考前★秘密

黔西南州2024~2025學年度第一學期期末學業質量監測

局一數學

（本試題共4頁，共四大部分，滿分150分，考試時間為120分鐘）

考生注意：

1.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上

對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合/==集合8=卜=/},則一八（）

A.0BRC.{0,1}D.{xeR|x>0}

【答案】D

【解析】

【分析】由函數定義域和值域求得集合43,然后利用集合的交集定義求得ZcB.

【詳解】函數y=x中，x&R,：.A=R,

因為函數=8={xeR|x?0},

,Zc8={xeR|x20}.

故選：D.

2.已知命題）勺》€1<%-5111》<0,則/的否定為（）

A.VxeR,x-sinx>0B.3xeR,x-sinx>0

C.VxR,x-sinx<0D.R,x-sinx<0

【答案】A

【解析】

【分析】根據特稱命題的否定為全稱命題即可得到答案.

【詳解】根據特稱命題的否定為全稱命題，

第1頁/共17頁

則P的否定為VxeR,x—sinx20.

故選：A.

3.已知。>6,c<d<0,則（：

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd~

【答案】B

【解析】

【分析】由不等式的性質可得B；舉出反例可得A、C、D.

【詳解】對A：取。=1,6=0,c=-2,d=-1>止匕時a+c=b+d=-l,故A錯誤；

對B：由c<d<0,則C?〉屋，又a>b,故0+/>6+/，故B正確;

對C：取。=1,b=0,c=-2,d=—1,此時ac=-2<bd=0,故C錯誤；

對D：取a=—1,b=—2,c=—2,d——1,此時ac~=—4<bd1=—2>故D錯誤;

故選：B.

ln(2-x),x<0,

4.已知函數/(x)=J:'則/(/(—2))=()

e,x>0,

2

A.eB.4C.In4D.e

【答案】B

【解析】

【分析】根據分段函數解析式計算可得.

ln(2-x),x<0,

【詳解】因為/（》）=〈

ex,x>0,

所以/(—2)=如4,所以/(/(—2))=/(ln4)=eM4=4.

故選：B

5.已知cos(a+/?)=g,cos(a—/?)=；,則tanatan/?=()

111

A.-B.-C.—

565

【答案】A

【解析】

【分析】根據兩角和（差）的余弦公式得到方程組，求出cosacos^、sinasin夕，再根據同角三角函數

的基本關系計算可得.

第2頁/共17頁

cos(a+/?)=cosacos,一sinasin'=一COSCOSP=-

3

所以《；，解得V

cos(a_0)=cosacos/?+sinasin,=一sinasin/3=——

12

sinasin/?_葭

所以tanatan(3二

cosacosP55

12

故選：A.

6.已知函數/(x)=x3+X-1,g(x)-2V+X-1,%(x)=log2X+x-l零點分別為a,h,c,貝IJa,h,

的大小順序為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】

【分析】根據零點存在性定理即可判斷ae(0,1),再直接求出仇c即可比較大小.

【詳解】因為y=//=x—1在R上均單調遞增，

則/(x)=/+x—1在R上單調遞增，且〃O)=T,/(1)=1,

則/(0>/。)<0,貝*e(O,l)，

又因為g(0)=2°+0—1=0,則6=0,/z(l)=log2l+l-l=0,貝Uc=l,

則。>a>6.

故選：C.

7.已知函數/(》)=/卜inm+2cos2：—j(4>0)，B,C是函數/(x)的圖像與x軸相鄰的兩個交點,

。是圖像在2,C之間的最高點或最低點，若△8CQ為正三角形,

【答案】B

【解析】

第3頁/共17頁

【分析】由二倍角和輔助角公式化簡/(X)解析式，由解析式求出與X交點和最值點坐標，由△BCD為正

三角形，建立等式，即可求得結果.

【詳解】=A^sin7ix+2cos2=(s^n+cos^4sin^m+,

2冗

所以函數/(x)的最小正周期T=—=2,

71

B,C是函數/(x)的圖像與x軸相鄰的兩個交點，則8c=1,

。是圖像在2,C之間的最高點或最低點，△BCD為正三角形，

則有最高點的縱坐標為42A=—，

2

8.已知定義在R上的函數/(x)滿足：/(2)=2,且

V

VxeR,/(x+l)</(x)+-,/(x+4)>/(x)+2x+3,則/(10)=()

A.9B.25C.15D.24

【答案】D

【解析】

【分析】由函數性質通過賦值得到0)424和/(10)224,即可求解；

V

【詳解】由/(x+l)</(x)+；可得：

9

/(10)</(9)+-,

Q

/(9)</(8)+-,

7

/(8)</(7)+-,

/(7)</(6)+1.

