機密★啟用前

2024-2025學年度高三年級上學期期中綜合素質評價

數學學科

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

L若復數z滿足近=1—篁，則目=（）

A.V5B.V10C.5D.10

2.設全集U={—2,—1,0,1,2,3},集合2={-1,2},8=卜——3x=o},則徐幺38）=（）

A.{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為1和

77

2,側棱與底面所成的角為一，則該四棱臺的體積是（）

4

A.LB,速C.速D.迪

6632

4.已知等差數列{。〃}的前〃項和為5“，若%+%（）=24,且％=6，貝州8=（）

A.60B.72C.120D.144

5.已知兩條不同的直線/,m,兩個不同的平面a,P，則下列條件能推出&//尸的是（）

A./ua,加ua,旦1〃§,mlI（3

B./ua,mu/3,且/〃加

CILa,mV/3,且/〃加

D.Illa,mlIP,且/〃加

6.函數〃x)=—，，若/(/+l)V/(-L0a)—/(5),則實數0的取值范圍是()

luxjX21

A.{-1}B.(-oo,-l]

C.[-l,+oo)D.-1,-1

7.在同一平面直角坐標系內，函數y=/(x)及其導函數y=r(x)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

一個公共點，其坐標為(0,1),則()

e

A.函數y=/(x)+x的最大值為1B.函數y=F〈的最小值為1

"/(x)

C,函數歹=/(x>e'的最大值為1D.函數>=/學的最小值為1

e

8.如圖，在棱長為5的正方體45CO-HB'C'。'中，M是側面ZDQW上的一個動點，點尸為線段CC'

上，且|PC[=2,則以下命題正確的是()(動點的軌跡：指動點運動所形成的圖形)

A.沿正方體的表面從點A到點P的最短距離是而

B.保持W與RD'垂直時，點M的軌跡長度為3及

C.若保持1Hl卜巧，則M的軌跡長度為§兀

D,平面AD'P被正方體ABCD-A'B'C'D'截得截面為直角梯形

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.以下是真命題的是()

A.已知5為非零向量，若歸+母〉歸一.，則&與5的夾角為銳角

B.已知5，e為兩兩非共線向量，若7m，貝-

C在三角形48c中，若a?cosZ=b-cos8,則三角形48c是等腰三角形

D.若三棱錐的三條側棱與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影是底面三角形的外心

10.己知定義在R上的函數/(x),g(x),其導函數分別為/'(x),g'(x)，/(l-x)=6-g,(l-x),

/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)為奇函數，則()

A.g(x)的圖象關于x=l對稱

B.g'(x+6)=g〈x)

c/'⑹=7''⑵

D./(2021)+/(2023)=12

11.已知V48c中，ABLBC,AB=BC=2,E,尸分別在線段A4,C4上，且屁=4瓦，

CF=XCA(^6(0,1)).現將△/￡尸沿斯折起，使二面角N—E尸—C的大小為a(ae(0,〃)).以下命

A,若4?=-,則點尸到平面48c的距離為也

232

B.存在4使得四棱錐N-2C五E有外接球

C.若2則棱錐尸-ZEB體積的最大值為3

381

D.若&=工，三棱錐Z-RE戶的外接球的半徑取得最小值時，2=-

23

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，在正三棱柱48c-44G中，48=1,44]=2,。為的中點，則異面直線與

/1,4交點的橫坐標為工3,則占退+x2x3=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟.

15.已知V48c的面積為20JL。為邊8c的中點，OA=5,04.05=20-

(1)求8c的長；

(2)求角C的正弦值.

16.如圖，三棱臺48。一4月。中，V4SC是正三角形，平面/5C,4g=2Z/=24G=4,

M,N分別為棱48,g8的中點.

(1)證明：平面MCN；

(2)求直線GC與平面MCN所成的角的正弦值.

17.已知數列｛%｝和抄“｝滿足，q=2,4=1,4+]=2%eN*),

4+〈8+"+…+,4="+iT(〃?N*).

23n''

(1)求。“與“；

」一,〃為奇數

bbq

(2)記數列｛c“｝的前〃項和為北，且。"=<,若對〃eN*，之左恒成立，求上的取

-工,〃為偶數

an

值范圍.

