2024-2025學年河北省廊坊市霸州五中八年級（下）開學數學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列運算正確的是（）

A.a2-a5=a10B.（a2）3=a6C.（3a/?）2=3a2b2D.a2+a2=2a4

2.世界上最小的開花結果植物是澳大利亞的出水浮萍，這種植物的果實像一個微小的無花果，質量只有

0.0000000076克，將數0.0000000076用科學記數法表示為（）

A.7.6x10-9B.7.6x10~8C.7.6x109D.7.6x108

3.第33屆夏季奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，下列巴黎奧運會的項目圖標

中，是軸對稱圖形的是（）

4.若正多邊形的一個外角是60。，則這個正多邊形的邊數是（）.

A.4B.5C.6D.7

5.如圖，在△ABC中，乙4=60度，點。，E分別在A8,AC上，貝U/1+N2的大小為

多少度（）

A.140

B.190

C.320

D.240

6.化簡+(x—g)的結果為()

Ax+2n%—2

A.——B.——D.5

XXx—2

7.如圖，在平面直角坐標系中，C（4,4）,點8,A分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，AACB=90°,則

0A+0B等于（）

C.10

8.如圖，在AdBC中，已知B4=BC,Z5=120°,A8的垂直平分線。E交AC于點。,若AC=6cm,則

AD=（）cm.

D.2.8

9.如圖，已知OC平分乙4。8,P是OC上一點，PH10B于H,若PH=7,則點P

與射線OA上某一點連線的長度可以是（

C.5

D.6

10.《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠

的城市，所需時間比規定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規定時間少2天，已知快馬的速度

是慢馬的？倍，求規定時間.設規定時間為x天，則下列分式方程正確的是（）

A8005800800=5800

A?0，'布B，x+22*

8002800c8005800

=D-^=2X^2

x-1-5x+2

11.如圖，是尺規作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應角相等

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

12.如圖，在△ZBC中，AB=AC,乙4=90。，點片是邊A5上的兩個定點，點N分別是邊AC,

5C上的兩個動點.當四邊形OEMN的周長最小時，乙DNM+4EMN的大小是

()

A.45°B.90°C.75°D.135°

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。

13.如圖所示，在發射運載火箭時，運載火箭的發射架中有許多三角形，這樣做的理由是.

14.一個三角形的三邊均為整數，其中兩邊長為2和3,則第三邊的最大值為.

15.如圖所示紙飛機模型中之△ADE,若Nb4C=30。，ZB=70°,則

乙DEA=

E

D

16.若工+工=2,則:晨絲

xy3%+5%y+3y

三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

解方程:

23

⑴小市;

x-81

⑵————=8.

x—77—X

18.(本小題8分)

分解因式:

(1)4x(%—y)2—12(%—y)3；

(2)9a2-24ab+16b2；

(3)ma2—18ma—40m；

(4)3Gt2-27.

19.(本小題8分)

如圖，在平面直角坐標系中有一個△力BC,頂點力(一1,3),5(2,0),C(-3,-l).

(1)畫出△力BC關于〉軸的對稱圖形△4/停1(不寫畫法);

(2)按要求填空:

點A關于x軸對稱的點坐標為，點B關于y軸對稱的點坐標為，點C關于直線x=—1對稱的

點坐標為

(3)若網格上的每個小正方形的邊長為1,則ATIBC的面積是多少.

20.(本小題8分)

如圖，小明在游樂場玩兩層型滑梯，每層樓梯的高度相同(E"="D),都為2米，他想知道左右兩個滑梯

BC和的長度是否相等，于是制定了如下方案：

課題探究兩個滑梯的長度是否相等

測量工具長度為5米的米尺

①測量出線段即的長度

測量步驟

②測量出線段A8的長度

測量數據DF=2米，AB=4米

(1)根據小明的測量方案和數據，判斷兩個滑梯3c和E尸的長度是否相等？并說明理由;

(2)試猜想左右兩個滑梯BC和EF所在直線的位置關系，并加以證明.

21.(本小題8分)

如圖，是A4BC的高，CE是的角平分線，BF是AABC的中線.