L

〃3)</(2)+|，

9876543

累加可得：/(10)</(2)+-+-+-+-+-+-+-+1=24,

2222222

第4頁/共17頁

又/(x+4)>/(x)+2x+3,

得：/(10)>/(6)+12+3,

/(6)N〃2)+4+3,

相加可得：/(10)>24,

所以"10)=24,

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.“函數/(x)為奇函數”是“/(0)=0”的充分不必要條件

B.若函數/(x)為偶函數且函數/(2x+l)的定義域為(2加—1,加+1),則加=—；

C.若a〉b〉0,加〉0,則區>"+加

bb+m

D.若命題“Vxe[l,2],x2—(a+i)x+620”為真命題，則實數。的最大值為4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據奇函數性質和充分條件和必要條件即可判斷A；根據抽象函數奇偶性即可判斷B；根據不等式

性質結合作差法即可判斷C；利用分離參數法和對勾函數性質即可判斷D.

【詳解】對A,舉例奇函數/(x)=L，則/(0)無意義，則充分性不成立，故A錯誤；

對B,因為函數/(2x+l)的定義域為(2加一1,加+1),令/=2x+l,

Ihe(4m-l,2w+3),則/(x)的定義域為(4掰一1,2加+3),

又因為函數/(x)為偶函數，則4加—1+2掰+3=0,解得加=—；,故B正確；

aa+ma(b+加)一6(a+加)m(a-b^

bb+mb(b+m^b@+m)，

因為a〉b〉0,加〉0,則———^〉0,則i成立，故c正確；

b[b+m)bb+m

第5頁/共17頁

.A

2

對D,若命題"Vx€［l92］,x-(tz+l)x+6>0",貝!J(a+l)xV，+6,則—i,

x

因為y=二±9—1=x+9-1,根據對勾函數性質知其在［1,2］上單調遞減，

則Vmm=2+2-1=4,則。<4,則實數。的最大值為4,故D正確?

故選：BCD.

10.已知函數/(x)=cos0x(0>O),則下列命題正確的是()

A.若/(x)的圖象關于直線對稱，則。可以為4兀

4

B.若/(x)的圖象關于點［；,()］對稱，則。可以為4

TT

C.若“X)在區間0,-上恰有3個零點，則。的取值范圍是口0/4)

_4

D.若/(x)在區間［(),；］上單調遞減，則。的取值范圍是(0,2兀］

【答案】AC

【解析】

1<n

【分析】對于A若/(X)的圖象關于直線x=—對稱，所以/一=±1解出即可判斷；對于B若/(X)的圖

4⑷

象關于點￡,0對稱，驗證/；=0即可；對于C若/(x)在區間0,2上恰有3個零點，則

解出即可判斷；對于D若/⑴在區間。,：上單調遞減，則解出即可判斷

【詳解】對于A：若小)的圖象關于直線對稱，所以

=cos；o=±l=>；o=E,(^eZ)n0=4E,(^eZ),當左=1時，0=4兀，故A正確;

f-

對于B：若/(x)的圖象關于點對稱，則

f—=cos—a>=0n—0=■—，keZn?=4左+2,左eZ,當。=4左+2=4n左=—wZ,故B

⑷4422

第6頁/共17頁

錯誤;

對于C若小)在區間°e上恰有3個零點，°一4=。*屋上’則

—<―7i<—=>10<。<14,故C正確；

242

對于D：若/(x)在區間0,工上單調遞減，O<x<LnO<0x<L。，所以0<1。4兀-0<。44兀，

(4J444

故D錯誤.

故選：AC.

II.已知函數/(x)=ln(|x|+l)+sin2],則下列說法正確的是()

A./(1)</(2)</(-3)B.當0W1時，

33

C.函數/(x)的圖象關于點(0,0)對稱D.當5WXV2時，/(2x-l)>-

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據函數解析式明確定義域，利用奇函數定義可得函數的奇偶性，結合對數函數與三角函數的性

質以及復合函數的單調性，可得函數的單調性，結合選項，可得答案.

