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文檔簡介
（北京：2011-3-19）【解】所述圓周過原點，則一定以原點為圓心，且在球面x222=R22①②三設nan收斂，tn=an+1+2an+2+…+kan+k+….證明：tn=0.即有界，故由Abel判別法知an+k收斂，即tn有意義.此時，對任何n>N以及m>1，有四、(15分)設A∈Mn(C)，定義線性變換σA:Mn(C)→Mn(C)，σA(X)=AX?XA.證明：當A可對角化時，σA也可對角化.這里Mn(C)是復數域C上n階方陣組成的線性空間.的n階矩陣.因為A可對角化，所以存在可逆矩陣P∈Mn(C)，使得P?1AP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).顯然，PEijP?1:i,j=1,2,…n}也是Mn(C)的一組基，并且有σA(PEijP?1)=A(PEijP?1)?(PEijP?1)A=P(ΛEij?EijΛ)P?1=(λi?λj)PEijP?1，所以σA在基PE11P?1,…,PE1nP?1,…,PEn1P?1,…,PEnnP?1下的矩陣為對角矩陣diag(0,λ1?λ2,…,λ1?λn,…,λn?λ1,…,λn?λn?1,0)，這就是說，σA可對角化.五、(20分)設連續函數f:R→R，滿足證明：存在實常數a滿足.+，有fx+y)?f(x)?f(y)≤M，①f(nx)?f((n?1)x)?f(x)≤M.這表明函數列在上一致收斂，設其極限為g(x)，則g(x)是連續函數.進一步，由不等式①,有數a，使得≤M<+六、(20分)設φ:Mn(R)→R是非零線性映射，滿足φ(XY)=φ(YX)，?X,Y∈Mn(R)，這里Mn(R)是實數域R上n階方陣組成的線性空間.在Mn(R)上定義雙線性型(-，-)：Mn(R)×Mn(R)→R為(X,Y)=φ(XY).(1)證明(-，-)是非退化的，即若(X,Y)=0，?Y∈Mn(R)，則X=O；,An2是Mn(R)的一組基，B1,B2,…,Bn2是相應的對偶基，即證明AiBi是數量矩陣.【證】(1)先確定φ的結構.取Mn(R)的自然基{Eij:i,j=1,2,…n}，其中Eij是(i,j)元根據題設，φ(XY)=φ(YX)，?X,Y∈Mn(R)，所以tr(YCX)=tr(XYC)=tr(YXC).因此XC=CX.由于X的任意性，知C=λE為數量矩陣.于是有φ(A)=λtr(A)，?A∈Mn(R).現在，如果(X,Y)=λtr(XY)=0，?Y∈Mn(R)，取Y=XT，那么X=O.令Ai=，Bi=.設Epq=qBi，利用與的對偶性，
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