(1)若N4C8=50°,^BAD=65°,求N4EC的度數；

(2)若力B=9,ABCF與AB4F的周長差為3,求8C的長.

22.(本小題10分)

科技點亮未來，創新改變生活.某校七年級1班同學參加了學?？萍脊澅荣悾谱髁巳鐖D1所示航天火箭模

型，為了向全校同學宣傳自己的科技作品，用KT板制作了如圖2所示的宣傳版畫，它是由一個三角形，

兩個梯形組成，已知KT板(陰影部分)的尺寸如圖2所示.

(1)用含a、b的代數式表示圖2的KT板模型的總面積(結果需化簡)；

(2)若a+b=7,ab=多求KT板總面積.

4

圖I圖2

23.（本小題10分）

某汽車網站對兩款價格相同，續航里程相同的汽車做了一次評測，一款為燃油車，另一款為純電新能源車.

得到相關數據如下：

燃油車純電新能源車

油箱容積：48升電池容量：90千瓦時

油價：8元/升電價：0.6元/千瓦時

（1）設兩款車的續航里程均為a千米，請用含a的代數式表示燃油車和純電新能源車的每千米行駛費用；

（2）若燃油車每千米行駛費用比純電新能源車多0.55元.

①請分別求出這兩款車的每千米行駛費用；

②若燃油車和純電新能源車每年的其它費用分別為4800元和8100元.問：每年行駛里程超過多少千米時，

新能源車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）

24.（本小題12分）

在ADEF中，DE=DF,點B在EF邊上,且NEBD=60。，C是射線8。上的一個動點（不與點B重合，且

BC*BE）,在射線BE上截取84=BC,連接4C.

（1）當點C在線段8。上時，

①若點C與點。重合，請根據題意補全圖1,并直接寫出線段AE與3尸的數量關系為;

②如圖2,若點C不與點。重合，請證明4E=BF+CD；

（2）當點C在線段8。的延長線上時，用等式表示線段AE,BF,CO之間的數量關系（直接寫出結果，不需

要證明）.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、a2-a5=a7,故該項不正確，不符合題意；

B、.2)3=。6,故該項正確，符合題意；

C、(3aZ?)2=9a2b2,故該項不正確，不符合題意；

D、a2+a2=2a2,故該項不正確，不符合題意；

故選：B.

根據幕的乘方與積的乘方、合并同類項、同底數累的乘法法則進行解題即可.

本題考查事的乘方與積的乘方、合并同類項、同底數塞的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：0.0000000076用科學記數法表示為7.6X10-9.

故選：A.

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為axIO",與較大數的科學記數法不同的是

其所使用的是負指數塞，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為ax10-",其中1<|a|<10,〃為由原數左邊起第一個

不為零的數字前面的0的個數所決定.

3.【答案】C

不是軸對稱圖形，故該選項是錯誤的;

是軸對稱圖形，故該選項是正確的;

D、不是軸對稱圖形，故該選項是錯誤的;

故選：C.

依據軸對稱圖形的定義逐項分析，即可作答.

本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關鍵是熟練掌握軸對稱圖形的定義：平面內，一個圖形沿一條直線折

疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，就叫做軸對稱圖形.

4.【答案】C

【解析】解：設所求正多邊形邊數為小

則60f=360°,

解得n=6.

故正多邊形的邊數是6.

故選：C.

多邊形的外角和等于360。，因為正多邊形的每個外角均相等，故多邊形的外角和又可表示成60々，列方程

可求解.

本題考查了多邊形的外角和求正多邊形的邊數.解題的關鍵是能夠根據多邊形的外角和求多邊形的邊數，

解答時要會根據公式進行正確運算.

5.【答案】D

【解析】解：NA+^ADE=zl,ZX+^AED=N2,

/-A+(Z.71+/-ADE+/-AED')=Z.1+Z.2,

???ZX+乙ADE+乙AED=180°,Z71=60°,

AZ1+Z2=60°+180°=240°.

故選：D.