【詳解】由/(x)=ta(|x|+l)+sin2-,則定義域為R,

2

由/(—x)=ln(n+l)+sin2岫+1)+sin21=/(x),則函數/(x)為偶函數,

當x〉0時，/(x)=ln(x+l)+sin2^-=ln(x+l)+-~~^°SX=In(x+1)-^-cosx+g,

由y=lnx在(0,+”)上單調遞增，V=cosx在(0/)上單調遞減，則函數/(x)在(0,兀)上單調遞增,

由0<1<2<3<兀，則〃1)</(2)<〃3),由/(—3)=/⑶，則/⑴〈/⑵</(-3),故A正確;

當04xWl時，易知由函數/(x)在(0,兀)上單調遞增，則/(丁)〈/(耳，故B正確；

由函數/(x)為偶函數，則圖象關于丁軸對稱，故C錯誤；

當時，2x-le(2,3)c(0,7r),由函數/⑴在(0,兀)上單調遞增，

JT]3

則/(2x-l)>/(2)=ln3+sin2l=Ine+sin2—=1+—=5,故D正確.

故選：ABD.

第7頁/共17頁

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知角&的始邊與X軸非負半軸重合，終邊過點尸］sin|■匹cosgir］,則sin2a=

【答案】—

22

【解析】

【分析】利用三角函數的定義和二倍角公式可求答案.

【詳解】因為角。的始邊與x軸非負半軸重合，終邊過點尸卜in§7i,cos§7ij,即尸［苛，—5)

grp,.1追后I”.000(1)百色

所以sin(z=——,coscr=——>所以sm2a=2sinacostz=2x|——x——=------，

22I2j22

故答案為：_

2

13.近年來，黔西南州基礎教育質量大幅提升，2024年高考成績再上新臺階，一方面，得益于各級政府及

教育部門的殷切關懷與高度重視：另一方面，與莘莘學子的“聰慧值”密切相關.定義：“聰慧值”="天

賦值”X“年提升值”(“天賦值”具有先天性)，樹人中學高一(1)班學生小李和小王開學時的“天賦

值”分別為150分和100分，“年提升值”相同，自開學那天起，小王努力學習，刻苦鉆研，“年提升值”

都在前一年的基礎上進步5%,而小李疏于學習，“年提升值”都在前一年的基礎上退步2%.問：大約經

過年,小王的“聰慧值”是小李的2倍.(精確到整數，參考數據：坨3m0.48,Igl05土2.02,lg98gl.99)

【答案】16

【解析】

【分析】先分別表示出兩人的“聰慧值”，利用等量關系可求答案.

【詳解】設兩人的“年提升值”為a(a>0),經過〃年小王的“聰慧值”是小李的2倍.

則經過〃年小王的“聰慧值”為100xa(l+5%)”,小李的“聰慧值”為150xa(l—2%)”,

由題意100x“l+5%)”=2xl50xa(l—2%)",即1.05"=3x0.98";

取對數可得〃lgl.05=lg3+〃lgO98,

lg3lg3________0.48

n=

lgl.05-lg0.98-lgl05-lg982.02-1.99

第8頁/共17頁

所以大約經過16年小王的“聰慧值”是小李的2倍.

故答案為：16

14.若函數/(x)滿足:

①/(x)+/(r)=O；

②e(0,1),%1x2,都有/」1)一/12)〉o成立；

③/(x)在區間(1,2］上的最大值小于2.

則/(x)的解析式可以為(寫出一個即可)

【答案】/(%)=|(答案不唯一)

【解析】

【分析】分析各條件對應的函數的性質，由函數性質寫出函數解析式.

【詳解】①/(x)+/(—x)=0,函數/(x)時奇函數；

f(x,)-f(x,)

②\/七,12?(0,1),西。々，都有八"\2'〉0成立,函數/(X)在區間(0,1)上單調遞增；

X］-x2

③/(X)在區間(1,2］上的最大值小于2,設函數/(X)在區間(1,2］上單調遞增，則〃2)<2.

/W=j.

X

故答案為：/(x)=-(答案不唯一).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.解下列關于x的不等式.

,2x+l

⑴10"<1；

(2)x2-(2a+l)x+2a<0(o>0).

【答案】(1)<x—<x<0

、2

(2)答案見解析

【解析】

2r+l

【分析】(1)由指數、對數函數的單調性得到0<-----<1,求解即可；

x+1

(2)因式分解，討論兩根大小即可求解;

第9頁/共17頁

【小問1詳解】

,2x+l

1g-------

10X+1<1

2x+l八

等價于1g--------<0,

x+1

2x+l

等價于0＜:--------<11,

X+1

科/人丁2x+l［口2x+l.

