熱點03函數的概念與性質

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2024年分段函數、函數的奇偶性

2023年函數的值域，函數奇偶性的判斷、函數與方函數的性質應用、函數與方程的應用

程的應用

2022年抽象函數的性質應用、函數的定義域及其求

法

熱點題型解讀

堂5函教奇偶性的性質與判斷題型1函雌定義域法

題型6單調性與胡禺崢合題年函數碑域

函數的概念與性質

理7抽象函數及其應用題型3函數單調性的性質與判斷

題型8函數恒成立問題題型4函數的最值及其幾何意義

題型1函數的定義域及其求法

!求函數的定義域應關注三點

；①要明確使各函數表達式有意義的條件是什么，函數有意義的準則一般有：（i）分式的分母不為0；（ii）偶

次根式的被開方數非負；（iii）y=x。要求xWO.

i②不對解析式化簡變形，以免定義域變化.

!③當一個函數由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的

公共部分的集合.

I_____________________________________________________________________

1.（2022?上海）下列函數定義域為R的是（）

_i_

A.y=x^B.y=x~{C.y=x^D.y=x^

2.(2024?松江區校級模擬)若函數/(無)=獷/+2加+3(加eZ)的定義域為R,S.f(x+V)=f(-x-V),則實數a

的值為—.

3.(2021?上海)已知函數/(x)=J|x+a|-a-x.

(1)若°=1,求函數的定義域；

(2)若若/(ax)=a有2個不同實數根，求。的取值范圍；

(3)是否存在實數a,使得函數/'(尤)在定義域內具有單調性？若存在，求出。的取值范圍.

題型2函數的值域

一區T

求函數值域的方法

⑴觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函數類”值域的基本方法，即把函數通過配方轉化為能直接看出其值域的方j

法.

(3)圖象法：利用已知一次函數、二次函數或反比例函數的圖象寫出函數的值域.

(4)分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域.

(5)換元法：對于一些無理函數(如y=ax±6士Jcx±力,通過換元把它們轉化為有理函數，然后利用有理函數：

求值域的方法，間接地求解原函數的值域.

1.(2023?上海)已知函數/(幻=11'運°，,則函數/〈X)的值域為_______.

[2%,x>0

4r2

2.(2024?嘉定區校級模擬)已知函數〃幻=々_,則對任意實數》,函數的值域是()

2x+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

3.(2024?嘉定區二模)函數>=|1-1|+|%-4|的值域為.

4.(2024?松江區校級模擬)函數/(x)=|x-a|+cosx在[0,6]上的值域為[-1,包],則2的值為_______.

2a

5.(2024?浦東新區校級模擬)設函數/(%)的定義域為。，若函數/(x)滿足條件：存在[a,6]=。，使/(%)

在[a,可上的值域為專，芻，則稱/(x)為“倍縮函數”，若函數”幻=1喝(2*+，)為“倍縮函數”，貝卜的

范圍為.

6.(2022?上海)設函數/(x)滿足〃x)=/(」一)對任意xe[0,+8)都成立，其值域是人,已知對任何滿

足上述條件的/(x)都有｛yIy=/(x),0?(研=Af,貝ua的取值范圍為.

題型3函數單調性的性質與判斷

一④

1.求函數的單調區間

(1)求函數單調區間時，若所給函數是常見的一次函數、二次函數、反比例函數等，可根據其單調性寫出函

數的單調區間，若所給函數不是上述函數但函數圖象容易作出，可作出其圖象，根據圖象寫出其單調區間.

(2)一個函數出現兩個或兩個以上的單調區間時，不能用“U”連接兩個單調區間，而要用“和”連接或用

”分開.

2.由函數單調性求參數范圍的處理方法

(1)由函數解析式求參數

若為二次函數——判斷開口方向與對稱軸——利用單調性確定參數滿足的條件.

若為一次函數---由一次項系數的正負決定單調性.

若為分段函數——數形結合，每一段的函數的單調性均要考慮，并注意臨界值的大小.探求參數滿足的條|

件.