先根據三角形外角的性質得到Nd+乙4DE=Nl,AA+^AED=Z2,再把兩式相加，根據三角形內角和定

理及N4=60。即可得出答案.

本題考查的是三角形外角的性質及三角形內角和定理，比較簡單.

6.【答案】D

【解析】解：原式=匕+二

XX

x—2x

~x(%+2)(%—2)

1

=%T2-

故選：D.

直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則計算得出答案.

此題主要考查了分式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

7.【答案】A

【解析】過點C作CMly軸于點CN1無軸于點N,證AACM會ABCN,推=即可解決問

題.

本題主要考查了四邊形的內角和，全等三角形的判定與性質等知識，添加輔助線構造全等三角形是解題的

關鍵.

解：如圖，過點C作CMly軸于點。'1無軸于點"，則NCM4=NCNB=90。，

???。(4,4),

CN=CM=4,

???乙MON=乙CNO=Z.CMO=90",

.-.乙MCN=360°-90°-90°-90°=90°,

四邊形MONC是正方形，

ON=OM=CN=CM=4,

???乙ACB=90°,

NACB=乙MCN,

：.AACM=乙BCN,

在AACM和ZkBCN中,

/.CMA=乙CNB

{CM=CN

/.ACM=乙BCN

AM=BN,

.??04+08=04+ON+BN=0/+ON+AM=ON+OM=4+4=8.

故選：A.

8.【答案】A

【解析】解：連接5。，

??,AB的垂直平分線。石交AC于點。，\

??.AD=BD,A^---------------------------------—C

?,?Z-A=Z-ABD,

???BA=BC,乙B=120°,

1

...=ZC=X(180°-120°)=30°,

???乙ABD=30°,

??.Z.CBD=90°,

CD=2BD,

CD=2AD,

??.AC=AD+CD=AD+2AD=3AD,

AC=6cm,

???AD=2cm.

故選：A.

連接BQ,根據線段垂直平分線的性質知△ABO是等腰三角形；然后證明△CDB是直角三角形，利用30度

角所對的直角邊是斜邊的一半即可求得與間的數量關系，最后通過等量代換即可求得AC=3AD,

從而求得線段的長度.

本題考查線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、含30度角的直角三角形.利用含30度角的直角三

角形的性質得出CD=2BD是解題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：過點P作PM1。4于點設點N為。4上某一點，連接PN,

???0c平分N40B,PH1。8于H,

PM=PH=7,

???PN>PM,

.??點P與射線OA上某一點連線的長度可以是8.

故選：B.

過點P作PM104于點設點N為。4上某一點，連接PN,由角平分線的性質推出PM=PH=7,由

垂線段最短得到PN>PM,即可得到答案.

本題考查角平分線的性質，垂線段最短，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵.

10.【答案】A

【解析】解：由題意可得，

800_5800

右一X力,

故選：A.

根據題意可知慢馬的速度為噌，快馬的速度為世，再根據快馬的速度是慢馬的目倍，即可列出相應的方

x+1x-22

程，本題得以解決.

本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程.

11.【答案】D

【解析】解：如圖，由作圖可知，BA=CF.

OA=CE

在4AOB^OACEF中，OB=EF,

.AB=CF

:.NAOB義KCEF(SSS),

故選：D.

利用作圖的基本原理，得到線段的關系證明即可.

本題考查了畫一個角等于已知角的基本作圖，正確理解作圖的基本原理是解題的關鍵.

12.【答案】B

【解析】解：作點。關于BC的對稱點。，作點E關于AC的對稱點E',連接D'E'分別交AC,BC于點

M',N',連接ME',ND',EM',DN',

則M'E=M'E',N'D=N'D',

???四邊形OEMN的周長=DE+M'E+M'N'+N'D=DE+D'E',

???DE長固定，

此時四邊形OEMN的周長最小，止匕時NDNM+乙EMN=乙DN'M'+乙EM'N',

由對稱性和三角形外角性質可知：乙DN'M'=AN'DD'+AN'D'D=2乙N'D'D,/.EM'N'=LM'EE'+

乙M'E'E=24M'E'E,

.-?乙DN'M'+乙EM'N'=2乙N'D'D+2乙M'E'E=2(180°-乙D'DE'),

設D。與8c交于點”，

vAB=AC,N力=90°,

???乙BDH=45°,

乙D'DE'=180°-45°=135°,

???乙DN'M'+乙EM'N'=2(180°-135°)=90°,

即當四邊形OEMN的周長最小時，乙DNM+NEMN的大小是90。，

故選：B.