等價于-----<1且------>0,

x+1x+1

,2x+l1”日X

由-----<1可得:<0,即x(x+l)<0,即一l<x<0,

x+1X+1

,2x+l

由----->0可得：(2x+l)(x+l)〉0,即x<—1,或

x+1

所以—<x<0,

2

所以d箸＜1的解集為：不＜、＜0＞

2

【小問2詳解】

x2~(2a+l)x+2a<0(a>0)，

等價于（x—l）（x—2Q）?0,

當2。=1時，即。=；,不等式的解集為{1},

當2a＞1時，即a〉g,不等式的解集為［1,2可，

當2a＜1時，即0＜。＜；,不等式的解集為［2a』］,

綜上：a=1■時，不等式的解集為{1},

0〉；時，不等式的解集為［1,2可，

0＜a＜；時，不等式的解集為［2a』］.

16.已知定義在R上的偶函數/（x）滿足：當x20時，/（%）=《二士

（1）求/（x）的解析式并用函數單調性的定義證明：函數/（X）在區間［0,+8）上單調遞增;

（2）若/（、用￡）＜/（》+1），求實數。的取值范圍.

第10頁/共17頁

【答案】(1)/(x)=|/,，證明見解析

cx-ex八

------,x<0

I2

3

(2)a>——

4

【解析】

【分析】(1)借助函數的奇偶性即可求解/(')的解析式，根據定義即可證明單調性.

(2)根據偶函數的對稱性，判斷出/(X)在(—8,0)上單調遞減，又/(0)=0,所以將/(、右Z)</(x+l)

轉化為w|x+”恒成立問題，平方后參變量分離求最值即可得解.

【小問1詳解】

x_-x

令x<0,貝I」一、〉0,因為當x20時，f(x)=-e---e--

所以/(_》)=e,因為/(x)是定義在R上的偶函數,

~x_e

所以/⑴二八一冷二P匕1

ex-尸

>0

-2-

綜上，/(X)=<

e-x-ex

<0

2-

證明：令04再<%2,

rx2_Q~XI

/(為)一/(%)=

22

因為0(再<%,所以e$<e"2，即e』—e?<0;

因為0<%<》2，所以〉［，］，即e-一片皆<0;

所以(9-e*)+(e-X2-e"X|)<0

所以/(七)一/(%)<0,即/(苞)</(%2)，

所以函數/(x)在區間［0,+8)上單調遞增;

第11頁/共17頁

【小問2詳解】

由(1)知，函數/'(x)在區間[0,+8)上單調遞增，/(x)為偶函數，

所以/(X)在區間(-8,0)上單調遞減，

若/(JT工)V/(x+l)恒成立，貝/]v|x+l|,即—(x+l)2恒成立，

等價于a2[x_(x+l)2]maj因為X—(X+1了=—11+g]-1,

-,3

所以x—(x+1)=——->

-Jmax4

3

所以。2---.

4

17.已知函數/(》)=25也(。》+9)+112〉0,。〉0,|何<|^的最小值為一1,圖象過點(0,、歷+1),且滿

足請從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件補充至橫線處，并解決下列問題：

(1)求函數/(x)的對稱軸、對稱中心、單調遞減區間；

(2)將/'(x)的圖象向右平移工個單位長度，可得到g(x)的圖象，求g(x)在區間-上的值域及取

4L36_

得最值時x的值.

JT7T

條件：①相鄰兩對稱軸之間的距離為一；②相鄰兩對稱中心之間的距離為一；③相鄰兩最低點之間的距離

22

為兀.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

jrKTVI7TKTL?

【答案】(1)對稱軸為x=7+-^■，左￡Z,對稱中心為—三+}~,1,(左￡Z),單調遞減區間為

82182J

—+AJI,-+ATTAkeZ)

[88Jv)

(2)-1,"，+2,x=-三時/(x)取得最小值，x=四時/(x)取得最大值.

2J86

【解析】

【分析】(1)根據所選條件求出。的值，再根據函數的最小值求出A,結合函數過點(0,、歷+1)求出。，

即可得到函數解析式，再根據正弦函數的性質計算可得；

第12頁/共17頁

(2)首先求出g(x)的解析式，再根據正弦函數的性質計算可得.