(2)當函數危)的解析式未知時，欲求解不等式，可以依據函數單調性的定義和性質，將符號去掉，列

出關于自變量的不等式(組)，然后求解，此時注意函數的定義域.

3.利用定義證明函數單調性的步驟

⑴取值并規定大?。涸O修，切是該區間內的任意兩個值，且Xi<X2.

(2)作差變形：作差八Xi)-/(X2)(或次X2)-/(Xi)),并通過因式分解、通分、配方、有理化等方法，轉化為易判

斷正負的關系式.

(3)定號：確定於1)一於2)(或加2)—/1))的符號，當符號不確定時，進行分類討論.

(4)結論：根據定義確定單調性.

1.(2024?浦東新區校級模擬)已知函數〃x)=歷上，則/^2)+/(工)<0的解集是________________.

2-x

2.(2024?閔行區校級三模)設f>0,函數>=〃x)的定義域為R.若對滿足超-西〉f的任意網、“均

有〃龍2)-〃再)>一則稱函數y=〃x)具有“尸⑺性質

(1)在下述條件下，分別判斷函數y=〃x)是否具有尸(2)性質，并說明理由；

①；

②/W=10sin2x；

(2)已知/(%)="3,且函數y=/(x)具有P(1)性質，求實數a的取值范圍;

(3)證明："函數y=/(x)-x為增函數”是“對任意,>0,函數y=/(x)均具有尸⑺性質”的充要條件.

3.(2024?寶山區校級四模)已知/、8為實數集尺的非空子集，若存在函數了=/(無)且滿足如下條件：①

y=/(%)定義域為A時，值域為B；②對任意再、x,e/,玉片％，均有八%)一/區)>o.則稱/(x)是集

項-x2

合N到集合8的一個“完美對應”.

(1)用初等函數構造區間［0,1)到區間［0,+8)的一個完美對應/(x);

(2)求證：整數集Z到有理數集。之間不存在完美對應；

(3)^f(x)=x3-kx2+l,keR,且〃x)是某區間/到區間［-3,2］的一個完美對應，求左的取值范圍.

題型4函數的最值及其幾何意義

1.圖象法求函數取值的一般步驟

2.利用單調性求最值的一般步驟

①判斷函數的單調性.②利用單調性寫出最值.

(2)函數的最值與單調性的關系

*①若函數在閉區間［a,切上單調遞減，則八x)在［a,6］上的最大值為/(a),最小值為{6).

!②若函數在閉區間［。，6］上單調遞增，則人x)在［a,6］上的最大值為人多，最小值為Ha).

II

；③求最值時一定要注意所給區間的開閉，若是開區間，則不一定有最大(小)值.

1.(2024?靜安區二模)已知實數ae(0,6),記=.若函數>=/(x)在區間［0,2］上的最小值

為-2,貝Ua的值為—.

2.(2024?青浦區校級模擬)已知七，七是實數，滿足x；+知-4占％=8,當|x"取得最大值時，

\x{+x2\=.

3.(2024?松江區二模)已知函數/(x)=|logM，若/(再)=/(9)(再/修),則4占十3的最小值為.

4.(2024?松江區二模)已知0<a<2,函數了=1(°\2"+4"+1，2,若該函數存在最小值，則實數°的

12aI,x>2-

取值范圍是.

5.(2024?金山區二模)已知函數了=/(無)與了=8(幻有相同的定義域。.若存在常數a(aeR),使得對于

任意的花€。，都存在馬?。，滿足/(xj+g(x2)=a，則稱函數了=g(x)是函數y=/(x)關于a的"S函

數”.

(1)若"x)=/〃x,g(x)=",試判斷函數y=g(x)是否是y=/(x)關于0的“S函數”，并說明理由；

(2)若函數y=/(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數y=g(x)是y=/(x)關于。的“S函數”，

7=/(x)又是y=g(x)關于。的"S函數"，證明：［/(x)］加“+［g(x)］max=a；

(3)已知,g(x)=&,其定義域均為［0,1］.給定正實數t,若存在唯一的a,使得y=g(x)

是y=/(x)關于0的“S函數”，求r的所有可能值.