作點。關于8C的對稱點。，作點E關于AC的對稱點E',連接D'E'分別交AC,8C于點MlV,連接

ME',ND',EM',DN',推出四邊形。ENN的周長最小時，點M與M'重合，點N與點N'重合，再求出

乙DN'M'+NEM'N'即可解決問題.

本題考查軸對稱-對短路線問題，解答中涉及兩點之間線段最短，三角形內角和定理，三角形外角性質，等

腰三角形的性質，能用一條線段表示出三條線段的和的最小值，并確定最小時N的位置是解題的關

鍵.

13.【答案】三角形具有穩定性

【解析】解：運載火箭的發射架中有許多三角形，這樣做的理由是三角形具有穩定性.

故答案為：三角形具有穩定性.

三角形具有穩定性，由此即可得到答案.

本題考查三角形的穩定性，關鍵是掌握三角形具有穩定性.

14.【答案】4

【解析】解：設三角形的第三邊長是無，

由三角形三邊關系定理得到：3—2<久<3+2,

1<x<5,

???三角形三邊均為整數，

???三角形第三邊的最大值為4.

故答案為：4.

三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，設三角形的第三邊長是x,由此得到l<x<

5,即可得到答案.

本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理.

15.【答案】800

【解析】解：???ABAC=30°,ZB=70°,

ZXCB=180°-ABAC一乙B=80°,

又,:XABC沿4ADE,

A^DEA=AACB=80°,

故答案為：80°.

根據三角形內角和定理可得N4CB的度數，再根據全等三角形的性質可得NDE力的度數.

本題考查了全等三角形的性質等，解題關鍵是能夠熟練運用全等三角形的性質.

16.【答案】4

【解析】解：由￡+"=2,得x+y=2孫,

rjt.i2x—xy+2y_2(x+y)—xy_2-2xy—xy_3xy_3

、3%+5xy+3y3(x+y)+5xy3-2xy+5xyllxy11'

故答案為白

由:+：=2,得久+y=2xy,整體代入所求的式子化簡即可.

本題考查了代數式求值，解題關鍵是整體代入思想.

17.【答案】解：(1)-=-!?>

',%%+2

2(%+2)=3x,

2%+4=3x,

x=4,

經檢驗，x=4是該方程的解；

(2)=->=8,

、/x—77—x

%—8+1=8(%—7),

x—7=8x—56,

7%=49,

%=7,

經檢驗，x=7是該方程的增根，

???原方程無解.

【解析】(1)根據解分式方程的步驟求解即可；

(2)根據解分式方程的步驟求解即可.

本題考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關鍵.

18.【答案】解：(l)4x(x—y)2—12(久—丫尸

=4(x—y)2[x—3(x—y)]

=4(%—y)2(x—3x+y)

=4(x-y)2(-2x+y)；

⑵9a2-24ab+16b2

=(3a-4b)2；

(3)ma2—18ma—40m

=m(a2—18a—40)

=m(a2-18a+81-121)

=m[(a—9)2—ll2]

=m(a-9+ll)(ti-9-ll)

=m(a+2)(a—20)；

(4)3a2-27

=3(a2-9)

=3((1+3)(a—3).

【解析】根據因式分解的步驟進行分解.

本題考查了因式分解，掌握因式分解是解題的關鍵.

19.【答案】(-1,—3)(-2,0)(1,-1)

【解析】解：(1)如圖，AaiBiCi即為所求.

(2)點A關于x軸對稱的點坐標為(一1,—3),點2關于y軸對稱的點坐標為(-2,0),點C關于直線x=-1對

稱的點坐標為(1,一1).