18.如圖，四棱錐P—4BC。的底面48CD為正方形，E,尸分別為P4,尸。的中點，且平面尸8。，平

(2)若PB=4^PD，當四棱錐P-NBC。的體積最大時，求平面尸4g與平面8斯的夾角的余弦值.

19.設y=/(x)是定義域為。且圖象連續不斷的函數，若存在區間N,6仁。和天€(。))，使得

歹=/(力在[。,/)上單調遞增,在(%,可上單調遞減，則稱y=/(X)為“山峰函數”，飛為“峰點”,

[a,可稱為y=/(x)的一個“峰值區間”.

(1)判斷g(x)=f+cosx是否是山峰函數？若是，請指出它的一個峰值區間；若不是，請說明理由；

(2)已知m>\,A(x)=(m+2)x-/一機X是山峰函數，且［0,1］是它的一個峰值區間，求加的取值范

圍；

(3)設〃wR,函數/(%)=［丁一2〃12+(4〃—4)x］lnx—gx3_(4〃一4卜.設函數y=/(x)是山

峰函數，卜,4是它的一個峰值區間，并記/-S的最大值為"(〃).若/［g)<0,且/

⑴,求d(〃)的最小值.(參考數據：ln|方0.4)

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若復數z滿足近3i,則忖=()

A.V5B.V10C.5D.10

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數除法化簡，然后由復數模公式可得.

l-3i

【詳解】因為iz=l—3i,所以2=——=-3-i,

1

所以忖=yj(—3)2+(一1)2=\/10-

故選：B

2.設全集。={—2,—1,0,1,2,3},集合2={-1,2},8=卜——3x=o},則d(NuB)=()

A,{1,3}B.{0,1,3}C.{-2,1}D.{-2,0,1}

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得8={0,3},根據并集的定義求得幺。5={-1,023},再根據補集的定義求解即可.

【詳解】解：=x2-3x=0}={0,3},u5={-1,0,2,3},

.■?（人8）={—2,1}.

故選:C.

3.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為1和

77

2,側棱與底面所成的角為一，則該四棱臺的體積是()

4

A.2B.速C.逆D.逆

6632

【答案】B

【解析】

【分析】根據正四棱臺性質可求得該棱臺的高，代入棱臺的體積公式即可求得結果.

【詳解】如下圖所示：分別為上下底面的中心，作。￡，幺。于點E,

7T

根據題意可知4片=1,48=2,側棱與底面所成的角即為可知/C]C￡=a；

因此可得=CE,

易知NC=2j5,4G=正，由正四棱臺性質可得CE=g(zc—4G)=t；

所以該正四棱臺的iWj為C[E=CE=—^―,

因此該四棱臺的體積是F=-(l2+22+A/12X22)X1=逑.

3\/26

故選：B

4.已知等差數列｛%｝的前〃項和為,，若出+〃10=24,且%=6,則S&=()

A.60B.72C.120D.144

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定條件，利用等差數列性質及前〃項和公式計算即得.

【詳解】在等差數列｛4｝中，2a6=4+10=24,解得每=12,

所以S.=8(4;/)=4(生+丁)=4x(6+12)=72.

故選：B

5.已知兩條不同的直線/,m,兩個不同的平面a,P，則下列條件能推出4的是()

A./ua,加ua,且/〃尸，mlI(3

B./ua,mu0,且/〃加

C.ILa,mL/3,且/〃加

D.Illa,mlIP,且/〃加

【答案】C

【解析】

【分析】利用線面垂直的性質推理判斷C；舉例說明判斷ABD.

【詳解】對于A,若/ua,mua,且/〃尸，ml用，此時a,p可能相交，如下圖所示:

當an/=〃，/,加都與"平行時，見，相交，A錯誤；

對于B,若Iua,mu/3,且/〃加，此時a,尸可能相交，如下圖所示:

當ap|〃=",/,加都與"平行時，出，相交，B錯誤;

對于C,由/_La,IHm,得加J_a,而機_L〃，所以a//￡,C正確;

若///a,mlip,且/〃加，此時火，可能相交，如下圖所示:

當aPl夕=〃，mua,Iu0,/,加都與"平行時，見，相交，D錯誤.

故選：C.