題型5函數奇偶性的性質與判斷

i.判斷函數奇偶性的方法

（1）定義法：

既是奇函數

.又是偶函數,

（2）圖象法:

危關于原點對稱）~d/x）為奇函數）

的

圖

象

-（關于y軸對稱）——為偶函數）

2.巧用奇、偶函數的圖象求解問題

（1）依據：奇函數o圖象關于原點對稱，偶函數=圖象關于了軸對稱.

（2）求解：根據奇、偶函數圖象的對稱性可以解決諸如求值、比較大小及解不等式問題.

3.利用奇偶性求值的常見類型

（1）求參數值：若解析式含參數，則根據人一》）=一心）或人一天）=/3）列式，比較系數利用待定系數法求解;

若定義域含參數，則根據定義域關于原點對稱，利用區間的端點和為0求參數.

（2）求函數值：利用八一X）=—/）或y（—x）=/（x）求解，有時需要構造奇函數或偶函數以便于求值.

4.用奇偶性求解析式的步驟：

如果已知函數的奇偶性和一個區間［a,6］上的解析式，求關于原點的對稱區間［—6,—0上的解析式，其

解決思路為

（1）“求誰設誰”，即在哪個區間上求解析式，x就應在哪個區間上設.

（2）利用已知區間的解析式進行代入.

（3）利用.HX）的奇偶性寫出一八一x）或八一x）,從而解出段）.

1.（2023?上海）下列函數是偶函數的是（）

A.j=sinxB.y=cosxC.y-x3D.y-2A

2.（2024?浦東新區三模）已知g（x）」Y+2'-LG。為偶函數，若/（a）=11）則.=

3.（2024?閔行區校級二模）已知函數”外=心2，+占是定義域為R的偶函數.

（1）求實數a的值;

3斤2]

（2）若對任意都有成立，求實數上的取值范圍.

k

4.（2023?上海）已知a,ceR,函數y（x）=x-+（3"+l）x+c.

x+a

（1）若a=0,求函數的定義域，并判斷是否存在c使得〃x）是奇函數，說明理由；

（2）若函數過點（1,3）,且函數/（x）與x軸負半軸有兩個不同交點，求此時c的值和。的取值范圍.

題型6單調性與奇偶性綜合

!0000!

1.比較大小的求解策略

（D若自變量在同一個單調區間上，直接利用函數的單調性比較大?。?/p>

（2）若自變量不在同一個單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一個單調區間上，然后利用單

調性比較大小.

II

!2.利用函數奇偶性與單調性解不等式，一般有兩類

（1）利用圖象解不等式.

（2）轉化為簡單不等式求解.

i①利用已知條件，結合函數的奇偶性，把已知不等式轉化為或加1）的2）的形式.

i②根據奇函數在對稱區間上的單調性一致，偶函數在對稱區間上的單調性相反，去掉不等式中的轉

II

!化為簡單不等式（組）求解.

特別提醒：列不等式（組）時不要忘掉函數的定義域.

i.（2024?上海）一巨風雷藪7G屈蓬芟題貳至爻藁吝高={/京彘7;/能;，在

使得1]的所有/（X）中，下列成立的是（）

A.存在/（X）是偶函數

B.存在〃x)在x=2處取最大值

c.存在〃x)為嚴格增函數

D.存在/(X)在X=-1處取到極小值

2.(2024?黃浦區校級模擬)已知/(x)是定義在R上的偶函數，若\/再、x2e[0,+>?)且毛/3時，

)(再)一/(%)>2a+%)恒成立，且/(2)=8,則滿足/(川+〃*2(/+加)2的實數機的取值范圍為()

再f

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

3.(2024?長寧區二模)已知函數夕=/(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，/(x)=log2x,若f(a)

>1,則實數a的取值范圍為.

題型7抽象函數及其應用

7：7亞f?蒲家'新應接級模板：百好函數/(；)i一:援艾域為且/(x)g(y)-7^氤B=f(x-y),

g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y),g(0)w0，則下列結論正確的是()

①若/(1)+g(1)=1,則/(2024)-g(2024)=l；

②若f(1)-g(1)=1,則〃2024)+g(2024)=l.

