PAGEPAGE1課時作業(yè)11函數(shù)與方程一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－xx＋2，x≤0))的零點個數(shù)是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析：當(dāng)x>0時，令f(x)＝0可得x＝1；當(dāng)x≤0時，令f(x)＝0可得x＝－2或x＝0.因此函數(shù)的零點個數(shù)為3.故選D.2．方程ln(x＋1)－eq\f(2,x)＝0(x>0)的根存在的大致區(qū)間是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(2，e) D．(3,4)解析：令f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)，則f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，所以函數(shù)f(x)的零點所在大致區(qū)間為(1,2)．故選B.3．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A．(－1，－log32) B．(0，log52)C．(log32,1) D．(1，log34)解析：∵單調(diào)函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，故選C.4．關(guān)于x的方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是(B)A．1B．2C．3D．4解析：∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖所示，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有2個交點，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是2.5．(2024·廣東七校聯(lián)合體聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2x＋a2x－2a的零點在區(qū)間(0,1)上，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．(1，＋∞)解析：易知函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)，且在(0,1)上單調(diào)遞增．∴f(0)f(1)＝(1－2a)(2＋a2－2a)<0，解得a>eq\f(1,2).6．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為(C)A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪{1}解析：由題意，明顯x＝1是函數(shù)f(x)的一個零點，取a＝－1，則f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝eq\f(2x2－x＋1,x)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋\f(7,8),x)>0恒成立．則f(x)僅有一個零點，不符合題意，解除A、D；取a＝1，則f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝eq\f(1－2x2＋x,x)＝eq\f(1＋2x1－x,x)，f′(x)＝0得x＝1，則f(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)僅有一個零點，不符合題意，解除B，故選C.二、填空題7．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x>1，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)為2.解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象的交點個數(shù)．作出函數(shù)圖象可知有2個交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)－ex有2個零點．8．若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<1)).解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2，3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－a，,－2×3＝b.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－6，))∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0?2x2＋x－3<0，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<1)).9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x－1，x>1，,x3－3x＋1，x≤1，))則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.解析：解法1：當(dāng)x>1時，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的一個零點；當(dāng)x≤1時，∵f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1，∵當(dāng)x<－1時，f′(x)>0，當(dāng)－1≤x≤1時，f′(x)≤0，∴x＝－1為函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的極大值點，∵f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，且當(dāng)x→－∞時，f(x)→－∞，∴函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有兩個不同的零點．綜上，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.解法2：當(dāng)x>1時，作出函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象如圖1所示，當(dāng)x≤1時，由f(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一個平面直角坐標系中分別作出函數(shù)y＝x3和y＝3x－1的圖象如圖2所示，由圖1,2可知函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.10．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意：當(dāng)x>0時，f(x)＝2015x＋log2015x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為3.解析：因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝2015x＋log2015x在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2015)))內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．依據(jù)對稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一個零點，從而函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)為3.三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,4).證明：存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，使f(x0)＝x0.證明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝eq\f(1,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,8)，∴g(0)·geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0.又函數(shù)g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是連續(xù)曲線，∴存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.12．已知a是正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍．解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的對稱軸為x＝－eq\f(1,2a).①當(dāng)－eq\f(1,2a)≤－1，即0<a≤eq\f(1,2)時，須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥1，))∴無解．②當(dāng)－1<－eq\f(1,2a)<0，即a>eq\f(1,2)時，須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－3－a≤0，,a≥1，))解得a≥1，∴a的取值范圍是[1，＋∞)．13．(2024·惠州市調(diào)研考試)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,\f(1,2)fx－2，x>2，))則函數(shù)g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的全部零點之和為(A)A．8 B．32C.eq\f(1,2) D．0解析：令g(x)＝xf(x)－1＝0，則x≠0，所以函數(shù)g(x)的零點之和等價于函數(shù)y＝f(x)的圖象和y＝eq\f(1,x)的圖象的交點的橫坐標之和，分別作出x>0時，y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的大致圖象，如圖所示，由于y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的圖象都關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)g(x)在[－6,6]上的全部零點之和為0，而當(dāng)x＝8時，f(x)＝eq\f(1,8)，即兩函數(shù)的圖象剛好有1個交點，且當(dāng)x∈(8，＋∞)時，y＝eq\f(1,x)的圖象都在y＝f(x)的圖象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的全部零點之和為8.故選A.14．已知關(guān)于x的方程|2x－10|＝a有兩個不同的實根x1，x2，且x2＝2x1，則實數(shù)a＝6.eq\a\vs4\al(尖子生小題庫——供重點班學(xué)生運用，一般班學(xué)生慎用)15．(2024·福州四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x≥1，,1－\f(x,2)，x<1，))若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有兩個零點x1，x2，則x1·x2的取值范圍是(D)A．[4－2ln2，＋∞) B．(eq\r(e)，＋∞)C．(－∞，4－2ln2] D．(－∞，eq\r(e))16．(2024·德州模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x.g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)∵f(1)＝－12－2×1＝－3，∴g[f(1)]＝g(－3)