第五屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽三四年級(jí)試卷(數(shù)學(xué)類2014年3月,?考試形式閉卷考試時(shí)間180分鐘滿分100分?姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)總分題號(hào)四二滿分2015151001515得分20滿分2015151001515得分注意1.前4題是必答題再?gòu)?{11題中任選兩題題號(hào)要填如上面的表中2.所有答題都須寫在此試卷紙密封線右邊寫在其它紙上一律無效3.密封線左邊請(qǐng)勿答題密封線外不得有姓名及相關(guān)標(biāo)記密封線答題時(shí)不要超過此線,?,4.如答題空白不夠可寫在當(dāng)頁背面密封線答題時(shí)不要超過此線,?,得分評(píng)閱<(本題15分)設(shè)S為R3中的拋物面zx2+得分評(píng)閱<y2Pa;b;c為S外一固定點(diǎn)滿足a2+b2>2c過P作S的所有切線證明這些切線的切點(diǎn)落在同一張平面上,?,?,第1頁共11頁第2頁共11頁得分評(píng)閱人二(本題15分)設(shè)實(shí)二次型fx1;x2;x3;x4xTAx得分評(píng)閱人a0a;b;c;d;e;f;g;h;k皆為實(shí)數(shù)已知λ12是A的一個(gè)幾何重?cái)?shù)為3的特征值試回答以下問題(i)A能否相似于對(duì)角矩陣;若能請(qǐng)給出證明;若不能請(qǐng)給出例子(ii)當(dāng)a02時(shí)試求fx1;x2;x3;x4在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型三三(本題20分)設(shè)fx是[0+∞上非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)f(0)0fx≤假設(shè)R0+∞fxdx收斂求證對(duì)任意α>1R0+fxdx也收斂并且得分評(píng)閱<?姓名姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè),?,密封密封線答題時(shí)不要超過此線,?,?,第3頁共11頁第4頁共11頁得分評(píng)閱人四(本題20分)對(duì)多項(xiàng)式f(x記df為其最大和最小實(shí)根之間的距離設(shè)n≥2為自然數(shù)求得分評(píng)閱人C使得對(duì)任意所有根都是實(shí)數(shù)的n次多項(xiàng)式fx都有df≥Cdf五(常微分方程15分)設(shè)fx;y為a;b?×R上得分評(píng)閱<,?關(guān)于y單調(diào)下降的二元函數(shù)五(常微分方程15分)設(shè)fx;y為a;b?×R上得分評(píng)閱<,?姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)yfx;y姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)已知za≤ya求證zx≤yxx∈a;b?,?,密封密封線答題時(shí)不要超過此線,?,?,第5頁共11頁第6頁共11頁得分評(píng)閱<六(復(fù)變函數(shù)15分)設(shè)D{z∈Cjzj<1}是單位圓盤非常數(shù)函數(shù)fz在D上解析且當(dāng)jzj1時(shí)jf(z)j1求證fDD得分評(píng)閱<姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)七(實(shí)變函數(shù)15分)設(shè)Ekk12...是一列可測(cè)集f∈E得分評(píng)閱<,?3)如果{Ek}是單調(diào)的求證kEkE存在且有,?,密封密封線答題時(shí)不要超過此線,?,?,第7頁共11頁第8頁共11頁得分評(píng)閱<八(微分幾何15分)設(shè)Γ是三維歐氏空間中一張平面上的一條拋物線`是Γ的準(zhǔn)線將Γ繞其準(zhǔn)線`旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)面S求S的兩個(gè)主曲率的得分評(píng)閱<得分評(píng)閱人,?九(概率統(tǒng)計(jì)15分)一只盒子中裝有標(biāo)上1至N的N張票券有放回地一張一張地抽取若我們想收集r張不同的票券則要期望抽多少次才能得到它們當(dāng)然假設(shè)取得每張票券是等可能的各次抽取是獨(dú)立的得分評(píng)閱人,?姓名姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè),?,密封密封線答題時(shí)不要超過此線,?,?,第9頁共11頁第10頁共11頁得分評(píng)閱<十(抽象代數(shù)15分)設(shè)群GAB其中AB均為G的Abel子群且ABBA8g1g2∈G用g1g2g11g21G表示G的換位子群(即由G的換位子所生成的子群)證得分評(píng)閱<a8a;x∈A8b;y∈B有下式成立x1y1x1y11為Gb為GAbel群十十(數(shù)值分析15分)給定多項(xiàng)式序列T0x1T1xx;得分評(píng)閱人?...T+1x2xTx—T1xn1...姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)求證(1)當(dāng)x∈—1姓名準(zhǔn)考證號(hào)所在院校考生座位號(hào)專業(yè)(2)設(shè)C—11?是區(qū)間—11?上連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的內(nèi)積空間其中內(nèi)積定義為則Tx是該內(nèi)積空間的正交多項(xiàng)式即當(dāng)nm時(shí)〈TxTx〉0(3)設(shè)Px是次