A.②B.①C.①②D.都不正確

2.(2024?寶山區校級四模)已知函數y=/(x)具有以下的性質：對于任意實數。和6,都有

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)-f(b),則以下選項中，不可能是7(1)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2024?黃浦區校級模擬)已知函數/(x)的定義域為R,f(xy)=y1f(x)+x2f(7),則下列說法正確的

有.

①/(0)=0；

②f(1)=0；

③/(x)是偶函數；

④x=0為/(x)的極小值點

4.(2020?上海)已知非空集合函數y=/(x)的定義域為。，若對任意feN且xe。，不等式

(X+。恒成立，則稱函數/(X)具有力性質.

(1)當/={-1},判斷〃x)=-x、g(x)=2x是否具有/性質；

(2)當/=(0,1),f(x)=x+-,xe[a,+00),若〃x)具有/性質，求0的取值范圍；

(3)當/={-2,m},meZ,若。為整數集且具有/性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的切的

值.

題型8函數恒成立問題

0O日W

1.分離參數法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

(2)a力(X)恒成立蕓/(X)max；

a恒成立Qag/(x)min；

a能成立=a》7(x)min；

aq/(x)能成立=aq(X)max.

2.根據不等式恒成立構造函數轉化成求函數的最值問題，一般需討論參數范圍，借助函數單調性求解.

3.“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等價變換，常見的等價

變換有

對于某一區間/

(l)Vxi,X2^I,Hxi)>g(x2)u：/(x)min>g(x)max.

(2)Vxie71,mX2G/2,y(xi)>g(x2)<^/(x)min>g(x)min.

>

(3)3%1￡/1,Vx2e/2,Xxi)>g(X2)<^A^)maxg(^)max.

1.(2024?黃浦區二模)設函數〃x)=[一]+G+20,-4Vx<0,若>0恒成立，則實數。的取值范圍是

[ax1234-2x+3,0<x<4.

()

A.(l,+8)B.(0,1)c.(^,1)D.(1,1)

2.(2024?閔行區二模)對于任意的項、x2G7?,且％2>0，不等式-西|+|歷々1>〃恒成立，則實數

q的取值范圍為.

3.(2024?楊浦區校級三模)設/wR,若在區間(1,2)上，關于x的不等式2,>」一有意義且能恒成立，貝卜

x+t

的取值范圍為.

4.(2024?浦東新區校級模擬)若存在實數t,對任意的xe[0,s],不等式(2x-f7刀一一工區0恒成

立.則正數s的取值范圍是.

5.（2024?浦東新區校級模擬）已知函數+若對Vxe[-1,+8）,恒成立,

—+2x—a,x20,

則實數4的取值范圍為.

6.（2024?虹口區模擬）若不等式（辦-4），-6）》0對任意的xe（0,+oo）恒成立，則°+振的最小值

為.

7.（2024?寶山區三模）如果y=/（x）（xG[0,1]）同時滿足以下三個條件：

勤⑴=1;

②對任意xe[0,1],/（%）20成立；

③當X12O,X220,X[+X2（l時，總有f（XI）+f（X2）W/（X1+X2）成立，則稱>=/（X）為"理想函

數”.

有下列兩個命題：

命題a：若（X）為"理想函數”，則存在X1，X2€[0,1]且X1<X2，使/"（X1）>/（X2）成立；

命題依若y=/（x）為“理想函數”，則對任意在[0,1],都有f（x）W2x成立.

則下列說法正確的是（）

A.命題a為假命題，命題0為真命題

B.命題a為真命題，命題P為假命題

C.命題a、命題p都是真命題

D.命題a、命題0都是假命題

xx

8.（2024?浦東新區校級模擬）已知函數了=/（無）,x&D,如果存在常數/,對任意滿足網',<,,-\<n

的實數再，々,…，x?_1,x?,其中%,x2,???,,xn&D,都有不等式恒成

z=2

立，則稱函數y=/（x）,是“絕對差有界函數”

（1）函數〃x）=蛆,X》!是“絕對差有界函數”，求常數/的取值范圍；

xe

（2）對于函數（=/（%）,x^[a,b"存在常數左，對任意的項，x2e[a,有"（石）一/（迎）IW無I再一9I

恒成立，求證：函數y=/（x）,X￡[Q,切為“絕對差有界函數”；

71

（3）判斷函數/（x）=xc°s不，°<運1是不是“絕對差有界函數”？說明理由.