6.函數/(x)=一，,若/(/+1)</(_104)一〃5),則實數a的取值范圍是()

luxjx21

A{-1}B.(-oo,-l]

C.[―1,+oo)D.-1,]

【答案】A

【解析】

【分析】原不等式變形為/[5(/+1)]</(_104),再利用分段函數的單調性即可得到不等式，解出即可.

【詳解】當x<l時，/(x)=e￥+x-4,因為y=e*,y=x—4在(一。,1)上單調遞增，此時/(x)單調遞

增，

當時，易知/(x)=lnx單調遞增，且當x=l時，e1+1-4=e-3<0=Ini,

則/(x)在R上單調遞增，

2

因為"+1>1，貝1]/(片+l)+/(5)=ln(a+1)+In5=ln5(/+i)=/[5(/+川，

所以由—〃5)得/[5.+1)卜/(一10司,

所以5(/+i)v—io。，解得a=—i.

故選：A.

7.在同一平面直角坐標系內，函數J=/(x)及其導函數y=r(久)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有

一個公共點，其坐標為(0,1),則()

e*

A.函數y=/（x）+x的最大值為1B.函數y=R〈的最小值為1

/（x）

D.函數y=」學的最小值為1

C.函數y=/（x>ex的最大值為1

e

【答案】B

【解析】

【分析】根據圖象分辨^=/（%）和丫=尸（W的圖象，然后對各選項中函數求導，利用圖象判斷函數單調性

即可得解.

【詳解】由圖可知，兩個函數圖象都在x軸上方，所以廣（嗎>0,/（x）單調遞增，

所以實線為了（X）的圖象，虛線為廣（久）的圖象，/（0）=/,（0）=1,

對A,V=/'（x）+l〉O,y=/（x）+x單調遞增，無最大值，A錯誤;

Ao

e[/(x)-r(x)]e[/(O)-r(O)]_o

對B,y'

[/(x)]2

由圖可知,當x<0時,<0,當x>0時，f(x)-fr(x)>0,

所以y=在（一°°，°）上單調遞減，在（。,+8）上單調遞增,

/（X）

e°

所以當X=0時，函數取得最小值乂疝,=76=1，B正確；

對C,y'=[f'（x）+f（x）]ex,由圖可知+

所以y=/（》）?e工在R上單調遞增，無最大值，C錯誤;

對D,了/⑺一小）

由圖可知，當x<0時，/(x)-/,(x)>0,當x>0時，/(x)-/,(x)<0,

所以函數y=以?在(-叫0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，

e

當X=0時，函數取得最大值Jmax=要=1，D錯誤.

e

故選：B

8.如圖，在棱長為5的正方體/BCD-HB'C'。'中，M是側面ZWH上的一個動點，點尸為線段CC

上，且|尸。［=2,則以下命題正確的是()(動點的軌跡：指動點運動所形成的圖形)

A.沿正方體的表面從點A到點尸的最短距離是而

B.保持W與垂直時，點M的軌跡長度為3&

C.若保持|產河|=回，則/的軌跡長度為g兀

D,平面AD'P被正方體ABCD-A'B'C'D'截得截面為直角梯形

【答案】B

【解析】

【分析】根據平面展開即可判斷A；過P做平面尸所//平面NC8',即可判斷B；根據點M的軌跡是圓

弧，即可判斷C；作出正方體4BC。-HB'C'。'被平面ND'P所截的截面即可判斷D.

【詳解】對于A,將正方體的下底面和側面展開可得如圖圖形，

連接4P,則丑尸=525+64=廊,故A錯誤;

對于B,如圖:

￡>￡>'，平面48cD,ZC平面48cD,所以。Q'LZC,又ACLBD,

DD'CW=D,DD：BDu平面BDD',所以NC，平面8￡>￡>',

又AD'u平面AD。'，所以/C_LAD',

同理可得AD'，4B',ACryAB'^A,ZC,4S'u平面ZC8',所以BD'，平面ZC8'.

所以過點尸作PG//CD交CD于G,過G作GF//AC交4D于F,

由48'〃。。'，可得PG//AB',尸G<Z平面NC5',AB'GTffiACB',

所以尸G//平面NC8',同理可得GE//平面NC8',

又G/nPGuG,6廠,尸6匚平面6五尸，則平面GPP//平面NC8'.