故答案為：(-L-3)；(-2,0)；(1,-1).

(3)A48c的面積為:x(3+5)x4-1x5xl-|x3x3=16-1-^=9.

(1)根據軸對稱的性質作圖即可.

(2)根據軸對稱的性質可得答案.

(3)利用割補法求三角形的面積即可.

本題考查作圖-軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵.

20.【答案】解：(1)BC=EF.理由如下：

由題意可知，4CAB=乙EDF=90。，DF=DH=AC=2米，OE=2X2=5=AB.

在AABC和ADEF中，

AB=DE

/.CAB=/.FDE,

AC=DF

：.^ABC^^DEF(SAS),

：.BC=EF,即BC和EF的長相等；

(2)BC1EF.

證明：如圖，延長BC交EF于點G.

vAABC=LDEF,

???Z-BCA=乙EFD.

由題意得NBAC=90°,

Z.CBA+^BCA=90\

??.匕CBA+匕EFD=90°,

??.Z.BGF=90°,

???BC1EF.

【解析】(1)由已知條件得出DF=DH=4C,DE=AB,從而得證△4BC咨△DEF,根據全等三角形的對

應邊相等得證；

⑵由AABC之ADEF,根據全等三角形的對應角相等得NBC4=再根據直角三角形兩銳角互余，

從而得證.

本題考查了全等三角形的應用，找出已知條件，根據已知選擇方法得出全等三角形是解本題的關鍵.

21.【答案】解：(1)；4D是A/IBC的高，

.-.AADB=90°,

???Z.BAD=65°,

???4ABD=90°-65°=25°,

???CE是AaCB的角平分線，乙4cB=50。，

1

???乙ECB=^ACB=25°,

/.AEC=Z-ABD+乙ECB=25°+25°=50°；

(2)???F是AC中點，

??.AF=FC,

???△BCF與工B4F的周長差為3,

(BC+CF+BF)一(AB+”+幽=3,

???AB—BC=3,

??,AB=9,

BC=12.

【解析】（1）根據三角形的高的概念得到N2DB=90。，根據直角三角形的性質求出NABD,根據角平分線

的定義求出NECB,根據三角形的外角性質計算即可；

（2）根據三角形的中線的概念得到4F=FC,根據三角形的周長公式計算，得到答案.

本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點向對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段

叫做三角形的高；三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間

的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

22.【答案】解：（1）陰影部分的面積為2ab+Xb+3b）x|b+[b+6a—26）Xa=3a2+362；

45

（2）va+Z）=7,ab=―,

???3a2+3b2

=3（小+爐）

=3[（a+b）2—2ab]

45

=3x（49-R

_159

=

【解析】（1）根據三角形、梯形面積的計算方法進行計算即可；

（2）將3a2+3b2化成3[Q+b）2-2ah],再代入計算即可.

本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵.

23.【答案】解：（1）燃油車每千米行駛費用為等=等（元），純電新能源車每千米行駛費用為型魯=

三、

小54兀,），

答：燃油車每千米行駛費用為期元，純電新能源車每千米行駛費用為舊元；

CLd

（2）①由題意得：--—=0.55,

aa

解得：a=600,

經檢驗，a=600是分式方程的解，且符合題意，

???溪=。64（元），篇=0Q9（元），

答：燃油車每千米行駛費用為664元，純電新能源車每千米行駛費用為0.09元；

②設每年行駛里程為x千米時，買新能源車的年費用更低，

由題意得：0.64x+4800>0.09久+8100,

解得：x>6000,

答：當每年行駛里程大于6000千米時，買新能源車的年費用更低.

【解析】本題考查分式方程的應用、列代數式以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）正確列出

代數式；（2）①找準等量關系，正確列出分式方程；②找出數量關系，正確列出一元一次不等式.

（1）根據表中的信息，可以表示出燃油車和純電新能源車的每千米行駛費用；

（2）①根據燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解決

問題；

②設每年行駛里程為x『米時，由年費用=年行駛費用+年其它費用，列出--元-次不等式，解不等式即

可.

24.【答案】解：（1）①ZE=BF