0,x=0

9.（2021?上海）已知西，X2ER,若對任意的％-再￡3,/（9）-/（XJGS,則有定義：/（x）是在S關聯

的.

（1）判斷和證明/1（x）=2x-l是否在[0,+GO）關聯？是否有[0,1]關聯？

（2）若/'（X）是在｛3｝關聯的，“X）在xe[0,3）時，f（x）=x2-2x,求解不等式：2g（x）W3.

（3）證明：/（x）是｛1｝關聯的，且是在［0,+oo）關聯的，當且僅當“/（x）在［1,2］是關聯的”.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、填空題

/、/、「lnx,x>0/、

1.（2024?上海徐匯?一模）已知函數>=/（x）,其中/（x）='則/。）=________.

I—1,XSU

2.（2024?上海楊浦?一模）已知函數丁=/+辦+1是偶函數，則實數。的值為.

3.（25-26高三上?上海?單元測試）己知函數>=/（x）,其中〃x）=x（x+左）（x+2后）（x-3左），且/（0）=6,

貝1」斤=.

4.（2024?上海徐匯?一模）設。*€1</（力=》3+35加+6.若函數了=/3是定義在［-0,2"1］上的奇函數,

則Q+6=.

5.（2024?上海寶山?一模）已知見6為實數，且函數》=X2+辦+1,%￡也4］是偶函數，貝.

2\x>0,

6.（2024?上海?三模）若加eR,/（x）=）,則滿足/（加-2”+3）的加的最大值為_____.

—,x<0

［2X

7.（2024?上海?三模）設teR,若在區間（1,2）上，關于x的不等式2,>」一有意義且能恒成立，則/的取

x+t

值范圍為.

Q?e"—+x—1x〉0

27I'八為奇函數，則〃+b+c=_____.

｛x+bx+c-l,x<0

9.（2024?上海靜安?一模）記〃》）=/+（/+62一1卜+/+2仍一/.若函數丫=/（尤）是偶函數，則該函數圖

象與y軸交點的縱坐標的最大值為.

10.（2024?上海青浦?一模）已知函數>=/（x）的定義域為｛-2,-1,1,2｝,值域為｛-2,2｝,則滿足條件的函數

y=/（x）最多有個.

11.（2024?上海嘉定?一模）E^D/（x）=ln（x+l）,g（x）=<j//、,貝Ug（x）>x+2-e的解集為_____.

一可,X<U

12.（2024?上海?模擬預測）若存在實數/,對任意的xe［0,s］,不等式（2天--t）（1--x）40恒成立.則正數

S的取值范圍是.

二、單選題

13.(2024?上海崇明?一模)下列函數中，在其定義域上既是奇函數又是嚴格增函數的是()

A.y=x3B.y=QxC.y=lgxD.y=sinx

—+/7Y+20—4<x<0

2、i二，若〃X)>0恒成立，則實數。的取值范

{6ZX-2x+3,0<x<4

圍是()

15.(2024?上海?模擬預測)定義集合屈='|%6氏》€(-8,%),/(幻</伉)},在使得初=[-1,1]的所有

/'(x)中，下列成立的是()

A.存在“X)是偶函數

B.存在〃x)在x=2處取最大值

C.存在“X)嚴格增

D.存在“X)在x=-l處取到極小值

16.(2024?上海青浦?一模)已知函數>=/(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時,

/(x)=(x-l)(x-3)+0.01,則關于函數>=在R上的零點的說法正確的是().

A.有4個零點，其中只有一個零點在區間(-3,-1)上

B.有4個零點，其中兩個零點在區間(