設平面PEF交平面ADD'A'于EF,則/的運動軌跡為線段EF,

由點尸在棱CC上,且|尸。|=2,可得|Z(G|=|Z)尸|=|4回=2,

AJ7AA1

連接H。，則絲二",所以￡尸||"0,又9C||HD,所以"。||￡下，

AFAD

所以|￡F|=||HD|=gx5行=30,故B正確；

對于C,如圖：

若=J為，則河在以尸為球心，J丞為半徑的球面上,

過點尸作尸。J_平面ZQQ'H,貝修。'。|=2,

此時12M|=7lPMI2-1PQI2=<26-25=1.

所以點M在以。為圓心，1為半徑的圓弧上，此時圓心角為兀.

點M的運動軌跡長度71X1=71,故C錯誤；

對于D,如圖：

延長。C,。'尸交于點X,連接/笈交8c于/,連接〃，

所以平面AD'P被正方體ABCD-A'B'C'D'截得的截面為AIPD'.

|PC|_|HC|_3

△PCHfD'DH,所以

\D'H\\D'D\~\DH\~1>

\CI\\HC\_\IH\

AICHfADH,所以匕舊

\DA\\DH\~\AH\~1>

所以I"?=皿1="^=3所以尸/〃4D'且|尸/圖

|D'H|\AH\\AD'\5

所以截面為梯形，|弁/國PD'|=J25+4=回,

所以截面為等腰梯形，故D不正確.

故選：B.

【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾

何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點

中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.以下是真命題的是（）

A.已知5為非零向量，若卜+母〉卜—4,則7與5的夾角為銳角

B.己知&,b，5為兩兩非共線向量，若m3貝Ijal?僅一C)

C.在三角形48。中，若a-cosZ=b-cos8,則三角形48c是等腰三角形

D.若三棱錐的三條側棱與底面所成的角相等，則頂點在底面的射影是底面三角形的外心

【答案】BD

【解析】

【分析】A：將己知條件兩邊同時平方，整理得到鼠書>0,結合平面向量的數量積的定義得到

cos。?〉。，由平面向量的夾角范圍可得?石"0,之，進而可以判斷選項；B：將已知條件變形為

a-p-c)=O,結合平面向量數量積即可判斷選項；

C：結合正弦定理化簡整理即可判斷三角形的形狀；

D：作出圖形，APAO=APBO=APCO,即可得到幺0=80=co,結合三角形外心的性質即可判

斷.

【詳解】A:因為歸+目〉?-4，兩邊同時平方，得(Z+可2〉口一可2,即

^+b+2a-b>ai+~b-2a-b'所以73>0,因此cos,@>0,因為@%[0,句，所以

(a,b)e因此值與5的夾角為銳角或零角，故A錯誤；

B：因為￡%=￡.3所以—c)=0,又因為b，1為兩兩非共線向量，則所

以—故B正確；

C：因為a-cosZ=b-cos5,結合余弦定理得sincosZ=sin8?cos8,所以sin2Z=sin28,所以

71

24=25或2Z+25=?,即4=3或/+B=—,所以角形45。是等腰三角形或直角三角形，故C錯

2

誤；

D：

p

T-二A。

B

設三棱錐尸-48C的頂點尸在底面48c的射影為。，所以產。，底面48C,又因為ZOu底面48C,

80u底面48。，COu底面48。，所以尸。J_Z。,尸。J.8。,尸。，C。，又因為三棱錐的三條側棱

與底面所成的角相等，所以NP40=NPBO=NPCO,所以APAOVAPBOVAPCO,所以

AO=BO=CO,所以點。是V4SC的外心，故D正確;

故選：BD.

10.己知定義在R上的函數/(x),g(x),其導函數分別為/'(x),g'(x),/(l-x)=6-g,(l-x),

/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x+2)為奇函數，則()

A.g(x)的圖象關于x=l對稱

B.g'(x+6)=g'(x)

C.〃6)=/'(2)

D./(2021)+/(2023)=12

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根據條件分析出g(x)的周期性和對稱性，再得到/(x)的周期性，根據函數性質、簡單復合函

數求導逐個判斷即可得結果.

f(l-x)=6-gr(l-x)

【詳解】由題意可得＜、4、，兩式相減可得g'(l+x)=—g'(l—X)①,

[/(I-x)=6+g'(l+x)