【小問1詳解】

若選①：相鄰兩對稱軸之間的距離為四，則工=百，所以7=兀，又7=空=兀，解得。=2；

222co

若選②：相鄰兩對稱中心之間的距離為四，則二=百，所以7=兀，又7=&=兀，解得①=2；

222co

2兀

若選③：相鄰兩最低點之間的距離為兀，則7=兀，又7=—=兀，解得①=2；

co

又函數/(》)=25也(。》+9)+1(2〉0)的最小值為一1,所以—/+1=—1,解得/=2,

所以/(x)=2sin(2x+0)+l,又函數圖象過點(0,行+1),所以/⑼=25也0+1=8+1,

即sin°=^^，又［。|＜］，所以夕=:，

所以/（x）=2sin12x+：J+l,

令2.x+2='+版,后eZ,解得》=工+如，4eZ,所以對稱軸為x=巴+如次eZ；

428282

TTTTKTT（TLKTL1

令2%+2=加，左eZ,解得x=——+,左eZ,所以對稱中心為一—+——,1,（左eZ）；

482k82）

TTTT31171Sjr

令e+2E<2x+"〈現+2E,左eZ,解得色+E<x4二+E#eZ,

24288

n,5n,

所以函數的單調遞減區間為FATI,FKJl，（左eZ）.

8-------8

【小問2詳解】

將/(x)的圖象向右平移:個單位長度，可得到g(x)=2sin26一：+l=2sin12x—1+1,

717171117171

當則2x—€

i?6417?12

所以當2X—￡=—4，即工=—巴時/(X)取得最小值，即/(%).=—1；

42o

當2%一：=］,即x=弓時/(%)取得最大值，即/(''ax=2sin3~+l='^-Y1上2,

廿上71.（71兀）.717171.71V6-V2

其中sin——=sin------=sin—cos——cos—sin—=------------

12U4j34344

第13頁/共17頁

―_/Q_In

所以/(x)在—彳,：上的值域為—1,---------，X=時/(x)取得最小值,X=—時/(x)取得

36J286

最大值.

18.對于函數/(x),xe￡>,若存在/e。，使得=則稱/(x)為“不動點”函數，稱/為/(x)

的一個不動點.

(1)若函數/(x)=-lnx+2,試判斷函數/(x)是否為“不動點”函數，并說明理由；

(2)若函數g(x)=In(e2x+e-2x+-a)在區間［0,1］上有且僅有兩個不動點，求實數a的取值范圍.

【答案】(1)是，理由見解析；

【解析】

【分析】(1)根據“不動點”函數的定義，轉化為函數的零點問題，結合零點存在性定理可得答案；

(2)根據題意轉化為兩個函數公共點的個數問題，利用換元法結合二次函數知識可得答案.

【小問1詳解】

函數/(x)是“不動點”函數，理由如下：

設g(x)=/(x)—x=—Inx—x+2,若/(x)是“不動點”函數，則g(x)存在零點，

易知g(x)為減函數,g(l)=l>0,g(2)=-ln2<0,

所以存在x°e(l,2),使得g(x0)=0,即/(x)是“不動點”函數.

【小問2詳解】

由題意In卜?^+e3+-￡—。)=x在區間［0,1］上有兩個解，

2t2xvxa2xxx

即e+e-+e--?=e有兩解，在區間叩］上直線y=與〃(x)=e2,+e-+e--e有兩個公共點；

令/=片,—e3則0,e-|,H(t)=t2+2-t=［^-^+：,

"HU'"⑼=2，夕卜一I=?2+!+6-，〉2,

所以當時，函數8(刈=111卜2*+63+6一工—。)在區間［0,1］上有且僅有兩個不動點，所以實數。

第14頁/共17頁

的取值范圍是2.

19.笛卡爾積是法國數學家笛卡爾命名的，允許將不同集合的元素組合成有序對，具有廣泛的應用領域，包

括數學、計算機科學、統計學和物理學.對于非空數集43，定義A0B={(x,y)IxGA^ye5},將/OB

稱為“/與8的笛卡爾積”.

(1)若/={2024,2025},8={2023},求/③臺和5區/；

(2)若4,4是非空數集，證明：“4=4”的充要條件是“4兇4=4兇4”；

(3)若集合a是有限集，將集合X中的元素個數記為CardOO.若Card(4)=x(xeN),

Card(4(8)4)+Card(，2^^)~a1

Card(4)=.v(yeN'),且滿足2當又取得最大值時，求

Card(40^2)一a

a-4y+20

的最小值.

2x+2

【答案】(1){(2024,2023),(2025,2023)}；{(2023,2024),(2023,2025)}.

(2)證明見解析(3)2

【解析】

【分析】(1)由定義列舉可得；

(2)分別證明充分性與必要性，借助互為子集證明集合相等.

(3)利用基本不等式求出最值何時取到，代入式子＞-4.V+20,消元再整體換元，再次使用基本不等式