邊形為平行四邊形．所以又因為，所以又因為平面，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因為，，所以以為原點建立空間直角坐標系則，，，所以，，，平面的法向量為設平面的法向量為，則，即，取，得，設平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設所以，，設平面的法向量為，則，取，得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線，線面，面面的位置關系等知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的解集，根據集合相等，列出方程組，即可求解的值；（2）①當時，恒成立，②當時，轉化為，設，求得函數的最小值，即可求解的取值范圍.試題解析：（1）由，得，因為不等式的解集為，所以，故不等式可化為，解得，所以，解得.（2）①當時，恒成立，所以.②當時，可化為，設，則，所以當時，，所以.綜上，的取值范圍是.21、(1)(2)三個零點【解析】

(1)由題意知恒成立,構造函數，對函數求導，求得函數最值，進而得到結果；（2）當時先對函數求導研究函數的單調性可得到函數有兩個極值點，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區間有一個零點.另一方面，，設，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區間有一個零點.因此，當時在和各有一個