所以g(l+x)=g(l—x)+C,令X=O,可得C=o,

所以g(l+x)=g(l—x),

所以g(x)的圖象關于x=l對稱，故A正確;

因為gQ+2)為奇函數，所以g(x)關于(2,0)中心對稱，

所以g(x)+g(4-x)=0②，②式兩邊對x求導可得g<x)=g[4-x),

結合8'(1+》)=-8’(1一》)，可得：g'(x)=-g'(2-x)

所以g'(4—x)=-g'(2-x),令4—x=/,可得：g'(/)=—g'?—2),

所以g")=g"—4)即g'G)=g'(t+4),故B錯，

因為/(x)=6—g'(x),可知/(x)也是周期為4的周期函數,

即/(x+4)=/(x),兩邊求導可得/'(x+4)=/'(x),所以廣(6)=4(2),故C正確;

/⑴是周期為4的周期函數，所以/(2021)+/(2023)=/⑴+/(3),

因為8'(1+》)=一8’(1一勸,令x=0,則g")=-g'(l),即g'⑴=0,

又g'?)=-g'。—2),所以g，(—l)=-g，(l)=0,又因為g'(x)是周期為4的周期函數，

"⑴=6—g'(l)=6

貝Ug'(3)=g'(-L)=0,由/(x)=6—g'(x)可得::“二，

[/⑶=6-g(3)=6

所以/(D+/(3)=12,所以/(2021)+/(2023)=12,D正確.

故選：ACD

11.已知V45C中，ABLBC,AB=BC=2,E,尸分別在線段A4,C4上，且前=加,

CF=ACA(^^(0,1)).現將△為￡尸沿￡尸折起，使二面角Z—EE—C的大小為a(ae(0/)).以下命

題正確的是()

A.若4=工，a=-,則點尸到平面48C的距離為也

232

B.存在2使得四棱錐/-8C尸￡有外接球

C.若4則棱錐尸-ZEB體積的最大值為3

381

712

D.若&=一,三棱錐Z-AER的外接球的半徑取得最小值時，2=-

23

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,由線面平行將點尸到平面48。的距離轉化成點E到平面48c的距離即可求解，對于

B,通過四邊形8CFE沒有外接圓即可判斷，對于C,確定/瓦BE,E尸的長度，結合體積公式及基本不等

式即可判斷，對于D,補全長方體即可判斷.

【詳解】BE=ABA^CF=2G4(2e(0,l)),易知斯||5C,(Z平面/5C,8Cu平面48C,

易知￡尸〃面48。

故點F到平面ABC的距離為即為點E到平面ABC的距離，

因為所以ZBLEE,所以EFLBE,EF上AE,

所以NBEA為二面角A-EF-C的平面角,

又AE,BE為平面ABE內兩條相交直線，

所以所，平面4BE,

所以5CL平面又8c在平面48C內，

所以平面ABC±平面ABE,

所以E到平面ABC的距離即為E到48,

jJT7T

A選項：2=-,?=-,即BE=AE=1,NBEA=—,三角形等邊三角形,

233

可得：E到的距離為lxsin60°=也，故A正確；

2

B選項：由于直角梯形EEC8不可能共圓，所以四棱錐/-8CFS'無外接球，所以B錯誤;

C選項：由題意可知8￡=2彳，AE=2—22,EF=2-2A,sin乙4EB=a

AFR,

VrF—ALD~—RS\Y/ABR匕FxEF=/—AExBExsinAAEBxEF,

3o

=122（2-22）（2-22）sinZ^E5,

3

4/1+2—2/1+2—2A64

由基本不等式可知：42(2-22)(2-22)<

327

當且僅當44=2—24=2—24,即2=工時取得最大值，

3

所以VF^AEB=-x22(2-22)(2-22)sinNAEB<—sinZAEB,

681

所以當4=1,sinNZE8=a=四時，體積取到最大值嶼，故正確；

3281

D選項：由題意可知8￡=2彳，AE=2-2A,EF=2-2入,

TT

a=—,也即跳;助,及4兩兩垂直，

2

可以依次構造長方體，長方體的體對角線即為外接球的直徑，設外接球半徑為「，

則(2r)2=422+2(2-22)2=1222-162+8,2e(0,l),

所以4=2時，2r取得最小值城，此時%m=45,所以D正確.

333

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖，在正三棱柱ABC-&B。］中，AB=1,AAX=2,。為"8的中點，則異面直線/d與G。

【答案】叵##二屈

44

【解析】

UUUI______,

【分析】以/為坐標原點，建立空間直角坐標系N-盯z,求得向量48和C⑷的坐標，結合向量的夾角公

式，即可求解.

【詳解】以/為坐標原點，在平面/3C內作垂直于/C的直線4r為x軸，/C為y軸，41為z軸，建立

空間直角坐標系/-孫z,如圖所示:

、/ni、

，10,G(0,1,2),D三,5,1，

277

—(431)

所以二2,

I22

5

AXBCAD2_Vio

所以COS4B，G。=

祠印后行-4

則直線4B與CQ所成角的余弦值為邊°,

4

故答案為：叵.

4

【解析】

【分析】由倍角公式和輔助角公式可得6套q-sin?cosq-@=sin億-a],由題意

2222U)

7T

NAOB=——a,再由三角函數的定義即可求sinNZ05.

3

【詳解】?.?5P,-|j,.-.|(95|=i,.?.圓o的半徑為1.

又忸q=i,.?.△Boe為等邊三角形.

7T

/AOB=——a,且。為銳角.

3

a.aaGx1+C0S6Z1.V3

c2os---sin—cos----——sma----

22222

=sinZAOB.

3

由三角函數的定義可得，sin乙408二(

3

故答案為：一.

5

【點睛】本題考查三角函數的定義，倍角公式和輔助角公式，公式的熟練運用是解決問題的關鍵.

14.曲線y=|lnx|在臺值,外)兩點處的切線分別為4，4，且/J/2，貝!1苞々=；若

4,4交點的橫坐標為工3,則占退+X2X3=.

【答案】①.12

【解析】

【分析】根據對數的運算性質化簡函數的解析式，結合導數的幾何意義、互相垂直的兩直線的斜率的關系

分類討論進行求解即可.

—,x>1

Inx,x>1x

【詳解】由y=|lnx[=<=>y=<

-lnx,0<x<1

—,0<x<1

X

不妨設西</，切線4，4的斜率分別為左，左2，

,1,1,,1

當lWx<X時，則有左二一,k2=—,止匕時《左2=----〉0，顯然左1左2。一1，

X]x2x1x2

因此/］，，2不成立，不符合題意;

當時，則有左i=-----,左2二----，止匕時卜"=>0,

一再x2XxX2

顯然左左2。-1，因此/1，，2不成立，不符合題意;

,1

當0<玉<1?x2時，則有卜1=-----左2二一，止匕時左左2=--------<0，

X\?^2

由4_L，2可得％的二一1n再%2-1，

此時切線/r4的切線方程分別為：V+lnX]=—}(x—xj,y-lnx2=-^-(x-x2),

y+In%]=----(x-)

X]22

兩個方程聯立,=>x=---

再+x2

y-lnx2=-(x-x2)芭+%

因此須％3+X2X3=%3(X1+%2)------------(西+12)=2,

JVjI>^2

故答案為：1；2

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用對數運算性質化簡函數的解析式，利用兩直線垂直的斜率之間的

關系進行求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟.

15.已知V48c的面積為20JL。為邊8c的中點，OA=5,OA-OB=2Q-

(1)求8c的長；

(2)求角C的正弦值.

【答案】(1)16

(2)出

86

【解析】

【分析】⑴根據三角形面積及向量數量積可知tanNZ08,進而可得回與|8C|；

(2)在△/OC中，用余弦定理可知|ZC|,再由正弦定理可知角C的正弦值.

【小問1詳解】

由已知。為邊5c的中點，

所以S"c==21。邱也AAOB=20G,

即|04卜|0asinNZ08=20百，

又以礪=|。43卜（：054408=20,

則121144。5=百，

JT

即NAOB=-,

3

又如=5

則33|=20,

gp|O5|=8,\BC\=2\OB\=16；

【小問2詳解】

由⑴得NN05=],|。。|=|。8|=8,

則ZAOC=—,

3

在AAOC中，由余弦定理可知\ACf=\OAf+|<9C|2-2\OA\-\OC\-COSZAOC,

91

即|NC|=25+64+2x5x8x]=129,

則|zc|=Ji藥，

又由正弦定理可知=—此一，

sinZCsinZAOC

則smNC104；iC5A/43.

V12986

16.如圖，三棱臺/8C—44G中，V4SC是正三角形，4力，平面NBC,AB=2AlA=2AlC1=4,

M,N分別為棱48,用8的中點.

c,

4

B

（1）證明：平面MCN；

（2）求直線qc與平面MCN所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）先應用線面垂直判定定理得出CM，平面N/AB],再應用線面垂直性質得出線線垂直，即可

證明線面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，應用空間向量法求線面角正弦值即可.

【小問1詳解】

因為V45C是正三角形，〃為48中點，所以CAU4B,

因為平面48C,CMu平面ABC,所以CM，2/,

又4ZnZ8=444ABu平面A[ABB[,

所以CM平面

又因為用8匚平面44851,所以

連接AB-易得AB[=B]B=2及,

所以幺4=AB2+BR,所以ABl1BXB,

又因為45"/〃N,所以"N

因為2WnCN=M,TW,CMU平面MCN,

所以平面MCN.

【小問2詳解】

取/c中點。，連接3QG。，易知。民。c,oq三條直線兩兩垂直，

以。為坐標原點，O8,OC,OG所在直線分別為x,丹z軸建立空間直角坐標系,

則4(73,-1,2),3(26,0,0),2(0,2,0),G(0,0,2),

由（1）知平面MCN的一個法向量為瓦^=（百,1,—2）,又*=（0,2,—2）,

所以kos5I5，Gc|耶?留63

2萬2行―4

3

所以直線GC與平面MCN所成的角的正弦值為“

17.已知數列｛%｝和｛"｝滿足。］=2,by—1,磯=245eN*),

4+,+$+…+：…+T(〃eN)

（1）求a“與打；

六一，〃為奇數

（2）記數列｛c“｝的前〃項和為北，且c"="二若對“eN*，與“之左恒成立，求上的取

-上，〃為偶數

值范圍.

【答案】（1）%=2",bn=n；

【解析】

【分析】（1）由等比數列求得4,對4+工62+,4+-+1。=。+1—1，寫出〃—1時等式，兩式相減確

23n

定｛4｝是常數列，從而可得4;

n

（2）對石〃中奇數項與偶數項分別求和，再相加得石〃，用作差法證明區〃｝是遞增數列，最小值為4,從

而易得上的范圍.

【小問1詳解】

a”+i=2%，q=2,｛%｝是等比數列,公比為2,所以4=2”,

?；許+(&+-"+-bn=bn+l-1,

23n

:飛+"+"+…+」7如="T，

23n-1

兩式相減得2+i—%=-bn，二”

所以4=1,即

n

【小問2詳解】

1

由己知，”為奇數時，cn=-——=

帥“+2〃(〃+2)2n〃+2

1「小1、/I1、z11、■.〃

C1+C3+…+C2“-1=-[(l--)+(--T)+---+(-~7--~7)]="~7，

23352〃-12〃+12〃+1

〃為偶數時，％=一—=—[=一(;)”,

1111___1_

則+q+…+c=-(-)2-(-)4-------(-)2"=-----------j-

2n3x4“-3

222i--

4

〃1

T[“=(C]+C3+…+。2*一1)+(。2+。4+…+。2")=-----；+-1—一，

2〃+13x43

]T—]T----〃--+--1---1------1-----------n-----------1----------------1----------------1--

2(”+1)2“2〃+33x4"M2〃+13x4"(2〃+1)(2〃+3)4向'

.a

4向=(1+3廣=1+C；M?3+C3?32+…21+C*?3+C3?32=l+3(〃+l)+5〃(〃+l)

9o15、

=—n2H----n-\-4>4n+8zz+4(V—n>—n),

2222

J4〃+i〉4/+8〃+3=(2n+1)(2〃+3)…>0,

??^2(n+l)>T2n,即區〃｝是遞增數列，

所以｛&｝中最小值為％=§+五—§二五'

對〃￡N*，T2n2k恒成立，則左<—.

18.如圖，四棱錐P—4BCD的底面48CO為正方形，E,尸分別為P4,尸。的中點，且平面尸平

面BEF.

(1)證明：PA=PC；

(2)若PB=，當四棱錐P-4BC。的體積最大時，求平面尸48與平面BEE的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵7歷

66

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的性質定理和線